高一下学期数学5月月考试卷
安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．如图，A B¢V13．已知三棱锥-P ABC 的体积为6，且236PA PB PC ===.则该三棱锥外接球的表面积为______.(2)求三棱锥M APQ-的体积.参考答案：1．D【分析】三个不共线的点或者两条共面直线可确定一个平面，由此判断即可.【详解】三点共线则不能确定一个平面，A 错误；点在直线则不能确定一个平面，B 错误；若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C 错误；梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D 正确.故选：D 2．D【分析】判断出可能的截面，由此确定不可能的截面.【详解】画出正方体如下图所示，设正方体外接球的球心为O .,,,E F G H 是棱1111,,,BC B C A D AD 的中点，过,,,E F G H 的截面图像为C 选项对应的图像.过11BDD B 的截面图像为B 选项对应的图像.设,,,I J K L 是棱1111,,,BB CC DD AA 靠近11,,,B C D A 的三等分点，过,,,I J K L 的截面图像为A 选项对应的图像.故D 选项的图像不可能.故选：D3．C【分析】依据棱柱定义判断选项A ；依据棱柱的结构特征判断选项B ；举反例否定选项C ；依据长方体定义判断选项D.【详解】选项A ：由棱柱定义可得棱柱的两个底面一定平行.判断正确；选项B ：三棱柱是最简单的棱柱，三棱柱有五个面，则棱柱至少有五个面.判断正确；选项C ：在正四棱柱上面放置一个与其底面相同的斜四棱柱，所得几何体是组合体，但是满足两个面互相平行，其余各面都是平行四边形.判断错误；选项D ：正四棱柱底面是正方形，侧棱与底面垂直，则正四棱柱一定是长方体.判断正确.故选：ABD8．ACD【分析】对于A ，由平行公理可判断；对于B ，由,a c b c ^^可得a 与b 的关系可能平行、相交或异面，从而可判断；对于C ，由若一条直线上有两点在一个平面内，则整条直线就在平面内可判断；对于D ，由若两平面有公共点，则两平面有且仅有一条经过公共点的交线可判断.【详解】对于A ，由平行公理可得，//,////a b a c b c Þ，故A 正确；对于B ，由,a c b c ^^，可得a 与b 的关系有三种，分别为平行、相交或异面，故B 错误；对于C ，若一条直线上有两点在一个平面内, 则整条直线就在平面内，即,A l B l ÎÎ，且A a Î，B l a a ÎÞÌ，故C 正确；对于D ，若两平面有公共点，则两平面有且仅有一条经过公共点的交线，即 ,P P a b ÎÎ且l P l a b Ç=ÞÎ, 故D 正确.故选：ACD9．AC【分析】求得被截正方体的棱长判断选项A ；求得被截去的一个四面体的体积判断选项B ；求得该二十四等边体的体积判断选项C ；求得该二十四等边体外接球的表面积判断选项体的外接球，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，得到表面积；（2）将四面体放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，由勾股定理表达出面对角线，得到不等关系，证明出结论.【详解】（1）由于四面体的对棱分别相等，结合长方体的面对角线性质，可以将其置于长方体中，使其顶点与长方体顶点重合，如下图：设此四面体所在长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则222222345a b a c b c ì+=ï+=íï+=î，解得222123a b c ì=ï=íï=î，得2222(2)6R a b c =++=，\外接球的表面积为6π.（2）在四面体ABCD 中，Q AB CD =，AC BD =，AD BC =，如下图，将四面体放置长方体中，使其顶点与长方体顶点重合\四面体ABCD 的四个面为全等三角形，即只需证明一个面为锐角三角形即可.设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则222AB a b =+，222BC b c =+，222AC a c =+，\222AB BC AC +>，222AB AC BC +>，222AC BC AC +>，\ABC V 为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形.18．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）过M 作MN CQ ∥，连接,PN BM ，证明四边形MNPB 为平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）根据三棱锥的等体积法，将三棱锥M APQ -的体积转化为求Q ABC -的体积，结合二者之间的数量关系，可得答案,【详解】（1）证明：在图乙中，过M 作MN CQ ∥，交AQ 于N ，连接,PN BM ，由于PB CQ ∥，则MN PB ∥，所以,,,M N P B 共面，且平面MNPB I 平面APQ PN =，因为3,4AB BC ==，所以'12345AC AA AB BC =--=--=，。
2019-2020学年江苏省扬州中学高一下学期5月月考数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省扬州中学高一第二学期5月月考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线x+y+2＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B＝（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°3．若方程x2+y2﹣2x﹣m＝0表示圆，则m的范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1] 4．在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．已知x＞1，则x+的最小值为（）A．3B．4C．5D．66．两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切7．过点（﹣1，﹣3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（）A．2x+y﹣1＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y+5＝0 8．已知角α+的终边与单位圆x2+y2＝1交于P（x0，），则sin2α等于（）A．B．C．D．9．设P点为圆C：（x﹣2）2+y2＝5上任一点，动点Q（2a，a+2），则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．10．设点A（﹣2，3），B（3，1），若直线ax+y+2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝15°，沿着坡面前进40米到达E点，测得∠BED＝45°，则大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为（）A．B．C．D．12．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，△ABD中，∠ADB＝120°，则CD 的取值范围（）A．[2+2]B．（4，2+2]C．[2]D．[2]二、填空题（共4小题）.13．求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程．14．已知直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y＝0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．16．已知在△ABC中，AB＝AC＝，△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y﹣1＝0．（Ⅰ）若l1⊥l2，求实数a的值；（Ⅱ）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．18．已知圆C经过抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2＝0与圆C交于A，B两点，求|AB|．19．已知a，b，c分别为非等腰△ABC内角A，B，C的对边，．（1）证明：C＝2B；（2）若b＝3，，求△ABC的面积．20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F的直径AB上，且∠ABC＝．（1）若CE＝，求AE的长；（2）设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．21．已知圆C和y轴相切于点T（0，2），与x轴的正半轴交于M、N两点（M在N的左侧），且MN＝3；（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于点A、B，连接AN和BN，记AN 和BN的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y+4＝0和圆O：x2+y2＝4，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N．（1）若PM⊥PN，求点P坐标；（2）若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，求点P的横坐标的取值范围；（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值．参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A.B.C.D.四个结论中，只有一个是正确的，1．直线x+y+2＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】由直线的方程可得直线的斜率，由倾斜角和斜率的关系可得答案．解：直线x+y+2＝0可化为y＝﹣x﹣，∴直线的斜率为﹣，∴α＝150°故选：D．2．在△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则B＝（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【分析】由A的度数求出sin A的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin B的值，即可求出B的度数．解：∵a＝4，b＝4，A＝30°，∴由正弦定理＝得：sin B＝＝＝，∴B＞A，故选：B．3．若方程x2+y2﹣2x﹣m＝0表示圆，则m的范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【分析】根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，变形解可得m的取值范围，即可得答案．解：根据题意，若方程x2+y2﹣2x﹣m＝0表示圆，则有（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞6，即4+4m＞0，解可得m＞﹣1，即m的取值范围为（﹣3，+∞），故选：C．4．在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【分析】应用正弦定理和已知条件可得，进而得到sin（A﹣B）＝0，故有A﹣B＝0，得到△ABC为等腰三角形．解：∵在△ABC中，a cos B＝b cos A，∴，又由正弦定理可得，∴，sin A cos B﹣cos A sin B＝0，sin（A﹣B）＝0．故选：D．5．已知x＞1，则x+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用基本不等式即可得出．解：∵x＞1，∴+8＝5．当且仅当x＝3时取等号．故选：C．6．两圆x2+y2＝9和x2+y2﹣8x+6y+9＝0的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切【分析】分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R﹣r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．解：把x2+y2﹣8x+6y+9＝8化为（x﹣4）2+（y+3）2＝16，又x2+y2＝9，所以两圆心的坐标分别为：（8，﹣3）和（0，0），两半径分别为R＝4和r＝3，因为4﹣2＜5＜4+3即R﹣r＜d＜R+r，所以两圆的位置关系是相交．故选：B．7．过点（﹣1，﹣3）且垂直于直线x﹣2y+3＝0的直线方程为（）A．2x+y﹣1＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+7＝0D．2x+y+5＝0【分析】两直线垂直斜率乘积为﹣1，再根据已知条件从选项判断答案．解：设直线l为x﹣2y+3＝0，求直线m．因为两直线垂直，斜率乘积为﹣1，故与直线l 垂直的斜率为﹣2，排除B、C选项，又点（﹣1，﹣3）在直线m上，所以答案为D选项．故选：D．8．已知角α+的终边与单位圆x2+y2＝1交于P（x0，），则sin2α等于（）A．B．C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式，求得sin2α的值．解：角α+的终边与单位圆x2+y2＝1交于P（x4，），∴sin（α+）＝，∴sin2α＝﹣cos2（α+）＝﹣1+8＝﹣1+2×＝﹣，故选：B．9．设P点为圆C：（x﹣2）2+y2＝5上任一点，动点Q（2a，a+2），则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，根据点Q的坐标可得点Q在直线x﹣2y+4＝0上，分析圆C的圆心和半径，求出圆心（2，0）到直线x﹣2y﹣6＝0的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，设点Q（x，y），则x＝2a，y＝a+2，有x＝2y﹣4，即x﹣2y+4＝0恒成立，故点Q在直线x﹣2y+4＝0上，圆心（2，0）到直线x﹣2y+7＝0的距离d＝＝，故选：A．10．设点A（﹣2，3），B（3，1），若直线ax+y+2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得实数a的取值范围．解：∵点A（﹣2，3），B（3，1），若直线ax+y+2＝3与线段AB有交点，而直线AB经过定点M（0，﹣2），且它的斜率为﹣a，即﹣a≥＝1，或﹣a≤＝﹣，故选：D．11．如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝15°，沿着坡面前进40米到达E点，测得∠BED＝45°，则大坝的坡角（∠DAC）的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】在△ABE中由正弦定理求得BE的值，在△BED中由正弦定理求得sin∠BDE，再利用诱导公式求出cos∠DAC的值．解：因为∠BAD＝15°，∠BED＝45°，所以∠ABE＝30°；在△ABE中，由正弦定理得，在△BED中，由正弦定理得，又∠ACD＝90°，所以sin∠BDE＝sin（∠DAC+90°），故选：A．12．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，△ABD中，∠ADB＝120°，则CD 的取值范围（）A．[2+2]B．（4，2+2]C．[2]D．[2]【分析】以AB为底边作等腰三角形OAB，使得∠AOB＝120°，以O为圆心，以OA 为半径作圆，则由圆的性质可知D的轨迹为劣弧，讨论O，C与AB的位置，根据圆的性质得出CD的最值即可．解：以AB为底边作等腰三角形OAB，使得∠AOB＝120°，以O为圆心，以OA为半径作圆，则由圆的性质可知D的轨迹为劣弧（不含端点），∴OM＝1，OA＝2，即圆O的半径为2．∴OC＝＝2，∴CD的最小值为2﹣8．此时OC＝＝2，∴CD的最大值为2+2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13．求过点（2，3）且在x轴和y轴截距相等的直线的方程x+y﹣5＝0，或3x﹣2y＝0．【分析】设直线在x轴为a，y轴截距为b，当a＝b＝0时，直线过点（2，3）和（0，0），其方程为，即3x﹣2y＝0．当a＝b≠0时，直线方程为，把点（2，3）代入，得，解得a＝5，由此能求出直线方程．解：设直线在x轴为a，y轴截距为b，①当a＝b＝0时，直线过点（2，3）和（0，6），②当a＝b≠0时，把点（2，3）代入，得，故答案为：x+y﹣5＝0，或2x﹣2y＝0．14．已知直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点，则k的取值范围是[0，）．【分析】结合图形，转化为半圆的切线的斜率可得．解：如图：y＝k（x+4）是过定点P（﹣4，0），当直线与半圆切于A点时，k PA＝＝＝，结合图象可得：直线y＝k（x+4）与曲线有两个不同的交点时，k∈[8，），故答案为：[0，）．15．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y＝0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．【分析】根据直线和圆相切求出a，b的关系式，结合基本不等式进行求解即可．解：∵直线和圆相切，∴，∴a+6b＞0，从而a+2b＝5，故ab的最大值为，故答案为：16．已知在△ABC中，AB＝AC＝，△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为．【分析】以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，设B（﹣a，0），C（a，0），（a＞0），则A（0，），设P（x，y），运用两点距离公式可得P在两圆上，由圆与圆的位置关系的等价条件，解不等式可得a的范围，再由三角形的面积公式，结合二次函数的最值求法，可得最大值．解：以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（0，），（x+a）2+y4+（x﹣a）2+y2＝3[x7+（y﹣）2]＝3，即有点P既在（0，0）为圆心，半径为的圆上，可得|1﹣|≤≤1+，则△ABC的面积为S＝•2a•＝，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：ax+3y+1＝0，l2：x+（a﹣2）y﹣1＝0．（Ⅰ）若l1⊥l2，求实数a的值；（Ⅱ）当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．【分析】（Ⅰ）由l1⊥l2，得a×1+3（a﹣2）＝0，由此能求出实数a＝．（Ⅱ）当l1∥l2时，，求出a＝3，由此能求出直线l1与l2之间的距离．解：（Ⅰ）∵直线l1：ax+3y+1＝2，l2：x+（a﹣2）y﹣1＝8．若l1⊥l2，则a×1+3（a﹣6）＝0，（Ⅱ）当l1∥l2时，，∴直线l1：3x+3y+2＝0，l2：x+y﹣1＝0，即l2：8x+3y﹣3＝0∴直线l1与l2之间的距离：d＝＝．18．已知圆C经过抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．（1）求圆C的方程；（2）设直线2x﹣y+2＝0与圆C交于A，B两点，求|AB|．【分析】（1）求出抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点坐标，确定圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由圆的半径，利用垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长．解：（1）抛物线y＝x2﹣4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，7），（0，3）…所求圆的圆心是直线y＝x与x＝2的交点（2，2），圆的半径是，（2）圆心C到直线2x﹣y+2＝0的距离d＝…|AB|＝2＝…19．已知a，b，c分别为非等腰△ABC内角A，B，C的对边，．（1）证明：C＝2B；（2）若b＝3，，求△ABC的面积．【分析】（1）先利用余弦定理完成边化角，然后得到关于角的等式，分析其中2B与C 的关系即可证明；（2）根据（1）的结论计算出cos B的值，然后即可计算出a的值，再根据面积公式求解三角形面积即可．解：（1）证明：由余弦定理得a2+c2﹣b2＝2ac cos B，∴，由2B＝π﹣C得A＝B，不符合条件，（2）由（3）及正弦定理得：，∴．20．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F的直径AB上，且∠ABC＝．（1）若CE＝，求AE的长；（2）设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE＝α，求出CF，CE，利用S△CEF＝，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．解：（1）由题意，△ACE中，AC＝4，∠A＝，CE＝，∴13＝16+AE2﹣2×，（2）由题意，∠ACE＝α∈[0，]，∠AFC＝π﹣∠A﹣∠ACF＝﹣α．在△ACE中，由正弦定理得，∴CE＝，S△CEF＝＝，∴α＝时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．21．已知圆C和y轴相切于点T（0，2），与x轴的正半轴交于M、N两点（M在N的左侧），且MN＝3；（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与圆O：x2+y2＝4相交于点A、B，连接AN和BN，记AN 和BN的斜率为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【分析】（1）由题意设圆心的坐标为（m，2）（m＞0），利用垂径定理列式求得m，即可求得圆C的方程；（2）当直线AB的斜率为0时，知k AN＝k BN＝0，即k1+k2＝0为定值．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1+ty，联立圆O方程，得到韦达定理，求得k1+k2为定值．解：（1）∵圆C与y轴相切于点T（0，2），可设圆心的坐标为（m，2）（m＞0），则圆C的半径为m，又|MN|＝3，∴，解得m＝，证明：（2）由（1）知M（5，0），N（4，0），当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1+ty，设A（x1，y5），B（x2，y2），则k1+k2＝综上可知，k1+k4＝0为定值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y+4＝0和圆O：x2+y2＝4，P是直线l上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N．（1）若PM⊥PN，求点P坐标；（2）若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，求点P的横坐标的取值范围；（3）设线段MN的中点为Q，l与x轴的交点为T，求线段TQ长的最大值．【分析】（1）若PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，可得P到圆心的距离为，由P在直线x﹣y+4＝0上，设P（x，x+4），利用|OP|＝2，解得x，可得（2）设P（x，x+4），若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，过P作圆的切线PC，PD，可得∠CPD≥600，在直角三角形△CPO中，根据300≤∠CPO＜900，sin ∠CPO＜1，进而得出点P的横坐标的取值范围．（3）设P（x0，x0+4），则以OP为直径的圆的方程为，化简与x2+y2＝4联立，可得MN所在直线方程：x0x+（x0+4）y＝4，与x2+y2＝4联立，化简可得Q的坐标，可得Q点的轨迹为：+＝，圆心C，半径R．由题可知T（﹣4，0），可得|TQ|≤|TC|+R．解：（1）若PM⊥PN，则四边形PMON为正方形，则P到圆心的距离为，故|OP|＝，解得x＝﹣2，（2）设P（x，x+4），若圆O上存在点A，B，使得∠APB＝60°，在直角三角形△CPO中，∵304≤∠CPO＜900，∴sin∠CPO＜4，∴2＜≤6，解得﹣4≤x≤0，（3）设P（x3，x0+4），则以OP为直径的圆的方程为，可得MN所在直线方程：x0x+（x0+7）y＝4，∴Q的坐标为（，），由题可知T（﹣4，0），∴|TC|＝＝．∴线段TQ长的最大值为3．。
浙江省湖州市第二中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
浙江省湖州市第二中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题 1．计算()221i -的结果是（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -2．已知a r ，b r 为单位向量，则“a r ，b r 的夹角为23π”是“a b -=r r 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知事件A ､B 相互独立，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P A B +=（ ） A ．0.58B ．0.9C ．0.7D ．0.724．从3名男老师和4名女老师中任选3名老师，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一名男老师与都是男老师 B ．至少有一名男老师与都是女老师 C ．恰有一名男老师与恰有两名男老师 D ．至少有一名男老师与至少有一名女老师5．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为S 甲和S 乙，侧面积分别为1S 和2S .若2SS=甲乙，则12S S =（ ） ABC．D6．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A ．100πB ．68πC ．52πD ．50π7．某测量爱好者在城市CBD 核心区测量一座国际金融中心摩天大楼时，过国际金融中心摩天大楼底部（当作点Q ）一直线上位于Q 同侧两点A ，B 分别测得摩天大楼顶部点P 的仰角依次为30°，45°，已知AB 的长度为330米，则金融中心的高度约为（ ）A ．350米B ．400米C ．450米D ．500米8．在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，13BF BC =u u u r u u u r，AF 与BE 交于点G ，过点G 的直线分别与射线BA ，BC 交于点M ，N ，BM BA λ=u u u u r u u u r ，BN BC μ=u u ur u u u r ，则2λμ+的最小值为（ ） A ．1B ．87C ．97D ．95二、多选题9．下列关于向量的说法正确的是（ ）A ．若a b r r P ，b c r r∥，则a c r r ∥B ．若单位向量,a b rr 夹角为θ，则向量a r 在向量b r 上的投影向量为cos b θrC ．若a r 与b r 不共线，且0sa tb +=r r r ，那么0s t ==D ．若a c b c ⋅=⋅r r r r 且0c ≠r r ，则a b =r r10．在ABC V 中，下列说法正确的是（ ）A ．若ABC >>，则sin sin sin A B C >> B ．若A B C >>，则sin 2sin 2sin 2A B C >> C ．若A B C >>，则cos cos cos A B C <<D ．若A B C >>，则cos2cos2cos2A B C << 11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，12BC BB ==，,EF 分别为棱11AB,A D 的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．直线CF 与1AB 为相交直线 B ．异面直线1DB 与CE 所成角为90︒C ．若P 是棱11CD 上一点，且11D P =，则E C PF 、、、四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形三、填空题12．若复数()()222i z m m m =--+-为纯虚数，则实数m =.13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为．14．在一次高三年级统一考试中，数学试卷有两道满分均为10分的选做题，学生可以从A ，B 两道题目中任选一题作答，某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名学生的选做题成绩随机编号为001,002,,900L .若采用分层随机抽样，按照学生选择A 题目或B 题目，将成绩分为两层，且样本中选择A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中选择B 题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，则估计该校900名学生的选做题得分的平均数为，方差为.四、解答题15．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，ABC V 的面积为S ，且满足()4tan 0S bc B C +⋅+=．(1)求角A 的大小；(2)若4a =，求ABC V 周长的最大值．16．我国是世界上严重缺水的国家之一，为提倡节约用水，我市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了2021年 100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求全市家庭月均用水量不低于 6t 的频率；(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值；(3)求全市家庭月均用水量的75%分位数的估计值（精确到0.01）.17．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,1AB AA ==，点D 是AB 的中点.(1)证明：1AC ∥平面1CDB ；(2)求异面直线1AC 和BC 所成角的余弦值.18．如图1，在矩形ABCD 中，已知2AB BC ==，E 为AB 的中点.将ADE V 沿DE 向上翻折，进而得到多面体1A BCDE -（如图2）.(1)当平面1A DE ⊥平面BED ，求直线1AC 与平面BCD 所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求二面角1A DC B --的最大值. 19．已知函数()23,f x x a a a =-+∈R . (1)若函数()f x 为偶函数， 求a 的值； (2)设函数()()[]()81,4g x f x x x=-∈，已知当[]2,8a ∈时，()g x 存在最大值，记为()M a . （i ）求()M a 的表达式； （ii ）求()M a 的最大值.。
浙江省金华市东阳市外国语学校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
浙江省金华市东阳市外国语学校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．对于集合,A B ，定义{|A B x x A -=Î，且}x B Ï，下列命题正确的有（ ）A ．若A B A -=，则A B Ç=ÆB ．若A B A È=，则AA B B -=ðC ．若*{N |15}A x x =Î-£<，{|2B x x =£，或3}x >，则{3}A B -=D ．若{|0}A x x =³，{|33}B x x =-££，则()(){|30A B B A x x --=-££U ，或3}x >10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()223x x x f =-+，则下列结【分析】根据集合新定义即{|A B x x A -=Î，且}x B Ï，一一判断各选项，可得答案.【详解】因为{|A B x x A -=Î，且}x B Ï，所以若A B A -=，则A B Ç=Æ，故A 正确，若A B A È=，则B A Í,则A A B B-=ð，故B 正确;*{N |15}{1,2,3,4}A x x =Î-£<=，{|2B x x =£，或3}x >，则{3}A B -=，故C 正确，若{|0}A x x =³，{|33}B x x =-££，则{|3}A B x x -=>，{}|30B A x x -=-£<，()(){|30A B B A x x \--=-£<U 或3}x >，故D 错误.故选：ABC 10．BD【分析】根据给定区间上的函数解析式，结合奇函数的性质，逐项分析判断作答.【详解】当0x >时，()223x x x f =-+，而函数()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，A 错误；当0x <时，22()()[()2()3]23f x f x x x x x =--=----+=---，B 正确；因为2(2)22233(0)f f =-´+=¹，1x =不是()f x 图像的对称轴，C 错误；因为当0x <时，22()(1)x f x -+=-，因此函数()f x 在(),1-¥-上单调递增，D 正确.故选：BD 11．ABD【分析】证明1//BC 平面1ACD 判断A ；证明平面11//A BC 平面1ACD 判断B ；利用1BC DV 判断C ；证明1DB ^平面1ACD 判断D 作答.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，11////AB DC D C ，11AB DC D C ==，即四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ，1AD Ì平面1ACD ，1BC Ë平面1ACD ，则1//BC 平面1ACD ，于是得点P 到平面1ACD 的距离是定值，而1ACD △面积是定值，因此三棱锥1A D PC -的体积不变，A 正确；由选项A 知，1//BC 平面1ACD ，同理11//AC 平面1ACD ，而1111BC AC C Ç=，111,BC AC Ì平面11A BC ，则平面11//A BC 平面1ACD ，而1A P Ì平面11A BC ，即有1//A P 平面1ACD ，B 正确；因11BC BD C D ==，即1BC D V 为正三角形，点P 在1BC 上，则DP 与1BC 不一定垂直，C 不正确；因1BB ^平面ABCD ，AC Ì平面ABCD ，即有1BB AC ^，正方形ABCD 中，BD AC ^，而1BD BB B Ç=，1,BD BB Ì平面1BB D ，则AC ^平面1BB D ，1DB Ì平面1BB D ，于是得1DB AC ^，同理11DB AD ^，又1AD AC A =I ，1,AD AC Ì平面1ACD ，则1DB ^平面1ACD ，而1DB Ì平面1PDB ，因此平面1PDB ^平面1ACD ，D 正确.故选：ABD 12．CD【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.。
2024年苏科新版高一数学下册月考试卷501
2024年苏科新版高一数学下册月考试卷501考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、【题文】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为6 cm，深2 cm的空穴，则该球表面积为( )cm².A.B.C.D.2、【题文】下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ()．A. y＝lg(x＋2)B. y＝－C. y＝xD. y＝x＋3、【题文】已知函数则函数（）的零点个数不可能为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 64、【题文】在直角坐标系中，已知那么线段中点的坐标为（）.A. （2,2）B. （1,1）C. （-2，-2）D. （-1，-1）5、（2015·湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石6、已知函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1， x2∈D（x1≠x2），都有f（）＜则称y=f（x）为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为（）A. y=B. y=C. y=D. y=7、设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={1，2，3，5}，N={2，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是（）A. {1，3}B. {4}C. {3，5}D. {5}评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、的值为____．9、已知则为_______________.10、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，则tanα=____．11、在下列五个命题中；①函数y=sin（-2x）是偶函数；②已知cosα=且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{}；③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；④△ABC中，若cosA＞cosB，则A＜B；⑤函数y=|cos2x+|的周期是把你认为正确的命题的序号都填在横线上____．12、已知集合试用列举法表示集合A=______ ．13、=______ ．14、圆x2+y2-4x+2y-1=0的圆心坐标为 ______ ．评卷人得分三、计算题(共6题，共12分)15、如图，∠1=∠B，AD•AC=5AE，DE=2，那么BC•AD=____．16、相交两圆半径分别是5厘米、3厘米，公共弦长2厘米，那么这两圆的公切线长为____厘米．17、（2008•宁波校级自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=15°，且AE=AD，则∠CDE=____°．18、（2011•苍南县校级自主招生）已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示；则下列式子：ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子共有____个．19、已知A={x|x3+3x2+2x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B={x|x＞﹣2}，求a、b的值．20、计算：0.0081 +（4）2+（）﹣16﹣0.75+2 ．评卷人得分四、作图题(共4题，共24分)21、画出计算1+++ +的程序框图．22、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．23、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h 的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．24、绘制以下算法对应的程序框图：第一步；输入变量x；第二步，根据函数f（x）=对变量y赋值；使y=f（x）；第三步，输出变量y的值．评卷人得分五、解答题(共1题，共7分)25、【题文】已知f(x)＝2x，g(x)＝3－x2，试判断函数y＝f(x)－g(x)的零点个数．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【解析】试题分析：如图；设球心为是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为为小圆的一条直径，设球的半径为则∴中，．根据勾股定理，得即解之得∴该球表面积为故选A．考点：球的截面性质与表面积．【解析】【答案】A2、A【分析】【解析】A中，y＝lg(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数，B、C中函数为减函数，D中在(0，＋∞)上不单调．【解析】【答案】A3、A【分析】【解析】解：因为根据题意作出图象，然后根据新函数F（x）=f(2x2+x)-a的函数表达式可以求解得到，然后令F(x)=0，可知零点的个数不能为3个，选A【解析】【答案】A4、B【分析】【解析】∵∴线段中点的坐标（1,1），故选B【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】设这批米内夹谷的个数为则由题意并结合简单随机抽样可知，既故应选B。
2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一(下)月考数学试卷(含答案)
2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，复数z满足−i⋅z=2+7i，则z=( )A. −7+2iB. −7−2iC. 7+2iD. 7−2i2.已知△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，且A′C′=3，则在△ABC中，AC=( )A. 3B. 32C. 12D. 63.已知复数z1=2−ai，z2=b−1+2i，(a,b∈R,i为虚数单位)，且z1=z2，则( )A. a=−1，b=1B. a=2，b=−3C. a=2，b=3D. a=−2，b=34.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设AB=a，DM=b，则DB=( )A. 2b−aB. a−2bC. 3a−2bD. 3a+2b5.设α、β是两个不重合的平面，则α//β的一个充分条件为( )A. 平面α内有无数个点到平面β的距离相等B. 平面α内有无数条直线与平面β平行C. 两条异面直线同时与平面α，β都平行D. 两条平行直线同时与平面α，β都平行6.在△ABC中，∠A=60°，AB=2，AC=3，点D为边AC上一点，且AC=3AD，则AB⋅BD=( )A. 3B. 2C. −2D. −37.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中.AB=3A1B1=3，AA1=5，则正四棱台ABCD−A1B1C1D1的表面积为( )A. 28B. 26C. 24D. 168.已知a，b，a+b，2b−a均为非零向量，a与a+b的夹角为θ1，b与2b−a的夹角为θ2，满足|a|=|b|，|a +b|cosθ1=|2b−a|cosθ2，则a，b的夹角θ=( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．64m B ．74m C ．52m ．已知锐角ABCV ，23AB =，π3C =，则AB 边上的高的取值范围为（．(]0,3B ．()0,3C ．(]2,3．已知向量a r ，b r ，c r 满足1a =r ，2a b +=r r ，||3a c -=r r ，则16．在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，观察图形知，||||||12b c b c ×££r r r r ，当且仅当点,B C 都在直线OA 上，且,b c r r方向相反，即点B 与D 重合，点C 与E 重合时取等号，即||||12b c b c -×££r r r r ，解得12b c ׳-r r，当且仅当点,B C 都在直线OA 上，且,b c r r方向相同，若点B 与A 重合，点C 与E 重合时，4b c ×=r r，若点B 与D 重合，点C 与F 重合时，6b c ×=r r ，因此6b c ×£r r，所以b c ×r r 的取值范围是126b c -£×£r r .故选：A 8．D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边a ，b ，c 的关系，利用基本不等式求出cos C 的最小值，显然C 为锐角，要使tan C 取最大值，则cos C 取最小值，从而得出sin C 的最大值，即可求出tan C 的最大值．【详解】因为()()2AC AB BC CB CA AB ×-=×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以22AC AB AC BC CB CA CB AB ×-×=×-×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，。
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．设复数满足，则（ ）z ()1i 2z +=z =A B ．1C D ．2【答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设，则.22(1i)1i1i (1i)(1i)z -===-++-1i z =+故选：C2．最接近（ ）sin2023A ．B ．C D 【答案】B【分析】先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案.()sin 137sin2023=-︒︒【详解】，()()0s sin 216137si in2023n 137=︒-︒=-︒︒其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，137-︒αsin 0α<其中，又()sin 135sin 45-︒=-︒=()sin 120sin 60-︒=-︒=而较，离更近，135-︒120-︒137-︒综上，最接近sin2023故选：B3．下列说法正确的是（ ）A ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B ．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】对于A ：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A 错误；对于B ：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B 正确；对于C ：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C 错误；对于D ：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D 错误；故选：B.4．已知都是锐角，且，则（ ）a β、cos a =cos β=a β+=A ．B ．4π34πC ．或D ．或4π34π3π23π【答案】B【分析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．sin a sin βcos()a β+,a βa β+【详解】因为都是锐角，且a β、cos a =cos β=所以sin sin a βcos()cos cos sin sin a a a βββ∴+=-==又()0,a βπ+∈34a β∴+=π故选B.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物MN ，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部AB m C B C N A 的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）M A MA ．64B ．74C ．52D ．91m m m m【答案】B【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从AC 30AMC ∠=︒45MAC ∠=︒ACM △MC =而得到的长度.MN 【详解】因为中，⊥，m ，，Rt ABC △AB BC 37AB =30ACB ∠=︒所以m ，274AC AB ==因为中，⊥，，Rt MNC △NC MN 45MCN ∠=︒所以，sin 45MN MC =⋅︒=由题意得：，45,1804530105MAC MCA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒故，1801054530AMC ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得：，ACM △sin sin MC ACMAC AMC =∠∠即，74sin 45sin 30MC =︒︒故，74sin 45sin 30MC ︒==︒故m74MN ==故选：B6．已知锐角，，则边上的高的取值范围为（ ）ABC AB =π3C =AB A ．B ．C ．D ．(]0,3()0,3(]2,3()2,3【答案】C【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求AB h ππ62A <<π2sin 216h A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭值域即可.【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，ABC π3C =AB h所以，解得π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62A <<由正弦定理可得，，4sin sin sin a b c A B C ====所以，，因为，4sin a A =4sin b B =11πsin223S ch ab ==所以2π14sin sin 4sin sin 32h A A A AA ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2sin 21cos 22sin 216A A A A A A ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，所以，ππ62A <<ππ5π2666A <-<1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以，所以边上的高的取值范围为.π22sin 2136A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭AB (2,3]故选：C.7．已知向量，，满足，，，则的取值范围是（ ）a b c 1a = 2a b += ||3a c -= b c ⋅ A ．B ．C ．D ．[]12,6-[]12,4-[]10,6-[]10,4-【答案】A【分析】利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性||,||b c||||b c 质求解作答.【详解】，，而，即，解得，1a = 2a b += ||||||||||||b a a b b a -≤+≤+ |||1|2||1b b -≤≤+ 1||3b ≤≤ ，而，即，解得||3a c -=||||||||||||c a a c c a -≤-≤+ |||1|3||1c c -≤≤+ 2||4c ≤≤ 在直角坐标平面内，作，令，则，1,OA a OC a==- ,OB b OC c ==1||||2C B a b =+= ，||||3AC c a =-=于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，B 1C C A观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反，||||||12b c b c ⋅≤≤ ,B C OA ,b c即点B 与D 重合，点C 与E 重合时取等号，即，解得，||||12b c b c -⋅≤≤ 12b c ⋅≥- 当且仅当点都在直线上，且方向相同，,B C OA ,b c若点B 与A 重合，点C 与E 重合时，，若点B 与D 重合，点C 与F 重合时，，因4b c ⋅= 6b c ⋅=此，6b c ⋅≤所以的取值范围是.b c ⋅126b c -≤⋅≤ 故选：A8．在中，有，则的最大值是（ ）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- tan CA B C D 【答案】D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，cos C C tan C cos C sin C 即可求出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- 所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，，AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅ 所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅ 又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅==所以，2222222223()()22b c a a b c a c b +-+-++-=即，22223a b c +=，22222221(2)3cos 2236a b a b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥当且仅当即时取等号，36a b b a=b 显然为锐角，要使取最大值，则，此时C tan C cos C sinC =所以，即．sin tan cos C C C===tan C 故选：D ．二、多选题9．若复数（i 为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）20231i z =+A B ．z 的虚部为-1C ．为纯虚数D ．2z 1iz =-【答案】ABC【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定i 1i z =-义依次判断各个选项即可.【详解】，()5052023431i 1i i 1iz =+=+⋅=-对于A ，A 正确；对于B ，由虚部定义知：的虚部为，B 正确；z 1-对于C ，为纯虚数，C 正确；()221i 2iz =-=-对于D ，由共轭复数定义知：，D 错误.1i z =+故选：ABC.10．在正方体中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段上一动点（不含C ）过1AC 1CC M ，N ，P 的正方体的截面记为，则下列判断正确的是（ ）αA ．当P 为中点时，截面为六边形1CC αB ．当时，截面为五边形112CP CC <αC ．当截面为四边形时，它一定是等腰梯形αD ．设中点为Q ，三棱锥的体积为定值1DD Q PMN -【答案】AC【分析】延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交MN AD M 'CD N 'N P '11C D T 11A D S M S '于，连接，结合图形即可判断A ；延长交于，交于，连接1AA P '11,AC A C MN AD M 'CD N '交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断B ；当截面为1N D '1CC P 1M D '1AA P 'α1CPCC α四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可判断C.设为到平面的距离，P 1C 11A MNC h P QMN 三棱锥的体积：，不为定值，可判断D.Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ h 【详解】对A ，如下图所示，延长交于，交于，延长交于，取MN AD M 'CD N 'N P '11C DT 的中点，连接交于，连接，11A D S M S '1AA P '11,AC A C 因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以，//MN AC 同理，又因为，所以，11//ST A C 11//AC A C //ST MN 同理，所以共面，//,//SP PN MP PT '',,,,,S T P N M P '此时六边形为截面，STPNMP 'α所以截面为六边形，故A 正确；α对B ，如下图所示，延长交于，交于，连接交于，MN AD M 'CD N '1N D '1CC P 连接交于，此时截面为五边形，1M D '1AA P 'α因为，所以，11CD C D ∕∕11CPN C PD ' ∽所以，即，11112CP CN C P C D '==113CP CC =所以当时，截面为五边形，故B错误；113CP CC ≤α对C ，当截面为四边形时，点与点重合，如图，αP 1C 由A 得，，所以四边形即为截面，11//MN A C 11A MNC α设正方体的棱长为1，则，1NC =1MA 11NC MA =所以四边形是等腰梯形，故C 正确.11A MNC 对D ，设为到平面的距离，h P QMN 延长，交于一点，连接与交于一点，MN DC E QE 1CC F 所以直线与平面相交，所以直线与平面不平行，1CC QMN 1CC QMN 三棱锥的体积：，Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ 因为为定值，P 为线段上一动点，所以到平面的距离不为定值，QMNS 1CC P QMN 所以三棱锥的体积为不为定值，故D 不正确.Q PMN -故选：AC.11．设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量O A B ()det ,OA OB OA OB'=⋅ OA ' 以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、OA O OA OA 'a 、，下列说法正确的是（ ）b cA ．()()det ,det ,a b b a= B ．对任意，R λ∈()()det ,det ,a b b a bλ+=C ．若、为不共线向量，满足，则，a b(),yb c x a y x +=∈R ()()det ,det ,a c x a b=()()det ,det ,by c b a =D ．()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用A 选项中的结论结合题中定义可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；对、是否共线进行分类讨论，结合a b题中定义可判断D 选项.【详解】设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，a b()12,a a a = ()12,b b b = 设，则，()cos ,sin a r r θθ=()()21ππcos ,sin sin ,cos ,22a r r r r a a θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 同理可得，()21,b b b '=-所以，，()()()21122112det ,,,a b a b a a b b a b a b '=⋅=-⋅=-+，则，A 错；()()()21121221det ,,,b a b a b b a a a b a b '=⋅=-⋅=-+()()det ,det ,a b b a≠ 对任意的，由A 选项可知，，R λ∈0b b '⋅= 当、不共线时，，a b ()1221det ,0a b a b a b =-≠，B 对；()()()()()det ,det ,det ,det ,a b b b a b b a b b a b a a bλλλ''+=-+=-⋅+=-⋅=-=因为，所以，，xa yb c +=c b xa b yb b xa b ''''⋅=⋅+⋅=⋅ 所以，，同理可得，C 错；()()()()det ,det ,det,det ,b c c b c b x a b b a a b '⋅==='⋅()()()()det ,det ,det ,det ,c a a c y b a a b==当、不共线时，由C 选项可知，，a b ()()()()det ,det ,det ,det ,c b a c c a b a b a b =+所以，，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c c b a a c b b c a c a b=+=-- 所以，.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=任取两个向量、，对任意的实数，，m n p ()()()det ,det ,m pn m pn p m n p m n''=⋅=⋅= 当、共线时，设存在使得，且，a b k ∈R b ka = ()det ,0a b = 所以，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b++=⋅+，()()()()det ,det ,det ,det ,0k b c a k c b a k b c a k b c a =+=-=综上所述，，D 对.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.12．假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射(0,π)α∈π2α≠xoy α∠=xoy α-α-坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若21,e e ，则记为，那么下列说法中正确的是（ ）12OP xe ye =+ (,)OP x y = A．设，则(,)a m n = ||a = B ．设，若//，则(,),(,)a m n b s t == a bmt ns -=C ．设，若，则(,),(,)a m n b s t == a b ⊥ ()sin 0ms nt mt ns α+++=D ．设，若与的夹角为，则(1,2),(2,1)a b =-=- ab π3π3α=【答案】ABD【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：，21211,11cos cos e e e e αα==⋅=⨯⨯=对于A ：若，则，(,)a m n =12a me ne =+ 可得，()2222222212112222cos a me ne m e mne e n e m n mn α=+=+⋅+=++所以，故A 正确；||a = 对于B ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 若//，则有：a b 当或时，则或，可得成立；0a = 0b =0m n ==0s t ==0mt ns -=当且时，则存在唯一实数，使得，0a ≠ 0b ≠λa b λ= 则，可得，整理得；()121212me ne se te se te λλλ+=+=+ m s n t λλ=⎧⎨=⎩0mt ns -=综上所述：若//，则，故B 正确；a b 0mt ns -=对于C ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 可得，()()()()2212121122cos me ne se te mse m a b t ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++⋅= 若，则，故C 错误；a b ⊥ ()cos 0ms nt ns a b mt α+++==⋅对于D ：∵，(1,2),(2,1)a b =-=-由选项A 可得：，|||a b ====由选项C 可得：，()()()()12211122cos 45cos a b αα-⨯-+⨯+-⨯+⨯-=-⎡⎤⎣⎦⋅=若与的夹角为，则，a bπ3πcos 3a b a b⋅=⋅即，解得，145cos 254cos αα-=-1cos 2α=∵，则，故D 正确；(0,π)α∈π3α=故选：ABD.三、填空题13．已知，则________.5π2tan 43θ⎛⎫+=-⎪⎝⎭tan θ=【答案】5-【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为，5πtan tan5π4tan()5π41tan tan 4θθθ++=-⋅tan 121tan 3θθ+==--所以.tan 5θ=-故答案为：.5-14．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.a b4a kb - ka b -+ k =【答案】2±【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理a b ()4a a bkb k λ=-+-得到方程组，解得即可.【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,a b a b又向量与共线，所以，即，4a kb - ka b -+ ()4a a b kb k λ=-+- 4k b a kb a λλ-=+- 所以，解得.4k k λλ=-⎧⎨-=⎩2k =±故答案为：2±15．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好116AA =11AA B B过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．1111,,,AC BC A C B C ABC 【答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设的面积为a ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，ABC 侧面水平放置时，水的体积为11AA B B133161244ABC V S AA a a =⋅=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，于是，解得，ABC V S h ah == 12ah a =12h =所以当底面水平放置时，液面高为12.ABC 故答案为：1216．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，ABC 2b =，点P 是的重心，且，则___________.(()cos 24sin 1A B C ++=ABCAP ==a 【答案】【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可3A π=23A π=建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a 即可.c 【详解】，(()cos 24sin 1A B C +++=(212sin 4sin 1A A ∴-+=整理得，(22sin 4sin 0A A -++=解得（舍去），sin A =sin 2A =0A π<< 或.3A π∴=23A π=又∵点P 是的重心，ABC 1,3AP AB AC →→→⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22212||||cos 9AP AB AC AB AC A →→→⎛⎫∴=++⋅ ⎪⎝⎭，||2AP b == 整理得.24cos 240c c A +-=当时，，得，3A π=22240c c +-=4c =此时，214162242a =+-⨯⨯⨯解得；a =当时，，得，23A π=22240c c --=6c =此时，214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得.a =故答案为：【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.四、解答题17．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：(1)求下部四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）cm π【答案】(1)2120cm(2)31344cm【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；（2）根据相关体积公式分析运算.【详解】（1．5cm ==故．()2(816)522120cm 2S +⨯=+⨯=侧（2）V V V V=++球直四棱柱四棱台3441π8420[12816243323⎛⎫=+⨯⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭.3326406721344cm ≈++=18．已知棱长为1的正方体中．1111ABCD A B C D -（1）证明：平面；1//D A 1C BD （2）求三棱锥的体积．111B A B C -【答案】（1）证明见解析；（2）．16【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；11//AD BC （2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且 1111ABCD A B C D -11//B C A D ∴11AB C D =所以四边形为平行四边形11ABC D 11//D A BC ∴又平面，平面，1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 平面；1//D A ∴1C BD （2）由正方体易知，三棱锥的高为，111B A B C -1BB 所以111111111111113326A B C B A B C V S BB -==⨯⨯⨯⨯=⨯=．19．已知的内角，A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且．ABC 3()3sin 2sin sin sin a b C Bc A B --=+(1)求；cos A(2)若的面积为为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的最大值．ABC AD BC AD【答案】(1)13(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；（2）根据面积公式求得，再根据等面积得6bc =11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△AD =解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，3()32a b c ba b c --=+22223c b a bc +-=故.2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===（2）由（1）知，sin A =因为的面积为，ABC 1sin 2bc A =6bc =又因为，1,cos 23A BAD CAD A ∠=∠==所以221cos1sin sin ,sin sin 23A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠=于是11sin sin 22ABC S b AD CADc AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么．1122AD b c⎛⋅⋅+⋅= ⎝所以（当且仅当时等号成立）2AD =≤=b c ==故的最大值为2．AD 20．设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.ABC 1P 2P 3P BC(1)求的值；112AB AP AP AP ⋅+⋅ (2)为线段上一点，若，求实数的值；Q 1AP 19AQ mAB AC=+m (3)在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.P BC PA PC ⋅【答案】(1)26(2)13m =(3)在处时，取得最小值.P 3P PA PC ⋅1-【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解.【详解】（1）∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段，ABC 1P 2P 3P BC ∴()()()112112AB AP AP AP AB AB BP AB BP AB BP ⋅+⋅=⋅+++⋅+ ；2211112264428AB AB BC AB BC AB BC AB AB BC BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）设，13134444AQ AP AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ 又，19AQ mAB AC=+根据平面向量基本定理解得；3111,4943m m λλ==⇒=（3）设，，PC tBC =[]0,1t ∈∴，()()2222168PA PC PC CA PC PC CA PC t BC CA tBC t t⋅=+⋅=+⋅=+⋅=-又，[]0,1t ∈∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题）14t =P 3P PA PC ⋅1-21．如图，某小区有一块空地，其中AB =50，AC =50，∠BAC =90°，小区物业拟在中间挖一ABC 个小池塘，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且.AEF △π4EAF ∠=(1)若EF 的值；BE =(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得AEF △EAB θ∠=θ的面积取得最小值，并求出面积的最小值.AEF △AEF △【答案】(2))12501【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得中，利用正弦定理EAB sin θ=ACF △结合三角恒等变换可求，即可得结果；CF （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到θ,AE AF AEF S△函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得BC ==设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭ππ,42FAC AFC θθ∠=-∠=+在中，由余弦定理，EAB 2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠则，即，(222502501700AE=+-⨯⨯=AE =由正弦定理，可得sin sin BE AE EAB ABE =∠∠sin sin BE ABE EAB AE ⋅∠∠==即，可得πsin 0,4θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭cosθ==在中，ACF △πππsin sin sin cos cos sin 444FAC θθθ⎛⎫∠=-=-= ⎪⎝⎭，πsin sin cos 2AFC θθ⎛⎫∠=+==⎪⎝⎭由正弦定理，可得，sin sin CF ACFAC AFC =∠∠sin sin AC FACCF AFC⋅∠===∠故MN BC BE CF =--==故EF（2）设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭3ππ,42AEB AFC θθ∠=-∠=+由正弦定理，可得，sin sin AB AE AEB ABE =∠∠sin sin AB ABEAE AEB⋅∠===∠在中，由正弦定理，可得，ACF △sin sin AF ACACF AFC =∠∠sin sin AC ACFAF AFC⋅∠===∠故的面积AEF△11sin 22AEF S AE AF EAF =⋅⋅∠=，26251250sin cos cos sin 2cos 21θθθθθ====+++∵，∴，，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 214θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴，当且仅当，即时，等号成)12501AEF S =≥=△πsin 214θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π8θ=立，故面积的最小值.AEF △)1250122．已知函数，其中a 为参数.()()sin cos 3sin 27f x a x x x =+--(1)证明：，；()()π3ππ22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R(2)设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.*N n ∈(),a n ()0f x =()0,πn 【答案】(1)证明见解析；(2).2023)【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答.（2）确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定2023()f x π()0f x =(0,π)个根推理计算作答.【详解】（1）依题意，(π)[|sin(π)||cos(π)|]3sin(22π)7f x a x x x +=+++-+-，(|sin ||cos |)3sin 27()a x x x f x =-+---=，πππ()[|sin()||cos()|]3sin(π2)7222f x a x x x -=-+----(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =+--=3π3π3π()[|sin()||cos()|]3sin(3π2)7222f x a x x x -=-+----，(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =-+----所以.π3π()()(π)()22f x f x f x f x =-=+=-（2）由（1）知，函数是周期函数，周期为，()f x π对于每个正整数,都有，k ππ3π(7,()10,()4244k f a f f =-=-=-若1）得在区间内若有根，则各有偶数个根，7,a a a ≠≠≠()0f x =ππ(0,),(,π)22于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，()0f x =(0,π)n 如果，则，且，7a =()7(|sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--π()02f =当时,，π(0,2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =23740y y -+=于是，当时，方程在内有两个根，1241,3y y ==2y =43()0f x =π(0,)2当时，，π(,π)2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23y +7100y -=于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解，12101,3y y ==-()0f x =π(,π)2()0f x =(0,π)从而方程在区间内有个解，由，得；()0f x =(0,π)n 3141n n n +-=-412023n -=506n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=于是，即只有一个解，121y y ==<π4x =当时，，π(,π)2x ∈()f x x =-cos )3sin 27x x --设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=显然函数在上单调递增，，方程没有属于2()310g y y =+-(1)70g =>()0g y =的根，因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=此方程无解，当时，，π(,π)2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=于是，即只有一个解，121y y ==<3π4x =因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =综上所述满足条件的为.(,)a n 2023)【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.。
江苏省南京师范大学附属实验学校2022-2023高一下学期5月月考数学试卷
2022-2023南京师范大学附属实验学校高一第二学期5月月考卷一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．cos72cos12sin 72sin12(°°+°°= )A ．12−B ．12C ．D 2．设复数z 满足(1)i z i +=，则(z = ) A ．1i −B ．1i +C ．1122i − D ．1122i + 3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3b =，2c =，1cos 3A =，则(a = )A ．5BC ．4D ．34．若(2,1)a =，(1,1)b − ，(2)//()a b a mb ++ ，则m 的值为( )A ．12B ．2C ．2−D ．12−5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为( )A B C ．D ．6．在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成角的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．若a c ⊥，b c ⊥，则//a bB ．若a α⊂，b β⊂，则a b ⊥C ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bD ．若//αβ，a α⊂，则//a β8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为( )A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9．下列说法正确的是( ) A ．圆柱的所有母线长都相等B ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D ．棱台的侧棱延长后必交于一点10的是( ) A ．7tan3π B ．32(sin coscossin)124124ππππ+ C ．1tan151tan15+°−°D ．cos15°° 11．下列命题正确的是( )A ．AB MB BC OM CO AB ++++=B ．已知向量(6,2)a =与(3,)b k − 的夹角是钝角，则k 的取值范围是9k <C ．向量1(2,3)e =− ，213(,)24e =− 能作为平面内所有向量的一组基底 D ．若//a b ，则a 在b 上的投影向量为a12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的是( )A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．//MN 平面ABCDD ．11//MN A B三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．平面向量a与b 的夹角为60°，(2,0)a = ，||1b = ，则|2|a b −= ．14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 是1BC 的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为 ．15．设平面//α平面β，A ，C ∈B ，D β∈，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，8AS =，6BS =，12CS =，则SD = ．16．已知cos()sin 6παα−+，则2cos()3πα+的值是 ．四．解答题（共6小题，共70分）17．m 为何实数时，复数2(2)3(1)2(1)z i m i m i =+−+−−是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos a c B b C −=． （1）求角B ；（2）若7b =，5a =，求sin C 的值．19．已知向量a，b 的夹角为120°，且||2a = ，||1b = ，（1）求a b在上的投影； （2）求|32|a b +．20．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ； （Ⅱ）求证：面1ADC ⊥面11BCC B ．21．如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=°，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：PA BD ⊥；（Ⅱ）设2PD AD ==，求点D 到面PBC 的距离．22．如图，在四棱锥P ABCD −中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点．（1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求三棱锥P ACE −的体积．2022-2023南京师范大学附属实验学校高一第二学期5月月考卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．cos72cos12sin 72sin12(°°+°°= )A ．12−B ．12C ．D 【解答】解：1cos72cos12sin 72sin12cos(7212)cos602°°+°°=°−°=°=． 故选：B ．2．设复数z 满足(1)i z i +=，则(z = )A ．1i −B ．1i +C ．1122i − D ．1122i + 【解答】解：由(1)i z i +=，得(1)111(1)(1)22i i i zi i i i −===+++−， ∴1122z i =−． 故选：C ．3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3b =，2c =，1cos 3A =，则(a = )A ．5BC ．4D ．3【解答】解：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3b =，2c =，1cos 3A =， 则22212cos 9423293a b c bc A =+−=+−×××=，解得3a =． 故选：D ．4．若(2,1)a =，(1,1)b − ，(2)//()a b a mb ++ ，则m 的值为( )A ．12B ．2C ．2−D ．12−【解答】解：(2,1)a =，(1,1)b − ， ∴2(3,3)a b +=，(2,1)a mb m m +=−+， (2)//()a b a mb ++，∴2133m m−+=， 解得12m =． 故选：A ．5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为( )A B C ．D ．【解答】解： 三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，∴直观图的面积是122sin 602×××°，由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系S S =直观图原图∴22 故选：B ．6．在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成角的大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解答】解：如下图所示，连接BD ，11B D ，1D C ， //EF DB ，11//DB D B ，11//EF D B ∴，则异面直线1B C 与EF 所成角为11D B C ∠， 1111D B B C D C == ，即△11B CD 为等边三角形， 1160D B C ∴∠=°．故选：C ．7．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．若a c ⊥，b c ⊥，则//a bB ．若a α⊂，b β⊂，则a b ⊥C ．若//a α，//b β，//αβ，则//a bD ．若//αβ，a α⊂，则//a β【解答】解：对于选项A ：若a c ⊥，b c ⊥，则a 和b 可能是异面直线，故错误． 对于选项B ：若a α⊂，b β⊂，则a 和b 不能判定有垂直和平行的关系，故错误． 对于选项C ：若//a α，//b β，//αβ，则a 和b 可能异面，故错误． 对于选项D ：若//αβ，a α⊂，则//a β，正确． 故选：D ．8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为( )A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【解答】解：由正八面体的性质，每个面均为等边三角形， ∴在一个顶点外的四个角均为3π，故一个顶点的曲率等于22433πππ−×=， 故正八面体的总曲率等于2643ππ×=． 故选：B ．二．多选题（共4小题）9．下列说法正确的是( ) A ．圆柱的所有母线长都相等B ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D ．棱台的侧棱延长后必交于一点【解答】解：对于A ，由圆柱的结构特征可知，圆柱的所有母线长都相等，故A 正确； 对于B ，由棱柱的结构特征可知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B 正确； 对于C ，底面是正多边形，且侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故C 错误； 对于D ，由棱台的定义可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D 正确． 故选：ABD ．10的是( ) A ．7tan3π B ．32(sin coscossin)124124ππππ+ C ．1tan151tan15+°−°D ．cos15°°【解答】解：A ．7tan tan 33ππ==，满足条件．3.2(sincoscossin)2sin()2sin 21241241243B πππππππ+=+==1tan15tan 45tan15.tan(4515)tan 601tan151tan 45tan15C +°°+°==°+°=°=−°−°°，满足条件，1.cos152(cos15)2sin152D °−°=°°=°≠，不满足条件．故选：ABC ．11．下列命题正确的是( )A ．AB MB BC OM CO AB ++++=B ．已知向量(6,2)a =与(3,)b k − 的夹角是钝角，则k 的取值范围是9k <C ．向量1(2,3)e =− ，213(,)24e =− 能作为平面内所有向量的一组基底 D ．若//a b ，则a 在b 上的投影向量为a【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，AB MB BC OM CO AB BC CO OM MB AB ++++=++++=，A 正确；对于B ，向量(6,2)a =与(3,)b k − 的夹角是钝角，则1820a b k ⋅=−+< 且66k ≠−，解可得9k <且1k ≠−，即k 的取值范围为9k <且1k ≠−，B 错误；对于C ，向量1213(2,3),(,)24e e =−=− ，满足124e e = ，两个向量共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，C 错误；对于D ，若//a b ，即a 与b 方向相同或相反，则a 在b 上的投影向量为a，D 正确． 故选：AD ．12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的是( )A ．1MN CC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．//MN 平面ABCDD ．11//MN A B【解答】解：在正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点， 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D −中棱长为2，则(1M ，2，1)，(0N ，1，1)，(0C ，2，0)，1(0C ，2，2)， (1MN − ，1−，0)，1(0CC =，0，2)， 10MN CC ⋅=，1MN CC ∴⊥，故A 正确； (2A ，0，0)，(2AC −，2，0)， 0MN AC ⋅=，MN AC ∴⊥，1AC CC C = ，MN ∴⊥平面11ACC A ，故B 正确；平面ABCD 的法向量(0n =，0，1)，0MN n ⋅= ，又MN ⊂/平面ABCD ，//MN ∴平面ABCD ，故C 正确；1(2A ，0，2)，1(2B ，2，2)，∴11(0A B =，2，0)， MN ∴与11A B 不平行，故D 错误．故选：ABC ．三．填空题（共4小题）13．平面向量a与b 的夹角为60°，(2,0)a = ，||1b = ，则|2|a b − 【解答】解：由(2,0)a =，则||2a =，又||1b = ，向量a与b 的夹角为60°，则12112a b ⋅=××=，则|2|a b −= ，．14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 是1BC 的中点，则直线DE 与平面ABCD【解答】解：过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接DF ．EF BC ⊥ ，1CC BC ⊥1//EF CC ∴，而1CC ⊥平面ABCDEF ∴⊥平面ABCD ，EDF ∴∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角（4分）由题意，得1112EFCC ==．11,2CF CB DF ==∴8分）EF DF ⊥ ，∴tan EF EDF DF ∠=（10分）15．设平面//α平面β，A ，C α∈，B ，D β∈，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，8AS =，6BS =，12CS =，则SD = 9 ． 【解答】 AB ，CD 交于S 点∴三点确定一平面，所以设ASC 平面为n ，于是有n 交α于AC ，交β于DB ， α ，β平行//AC DB ∴ ASC DSB ∴∆∆∽ ∴AS CSSB SD=8AS = ，6BS =，12CS = ∴8126SD=9SD ∴=．故答案为：9．16．已知cos()sin 6παα−+，则2cos()3πα+的值是【解答】解：cos()sin 6πα−+ 11sin sin cos 22αααααα=++=)2)cos()33ππαα−+， 则24cos()35πα+=−， 故答案为：45−．四．解答题（共6小题）17．m 为何实数时，复数2(2)3(1)2(1)z i m i m i =+−+−−是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．【解答】解：复数222(2)3(1)2(1)(232)(32)z i m i m i m m m m i =+−+−−=−−+−+， （1）实数；可得2320m m −+=，解得1m =或2． （2）虚数；可得2320m m −+≠，解得1m ≠且2m ≠．（3）纯虚数可得：22320m m −−=并且2320m m −+≠，解得12m =−．18．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos a c B b C −=． （1）求角B ；（2）若7b =，5a =，求sin C 的值．【解答】解：（1） 在ABC ∆中，由(2)cos cos a c B b C −=，以及正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C −=，2sin cos sin()sin A B B C A ∴=+=， sin 0A ≠ ，1cos 2B ∴=， (0,)B π∈ ， ∴可得3B π=． （2）1cos 2B =， ∴222122a c b ac +−=， 7b = ，5a =，8c ∴=，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b c B C =8sin C=，∴解得sin C =． 19．已知向量a，b 的夹角为120°，且||2a = ，||1b = ， （1）求a b在上的投影； （2）求|32|a b +．【解答】解：（1） 向量a，b 的夹角为120°，且||2a = ，∴a b 在上的投影为1||cos1202()12a ⋅°=−=−（2） 向量a，b 的夹角为120°，且||2a = ，||1b = ， ∴24a =，21b =1||||cos12021()12a b a b ⋅=⋅⋅°=⋅⋅−=−则222|32|941228a b a b a b +=++⋅⋅=∴|32|a b +20．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ； （Ⅱ）求证：面1ADC ⊥面11BCC B ．【解答】（Ⅰ）证明：连结1A C 交1AC 于点E ，则E 是1A C 的中点．…（2分） 连结DE ，D 是BC 的中点，1//DE A B ∴．…（4分） DE ⊂ 面1ADC ，1A B ⊂/面1ADC ， 1//A B ∴面1ADC ．…（6分）（Ⅱ）解：AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥． 1C C ⊥ 面ABC ，1C C AD ∴⊥，AD ∴⊥面11BCC B ，…（8分）1C DC ∴∠就是二面角1C AD C −−的平面角，即160C DC ∠=°．…（9分） AD ⊥ 面11BCC B ，∴面1ADC ⊥面11BCC B ．21．如图，四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=°，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）证明：PA BD ⊥；（Ⅱ）设2PD AD ==，求点D 到面PBC 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为60DAB ∠=°，2AB AD =，由余弦定理得BD =．…（1分）从而222BD AD AB +=，BD AD ∴⊥，…（3分）又由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，可得BD PD ⊥．…（4分） 所以BD ⊥平面PAD ．故PA BD ⊥．…（6分）（Ⅱ）解：作DE PB ⊥，垂足为E ． 已知PD ⊥底面ABCD ，则PD BC ⊥，由（Ⅰ）知BD AD ⊥，又//BC AD ，所以BC BD ⊥． 故BC ⊥平面PBD ，BC DE ⊥． 则DE ⊥平面PBC ．…（8分）由题设知，2PD =，则BD =4PB =，…（10分）根据DE PB PD BD ⋅=⋅，得DE =即点D 到面PBC …（12分）22．如图，在四棱锥P ABCD −中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，//AB DC ，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点． （1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC P ACE −的体积．【解答】（1）证明：PC ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PC BC ∴⊥， 2AB ∴=，有1AD CD ==，AD DC ⊥且ABCD 是直角梯形，∴ACBC ==222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， PC AC C = ，PC ⊂平面PBC ， BC ∴⊥平面PAC ．（2）解：由（1）知BC ⊥平面PAC ，BPC ∴∠即为直线PB 与平面PAC 所成角，∴sin BC BPC PB ∠=，∴PB =，则2PC =， ∴11111((12)2)22323P ACE p ACBV V −−==×××=。
2021-2022学年山东省济南市长清中学高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省济南市长清中学高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的3.2标准差为3；乙队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为．下列说法正确的个1.80.3数为（ ）①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．A ．0B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据平均数、方差的知识，对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.【详解】∵甲队平均数大于乙队的平均数，∴甲队的技术比乙队好，又∵甲队的标准差大于乙队的标准差，∴乙队发挥比甲队稳定，甲队的表现时好时坏，故①②③都对．故选：B【点睛】本题主要考查平均数、方差在实际生活中的应用，属于基础题.2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为（ ）A ．3件都是正品B ．至少有1件次品C ．3件都是次品D ．至少有1件正品【答案】C【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件即可得出结果.【详解】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品.故选：C3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为（ ）A ．12，32B ．12，24C ．22，12D ．12，11【答案】A【分析】根据长方体的体积公式和表面积公式可得正确的选项.【详解】长方体的体积为，表面积为，22312⨯⨯=()222+23+2332⨯⨯⨯=故选：A.4．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能P A 的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）P BA ．B ．C ．D ．116181412【答案】B【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，P A 则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），Ω=（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B ”为事件，则{（下，下，右）}，由古典C C =概型的概率公式可知．()18P C =故选：B ．5．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量与向量的夹角的概率是（ ）(,)m n (1,1)-2πθ>A ．B ．C ．D ．1213712512【答案】D【分析】确定的可能组合数，由题设列举出的可能组合，即可求概率.(,)m n n m <【详解】由题设，向量的可能组合有36种，(,)m n 要使向量与向量的夹角，则，即，(,)m n (1,1)-2πθ>(1,1)(,)0n m n m ⋅-=-<n m <满足条件的情况如下：时，，2m ={1}n ∈时，，3m ={1,2}n ∈时，，4m ={1,2,3}n ∈时，，5m ={1,2,3,4}n ∈时，，6m ={1,2,3,4,5}n ∈综上，共有15种，故向量与向量的夹角的概率是.(,)m n (1,1)-2πθ>1553612=故选：D6．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）A ．10B ．09C ．71D ．20【答案】B【分析】按照题意依次读出前4个数即可.【详解】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B7．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为A ．85，85，85B ．87，85，86C ．87，85，85D ．87，85，90【答案】C【详解】由题意可知，学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数，成绩排列为75,80,85,85,85,85，90,90,95,100，可得众数为1009590285480758710++⨯+⨯++=85，中位数，因此选C8585852+=8．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（ ）A B ．C ．4D ．【答案】A【分析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.【详解】如图，，，，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则所以直观2OA =1OC =45COA ∠=︒CD =图是底为2､的平行四边形.OABC故选：A.二、多选题9．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（ ）A ．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则1x 2x 12x x >B ．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则12s 22s 2212s s >C ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D ．甲成绩比乙成绩稳定【答案】ACD【分析】根据折线图中的数据，结合平均数的求法、方差的求法及其意义、极差的概念，应用数形结合的方法即可判断各项的正误.【详解】由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都高于乙同学，知，12x x >A 正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故，所以B 错误，D 正确；极差为数据样本的最大值2212s s >与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以C 正确.故选：ACD ．10．一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，1x 2x n x 131x -231x -31n x -下列说法正确的是（ ）A ．平均数是3B ．平均数是8C ．方差是11D ．方差是36【答案】BD【分析】利用平均数和方差的线性关系直接求解.【详解】设：，，，…，的平均数为，方差为，则，.1x 2x 3x n x x 2s 3x =24s =所以，，…，的平均数为，131x -231x -31n x -313318x -=⨯-=方差为.22233436s =⨯= 故选：BD.11．如图，是水平放置的的直观图，A B C ''' ABC 2,A B A C B C ''=''=''=中，有（ ）ABCA ．B ．AC BC =2AB =C ．D ．AC =ABC S =△【答案】BD【分析】将直观图还原为原平面图形即可求解.A B C ''' ABC 【详解】解：在直观图中，过作于A B C ''' C 'C D A B ''''⊥D ¢2,A B A C B C ''=''=''=，∴1,2A D C D ''''===又，所以，，，45C O D '''∠=2O D ''=1O A ''=O C ''=所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图A B C ''' ABC，故选项B 正确；1,2OC OA AB ===又A 、C 错误；AC AC ====D 正确；11222ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯= 故选：BD.12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，1412下列结论正确的是（ ）A ．2个球都是红球的概率为B ．2个球中恰有一个红球的概率为1812C ．至少有1个红球的概率为D ．2个球不都是红球的概率为3878【答案】ABD【分析】A 选项直接乘法公式计算；B 选项分甲袋红球和乙袋红球两种情况；C 、D 选项先计算对立事件概率.【详解】对于A ，，正确；对于B ，，正确；对于C ，111428P =⨯=1131142422P =⨯+⨯=，错误；对于D ，，正确.3151428P =-⨯=1171428P =-⨯=故选：ABD.三、填空题13．同时抛三枚均匀的硬币，则事件“恰有2个正面朝上”的概率为________.【答案】##380.375【分析】由古典概型的概率公式求解，【详解】设正面为1，反面为0，则同时抛三枚均匀的硬币的结果有000，001，010，011，100，101，110，111共8种，其中恰有2个正面朝上的结果有3种，故所求概率为 38故答案为：3814．某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：，则其百7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.950分位数为________．【答案】8.5【分析】由题意，数据按照从小到大的顺序排列，分析得百分位数即为这组数据的中位数，所50以找第个数据.48.5【详解】由题意可知，共有个数据并且已经按照从小到大的顺序排列，其百分位数即为这组数750据的中位数，所以其百分位数是第个数据为.5048.5故答案为：8.515．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 ____________钱．（所得结果四舍五入，保留整数）【答案】17【分析】利用分层抽样找到丙所带钱数占三人所带钱总数的比例即可.【详解】依照钱的多少按比例出钱，则丙应出:钱.18056100=1617560+350+180109⨯≈故答案为：1716．在三棱锥中，点Р在底面ABC 内的射影为Q ，若，则点Q 定是-P ABC PA PB PC ==的______心．ABC 【答案】外【分析】由可得，故是的外心.PA PB PC ==QA QB QC ==Q ABC 【详解】解：如图，∵点在底面ABC 内的射影为,∴平面P Q PQ ⊥ABC 又∵平面、平面、平面，QA ⊂ABC QB ⊂ABC QC ⊂ABC∴、、.PQ QA ⊥PQ QB ⊥PQ QC ⊥在和中，,∴，∴Rt PQA Rt PQB PA PB PQ PQ =⎧⎨=⎩PQA PQB ≅ QA QB =同理可得：,故QA QC =QA QB QC ==故是的外心.Q ABC 故答案为：外.四、解答题17．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．（1）共有多少个样本点？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？【答案】（1）10个；（2） .310【分析】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，即可枚举出基本事件；（2）根据古典概型公式即可得到结果.【详解】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10个样本点；（2）上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A )，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P (A )＝.310故摸出2只球都是白球的概率为.31018．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡墙（dǎo ），周四丈八尺，高一丈一尺，文积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少立方尺？（注：，1丈=10尺）3π≈【答案】(立方尺)2112【分析】根据圆柱底面周长求出城堡的底面半径，结合圆柱的体积公式计算即可.【详解】设圆柱形城堡的底面圆半径为，r 则，解得尺，248r π=4882r π==又城堡的高尺，11h =所以它的体积立方尺．211642112V r h ππ==⨯=19．国家射箭女队的某优秀队员射箭一次，击中环数的概率统计如表：命中环数10环9环8环7环概率0.300.320.200.10若该射箭队员射箭一次.求：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少射中8环的概率.【答案】(1)0.62(2)0.82【分析】由事件间的关系结合互斥事件概率加法公式即可计算所求事件概率.【详解】（1）设射中9环或10环的概率为，则；1P 10.300.320.62P =+=（2）设至少射中8环的概率为，则.2P 20.300.320.200.82P =++=20．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.【答案】80+【解析】首先求出四棱台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.【详解】如图，在四棱台中，1111ABCD A B C D -过作，垂足为，1B 1B F BC ⊥F 在中，，，1Rt B FB 1(84)22BF =⨯-=18B B =故，1B F ==所以111(84)2BB C C S =⨯+⨯=梯形故四棱台的侧面积，4S =⨯=侧所以四棱台的表面积448880S =⨯+⨯=+表【点睛】本题考查了四棱台的表面积，属于基础题.21．某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85.（1）求，的值；x y （2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是乙班参赛.【答案】（1），；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．9x =5y =【分析】（1）利用茎叶图，根据甲班7名学生成绩的平均分是85，乙班7名学生成绩的中位数是85．先求出，，x y （2）求出乙班平均分，再求出甲班7名学生成绩方差和乙班名学生成绩的方差，由此能求出结果．【详解】解：（1）甲班的平均分为：；1(75788080859296)857x +++++++=解得，9x =乙班7名学生成绩的中位数是85，，5y ∴=（2）乙班平均分为：；1(75808085909095)857++++++=甲班7名学生成绩方差，2222222211360(107540711)77S =++++++=乙班名学生成绩的方差，2222222221300(105505510)77S =++++++=两个班平均分相同，，2221S S <乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．∴【点睛】本题考查茎叶图的应用，解题时要认真审题，属于基础题．22．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：kg（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)【答案】（1）众数为为85，平均数为；（2）每天应该进98千克苹果.89.75【分析】（1）在图中找最高的矩形对应的值即为众数，利用平均数公式求平均数；（2）由题意分析需要找概率为0.8对应的数，类比在频率分布直方图中找中位数的方法即可求解.【详解】（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，[)80,90平均数为：()650.0025750.01850.04950.0351050.011150.002510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯89.75.=（2）日销售量[60，90)的频率为，日销量[60，100)的频率为，0.5250.8<0.8750.8>故所求的量位于[)90,100.由得0.80.0250.10.40.275,---=0.2759098,0.035+≈故每天应该进98千克苹果.【点睛】从频率分布直方图可以估计出的几个数据：(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．。
2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一(下)月考数学试卷(5月份)+答案解析
2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，复数z满足，则()A. B. C. D.2.已知的直观图如图所示，轴，轴，且，则在中，()A.3B.C.12D.63.已知复数，，为虚数单位，且，则()A.，B.，C.，D.，4.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则()A. B. C. D.5.设、是两个不重合的平面，则的一个充分条件为()A.平面内有无数个点到平面的距离相等B.平面内有无数条直线与平面平行C.两条异面直线同时与平面，都平行D.两条平行直线同时与平面，都平行6.在中，，，，点D为边AC上一点，且，则()A.3B.2C.D.7.如图，在正四棱台中，，则正四棱台的表面积为()A.28B.26C.24D.168.已知，，，均为非零向量，与的夹角为，与的夹角为，满足，，则，的夹角()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知i为虚数单位，复数，，则下列说法正确的是()A.B.的共轭复数为C.的虚部为D.在复平面内，复数对应的点位于第二象限10.已知正方体的棱长为2，点P为正方形内包括边一动点，则下列说法正确的是()A.对于任意点P，均有平面平面B.当点P在线段上时，平面与平面所成二面角的大小为C.当点P在线䝘上时，D.当点P为线段的中点时，三棱锥的体积为11.已知两个非零的平面向量与，定义新运算，，则下列说法正确的是()A.B.对于任意与不共线的非零向量，都有C.对于任意的非零实数t，都有D.若，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量与单位向量的方向相同，则______.13.已知圆柱的底面半径为2，高为点O为线段不含端点上一动点.以该圆柱的上、下底面为底面，O为顶点挖去两个圆锥与，则剩下的几何体的体积与圆柱的体积之比为______. 14.如图，已知山体AB与山体CD的底部在同一水平面上，且两个山体的高线AB与CD均与水平面垂直，，在山体CD的最高点D处测得山顶B的仰角为，测得山底A的俯角为，则______四、解答题：本题共5小题，共77分。
湖北省浠水县第一中学高一理科平行班5月月考数学试卷
浠水一中2012年高一年级五月诊断性考试数学试卷（理科）命题人:商记学 审题人：方宇一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC ∆中，已知60,6,4=∠==B b a ，则A sin 的值为A ．3B ．2C ．3D ．22.已知}{n a 是等差数列，且4811852=+++a a a a ，则=+76a a A ．12 B ．16 C ．20 D ．243.已知等比数列}{n a 的公比31-=q ，则86427531a a a a a a a a ++++++等于A.13-B.3-C.13 D.3 4.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 5.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3256=a a ，则=911S S A ．32 B ．2722 C ．278 D ．9116.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④ 7．在ABC ∆中，120,30,6=∠=∠=C B a ，则ABC ∆的面积是 A ．9 B ．18 C ．39 D ．3188.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为9.等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和是 A.130 B.170 C.210 D.26010.设212121,1,1000,x x x x >>=则1213lg lg x x +的最小值为 A．4 CD ．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11.在等比数列}{n a 中，已知1a 和10a 是方程06232=-+x x的两根，则=⋅74a a12.在ABC ∆中，4,13,3===AC BC AB ，则边AC 上的高为 13.两点)3,2(),4,1(-B A 分别在直线0=--a y x 的两侧，则a 的取值范围是正视图 俯视图A B C D14.球内接正方体的表面积为54平方单位，则球的体积为 立方单位 15.ABC Rt ∆的斜边AB 在平面α内，AC 和BC 分别与平面α成30和45角，CD 是斜边AB 上的高，则CD 与平面α所成的角为三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本题满分12分）圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱的底面内，并且底面是正三角形，底面直径与母线长相等，如果圆柱的体积为V. （Ⅰ）求三棱柱的体积; （Ⅱ）求三棱柱的表面积. 17．（本题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，若4cos , 2.5B b ==（Ⅰ）当5,3a =求角A 的度数;（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值。
河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题+PDF版含答案
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
值作代表）．
第 3页（共 4页）
18．已知圆 C 经过点 A（2，﹣1），和直线 x+y﹣1＝0 相切，且圆心在直线 y＝﹣2x 上． （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 l 经过（2，0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
19．已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形，平面 PBC⊥平面 ABCD，点 E 在 AD 上，AD⊥平面 PEC． （1）求证：PC⊥平面 ABCD； （2）若 AE＝2ED，在线段 PB 上是否存在一点 F，使得 AF∥平面 PEC，请说明理由．
22．已知函数
．
（1）求函数 f（x）在区间
上的值域；
（2）求函数 f（ωx）（ω＞0）图象上的所有点向右平移 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来
的 倍（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，若
河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为______．
( ) 15．已知向量
r a
=
(1,
0)
，
r b
=
rr 3,1 ，则 b 在 a 方向上的投影向量坐标为______．
16．已知正方体 ABCD - A¢B¢C¢D¢ 的棱长为 1，点 P 在该正方体的表面 A¢B¢C¢D¢ 上运动， 且 PA = 2 则点 P 的轨迹长度是________．
河北省邯郸市大名县第一中学 2022-2023 学年高一下学期
5 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．复数1- 2i 的虚部为（ ）
A．1
B． -2i
C．2i
D． -2
2．用斜二测法画边长是 4 的正方形直观图，则所得直观图的面积是（ ）
，求角
B．
(2)在 VABC 中，若 A = 105° ， C = 30° ， b = 2 2 ，求边 c． 20．如图，在直三棱柱 ABC -A1B1C1 中， AC = 4 ， BC = 3 ， AB = 5 ．
(1)求证： AC ^ BC1 ； (2)设 AC1 与底面 ABC 所成角的大小为 60° ，求三棱锥 C - ABC1 的体积． 21．如图，在 VABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a ， b ， c ，过点 A 作 AD ^ AB ，交
A． 4 2
B．8
3．下列结论中，确的是（ ）
A．零向量只有大小，没有方向
C．8 2
D．16
B．若
uuur uuur AB//CD
，
安徽省六安市独山中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷
安徽省六安市独山中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷一、单选题1．已知等边三角形ABC V ，则AB 与BC的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．30︒D ．60-︒2．若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限3．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 4αβ-=，则cos()αβ+的值为（）A ．516-B ．516C ．2732-D ．27324．一台“傻瓜”计算器只会做以下运算：1减去输入的数并将得到的差取倒数，然后将输出的结果再次输入这台“傻瓜”计算器，如此不断地的进行下去．若第一次输入的是2cos α，则第2022次输出的是（）A ．2tan α-B ．2cot α-C ．2cos αD ．21sin α5．下列命题：①若a b = ，则a b =；②若a b = ，b c =，则a c = ；③a b =的充要条件是a b = 且//a b r r ；④若//a b r r ，//b c，则//a c r r ；⑤若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则（）A ．()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()223x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．()26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．已知,αβ为锐角，4cos 5α=，()1 tan 3αβ－=-，则cos β的值为()A ．50B C ．－1010D ．508．已知()()tan 2tan tan αβαβ+=+，且tan tan 0αβ+≠，()3cos 5αβ-=，则()cos 22αβ+=（）A ．725-B ．725C ．2325-D ．2325二、多选题9．已知角α的终边在第一象限，那么角3α的终边可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，12PT AT =，则（）A ．0AP SE RQ ++=B ．QC SD QD RS +=+C ．512AT += D ．CQ TP=11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,2π内恰有4个零点，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在()0,2π内有两处取到最小值B ．()f x 在()0,2π内有3处取到最大值C ．11763ω<≤D ．()f x 在0,11π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增三、填空题12．若平面向量a ，b 满足6a = ，4b = ，a 与b 的夹角为60︒，则()a ab ⋅-=．13．已知sin cos 2θθ+=，则1tan tan θθ+=．14．若7sin 714πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 14πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．四、解答题15．（1）若3π2π2α<<，化简：()sin πα⎫⎪⎪-⋅⎪⎪⎝⎭；（2）若πcos 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭22π7πcos cos 36αα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．16．已知()sin()cos f x x a x ϕ=++，其中π||2ϕ<．(1)若π222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求ϕ的值；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求()f x 的单调递增区间．条件①：π3a ϕ=-；条件②：π1,6a ϕ=-=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．已知22sin(3)cos(5)()3cos sin 22f παπααππαα-+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）化简()f α，并求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若tan 3α=，求()f α的值；（3）若12()25f α=，(0,)απ∈，求sin cos αα-的值.18．已知函数()1πcos 223⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x (1)填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[]0,π上的图象；π23x +π37π3x 0π()f x (2)将()y f x =的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移π4个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称中心．19．已知函数()πsin cos 4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期；(2)若5π122414f θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos θ的值.。
2021-2022学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一下学期5月月考数学试题(解析版)
即 且 ，解得 且 ，故C错误；
对于D：若 ， 的夹角为 ，则 ，（ ）
整理得 ，显然当 时，上式不成立，故D错误；
故选：AB
10.若复数 ，则下列正确的是（）
A.当 或 时，z为实数
B.若z为纯虚数，则 或
C.若复数z对应的点位于第二象限，则
D.若复数z对应的点位于直线 上，则
（1）若 ，且 ，求 ；
（2）若对 ， 恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式及二倍角正余弦公式等三角恒等变换可得 ，根据已知有 ，再由平方关系求 ，根据 及和角余弦公式求值.
（2）由（1）及已知，令 并将问题化为 恒成立，即可求范围.
【小问1详解】
所以，数 的取值范围为 .
故选：D
二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分）
9.已知平面向量 ， ，则正确的有（）
A.若 ，则
B.若 ，则 在 方向上的投影向量是
C.若 与 夹角为锐角，则 的取值范围为
D.若 ， 的夹角为 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A：根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
而 表示圆 上任意一点到（0，1）的距离.
由几何法可知： 的最小值为（0，1）到圆心（-4，-2）减去圆的半径，即为 .
故选：A
6.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合已知条件，比较 和 的大小，进而可得到 和 的大小，然后利用介值比较 与 的大小，利用介值 和对数函数性质可得 和 的大小，进而得出答案.
江苏省扬州市新华中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
江苏省扬州市新华中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．64m B．74m C．52m D．91m四、解答题15．已知向量()()()1,2,2,1,3,OA OB OC m =-==uuu r uuu r uuu r .(1)若向量//OA OC uuu r uuu r ，求向量AB uuu r 与向量OC uuu r 的夹角的大小；(2)若向量OB OC ^u u u r u u u r ，求向量AB uuu r 在向量OC uuu r 上投影向量的坐标.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，1CC 的中点．(1)证明：直线DE ∥平面11AB C ；(2)若AB BC ^，12AB BC BB ===，求1A BDE -的体积．17．在ABC V 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A a c -=--.(1)求B；故答案为：1:314．5π【分析】根据题意求得而利用侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球的性因为D为AB的中点，所以DF ∥1BB ，且又直三棱柱111ABC A B C -，E为1CC 的中点，所以所以DF ∥1EC ，且1DF EC =，所以四边形又DE Ë平面111,AB C FC Ì平面11AB C ，所以直线又由//BC AE 且BC AE =，所以四边形BCEA 为平行四边形，则//AB EC ，所以BD AB ^， 又,PA AB A Ç= ,PA AB Ì平面PAB ，所以BD ^平面PAB ，由BD Ì平面PBD ，所以平面PBD ^平面PAB ；（2）由PA ^平面ABCD ，CD Ì平面ABCD ，所以PA CD ^，又CD AD ^，,PA AD A =I ,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又PD Ì平面PAD ，所以CD PD ^，故PDA Ð为二面角P CD A --的平面角，即45PDA °Ð=， 在Rt PAD △中，2PA AD ==，作AM PB ^，垂足为M ，由（1）知，平面PBD ^平面PAB ，平面PBD I 平面PAB PB =，AM Ì平面PAB ，所以AM ^平面PBD ，则PM 为直线AP 在平面PBD 上的投影，所以APM Ð为直线AP 与平面PBD 所成的角，又因为函数()()10lg u x y h x =+的最大值为10，所以()()1,1u x h x ==同时取得最大值1，所以*022π,N k k j =Î，所以*0π,N k k j =Î，所以满足条件的0j 的最小值为π．【点睛】关键点点睛：根据()()1,1u x h x ££，可得()()10lg 10u x y h x =+£，当且仅当()()1,1u x h x ==时取等号，是解决第三问的关键.答案第161页，共22页。
天津市宁河区芦台第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
天津市宁河区芦台第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________14．在ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若cos cos b a C c B =+，且1CA CB ×=uuu r uuu r，2,c = 则ABC V 的面积为_______．(2)求三棱锥P BDF -的体积.18．自2020年开始天津市实施高考综合改革，新高考规定：新高考不再分文理科，采用“33+”模式，语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试中选取3个作为选考科目.2022年春季新冠病毒突袭津城，受疫情影响，天津市春季学期展开了线上和线下混合式教学模式的教学工作.在线上教学期间，为了了解高一学生选科意向，某校对学生所选科目进行检测，下面是100名学生物理、化学、生物三科总分成绩，以20为组距分成7组：[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300，画出频率分布直方图，如图所示.(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)为了进一步了解选科情况，在物理、化学、生物三科总分成绩在[)220,240和[)260,280的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生.①求应从[)220,240和[)260,280的两组学生中分别抽取人数；②从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）；③设事件A =“抽取的这两名学生来自不同组”，写出事件A 的样本点，并求出事件A 的概率.19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CC ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且12BC DC DB AA ====，E 是BC 的中点.(1)求证：1BD ∥平面1DEC ；(2)求证：平面1DEC ^平面11B BCC ；(3)求直线1CC 与平面1DEC 所成角的正弦值.因为,E F 是1AA 和1CC 的中点，所以QF BC ∥，=QF BC ，且BC AD ∥，=BC AD ，所以QF AD ∥，且=QF AD ，所以四边形AQFD 为平行四边形，所以AQ DF ∥，且=AQ DF ，因为1AE B Q ∥，且1=AE B Q ，所以四边形1AEB Q 为平行四边形，所以1AQ EB ∥，且1=AQ EB ，所以1EB DF ∥，1EB Ë平面BDF ，DF Ì平面BDF ，所以1EB P 平面BDF ，1111EB B D B Ç=，1EB Ì平面11B D E ，11B D Ì平面11B D E ，所以平面11B D E P 平面BDF ，EP Ì平面11B D E ，所以EP P 平面BDF ，（2）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以点F 到平面11BB D D 的距离与点C 到平面11BB D D 的距离相等，∵OE在平面C1DE内，D1B⊄平面C1DE.直线BD1∥平面C1DE.（2）∵BC＝DC＝DB＝AA1＝2，E是BC的中点. ∴DE⊥BC,∵CC1⊥平面ABCD且DE在平面ABCD内,∴CC1⊥DE,∵CC1在平面B1BCC1内，CB在平面B1BCC1中且CC1∩BC＝C ∴DE⊥平面B1BCC1,∵DE在平面DEC1内∴平面DEC1⊥B1BCC1（3）平面DEC1⊥B1BCC1且交线为C1E，CP⊆平面B1BCC1在平面B1BCC1内做CP⊥C1E,∴CP⊥平面DEC1,。
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高一下学期数学 5 月月考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)
1. （2 分） 函数 f（x）=
是（ ）
A . 偶函数，在（0，+∞）是增函数
B . 奇函数，在（0，+∞）是增函数
C . 偶函数，在（0，+∞）是减函数
D . 奇函数，在（0，+∞）是减函数
2. （2 分） 在 ABC 中，
,则 ABC 一定是（ ）
A . 正三角形
B . 等腰三角形
C . 锐角三角形
D . 钝角三角形
3. （2 分） (2018·重庆模拟) “
”是“
”的（ ）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
4. （2 分） 已知公差不为零的等差数列 与公比为 q 的等比数列 成等比， ， ， 成等差，则 =（ ）
有相同的首项，同时满足 ， ，
A.
第1页共8页
B. C. D.
二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)
5.（1 分）(2019 高一上·阜阳月考) 弧长为 ，圆心角为 弧度的扇形，其面积为 ，则 6. （1 分） 终边在 x 轴上的角的集合 1
________.
7. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 已知点 ________.
在角 的终边上，且
，则
8. （1 分） 若 tanθ= ，sinθ＜0，则 cosθ=________． 9.（1 分）设{an}是公差不为 0 的等差数列，a1=2 且 a1 ，a3 ，a6 成等比数列，则{an}的前 a 项和 sn=________．
10. （1 分） (2019 高一下·中山月考) 将函数
图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，再将
所得函数的图象向右平移 个单位，所得函数的图象的解析式为________.
11. （1 分） (2017·黑龙江模拟) 在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 ________．
12. （1 分） (2019 高二下·上海月考) 如图是正四面体的平面展开图， 、 、 分别为 ， ，
的中点，则在这个正四面体中，
与 所成角的大小为________.（结果用反三角函数值表示）
第2页共8页
13.（1 分）(2018 高一上·台州期末) 已知 恒成立，则 的取值范围为________.
，关于 的不等式
14. （1 分） (2018 高一下·宜宾期末) 若互不相等的实数 则 ________．
成等差数列，
在
上
成等比数列，且
15. （1 分） (2019 高一下·吉林月考) 已知等比数列 满足
，
，设数列 的
前 项和为 ，则
的最大值是________.
16. （1 分） (2017 高二下·故城期末) 三名志愿者被分配到 4 个单位参加“关于二胎”的问卷调研，若一个 单位有 2 个人去调研，另一个单位有 1 个人去调研，则不同的分配方法有________种．
三、 解答题 (共 5 题；共 60 分)
17. （10 分） (2018 高一下·东莞期末) 函数
．
（1） 请把函数 期；
的表达式化成
的形式，并求
的最小正周
（2） 求函数
在
时的值域．
18. （10 分） (2019 高一下·佛山月考) 已知
（1） 求
的对称轴方程；
，函数
．
（2） 若对任意实数
，不等式
恒成立，求实数 的取值范围．
19. （ 10 分 ） (2019 高 三 上 · 清 远 期 末 ) 在 .
中，角
的对边分别为
（1） 求角 的大小；
，且
（2） 已知
外接圆半径
,且
,求
的周长.
第3页共8页
20. （15 分） (2018 高一下·芜湖期末) 在等差数列 中，
，
.
（1） 设数列 的前 项和为 ，求 的最大值及使得 最大的序号 的值；
（2） 设
（）
， 为数列 的前 项之和，求 .
21. （15 分） (2017 高一下·玉田期中) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 已知 S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ．
（1） 求通项公式 an；
（2） 求数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和．
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一、 单选题 (共 4 题；共 8 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、
二、 填空题 (共 12 题；共 12 分)
5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、
参考答案
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15-1、 16-1、
三、 解答题 (共 5 题；共 60 分)
17-1、答案：略 17-2、答案：略
18-1、
18-2、
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19-1、 19-2、 20-1、 20-2、
第7页共8页
21-1、 21-2、
第8页共8页
。