人教新课标版数学高一B版必修4学案 弧度制和弧度制与角度制的换算

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

明目标、知重点 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确地转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.

1.度量角的单位制

(1)角度制

用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定1度的角等于周角的

1 360.

(2)弧度制

①弧度制的定义

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.

②任意角的弧度数与实数的对应关系

正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零.

③角的弧度数的计算

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.

2.角度制与弧度制的换算(1)

3.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则

度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝απR

180

l ＝α·R 扇形的面积

S ＝απR 2

360

S ＝12l ·R ＝1

2

α·R 2

初中几何研究过角的度量， 规定周角的1

360作为1°的角.我们把用度做单位来度量角的制度

叫做角度制， 在角度制下，当两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来研究这种新单位制—弧度制. 探究点一 弧度制

思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？

答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半径无关.如图所示， ∠AOB 就是1弧度的角.

思考2 如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数与l 、r 之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.

AB 的长

OB 旋转的方向

∠AOB 的弧度数

∠AOB 的度数

0 没旋转 0 0° π

2r 顺时针方向 －π2 －90° πr 逆时针方向 π 180° 2πr 顺时针方向 －2π －360° πr 180 逆时针方向 π180 1°

r 逆时针方向 1 ⎝⎛⎭

⎫180π° 2r

顺时针方向

－2

－⎝⎛⎭⎫360π°

规律：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么α的弧度数的绝对值是l

r ，即

|α|＝l r

.

小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l

r .这里，

α的正负由角α的终边的旋转方向决定.

思考3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.

例1 (1)把67°30(2)把－7π

12

化成角度.

解 (1)∵67°30′＝⎝⎛⎭⎫67 1

2°， ∴67°30′＝π180rad ×67 12＝3

8π rad.

(2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭

⎫

180π°＝－105°.

反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可. 跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝________rad ； (2)8π

5＝________度. 答案 (1)－π

8

(2)288

探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r ，圆心角弧度数为α). 答 半径为r ，圆心角为n °的扇形弧长公式为l ＝n πr 180

，

扇形面积公式为S 扇＝n πr 2

360.

∵l 2πr ＝|α|

2π

，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π，∴S 扇＝1

2|α|r 2.

∴S 扇＝12|α|r 2＝1

2

lr .

例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝1

2×(40－2r )r ＝20r －r 2

＝－(r －10)2＋100.

∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010

rad ＝2 rad.

所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.

反思与感悟 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.

跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝1

2lR ，

得1＝1

2

(4－2R )·R ，

∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝2

1＝2，

即扇形的圆心角为2 rad.

探究点三 利用弧度制表示终边相同的角

思考1 在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度.利用弧度制表示出终边落在坐标轴上的角的集合.