三年级奥数第16讲数字趣谈(教师版)

三年级奥数第16讲数字趣谈(教师版）教学目标
尝试使用探索法和分类统计法解决自然数列计数问题
知识梳理
在日常生活中,0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9是我们最常见、最熟悉的数,由这些数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题,动动脑筋,你就会找到答案。

本周的习题,大都是关于自然数列方面的计数问题,解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法,相信你们能很好地掌握它。

典例分析
考点一：枚举计数
例1、在10和40之间有多少个数是3的倍数?
【解析】由尝试法可求出答案：
3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21 3×8=24
3×9=27 3×10=30 3×11=33 3×12=36 3×13=39
例2、在10和1000之间有多少个数是3的倍数?
【解析】求10和1000之间有多少个数是3的倍数,用一一列举的方法显得很麻烦。

可以这样思考：
10÷3=3……1 说明10以内有3个数是3的倍数；
1000÷3=333……1 说明1000以内有333个数是3的倍数。

333－3=330 说明10——1000之间有330个数是3的倍数。

例3、从1——9九个数中选取,将11写成两个不同的自然数之和,有多少种不同的写法? 【解析】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：
1,2,3,4,5,6,7,8,9
先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求,但用第二小的2和最大的9相加,
和为11符合要求,得11=2＋9。

依次做下去,可得11=3＋8,11=4＋7,11=5＋6。

共有4种不同的写法。

例4、2000年2月的一天,有三批同学去植树,每批的人数不相等,没有一个人单独去的,三批人数的乘积正好等于这一天的日期。

想一想,这三批学生各有几人?
【解析】2000年2月有29天,三批同学人数的乘积不能大于29,我们可以先用最小的几个数试乘（1除外）：2×3×4=24,24＜29；2×3×5=30,30＞29,不合题意。

所以,这三批学生的人数是2,3,4人。

例5、一本连环画共100页,排页码时一个铅字只能排一位数字。

请你算一下,排这本书的页码共要用多少个铅字?
【解析】这道题可以分类计算：
从第1页到第9页,共9页,每页用1个铅字,共用1×9=9个；
从第10页到第99页,共90页,每页用2个铅字,共用2×90=180个；
第100页,只有1页共用3个铅字。

所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。

例6、一本书共250页,求编码时需要多少个数码?
【解析】由于本书的页码有一位数、两位数、三位数；
而几位数就需要几个数码。

故须分类计数,再相加。

一位数：有9个,共需9×1=9个数码；
两位数：有90个,共需90×2=180个数码；
三位数：有250-99=151个,共需151×3=453个数码；
共需9+180+453=642个数码。

记住规律：
一位数：1~9,有9个；
两位数：10~99,有99-10+1=90个,或99-9=90；
三位数：100~999,有999-100+1=900个,或999-99=900个；
四位数：9000个；
……
例7、给一本书编码,一共用了723个数字,这本书一共用多少页?
【解析】刚才例子是正着问,此题倒着问。

边尝试边计算：
一位数：有9个,共计用去9个数码；
两位数：有90个,共需90×2=180个数码；
三位数：有900个,共需900×3=2700个数码；
而此题只有723个数码,多于9+180,小于9+180+2700,说明数的页数是三位数。

一位数和两位数共计用去9+180=189个数码,
还剩723-189=534个数码给三位数用,每个三位数用3个数码,
则还有534÷3=178个三位数,
第178个三位数是99+178=277,故本书有277页。

例8、一本书的页码, 在印刷时必须用198个铅字, 自这一本书的页码中数字1出现多少次? 【解析】一位数和两位数共计用去9+180=189个数码,
还剩198-189=9个数码给三位数用,每个三位数用3个数码,
则还有9÷3=3个三位数,
第3个三位数是102,故本书有102页。

那么本题转化为：一本书有102页,问1出现多少次?
即相当于问：1~102里1出现的次数。

数少时可以按由小到大的顺序枚举,即便如此,也很少有孩子能一次想全。

因此,为使计数不重不漏,我们一定要按照一定的顺序枚举。

本题来说最好的枚举顺序我认为是这样的：
最多有3位数, 因此,1如果出现一定是在个位、十位、或百位。

所以我们把个、十、百位的1分类计数,然后再相加。

个位1：1,11,21,31,……, 101。

有11个；
十位1：10, 11,12,……, 19。

有10个；
百位1：100,101,102。

有3个。

1出现24次。

考点二：计数和数论的综合题
例1、1~3998这些自然数中,有多少个能被4整除?
【解析】最简单的方法是找规律,除以几,数就有几种可能,
如除以4,余数可能0~3,共四种；
连续自然数（或等差数列）除以同一个数余数肯定成周期,周期为除数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ……除以4余数 1 2 3 0 1 2 3 0 1 ……
周期为4,3998÷4=999……2,余下的2个为1和2,因此能被4整除的共999个。

注意：在这个范围内被4整除的和除以4余3的有999个；
除以4余1的和除以4余2的都有999+1=1000个。

例2、1234~3998这些自然数中,有多少个能被4整除?
【解析】1234~3998共有3998-1234+1=2765个数。

1234 1235 1236 1237 1238 1239 1240 1241 1242 ……除以4余数 2 3 0 1 2 3 0 1 2 ……
周期为4,2765÷4=691……1,余下的一个是2,因此能被4整除的有691个。

注意：在这个范围内被4整除的、除以4余3以及除以4余1的有691个；
除以4余2的都有691+1=692个。

考点三：计数问题中的乘法原理
加法分类,类类独立；乘法分步,步步相关。

乘法原理：一般的, 完成一个任务有N步, 第一步有A种做法, 第二步有B种做法,第三步有C种做法,……那么完成这个任务共有A×B×C×……种方法。

例1、从北京到天津有3种路线, 从天津到大连有4种路线, 那么从北
京经过天津再去大连共有几种路线。

【解析】完成任务分两步,第一步从北京到天津,第二步从天津到大连, 分步用乘法原理, 3×4=12
例2、1~7中选4个不同数字,组成四位数,共有多少个?
【解析】组成四位数,需要一位一位的确定各个位上的数字,分四步。

第一步：1~7中选一个数字放到千位,共7种；
第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到百位,共6种；
第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到十位,共5种；
第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到个位,共4种；
分步用乘法：7×6×5×4=840种。

特殊元素优先排列,特殊位置优先考虑。

例3、1~7中选4个不同数字,组成四位奇数,共有多少个?
【解析】特殊位置优先考虑
奇数,末位特殊, 1,3,5,7共4中选择。

第二步：从剩下的6个数字中选一个数字放到千位,共6种；
第三步：从剩下的5个数字中选一个数字放到百位,共5种；
第四步：从剩下的4个数字中选一个数字放到十位,共4种；
分步用乘法：4×6×5×4=480种。

考点四：数论中位值原理的应用
位值原理是方程工具（代数思想）的一个体现,是将来学习进位制的基础。

如：1234=1000+200+30+4=1×1000+2×100+3×10+4×1
1在千这个位置上,它代表的数值是1个1000；
2在百这个位置上,它代表的数值是2个100；
3在十这个位置上,它代表的数值是3个10；
4在个这个位置上,它代表的数值是4个1；
位值原理体现的是一种位置和数值的对应关系。

位值原理的两种展开方式：
（1）全部展开：如：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1
（2）分析题意,根据需要灵活展开：如：
1234=12×100+34×1；
12345=12×1000+345×1；
12345=123×100+45×1；
12345=12×1000+34×10+5×1；
例1、在一个两位数的两个数字中间加一个0,那么,所得的三位数是原数的6倍。

求这个两位数。

【解析】设原来的两位数是ab,那么新的三位数就是ab 0 ,新数是原数的6倍,
得到方程：ab 0 =6×ab（a,b均为整数；0＜a≤9；0≤b≤9）
根据位值原理：ab=10a+b；ab 0 =100a+b；
则100a+b=6（10a+b）
100a+b=60a+6b
40a=5b
8a=b（0＜a≤9；0≤b≤9）
a=1,b=8
原数为18。

例2、有一个三位数, 个位数字是百位的2倍, 百位数字与个位数字之和等于十位数字,若百位数字与个位数字对换,新数比原数大198, 求原数。

【解析】只看这一个条件：若百位数字与个位数字对换,新数比原数大198。

设原数为abc,则新数为cba,原数+198=新数
abc+198=cba
100a+10b+c+198=100c+10b+a
198=99c-99a
c-a=2
又,个位数字是百位的2倍,即c=2a,
差倍问题, c=4,a=2
又,百位数字与个位数字之和等于十位数字, b=a+c=6
原数为264
例3、一个三位数,个位数字是3,如果把原个位数字当百位数字,原十位数字当个位数字,原百位数字当成十位数字,那么新数比原数小171,求原数。

【解析】设原数为ab3,则新数为3ab,
（a,b均为整数；0＜a≤9；0≤b≤9）新数比原数小171,即：
3ab+171=ab3（新数+171=原数）
可以按刚才思路展开,但仔细分析后就会发现ab始终作为一个整体出现,
可以用第二种展开方式：
3ab=300+ab, ab3=10ab+3,
3ab+171=ab3
300+ab+171=10ab+3,设ab=X,
300+X+171=10X+3
X=523
原数为523。

实战演练
➢课堂狙击
1、在20和50之间有多少个数是6的倍数?
【解析】要想求出从20到50之间6的倍数的个数,根据找一个数倍数的方法,列举出6的倍数,然后找出在20-50范围内的即可．
6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、…,
所以在20到50之间6的倍数的个数：24、30、36、42、48,共五个；
答：在20和50之间有5个数是6的倍数。

2、在1到1000之间有多少个数是4的倍数?
【解析】在1到1000之间有多少个数是4的倍数,也就是说1000里面有几个4,用除法直接求出．
1000÷4=250(个),
答：在1到1000之间有250个数是4的倍
3、从1——9九个数中选取,将13写成两个不同的自然数之和,有多少种不同的写法?
【解析】将13拆分成两个不同的自然数之和,只要从1～9中分别列举出来即可．因为,13=4+9=5+8=6+7,
又因为和为13两个加数交换位置还是同一种写法,
所以只有3种不同的写法。

4、将12分拆成3个不同的自然数相加之和,共有多少种不同的分拆方法?
【解析】根据分析可得,
12=0+1+11=1+1+10=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+2+8=2+3+7=2+4+6=2+5+5=3+3+6=3+4 +5=4+4+4=0+2+10=0+3+9=0+4+8=0+5+7,
去掉相同的自然数相加之和：1+1+10,2+2+8,2+5+5,3+3+6,4+4+4；
还剩：17−5=12(种)；
所以,共有12种不同的分拆方法。

答：共有12种不同的分拆方法。

5、2001年5月的一天,有三批学生去参加助残活动,每批人数不相等,三批人数的乘积正好等于这一天的日期。

想一想,这三批学生最多各有多少人?
【解析】三个不同的数字中,2、3、4的乘积是24；
比31小,3、4、5的乘积比31大,那么大概范围就是这几个数字；
只有2、3、5的乘积最接近31；而且比31小,所以这三批学生最多是2人、3人和5人.
故答案为：2人；3人；5人.
6、将12个乒乓球分别标上自然数1、2、3、…12作为球号,然后放在布袋中,甲、乙、丙三人各从袋中拿出4个球,而且三人各自所拿四个球的球号和都相等。

甲的两个球标着5和12,乙的两个球标着6和8,丙的一个球标着1,问丙的其他三个球上分别标的是多少?
【解析】12个乒乓球上的数之和是1＋2＋3＋……＋12=78,每人的4个球上数之和是26。

甲另外两球的数之和是26－5－12=9,
乙另外两球之和是26－6－8=12,
丙另外三球之和是26－1=25。

因为9＋1＋8=2＋7=3＋6=4＋5,
但是1、5、6、8的球都在别人的手中,
所以甲剩下的两球上标有2和7。

又因为12=1＋11=2＋10=3＋9=4＋8=5＋7,而1、2、5、7、8的球已经出现,
所以乙剩下的两球数字是3、9。

那么丙所拿的球是4、10、11。

7、有三个不同的数字,排列3次,组成3个三位数,这3个三位数相加的和是768,又知道计算的过程中没有进位,那么这3个数字连乘所得积是多少?
【解析】因为没有进位,所以三个数字的百位数字之和是7,十位数字之和是6,各位数字之和是8,而在每个三位数中,原来的三个数字各出现一次,那么有3倍的三个数字之和为7＋6＋8=21,这三个数字的和为21÷3=7。

因为3个数字各不相同,所以只能是1、2、4（不能是0）,它们的积是1×2×4=8。

➢课后反击
1．从1开始,按照1、5、9、13…的规律往下排,第100个数是多少?
【解析】397
2．四张卡片上分别写着1、9、9、5,用它们组成的四位数中最大与最小的数之和是多少? 【解析】9951＋1599=11550
3．猜谜语比赛,谜语按难易分为两类,每人可以猜三条,每猜对一条较难的谜语得3分,每猜对一条较容易的谜语得1分。

结果有8人得1分,7人得2分,6人得3分,5人得4分,4人得5分。

问恰好猜对两条谜语的有多少人?
【解析】得1分的人是猜对一条较易的；
得2分的人是猜对两条较易的；
得3分的人可能是猜对三条较易的,也可能是猜对一条难的；
得4分的人是猜对一条较易的和一条难的；
得5分的人是猜对两条较易的和一条难的；
所以恰好猜对两条的有2分的,也有4分的,共有7＋5=12人。

4．用5、7、2、0、8,这5个数字组成两个五位数,这两个五位数相减的差是66663。

这两个数中较大的一个数可能是多少?
【解析】首先两个五位数的首位只能是8和2,个位是5和2或0和7。

因为两个五位数首位只能是8和2,所以五位数的个位只能是0和7,
其它数位可以类推,87250－20587=66663,87520－20857=66663。

较大的数可能是87250或87520。

5．有两个数,A的各位数字之和是35,B的各位数字之和是26,两数相加时进位三次,那么A+B 的各位数字之和是多少?
【解析】每进位一次,低位减10,高位加1,那么数字和减小9,现在两位数相加进位3次, 则数字和减小9×3=27。

所以35＋26－27=34。

6．有一个四位数,去掉千位数字后所得三位数的15倍恰好是原来的四位数。

求这个四位数? 【解析】因为后三位数的14倍等于千位数字乘以1000,
只有7000是14的倍数,所以这个数的千位数字是7,
后三位7000÷14=500,这个四位数是7500。

名师点拨
学会综合运用枚举法、乘法原理、位值原理等方法解决数字问题。

学霸经验
➢本节课我学到了
➢我需要努力的地方是。