易错汇总北京市海淀区高二第一学期数学期末试卷(理科)及解析
2015-2016年北京市海淀区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=14．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．16．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．08．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=1【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．1【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．0【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A．8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos∠APB=﹣．故选：C．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，∴a+2b﹣2=0，∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||==．∴线段B1P的长度的最大值为3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为6．【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC是直角三角形；（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，（1分）因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，（2分）因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．（3分）因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（4分）（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），（6分），，（7分）因为，所以，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，（6分）所以AB⊥A1D．（7分）因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，（10分）所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．（12分）设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．（14分）19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，则椭圆G的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
北京市海淀区高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x（B ）12y （C ）12x （D ）12y（3）在四面体OABC 中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c （B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α”是“直线m α，l m ”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ） （A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变【答案】B二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)a ，(4,2,)x b .若a b ，则x.【答案】103【解析】 试题分析：因为ab ，所以241230a b x ，解得103x。
考点：两空间向量垂直的数量积公式。
（10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO .【答案】32或1 【解析】试题分析：由抛物线方程可知(1,0)F ，则1OF =。
北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）学校：班级：姓名：成绩：本试卷共100分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A2.）A3.( )A4.鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A5.．．．是（）A.C.6.）A7.）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8.）A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.的倾斜角为，经过点为．10.所截得的弦长为．11.个点可以是．（只需写出一组）12.13.从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为 .14.的两条对称轴方程；上的两个点的坐标；上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（I（II.16.的中点.（I（II17..（I证明．．；（II（III度，如果不存在，请说明理由.18..点（I（II（III.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5:DBBCD 6、7、8、：ACB二、填空题14.说明：9题每空2分，14题中①②空各给1分，③给2分三、解答题15.解：（I（II16.解：（I（II=AD D⊥平面PAD17.解：法一：向量法（I. 证明如下：.(3,0,0)OG O=FD ⊥平面EGO（II）由（I（III法二：（I）证明如下：=OG O⊥平面EGO（III=DC HBC平面EOG//18.（I（II（III。
2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（ ） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（ ）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（ ）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（ ）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
北京海淀高二上期末数学理(含解析)
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科) 2014．01一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线22y x =的准线方程是（ ）． A ．12x = B ．12y = C ．12x =- D ．12y =-2．若直线10x ay ++=与直线230x y ++=平行，则实数a =（ ）．A ．12-B ．2-C ．12 D ．23．在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点．设OA =uu r a ，OB =uu u r b ，OC =uuu r c ，那么向量AP uu u r用基底{,,}a b c 可表示为（ ）．A ．111222-++a b cB ．1122-++a b cC ．1122++a b cD ．111222++a b c4．已知直线l ，平面α．则“l α⊥”是“∃直线m α⊂，l m ⊥”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(1,)+∞ B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(0,1)6．已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线，那么 （ ）．A ．p q ∧是真命题B ．()p q ∧⌝是真命题C ．()p q ⌝∨是真命题D ．p q ∨是假命题7．若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ）． A ．42 B ．4 C ．22 D ．28．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ）． A ．存在点E ，使得11AC ∥平面1BED F B ．存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F C ．对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED FOABCP F ED 1C 1B 1A 1DCBAD ．对于任意的点E ，四棱锥11B BEDF -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．9．在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b ．若⊥a b ，则x =__________．10．过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是__________．11．已知抛物线:C 24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点．若OPF △是等腰三角形，则PO =__________．12．已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为__________．13．如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是__________．14．曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF 的最小值为2(21)-．其中，所有正确结论的序号是__________．三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点() 4,0A ，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥． （Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程．PD 1C 1B 1A 1DBCA16．（本小题共11分）已知椭圆:C 22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程．17．（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且3PC =． （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30o ？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．AB CDP18．（本小题共12分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：121,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2(0,1)P ，312,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，421,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，5(1,1)P ． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，,B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC △的外部，且ABC △为直角三角形，求ABC △面积的最大值．海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 2014．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CDBADBCB二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9．103 10．10y -= 11．32或1 12．3 13．3314．①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y =uuu r ，(4,)NA y =-uur ．……………………2分因为 直线MO NA ⊥，所以240OM NA x y ⋅=-=uuu r uur，即24y x =． ………………………4分 所以动点M 的轨迹C 的方程为24y x =()0x ≠． ………………………5分 （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，因为 MO NA ⊥，所以π3NAO ∠=． 所以 直线AN 的倾斜角为π3或2π3．当直线AN 的倾斜角为π3时，直线NA 的方程为3430x y --=； ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时，直线NA 的方程为3430x y +-=． …………10分16．（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y +=． 由方程可知：212a =，24b =，2228c a b =-=，22c =． ……………………3分 所以 椭圆C 的焦点坐标为(0,22)，(0,22)-，长轴长2a 为43．……………5分 （Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，可得：220x x --=．解得：2x =或1x =-．所以点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--． ………………………7分所以,A B 中点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，22||(21)(03)32AB =+++=． ……………9分所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为322．所以以线段AB 为直径的圆的方程为22139222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． …………………11分17．（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥．因为CD PD ⊥，AD PD D =I ，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BC CD C =I ，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为 3PC =，2AC =，所以 1PA =． 分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以(0,1,0)DC =uuu r ，(1,0,1)DP =-uu u r ，(1,1,0)BD =-uu u r ，(0,1,1)BP =-uu r．设平面PDC 的一个法向量(,,)n x y z =r，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r，， 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得1z =． 所以(1,0,1)n =r．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)m =u r． ………………………6分所以1016cos ,323||||n m n m n m ⋅++<>===⨯r u rr u r r u r ． 所以二面角B PD C --的余弦值为63． ………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-uu u r uu u r，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--uu u r uu u r uu u r．…………………9分因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =uu u r．所以 21|cos ,|2(1)1EC APEC AP EC APλλ⋅-<>==-+uu u r uu u ruu u r uu u r uu u r uu u r ．令211sin 30,22(1)1λλ-==-+o 解得：212λ=±．zy xAB C DP经检验21[0,1]2λ=-∈． 所以棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30o ，此时PE 的长为21-． ………………………11分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，312,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和5(1,1)P 不在椭圆M 上， 即椭圆M 经过121,2P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2(0,1)P ，421,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 于是222,1a b ==．所以椭圆M 的方程为：2212x y +=． ………………………2分（Ⅱ）①当90A ∠=o时，设直线:BC x ty m =+，由2222,, x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=．设1122(,),(,)B x y C x y ， 则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以1212121222(2)(2)AB AC y y y y k k x x ty m ty m ⋅=⋅=++++++12221212(2)()(2)y y t y y t m y y m =+++++212(2)m m -==-+．于是23m =-，此时21616809t ∆=-+>，所以直线2:3BC x ty =-．因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x 轴相交于2,03M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC △的外部，符合题设． ………………………6分 所以121212||||||23ABC S AM y y y y =⋅-=-△2212122221622239()449922t y y y y t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎡⎤=+-=-- ⎪ ⎪⎣⎦++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2422242169161647481(2)8144t t t t t t ⎛⎫++=⨯=-≤ ⎪+++⎝⎭89． 当0t =时取到最大值89． ………………………9分②当90A ∠≠o 时，不妨设90B ∠=o ．设直线:2(0)AB x ty t =-≠，由2222,2,x y x ty ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得22(2)220t y ty +-=．所以0y =或2222ty t =+． 所以22222222,22t t B t t ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，由AB BC ⊥，可得直线322:2tBC y tx t =-++．由223222, 2,2x y t y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)2202t t t t y t y t +++--=+． 所以222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++． 所以线段BC 与x 轴相交于222,02t N t ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭．显然原点在线段AN 上，即原点在ABC △的内部，不符合题设．综上所述，所求的ABC △面积的最大值为89． ……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分．选填解析一、 选择题 1. 【答案】C【解析】解：由抛物线22y x =，可得准线方程24x =-，即12x =-．故选：C ．2. 【答案】D【解析】解：Q 直线10x ay ++=与直线230x y ++=平行，112a ∴-=-，解得2a =． 故选：D ．3. 【答案】B【解析】解：Q 点P 为棱BC 的中点， ()12OP OB OC ∴=+uu u r uu u r uuu r ，()12AP OP OA OB OC OA ∴=-=+-uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu r ，又,,OA a OB b OC c ===uu r uu u r uuu r r r r Q ， ()111222AP OB OC OA a b c ∴=+-=-++uu u r uu u r uuu r uu r r r r ．故选B ．4. 【答案】A【解析】解：根据线面垂直的定义和性质可知，若l α⊥， 则l 垂直平面内的所有直线，∴存在直线,m l m α⊂⊥成立． 若存在直线,m l m α⊂⊥，．则不满足线面垂直的定义的任意性， ∴∴“l α⊥”是“存在直线,m l m α⊂⊥”成立的充分不必要条件． 故选：A ．5. 【答案】D【解析】解：由方程()2221mx m y +-=，化为221112x y m m+=-． Q 方程()2221mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，1102m m∴>>-， 化为20m m ->>， 解得01m <<． 故选：D ．6. 【答案】B【解析】解：由椭圆的几何性质判断：命题p 为真命题； Q 与抛物线只有一个公共点的直线，除了抛物线的切线以外， 还有平行于对称轴的直线，∴命题q 为假命题； 由复合命题真值表判断得：p q ∧是假命题，故A 错误； ()p q ∧⌝是真命题，故B 正确；()p q ⌝∨是假命题，故C 正确； p q ∨是真命题，故D 错误．故选B ．7. 【答案】C【解析】解：设双曲线方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 则双曲线的渐近线方程为b y x a=± Q 两条渐近线互相垂直，∴1b b a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴22a b =，Q 焦距为4，∴24c =，∴2c =，∴224a a =-，∴22a =，∴2a =，∴双曲线的实轴长为22．故选：C8. 【答案】B【解析】解：对A ，当E 为1CC 的中点时，则F 也为1AA 的中点， 11EF AC ∴∥，11AC ∴∥平面1BED F ；故A 为真命题； 对B ，假设1B D ⊥平面1BED F ，则1B D 在平面11BCC B 和平面11ABB A 上的 射影1B C ，1B A 分别与BE ，BF 垂直，可得E 与1C 重合，F 与1A 重合，而1B ，1A ，1C ，1D 四点不共面， ∴不存在这样的点E ，故B 为假命题你；对C ，1BD ⊥Q 平面11A C D ，1BD ⊂平面1BED F ， ∴平面11AC D ⊥平面1BED F ，故C 是真命题； 对D ，111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+Q ，11CC AA Q ∥∥平面11BB D ， ∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故D 是真命题．故选：B ．二、填空题9. 【答案】103 【解析】解：()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r Q ，∴若a b ⊥r r ，则42233100a b x x ⋅=-⨯-+=-=r r， 解得103x =． 故答案为：103．10. 【答案】10y -=【解析】解：圆2220x x y -+=化为()2211x y -+=， 得到圆心()1,0C ，半径1r =．Q 过点(1,1)P 在圆上，可知切线的斜率存在， PC x ⊥Q 轴，∴切线的斜率0k =．故切线方程为：10y -=．故答案为：10y -=．11. 【答案】32或1 【解析】解：Q 抛物线:C 24y x =，∴抛物线的焦点坐标为()1,0，OPF Q △是等腰三角形，OP OF ∴=或OP PF =或OF PF =（舍去因抛物线上点不可能满足）， 当OP OF =时，1PO OF ==，当OP PF =时，点P 在OF 的垂直平分线上，则点P 的横坐标为12， 点p 在抛物线上，则纵坐标为2±， ()2213222PO ⎛⎫∴=+±= ⎪⎝⎭， 综上所述：32PO =或1． 故答案为：32或1．12. 【答案】3 【解析】解：由题意，过点2F 或的直线交双曲线C 的一支于A ，B 两点， 若1ABF △为等边三角形，212tan30b F F a ∴⋅=o， 223103e e ∴--=， 3e ∴=． 故答案为：313. 【答案】33【解析】解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为 x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，(),0,1P x ，其中01x ≤≤，()0,1,0AB ∴=uu u r ，(),1,1CP x =-uu r ，21cos cos ,2AB CP x α∴==+uu u r uu r ，可知当1x =，即P 与1A 重合时，21cos 2x α∴=+取最小值33． 故答案为：3314. 【答案】①②④．【解析】解：设动点的坐标为(),x y ，Q 曲线C 是平面内与定点()2,0F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹， ()22224x y x ∴-+⋅+=，Q 当0x =时，0y =，∴曲线C 过坐标原点，故①正确； Q 将()22224x y x -+⋅+=中的y 用y -代入该等式不变， ∴曲线C 关于x 轴对称，故②正确；令0x =时，0y =，故曲线C 与y 轴只有1个交点，故③不正确； ()22224x y x -+⋅+=Q ，()()22216202y x x ∴=--≥+，解得2222x -≤≤， ∴若点M 在曲线C 上，则()()224422212222MF x y x =-+=≥=-++，故④正确． 故答案为：①②④．。
北京市2022年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．102．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.955．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．508．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．5612．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．双曲线的焦距为2．故选：B．2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，基本事件总数n=6×6=36，∵方程ax2+bx+1=0有实数解，∴△=b2﹣4a≥0，∴方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，∴方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=．故选：C．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，故选：C．5．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，②由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．正确，故错误的个数为2个，故选：B6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由抛物线y=ax2，得，由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0．∴2p=，则．∴，得a=．故选：C．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则10则，解得样本的容量n=100．故答案为：100．8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图可得：A i第一次循环后2第二次循环后3第三次循环后4…观察规律可知A的值为，可得：第九次循环后10不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为．故选：A．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选：D．11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．56【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，a=0.125．∵第1小组的频数为6，∴报考飞行员的学生人数为：=48．故选：C．12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=3．【解答】解：如图，∵AB过焦点F，且|AB|=9，x A+x B=6，∴|AB|=x A+x B+p=6+p=9，即p=3．故答案为：3．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是1．【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即×（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，∴636+x=91×7=637，解得x=1．故答案为：1．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为+=1，即+=1．故答案为：三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=∴P（B）==．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（2分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（4分）又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分）∴或…（10分），∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，全班人数为；所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340；分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为；（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由．，得x=2x1，y=2y1，因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，即动点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，消y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12．设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，，因为点O到直线A：x﹣y+m=0的距离d=，|AB|===，所以S×=，×=2，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，所以△OAB面积的最大值为221．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4，则，∴=x1x2+y1y2=﹣4+4=0，∴OA⊥OB；②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n，∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0．联立，消去y得：（3m2+4）x2+6mnx+3n2﹣12=0，∴，，∴．由，得7n2=12（1+m2），即|n|=，∵OH⊥CD，∴．∴|OH|为定值．。
【最新资料】北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
高考数学最新资料海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）20xx.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12（D ）2 （3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(0,2) （C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切OABCP线，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ） （A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2 （8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ）（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .F ED 1C 1B 1A 1DCBA（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥.（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B两点.（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且1A PPC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P ，31(,)22P ，4(1,2P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 20xx ．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）103 （10）10y -= （11）32或1（12（13 （14）①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y =，(4,)NA y =-.……………………2分因为 直线MO NA ⊥，所以 240OM NA x y ⋅=-=，即24y x =. ………………………4分所以 动点M 的轨迹C 的方程为24y x =（0x ≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA ∠=时，因为 MO NA ⊥，所以 π3NAO ∠=. 所以 直线AN 的倾斜角为π3或2π3.当直线AN 的倾斜角为π3时，直线NA0y --=； ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时，直线NA0y +-=. …………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y +=. 由方程可知：212a =，24b =，2228c a b =-=，c =……………………3分 所以 椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x --=.解得：2x =或1x =-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，ADPD D =，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BCCD C =，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC =，(1,0,1)DP =-，(1,1,0)BD =-，(0,1,1)BP =-． 设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩ 令1x =，得1z =.所以 (1,0,1)=n ．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分 所以cos ,3⋅<>===n m n m |n ||m |． 所以 二面角B PD C --的余弦值为3． ………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分 因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =． 所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=±经检验1[0,1]λ=．所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(2P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是m =，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:BC x ty =.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或22y t =+.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以 线段BC 与x轴相交于N . 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。
【全国市级联考】北京市海淀区2017-2018学年高二上学期期末考试理科数学试题(解析版)
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）本试卷共100分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线在轴上的截距为（）A. B. C. D.【答案】D∴在轴上的截距为1故选D2. 在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，线段的中点的坐标，即故选3. 已知圆经过原点，则实数等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵圆经过原点∴代入可得∴故选B4. 鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵由图可知要计算鲁班锁的体积，可将其分解为求三个长方体的体积左右两个长方体的长宽高分别为，中间的长方体长宽高为∴零件的体积为故选C点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.5. 已知平面，，直线，，下列命题中假命题．．．是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】中，，，故正确，中，，，由平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面可知，正确；中，，由面面垂直判定定理可知，故正确；故选点睛：根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到正确，根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可知错误，，由此得到正确的答案。
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷 Word版含解析
北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x﹣y+1=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．2．方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），43．若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣14．在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（）A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，﹣2，﹣3） C．（﹣1，2，﹣3）D．（1，2，3）5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ6．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．实数x，y满足，若μ=2x﹣y的最小值为﹣4，则实数a等于（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线=1的渐近线方程是 ．10．已知P 是椭圆+=1上一点，F 1，F 2为椭圆的两焦点，则△PF 1F 2的周长为 ．11．已知命题p ：∀x ＞1，x 2﹣2x+1＞0，则￢p 是 （真命题/假命题）．12．在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B （2，1，0），C （0，a ，1），若AB ⊥AC ，则实数a 的值为 ．13．已知点P 是圆x 2+y 2=1上的动点，Q 是直线l ：3x+4y ﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为 ．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，点M 是侧棱AA 1的中点，点P 、Q 分别是侧面BCC 1B 1、底面ABC 内的动点，且A 1P ∥平面BCM ，PQ ⊥平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为 ．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知圆M 过点A （0，），B （1，0），C （﹣3，0）．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l 与圆M 相交于D 、E 两点，且|DE|=2，求直线l 的方程．16．（10分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；（Ⅱ）若△AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程．17．（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABC；（Ⅱ）求BD与平面ABC所成角的大小；（Ⅲ）求二面角D﹣AB﹣C的余弦值．18．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x﹣y+1=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】直线的斜率．【分析】利用直线斜率的计算公式即可得出．【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率==1．故选：A．【点评】本题考查了直线斜率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．方程x2+y2﹣4x=0表示的圆的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），4【考点】圆的一般方程．【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径．【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为2，故选C．【点评】此题比较简单，要求学生会把圆的一般方程化为标准方程．3．若两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，则a的值为（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线ax+2y﹣1=0与3x﹣6y﹣1=0垂直，∴ =﹣1，解得a=4．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（）A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，﹣2，﹣3） C．（﹣1，2，﹣3）D．（1，2，3）【考点】空间中的点的坐标．【分析】点（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c）．【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（1，2，﹣3）关于坐标平面xOy的对称点为（1，2，3）．故选：D．【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥βB．⇒m∥n C．⇒l∥βD．⇒m⊥γ【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ．【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线方程问题，是一道基础题．7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．实数x，y满足，若μ=2x﹣y的最小值为﹣4，则实数a等于（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（a﹣1，a），化目标函数μ=2x﹣y为y=2x﹣μ，由图可知，当直线y=2x﹣μ过A时，直线在y轴上的截距最大，μ有最小值为：2（a﹣1）﹣a=﹣4，即a=﹣2．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线=1的渐近线方程是y=±2x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．10．已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】确定椭圆中a，b，c，由题意可知△PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c，进而计算可得△PF1F2的周长．【解答】解：由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1∴△PF1F2周长=2a+2c=4+2=6．故答案为：6．【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题．11．已知命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，则￢p是假命题（真命题/假命题）．【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，写出原命题的否定，进而可得答案．【解答】解：∵命题p：∀x＞1，x2﹣2x+1＞0，∴￢p：∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，由x2﹣2x+1=（x﹣1）2＞0在x＞1时，恒成立，故￢p为假命题，故答案为：假命题【点评】本题考查的知识点是命题的否定，全称命题，难度不大，属于基础题．12．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若AB⊥AC，则实数a的值为﹣1 ．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】先利用空间向量坐标运算法则得到=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），再由向量垂直的性质能求出a．【解答】解：A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），=（1，1，﹣2），=（﹣1，a，﹣1），∵AB⊥AC，∴=﹣1+a+2=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查空数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．13．已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为1 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．【解答】解：圆心（0，0）到直线3x+4y﹣10=0的距离d==2．再由d﹣r=2﹣1=1，知最小距离为1．故答案为：1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P∥平面BCM，PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹的长度为．【考点】平面与平面之间的位置关系；棱柱的结构特征．【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过△MBC的重心，且与BC平行的线段，进而根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，可得答案．【解答】解：∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线段m，故线段m过△MBC的重心，且与BC平行，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：×2=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）（2016秋•海淀区期末）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（﹣3，0）．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，求圆M的方程；（Ⅱ）分类讨论，利用|DE|=2，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆M：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=2，E=0，F=﹣3…故圆M：x2+y2+2x﹣3=0，即（x+1）2+y2=4…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，M（﹣1，0）．设N为DE中点，则MN⊥l，|DN|=|EN|=…此时|MN|==1．…（6分）当l的斜率不存在时，c=0，此时|MN|=1，符合题意…（7分）当l的斜率存在时，设l：y=kx+2，由题意=1，…（8分）解得：k=，…（9分）故直线l的方程为3x﹣4y+8=0…（10分）综上直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．16．（10分）（2016秋•海淀区期末）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C 交于A，B两点，定点M（5，0）．（Ⅰ）若直线l的斜率为1，求△ABM的面积；（Ⅱ）若△AMB 是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）AB 的斜率为1时，l ：y=x ﹣1，代入抛物线方程得x 2﹣6x+1=0，求出|AB|，点M 到直线AB 的距离，即可求△ABM 的面积；（Ⅱ）设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y ，根据韦达定理表示出x 1+x 2=2+，x 1x 2=1，y 1y 2=﹣4，由MA ⊥MB ，求得k 值，进而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意F （1，0），当AB 的斜率为1时，l ：y=x ﹣1 …（1分） 代入抛物线方程得x 2﹣6x+1=0…（2分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1+x 2=6，|AB|=x 1+x 2+2=8，…点M 到直线AB 的距离d==2…∴△ABM 的面积S==8； …（Ⅱ）易知直线l ⊥x 时不符合题意．可设焦点弦方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入抛物线方程得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0，则x 1+x 2=2+，x 1x 2=1，y 1y 2=﹣4∵MA ⊥MB ， =（x 1﹣5，y 1），=（x 2﹣5，y 2），∴=x 1x 2﹣5（x 1+x 2）+25+y 1y 2=22﹣5×（2+）=0，∴k=．…（9分）故L 的方程为y=（x ﹣1）…（10分）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．17．（12分）（2016秋•海淀区期末）如图，在底面是正三角形的三棱锥P ﹣ABC 中，D 为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求BD 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角D ﹣AB ﹣C 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥AB，PA⊥AC，由此能证明PA⊥平面ABC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ABC所成角．（Ⅲ）求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角D﹣AB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB=1，PB=，∴PA⊥AB，…（1分）∵底面是正三角形，∴AC=AB=1，∵PC=，∴PA⊥AC，…（2分）∵AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，∴PA⊥平面ABC．…（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），P（0，0，1），…∴D（），=（﹣）．…平面ABC的法向量为=（0，0，1），…（6分）记BD与平面ABC所成的角为θ，则sinθ==，…（7分）∴，∴BD与平面ABC所成角为．…（8分）（Ⅲ）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，﹣）． …（11分）记二面角D ﹣AB ﹣C 的大小为α，则cos α==，∴二面角D ﹣AB ﹣C 的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（12分）（2016秋•海淀区期末）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，△BF 1F 2是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点F 2的直线l ，交椭圆于两点P 、Q ，使得PA ∥QF 1，如果存在，试求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由△BF 1F 2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3，e==，即可求得椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （2，0），设直线l 的方程为x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理求得y 1+y 2=﹣，y 1•y 2=﹣，由向量的共线定理求得y 2=﹣2y 1，即可求得y 1和y 2，则即可求得m 的值，即可求得直线方程；解法2：当直线l ⊥x 时，=1≠，则PA ∥QF 1不成立，不符合题意，设直线L 的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的共线定理即可求得x 1和x 2，即可求得k 的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，由△BF 1F 2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3，…（2分）∴椭圆C 的标准方程为，…椭圆的离心率e==；…（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （2，0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为x=my+1，则，…整理得：（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0， △=36m 2+36（3m 2+4）=144m 2+144＞0，由韦达定理可知：y 1+y 2=﹣，y 1•y 2=﹣，…（7分）则=（x 1﹣2，y 1）=（my 1﹣1，y 1）=（x 2+1，y 2）=（my 2+2，y 2），…（8分）若PA ∥QF 1，则（my 1﹣1）y 2=（my 2+2）y 1，即y 2=﹣2y 1，…（9分）解得：，则y 1•y 2=﹣，…（10分）故=，解得：5m 2=4，即m=±，…（11分）故l 的方程为x=y+1或x=﹣y+1，即x ﹣2y ﹣=0或+2y ﹣=0 …（12分）解法2：由（Ⅰ）得F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （2，0），直线l ⊥x 时，=1≠，则PA ∥QF 1不成立，不符合题意．…可设直线L 的方程为y=k （x ﹣1）..…（6分），消去y ，可得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，…（7分）则△=144（k 2+1）＞0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．则x 1+x 2=﹣，①x 1•x 2=，②．…（8分）=（x 1﹣2，y 1），=（x 2+1，y 2）．若PA ∥QF 1，则∥，则k （x 1﹣2）（x 2﹣1）﹣k （x 2+1）（x 1﹣1）=0． 化简得2x 1+x 2﹣3=0③．…（9分）联立①③可得x 1=，x 2=，…（10分）代入②可以解得：k=±．…（11分）故l 的方程为x ﹣2y ﹣=0或+2y ﹣=0．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．。
北京海淀区2022-2023年高二上数学期末试卷及答案
数学参考答案 第 1 页（共 5 页） 海淀区高二年级练习数学参考答案 2023.01一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）B （3）B （4）D （5）C（6）A （7）A （8）D （9）A （10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） （ 11（12）12-（13（14）8（15）①③④注：第15题少选项得2分，错选或未作答均为0分。
三、解答题（共4小题，共40分）（16）（本小题10分）解：（Ⅰ）当1k =时，直线2l 的方程为2y x =-.由1, 2y y x =⎧⎨=-⎩得 3,1.x y =⎧⎨=⎩所以 点A 的坐标为(3,1)． …………2分 因为 点A 关于坐标原点的对称点为C ，所以 点C 的坐标为(3,1)--． …………3分 （Ⅱ）由题意知0k ≠．由1, 2y y kx =⎧⎨=-⎩得3 ,1.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以 点A 的坐标为3(,1)k ．…………4分 因为 点A 关于坐标原点的对称点为C ，所以 点C 的坐标为3(,1)k --．…………5分 因为 四边形ABCD 为菱形，所以 AC BD ⊥，//CD AB .数学参考答案 第 2 页（共 5 页） 所以 点D 的纵坐标为1-. …………6分 由点D 在直线2l 上，所以 点D 的横坐标为1k，即点D 的坐标为1(,1)k -． …………7分 在菱形ABCD 中，点D ，点B 关于坐标原点对称，所以 点B 的坐标为1(,1)k-. …………8分 由AC BD ⊥可得111(1)11133()()k k k k----⋅=-----． 所以k =，即k的值为. …………10分（17）（本小题10分）解：（Ⅰ）因为 曲线M 上的任意一点到点(1,0)的距离比它到直线2x =-的距离小1，所以 曲线M 上的点均位于y 轴上或y 轴的右侧． 所以 曲线M 上的任意一点到点(1,0)的距离等于它到直线1x =-的距离． 所以 曲线M 的方程为24y x =． …………4分 （Ⅱ）设直线BC 的方程为(1)2x m y =-+，11(,)B x y ，22(,)C x y ． …………5分由24, (1)2y x x m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得24480y my m -+-=． …………6分 因为 21616320m m ∆=-+>，所以 124y y m +=，1248y y m =-． …………7分 因为 点(0,1)E ，点(2,1)A ，所以 EBC △的面积121||||2S AE y y =⋅⋅-= …………9分 当12m =时，EBC △的面积取得最小值 …………10分数学参考答案 第 3 页（共 5 页）（18）（本小题10分）解：（Ⅰ）取PA 的中点E ，连接EF ，EG .因为 点F 为PD 的中点， 所以 //EF AD ，12EF AD =.…………1分 因为 四边形ABCD 是平行四边形， 所以 //BC AD ，BC AD =. 因为 点G 为线段BC 的中点， 所以 12CG BC =．所以 //EF CG ，EF CG =. 所以 四边形EFCG 是平行四边形，所以 //FC EG . …………2分 因为 EG ⊂平面PAG ，FC ⊄平面PAG ，所以 //CF 平面PAG ． …………3分 （Ⅱ）选择条件①②：因为 PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，所以 30PCA ∠=︒. …………4分 因为 2PA =， 所以AC =因为AD =，四边形ABCD 是平行四边形，所以 //AD BC，BC =因为 2AB =，所以 22212AC AB BC ==+. 所以 90ABC ∠=︒，即AB BC ⊥.所以 AB AD ⊥. …………5分 如图建立空间直角坐标系A xyz -．由题意得(2,0,0)B，F ，(2,22,0)C，(0,22,0)D ．所以(2,0,0)AB =，(0,AF =，AC =，AD =． 设平面ABF 的法向量为000(,,)x y z =n ，则E GFDCBAP数学参考答案 第 4 页（共 5 页）0,0,AB AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即00020,0.x z =⎧⎪+=令0y =，则02z =-．于是2)=-n ． …………6分 设平面ACF 的法向量为111(,,)x y z =m ，则 0,0,AC AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即111120,0.x z ⎧+=⎪+=令1y ，则12z =-，12x =-．于是(2)=--m ． …………7分 （ⅰ）直线CD 到平面ABF 的距离为26||AD ⋅=n n . …………8分（ⅱ）因为 cos ,||||⋅〈〉==n m n m n m 所以 二面角B AFC --． …………10分选择条件①③：因为 PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒， 所以 30PCA ∠=︒，PA AB ⊥. …………4分 因为 2PA=， 所以 AC =因为 平面PAB ⊥平面PAD ，BA ⊂平面PAB ，平面PAB 平面PAD PA =，所以 BA ⊥平面PAD . 所以 BA AD ⊥.因为 四边形ABCD 是平行四边形， 所以 四边形ABCD 是矩形. 因为 2AB=， 所以BC ==. …………5分以下同选择条件①②.选择条件①②③：同选择条件①②或选择条件①③.数学参考答案 第 5 页（共 5 页）（19）（本小题10分）解：（Ⅰ）因为 椭圆E 的焦距为2，长轴长为4，所以 1c =，2a =．所以 2223b a c =-=．所以 椭圆E 的方程为22143x y +=． …………3分 （Ⅱ）存在定点4(,0)3P -，使得'B 恒在直线PC 上. 理由如下： …………4分设直线:l 3x my =-，11(,)B x y ，22(,)C x y ，则11'(,)B x y -． 所以 224(,)3PC x y =+，114'(,)3PB x y =+-.由221,433x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(34)18150m y my +-+=． …………6分 所以 248(35)0m ∆=->，1221834m y y m +=+，1221534y y m =+． …………8分 因为 113x my =-，223x my =-， 所以 12211212445()()2()333x y x y my y y y +++=-+22155********mm m m =⨯-⨯++ 0=．所以 //'PC PB ．所以 点'B ，P ，C 共线． …………10分。
北京海淀区2017-2018高二数学上学期期末试题理科带答案
北京海淀区2017-2018高二数学上学期期末试题（理科带答案）海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）直线在轴上的截距为A.B.C.D.（2）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点的坐标是A.B.C.D.（3）已知圆经过原点，则实数等于A.B.C.D.（4）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34C.36D.40（5）已知平面，直线，下列命题中假命题是A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则（6）椭圆的焦点为，若点在上且满足，则中最大角为A.B.C.D.（7）“”是“方程表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（8）平面两两互相垂直，在平面内有一个点到平面，平面的距离都等于1.则在平面内与点，平面，平面距离都相等的点的个数为A.1B.2C.3D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（9）直线的倾斜角为,经过点且与直线平行的直线方程为. （10）直线被圆所截得的弦长为.（11）请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是.（只需写出一组）（12）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则. （13）已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为.04（14）曲线的方程为①请写出曲线的两条对称轴方程；②请写出曲线上的两个点的坐标；③曲线上的点到原点的距离的取值范围是.三、解答题共4小题，共44分。
北京市海淀区2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题-扫描版含答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2014．01 一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）103（10）10y-=（11）32或1（12（13（14）①②④注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y，则(0,)N y，(,)OM x y=，(4,)NA y=-.……………………2分因为直线MO NA⊥，所以240OM NA xy⋅=-=，即24y x=. ………………………4分所以动点M的轨迹C的方程为24y x=（0x≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA∠=时，因为MO NA⊥，所以π3NAO∠=.所以直线AN的倾斜角为π3或2π3.当直线AN的倾斜角为π3时，直线NAy--=；……………8分当直线AN的倾斜角为2π3时，直线NA0y+-=.…………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y+=.由方程可知：212a=，24b=，2228c a b=-=，c=……………………3分所以椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x yx y⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x--=.解得：2x =或1x =-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB =……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，ADPD D =，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BCCD C =，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ． 所以(0,1,0)DC =，(1,0,1)DP =-，(1,1,0)BD =-，(0,1,1)BP =-．设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩令1x =，得1z =.所以 (1,0,1)=n ．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分所以 二面角B PD C --的余弦值为3………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分 因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =． 所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：12λ=±. 经检验1[0,1]2λ=-．所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221(1)1112a b a b a b a b ⎛⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(2P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M 经过1(1,P -，2(0,1)P ，4P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是3m =-，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:3BC x ty =-. 因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(,0)3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或y =.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-.WORD 完整版----可编辑----教育资料分享----完整版学习资料分享----由223222, ,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+. 所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++.所以 线段BC 与x轴相交于N .显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89.……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。
2021-2022学年北京市海淀区高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年北京市海淀区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．下列直线中，倾斜角为45°的是（ ） A ．10x y +-= B ．10x += C ．20x y -+= D ．210x y --=【答案】C【分析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为1k =， 对于A ，直线斜率为1k =-， 对于B ，直线无斜率， 对于C ，直线斜率1k =， 对于D ，直线斜率22k =， 故选：C2．若直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．12-D ．1-【答案】A【分析】根据两条直线垂直的条件列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直，所以()1210a ⨯+-⨯=，解得2a =. 故选：A3．如图，在四面体O ABC -中，OA a →=，OB b →=，OC c →=，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可用向量a →，b →，c →表示为（ ）A ．111222a b c →→→++B ．111244a b c →→→++C ．111424a b c →→→++D ．111442a b c →→→++【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理，用a ，b ，c 表示向量OE ． 【详解】因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，1()2OD OB OC =+，111111()()224244OE OA OD OA OB OC a b c =+=++=++．故选：B4．平面α与平面β平行的充分条件可以是（ ） A ．平面α内有一条直线与平面β平行 B ．平面α内有两条直线分别与平面β平行 C ．平面α内有无数条直线分别与平面β平行 D ．平面α内有两条相交直线分别与平面β平行 【答案】D【分析】根据平面与平面平行的判定定理可判断.【详解】对A ，若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A 错误；对B ，若平面α内有两条直线分别与平面β平行，若这两条直线平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B 错误；对C ，若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C 错误；对D ，若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D 正确. 故选：D.5．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点)，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．2【答案】A【分析】先求出渐近线方程，进而将点)代入直线方程得到a ,b 关系，进而求出离心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：by x a=±，而一条渐近线过点)，则1=，b c e a a =⇒===故选：A.6．已知球O 的半径为2，球心到平面α的距离为1，则球O 被平面α截得的截面面积为（ ） A ．23π B ．3π C ．3πD ．π【答案】B【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解. 【详解】由球的性质可知，截面圆的半径为22213-=，所以截面的面积()233S ππ==.故选：B7．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，2PA =，2AB AC ==，则点A 到平面PBC 的距离为（ ）A ．1B 3C 2D ．12【答案】A【分析】设点A 到平面PBC 的距离为h ，根据等体积法求解即可. 【详解】因为PA ⊥平面ABC ， 所以,PA AB PA AC ⊥⊥, 因为2PA =2AB AC ==， 所以()22226PB PC =+=又AB AC ⊥，2AB AC ==， 所以22222BC =+=所以()221221622222222△PBCS BC ⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭设点A 到平面PBC 的距离为h ， 则P ABC A PBC V V --=, 即1133△△ABC PBC PA S h S ⋅=⋅,12222122h ⨯⨯⨯∴==， 故选：A8．如图，1F ，2F 是平面上的两点，且1210F F =，图中的一系列圆是圆心分别为1F ，2F 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，，A ，B ，C ，D ，E 是图中两组同心圆的部分公共点，若点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上，则（ ）A ．点B 和C 都在椭圆M 上 B ．点C 和D 都在椭圆M 上 C ．点D 和E 都在椭圆M 上 D ．点E 和B 都在椭圆M 上【答案】C【分析】由123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =，然后根据定义逐一判断即可. 【详解】因为点A 在以1F ，2F 为焦点的椭圆M 上， 所以123912AF AF +=+=，即椭圆中的212a =因为12591412BF BF +=+=≠，12561112CF CF +=+=≠125712DF DF +=+=， 1211112EF EF +=+=所以,D E 在椭圆M 上 故选：C9．设P 为直线2y kx =+上任意一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，则k 的最大值为（ ） A 3B ．1 C 2D 3【答案】D【分析】根据题意，判断点P 与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得k 的最大值.【详解】因为过过P 总能作圆221x y +=的切线，故点P 在圆外或圆上， 也即直线2y kx =+与圆221x y +=相离或相切， 则2211k ≥+，即214k +≤，解得3,3k ⎡⎤∈-⎣⎦，故k 的最大值为3. 故选：D.10．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A ，C 之间的曲线）绕其虚轴所在直线l 旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：113cm AA =，112cm BB =，120cm CC =，1115cm A B =，1148cm B C =，其中B 是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示 学生甲 乙 丙 丁估算结果（3cm ） 25200π17409π 14889π 13809π其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式：2V R h π=圆柱，213V R h π=圆锥，()2213V h r rR R π=++圆台）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.【详解】可将几何体看作一个以112cm BB =为半径，高为1111481563cm B C A B +=+=的圆柱，再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为20128cm -=，13121cm -=，高分别为48cm ,15cm ,2312()圆柱=63=9072cm V ππ⨯⨯,()22318151029()3圆锥=48+1cm V π⨯⨯⨯=,所以花瓶的容积33907210101cm cm πV π<<， 故最接近的是丁同学的估算， 故选：D 二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，111AC A B ⋅=___________. 【答案】1【分析】根据向量的加法及向量数量积的运算性质求解. 【详解】如图，在正方体中，21111111001AC A B AC CC A B AB AD AA AB AB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅=++⋅=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：1 12．椭圆22:184x y C +=的右焦点为F ，过原点的直线与椭圆C 交于两点A 、B ，则ABF 的面积的最大值为___________. 【答案】4【分析】分析可知点A 、B 关于原点对称，可知当A 、B 为椭圆C 短轴的端点时，ABF 的面积取得最大值.【详解】在椭圆C 中，22a =2b =，则222c a b -，则()2,0F ， 由题意可知，A 、B 关于原点对称，当A 、B 为椭圆C 短轴的端点时，ABF 的面积取得最大值，且最大值为1242c b ⨯⨯=.故答案为：4.13．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =，将ABD △沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形1A BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得1A C BD ⊥； ②在翻折过程中，三棱锥1A BCD -的体积不大于14；③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】②③【分析】在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ，对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，则可得到BD CE ⊥，进而得矛盾，可判断；对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，再根据几何关系计算即可；对于③，由题知11A D A E ED =+，BC BF FC =+，设平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ，进而得1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，进而得异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，即可判断.【详解】解：如图1，在矩形ABCD 中，过,A C 点作BD 的垂线，垂足分别为,E F ， 则在在翻折过程中，形成如图2的几何体，故对于①，连接CE ，假设存在某个位置，使得1A C BD ⊥，由于1A E BD ⊥，111A C A E A =，所以BD ⊥平面1A CE ，所以BD CE ⊥，这与图1中的BD 与CE 不垂直矛盾，故错误； 对于②在翻折过程中，当平面1A BD ⊥平面BCD 时，三棱锥1A BCD -的体积取得最大值，此时13AD AB A E BD ⋅==111131133324BCD V S A E =⋅⋅=⨯⨯=，故三棱锥1A BCD -的体积不大于14，故正确；对于③，11A D A E ED =+，BC BF FC =+，由②的讨论得1,12AE DF EF ===，所以ED BF =，所以()()1111A D A E ED A E ED EA BC BF FC FC BF FC BF ED ⋅+⋅⋅⋅=++=-⋅=+ 11139cos c ,,os 44EA EA ED FC FC B A F FC E =⋅⋅-+=-+，设翻折过程中，平面1A BD 与平面BCD 所成的二面角为θ， 所以1,FC EA θ=，故139cos 44B ACD θ⋅=-+，由于要使直线1A D 与BC 为异面直线，所以()0,θπ∈， 所以1393cos ,3442B A D C θ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⋅∈ ，所以11139cos 144,1cos ,32A D A D A D BCBC BCθ⋅=⋅-+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 所以异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值的范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，由于1,1222⎛⎫ ⎪⎝⎭∈， 所以在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线1A D 与BC 所成角为45°. 故答案为：②③三、双空题14．圆222690x y x y +-++=的圆心坐标为___________；半径为___________. 【答案】 (1,3)- 1【分析】配方后可得圆心坐标和半径．【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是22(1)(3)1x y -++=，圆心坐标为(1,3)-，半径为1． 故答案为：(1,3)-；1．15．已知双曲线M 的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M 的标准方程.①一个焦点坐标为()2,0；②经过点)3,0；③你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M 的标准方程是___________.【答案】 ①②或①③或② ③ 2213x y -=或22122x y -=或22133y x -= 【分析】选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出,a c 即可得解，选 ② ③ ，可由顶点坐标及离心率得出,a c ，即可求解.【详解】选①②，由题意则2c =，a =2221b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为2213x y -=， 故答案为：①②；2213x y -=，选①③ ，由题意，2,cc e a===a ∴=2222b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22122x y -=，选 ② ③，由题意知ca e a===c ∴=2223b c a ∴=-=，∴双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：①②；2213x y -=或①③；22122x y -=或② ③ ；22133y x -=. 四、解答题16．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 以原点为圆心，且经过点(M . (1)求圆O 的方程；(2)20y +-=与圆O 交于两点A ，B ，求弦长AB . 【答案】(1)224x y +=(2)AB =【分析】（1）根据两点距离公式即可求半径，进而得圆方程； （2）根据直线与圆的弦长公式即可求解． (1)由132OM =+=，所以圆O 的方程为224x y +=； (2)由点O 到直线320x y +-=的距离为2131d -==+所以弦长24123AB =-=17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12AA =.M 为侧棱1BB 的中点，连接1A M ，1C M ，CM .(1)证明：AC ∥平面11A C M ； (2)证明：CM ⊥平面11A C M ； (3)求二面角111B C A M --的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3)3π【分析】小问1：由于11//AC A C ，根据线面平行判定定理即可证明；小问2：以C 为原点，1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴建立空间坐标系，根据向量垂直关系即可证明；小问3：分别求得平面11A MB 与平面11A MC 的法向量，根据向量夹角公式即可求解． (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，且AC ⊄平面11A C M ，11A C ⊂平面11A C M 所以AC ∥平面11A C M ；(2)因为AC BC ⊥，故以C 为原点，1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴建立空间坐标系如图所示：则()()()()110,0,0,0,1,1,1,0,2,0,0,2C M A C ，所以()()()110,1,1,1,1,1,0,1,1,CM A M C M ==--=-则110110,0110,CM AM CM C M ⋅=+-=⋅=+-= 所以11,,CM A M CM C M ⊥⊥又11,A M C M M =1A M ⊂平面11A C M ，1C M ⊂平面11A C M故CM ⊥平面11A C M ；(3)由()10,1,2B ，得()111,1,0A B =-，()10,0,1MB =设平面11A MB 的一个法向量为(),,n x y z =则1110,0,n A B n MB ⋅=⋅=得()1,1,0n =又因为平面11A MC 的一个法向量为()0,1,1CM = 所以1cos ,2n CMn CM n CM ⋅==⋅ 所以二面角111B C A M --的大小为3π18．已知抛物线C ：22y px =经过点()1,2.(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线交于两点M ，N ，且与抛物线的准线交于点Q .若22MN QF =，求直线l 的方程.【答案】(1)抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-(2)10x y --=或10x y +-=.【分析】（1）将点代入抛物线求出p 即可得出抛物线方程和准线方程；（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出弦长MN 和QF 即可求出.(1)将()1,2代入22y px =可得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-；(2)由题得()1,0F ，设直线方程为1x ty =+，0t ≠，设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，则124y y t +=， 所以()21212444MN x x p t y y t =++=++=+， 因为直线1x ty =+与准线1x =-交于点Q ，则21,Q t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则QF ==因为MN=，所以244t +=1t =±， 所以直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 19．已知椭圆22221x a E y b +=：（0a b >>()2,0. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点，直线y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于不同的两点,A B ，且与x 轴交于点C ，P 为线段OC 的中点，点B 关于x 轴的对称点为1B .证明：1PAB 是等腰直角三角形.【答案】(1)22162x y += (2)证明见解析.【分析】（1）由题知2c e c a ===，进而结合222b a c =-求解即可得答案；（2）设点(,0)C m -，1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -，进而联立2236y x m x y =+⎧⎨+=⎩并结合题意得0m -<<或0m <<10PA PB ⋅=，再AB 的中点为00(,)M x y ，证明PM AB ⊥，进而得||||PA PB =，1||||PB PB =，故1||||PA PB =，综合即可得证明.(1)解：因为椭圆E()2,0所以2c e c a ===，所以222 2.a b a c ==-= 所以椭圆E 的方程为22162x y +=. (2)解：设点(,0)C m -，则点(,0)2m P -, 所以联立方程2236y x m x y =+⎧⎨+=⎩得2246360x mx m ++-=， 所以有223616(36)0m m ∆=-->，解得m -<因为0m ≠，故0m -<<或0m <<设1122122(,),(,),(,)A x y B x y B x y -， 所以123.2m x x +=- 设向量11122(,),(,)22m m PA x y PB x y =+=+-， 所以112121212()()()()()()2222m m m m PA PB x x y y x x x m x m ⋅=++-=++-++ 22212333()02444m m m x x m =-+-=-=， 所以1PA PB ⊥，即190APB ︒∠=，设AB 的中点为00(,)M x y ，则120003,.244x x m m x y x m +==-=+= 所以342104PM m m k m -+==--， 又因为1AB k =，所以PM AB ⊥，所以||||PA PB =，因为点B 关于x 轴的对称点为1B . 所以1||||PB PB =， 所以1||||PA PB =， 所以1PAB 是等腰直角三角形.。
2022-2023学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.经过点且倾斜角为的直线的方程是( )A. B.C.D. 3.已知直线l 经过点，，平面的一个法向量为，则( )A. B.C.D. l 与相交，但不垂直4.已知抛物线上的点到其焦点的距离是1，那么实数a 的值为( )A.B.C. 1D. 25.在平行六面体中，点M 满足若，，，则下列向量中与相等的是( )A.B. C. D.6.已知直线l ：，：，则“”是“直线l 与相交”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在正方体中，直线l 是底面ABCD 所在平面内的一条动直线，记直线与直线l所成的角为，则的最小值是( )A. B.C.D.8.已知A ，异于坐标原点是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M 中，使得为钝角三角形的是( )A.B.C.D.9.“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM，PN，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是( )A. QB. RC. SD. T10.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是( )A. 当点P在侧面上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为B. 当点P为棱的中点时，平面BMPC. 当点P在棱上时，点P到平面CNM的距离的最小值为D. 当点时，满足平面NCP的点P共有2个二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
2015-2016北京海淀高二(上)期末数学理(含答案分析)
B1P B1A AP 2, 2, 2 ，
解得 B1P 2 2 2 22 22 52 4 8 ，
当
1时，
因为 DA1 AE 0 ， DA1 AB 0 所以 DA1 AE ， DA1 AB ， 由 AE AB A， 所以 A1D 平面 ABE ． 解法 2： 因为 AA1 平面 ABCD ， AB 平面 ABCD ， 所以 AA1 AB ． 因为 ABCD 是正方形， 所以 AB AD ， 又 AA1 AD A ， 所以 AB 平面 AA1D ， A1D 平面 AA1D ， 所以 AB A1D ． 因为 E 为棱 A1D 中点，且 AA1 AD 2 ， 所以 AE A1D ， 又 AE AB A， 所以 A1D 平面 ABE ． （Ⅲ）因为 A1D 平面 ABE ，且 A1D 平面 EFD ， 所以平面 EFD 平面 ABE ． 因为平面 ABE 即平面 BEF ，
A. 0
B. 1
2
C. 1 2
D. 1 3
10. 如图，在边长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 BC 的中点，
点 P 在底面 ABCD 上移动，且满足 B1P D1E ，则线段 B1P 的长度的
最大值为（ ）．
A. 4 5
B. 2
5
C. 2 2
D. 3
二、填空题：本大题共 6 小题， 每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. 11.已知命题 p ：“ x R ， x2 0 ”，则 p ：__________．
三、解答题:本大题共 3 小题，共 36 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题共 10 分）
已知△ABC 的三个顶点坐标为 A0,0 ， B8,4 ， C 2, 4 ．
2022-2023学年北京市北京市海淀区高二年级上册学期数学期末复习试题【含答案】
2022-2023学年北京市北京市海淀区高二上学期数学期末复习试题一、单选题1．已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（ ）z (34i)4i()z b b -=+∈R z b A ．B ．C ．4D ．34-3-【答案】D【分析】首先变形求出的表达式，再根据纯虚数的定义求解即可.z 【详解】∵，，()()34i 4i z b b -=+∈R ()()()()4i 34i 124316i 4i 34i 2525b b b b z ++-+++∴===-因为为纯虚数，z 124033160b b b -=⎧⇒=⎨+≠⎩故选：D2．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b 假设：，由可得：，////a b c //a b //a β//b α又，可知，l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.3．“m =0是“直线与直线之间的距离为2”的（ ）()12110mx m l y +-+=：()22110l mx m y +--=：A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得或，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.0m =45m =【详解】两条平行线间的距离，即，解得或，2d ==2540m m -=0m =45m =即“”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.0m =故选：A.4．如图所示，在平行四边形中，，沿将折起，使平面平面ABCD AB BD ⊥BD ABD △ABD ⊥，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面的对数为（ ）BCD AC ABCDA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用线面垂直得到平面平面，平面平面，平面平面，ABD ⊥BCD ABC ⊥BCD ACD ⊥ABD 得到答案.【详解】平面平面，平面平面，ABD ⊥BCD ABD ⋂BCD BD =，平面，故平面，平面，故平面平面；AB BD ⊥AB ⊂ABD AB ⊥BCD AB ⊂ABC ABC ⊥BCD ，平面，故平面，平面，故平面平面；CD BD ⊥CD ⊂BCD CD ⊥ABD CD ⊂ACD ACD ⊥ABD 综上所述：平面平面；平面平面；平面平面；ABD ⊥BCD ABC ⊥BCD ACD ⊥ABD 故选：C5．直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）:310l ax y a --+=22:(1)(2)25C x y ++-=A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】确定直线过定点，当时，直线被圆截得的弦长最短，计算即可.()3,1P PC l ⊥l C 【详解】直线，即，直线过定点，:310l ax y a --+=()310a x y --+=l ()3,1P 圆的圆心为，，当时，直线被圆截得的弦长最短.C ()1,2C -=5r PC l ⊥l C因为，所以弦长的最小值为.PC ===故选：B6．在平面内，，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（ ）A B C 1AC BC ⋅=C A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【分析】设出、、的坐标，利用已知条件，转化求解的轨迹方程，推出结果即可．A B C C 【详解】解：在平面内，，是两个定点，是动点，A B C 不妨设，，设，(,0)A a -(,0)B a (,)C x y 所以，(),AC x a y =+(),BC x a y =-因为，1AC BC ⋅= 所以，即，()()21x a x a y +-+=2221x y a +=+所以点的轨迹为圆．C 故选：A ．7．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的虚轴的长为（ ）22148x y -=()2,4A ．B ．C ．2D ．4【答案】D【分析】依题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入可求．即可求解.()22048x y λλ-=≠()2,4λ【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，22148x y -=()22048x y λλ-=≠该双曲线经过点，()2,4．416148λ∴=-=-所求的双曲线方程为：，即．∴22148x y -=-22184y x -=所以，2b =所以虚轴长为4.故选：D8．已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置()0,0O ()3,0A (),P x y 2PAPO=P ()2221x y -+=关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离【答案】B【分析】由题意求出动点的轨迹方程,再由两圆圆心距与半径的关系判断.P 【详解】设,由题意可知,(,)P x y ()222222||4||,(3)4PA PO x y x y =∴-+=+ 整理得,点的轨迹方程为,P 22(1)4x y ++=其图形是以为圆心，以2为半径的圆，(1,0)-而圆的圆心坐标为,半径为1,22(2)1x y -+=(2,0)可得两圆的圆心距为3,等于,213+=则动点的轨迹与圆的位置关系是外切.P 22(2)1x y -+=故选：B.9．已知点是抛物线上的动点，点A 的坐标为，则点到点A 的距离与到轴的距P 24x y =()12,6P x 离之和的最小值为（ ）A ．13B ．12C ．11D 【答案】B【分析】作出辅助线，利用抛物线定义得到点到点A 的距离与到轴的距离之和P x ，由两点之间，线段最短，得到距离之和的最小值为，求出答案.1PA PH PA PF +=+-1AF -【详解】如图，⊥轴，连接，PH x PF 由抛物线定义得：抛物线的准线方程为，焦点坐标为，24x y =1y =-()0,1故，1PH PF =-则点到点A 的距离与到轴的距离之和，P x 1PA PH PA PF +=+-连接，与抛物线交于点，此时，AF P '11P A P F AF ''+-=-故点到点A 的距离与到轴的距离之和的最小值为，P x 1AF -其中，故最小值为.13AF ==112AF -=故选：B10．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以1F 2F C ()222210,0x y a b a b -=>>A 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的12F FM N 135MAN ∠=︒离心率为（ ）ABC ．2D【答案】D【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从222x y c +=by xa =(),M a b MAO ∠a b 与而进一步解出答案.【详解】依题意得, 以线段为直径的圆的方程为 ,12F F 222x y c +=双曲线 的一条渐近线的方程为.C b y x a =由 以及222,,b y x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩222,a b c +=解得 或,x a y b =⎧⎨=⎩,.x a y b =-⎧⎨=-⎩不妨取 , 则.(),M a b (),N a b --因为,(),0,135A a MAN ∠-=所以 ,45MAO ∠=又,tan 2b MAO a ∠=所以,12b a =所以 ,2b a =所以该双曲线的离心率 e ==故选：D.二、填空题11．在复数范围内分解因式：___________.44x +=【答案】()()()()1i 1i 1i 1i x x x x +--+++--【分析】因式分解第一步将，第二步()()2422i 4i 2x x x =+-+=()()2222i 1i xx +=-- 综合起来即可得到答案.()()2222i 1i xx -=-+【详解】由题意知()()()()22222242i 2i 14i 1i x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+---+⎣⎦⎣⎦故答案为：.()()()()1i 1i 1i 1i x x x x +--+++--12化简后为______．10=【答案】2212516y x +=【分析】运用方程的几何意义得出结果.【详解】解：，10+=故令，，(),M x y ()10,3F -()20,3F ∴，1212106MF MF F F +=>=∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，()10,3F -()20,3F 210a =即，，，5a =3c =4b =∴方程为.2212516y x +=故答案为：.2212516y x +=13．已知集合，，若集合中有2个元素，则实数(){,A x y x ==(){},B x y y x b ==+A B ⋂b 的取值范围是______【答案】(1⎤-⎦【分析】首先分析集合、的元素特征，再数形结合求出参数的取值范围.A B b 【详解】解：由，所以，x =0x ≥221x y +=()0x ≥所以表示以为圆心，为半径的圆在轴及右侧部分的点集，(){,A x y x ==()0,01y 集合表示直线上的点集，(){},B x y y x b ==+y x b =+集合与集合都是点集，集合中有个元素，A B A B ⋂2由，解得1d ==b =由图可知，即.1b <≤-(1b ⎤∈-⎦故答案为：(1⎤-⎦14．已知实数满足，则的最大值为__________.,x y 2222x y x y+=+4yx -【答案】1【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将看作曲线上的点与坐标为的点连线的斜4y x -()4,0率，求出最大值.【详解】由“”和“”代入方程仍成立，所以曲线关于x 轴和y 轴对称，故只x -y -2222xy x y+=+需考虑，的情形，0x ≥0y ≥此时方程为，即，所以的轨迹如下图，2222x y x y +=+()()22112x y -+-=(),x y，表示点和连线的斜率，由图可知，当曲线第四象限部分半圆（圆心为044y y x x -=--(),x y ()4,0l l.()1,1-设：，解得或（舍去），l ()4y k x =-1k =17-所以的最大值为1.4yx -故答案为：1.15．在正方体中，N 为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个1111ABCD A B C D -ABCD P 11A D 端点），为线段的中点，则下列说法中正确的序号是________________．M AP①与是异面直线；CM PN ②；CM PN >③平面平面；PAN ⊥11BD B ④过三点的正方体的截面一定是等腰梯形．,,P A C 【答案】②③④【分析】连接NC ，根据平面几何知识可得CN ，PM 交于点A ，可判断①；分别在△MAC 中，和在△PAN 中，运用余弦定理求得CM 2和PN 2，比较大小可判断②；证明与平面后可得面AN 11BDD B 面垂直，可判断③；作出过三点的截面后可判断④．,,P A C 【详解】解：连接NC ，因为共线，即交于点，共面，,,C N A ,CN PM A因此共面，①错误；,CM PN 记，则，PAC θ∠=2222212cos cos 4PN AP AN AP AN AP AC AP AC θθ=+-⋅=+-⋅，2222212cos cos 4CM AC AM AC AM AC AP AP AC θθ=+-⋅=+-⋅又，AP AC <，，即．②正确；22223()04CM PN AC AP -=->22CM PN >CM PN >由于正方体中，，平面，平面，AN BD ⊥1BB ⊥ABCD AN ⊂ABCD 所以，因为，平面，1BB AN ⊥1BB BD B ⋂=1,BB BD ⊂11BB D D 所以平面，AN ⊥11BB D D 因为平面，AN ⊂PAN 所以平面平面，即平面平面，③正确；PAN ⊥11BDD B PAN ⊥11BD B过点作交于点，连接，由正方体性质知，，P 11//PK A C 11C D K 11,KC A C 11//A C AC 所以，共面，且，//PK AC ,PK AC 11A P C K =故四边形就是过P ，A ，C 三点的正方体的截面，PKCA 因为，为线段上的动点（不包括两个端点），P 11A D 所以，，PK AC ≠2222221111AP A P A A C K C C CK =+=+=故四边形是等腰梯形，故④正确．PKCA 故答案为：②③④.三、解答题16．已知直线():10l x m y m +--=(1)若直线的倾斜角，求实数m 的取值范围；ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)若直线l 分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求面积的最小值及此AOB 时直线l 的方程．【答案】(1)01m ≤≤(2)最小值为2，直线l 方程为：．AOB S 20x y +-=【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得的不等式，解不等式可得；m （2）由题意可得点和点，可得，由基本不0,1m B m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(),0A m 111[(1)2]221S OA OB m m ==-++-等式求最值可得．【详解】（1）解：由题意可知当时，倾斜角为，符合题意1m =2π当时，直线l 的斜率1m ≠11k m =-∵倾斜角，∴．[)ππ,tan 1,42k αα∞⎡⎫∈⇒=∈+⎪⎢⎣⎭11011m m ≥⇒≤<-故m 的范围：．01m ≤≤（2）解：在直线l 中：令x ＝0时，即，令y ＝0时x ＝m ，即1m y m =-0,1m B m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭(),0A m 由题意可知：得001x m m y m =>⎧⎪⎨=>⎪-⎩1m >即()()()2212111112212121AOBm m m m S OA OB mm m m -+-+=⋅=⋅==---△()1111222212m m ⎡⎤⎡⎤=-++≥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦当且仅当时取等号，()2111121m m m m -=⇒-=⇒=-故最小值为2，此时直线l 方程为：．AOB S 20x y +-=17．已知圆经过点，，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横E ()0,0A ()2,2B 线处，并解答．①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线y E ()20R mx y m m --=∈440x y +-=的交点C ．240x y --=(1)求圆的方程；E (2)求过点的圆的切线方程．()4,3P E 【答案】(1)任选一条件，方程都为22(2)4x y -+=(2)或4x =512160x y -+=【分析】(1) 选①，设圆的方程为，根据题意列出方程组，求解即可；E 222()()x a y b r -+-=选②，由题意可得直线恒过为圆的圆心，代入A 点坐标即可求解；20mx y m --=(2,0)E 选③，求出两直线的交点为，根据圆过A ，B ，C 三点求解即可；(4,0)C E (2)先判断出点P 在圆外，再分切线的斜率存在与不存在分别求解即可.E 【详解】（1）解：选①，设圆的方程为，E 222()()x a y b r -+-=由题意可得，解得，则圆的方程为；222222(2)(2)a ra b ra b r ⎧=⎪+=⎨⎪-+-=⎩202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 22(2)4x y -+=选②，直线恒过，20mx y m --=(2,0)而圆恒被直线平分，E 20(R)mx y m m --=∈所以恒过圆心，因为直线过定点，20mx y m --=20mx y m --=(2,0)所以圆心为，可设圆的标准方程为，(2,0)222(2)x y r -+=由圆经过点，得，E (0,0)A 24r =则圆的方程为．E 22(2)4x y -+=选③，由条件易知，(4,0)C 设圆的方程为，2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->由题意可得，解得，082201640F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩400D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的方程为，即．E 2240x y x +-=22(2)4x y -+=综上所述，圆的方程为；E 22(2)4x y -+=（2）解：因为，所以点P 在圆外，22(42)3134-+=>E 若直线斜率存在，设切线的斜率为，k 则切线方程为，即3(4)y k x -=-430.kx y k --+=，解得．2512k =所以切线方程为，512160x y -+=若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意．4x =综上过点的圆的切线方程为或．(4,3)P E 4x =512160x y -+=18．如图，在三棱一中，为等腰直角三角形，.-P ABC ABC π,2BAC ∠=π3PAC PAB ∠=∠=(1)求证：;PA BC ⊥(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.24PA AC ==PAB PBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取中点，连接以及，先证明，再根据线面垂直的判定证BC D AD PD ACP ABP ≌△△明平面，进而根据线面垂直的性质证明即可；BC ⊥PAD （2）根据角度关系，结合线面垂直的判定可得平面，再根据线线垂直，以为原点，AC ⊥CPE A 为轴，为轴，建立空间直角坐标系，再分别计算平面与平面的法向量求解即AB x AC y PAB PBC 可.【详解】（1）证明：取中点，连接以及，如图2，BC D AD PD图2在和中，，，，ACP △ABP AB AC =AP AP =PAC PAB ∠=∠所以ACP ABP ≌△△所以，所以CP BP =PD BC⊥又因为，平面，平面，，AD BC ⊥AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D = 所以平面BC ⊥PAD又因为平面，所以AP ⊂ADP PA BC⊥（2）在平面中，过点作，垂足为，连接，，，如图3，PAD P PE AD ⊥E CE BE PE图3由（1）平面，则，则平面BC ⊥PAD BC PE ⊥PE ⊥ABC 在中，，，同理PCA π3PAC ∠=π22AP AC PCA =⇒∠=π2PBA ∠=∵，，且，平面，则平面.AC PE ⊥AC CP ⊥PE CP P ⋂=,PE CP ⊂CPE AC ⊥CPE 又∵平面，∴，同理可得，CE ⊂CPE A C CE ⊥AB BE ⊥则四边形为正方形，ABCE，则在中，可求出2AB AC BE CE ====Rt PBE △PB =PE =则以为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，A AB x AC y则，，，，()0,0,0A ()2,0,0B ()0,2,0C (2,2,P设平面的法向量为，，，PAB (),,m x y z =()2,0,0AB =(0,2,BP =则，令，则，2020x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩1y =0x=0,1,z m ⎛=⇒= ⎝ 设平面的法向量为，，，PBC (),,n x y z =()2,2,0CB =-(0,2,BP =则，令，则，22020x y y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩1x =1y=1,1,z n ⎛=⇒= ⎝ 记二面角的平面角为，A PBC --θ则cos m nm n θ⋅===⋅又因为为锐角，则θcos θ=19．已知椭圆C ：与椭圆的离心率相同，为椭圆C 上()222210x y a b b a +=>>22184x y +=P ⎫⎪⎪⎭一点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问以AB 为直径的圆是否经过定点？若1,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭T 存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.T 【答案】(1)2212y x +=(2)存在的坐标为，理由见解析T (1,0)-【分析】（1）先求出椭圆，由此得到，将点的坐标代入椭22184x y +=222a b =P 圆，得到，再代入，解得，，则可得结果；C 221112b a +=222a b =21b =22a =（2）先用两个特殊圆求出交点，再猜想以AB 为直径的圆经过定点，再证明猜想，(1,0)-(1,0)T -设直线，并与联立，利用韦达定理得到，，进一步得到，1:3l x my =+2212y x +=12y y +12y y 12x x +，利用，，，证明即可.12x x 12y y +12y y 12x x +12x x 0TA TB ⋅=【详解】（1）在椭圆中，，，离心率22184x y +=1a =12b=12c ==e =11c a ==在椭圆C ：中，()222210x y a b b a +=>>c e a ===，=222a b =因为在椭圆C ：上，P ()222210x y a b b a +=>>所以，所以，所以，，221112b a +=2211122b b +=21b =22a =所以椭圆.22:12y C x +=（2）当直线的斜率为0时，线段是椭圆的短轴，以AB 为直径的圆的方程为，l AB 221x y +=当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，以AB 为直径的圆的l l 13x =2212y x +=43y =±方程为，22116()39x y -+=联立，解得，2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩10x y =-⎧⎨=⎩由此猜想存在，使得以AB 为直径的圆是经过定点，(1,0)T -(1,0)T -证明如下：当直线的斜率不为0且斜率存在时，设直线，l 1:3l x my =+联立，消去并整理得，221312x my y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x 22128(0239m y my ++-=，224184()0929m m ∆=++⋅>设、，11(,)A x y 22(,)B x y 则，，122213()2m y y m +=-+122819()2y y m =-+则，121212112()333x x my my m y y +=+++=++2222133()2m m =-++121211()()33x x my my =++2121211()39m y y m y y =+++22228211199()9()22m m m m =--+++，22101199()2m m =-++因为TA TB⋅1122(1,)(1,)x y x y =+⋅+1212(1)(1)x x y y =+++1212121x x x x y y =++++222221012281111939()3()9()222m m m m m =-+-++-+++2216816199()2m m +=-++，0=所以，所以点在以为直径的圆上，TA TB ⊥(1,0)T -AB 综上所述：以AB 为直径的圆是经过定点.(1,0)T -【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
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【精品文档，百度专属】2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=14．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．16．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．08．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“?x∈R，x2≥0”，则￢p：．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=1【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“直线a，b没有公共点”?“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”?“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．1【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．0【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a?a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A．8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故 B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos∠APB=﹣．故选：C．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，∴a+2b﹣2=0，∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||==．∴线段B1P的长度的最大值为3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“?x∈R，x2≥0”，则￢p：?x∈R，x2＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“?x∈R，x2≥0”，则￢p：?x∈R，x2＜0．故答案为：?x∈R，x2＜0．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为6．【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l?平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ＝==．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴?=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC是直角三角形；（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，（1分）因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，（2分）因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．（3分）因为AE?平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（4分）（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），（6分），，（7分）因为，所以，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，（6分）所以AB⊥A1D．（7分）因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D?平面EFD，（10分）所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．（12分）设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）因为A1D⊥平面ABE，BG?平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．（14分）19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，则椭圆G的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及在集合B中都有唯一确定的数()→．A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法a b；①设,a b是两个实数，且a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做[,]满足a xb 的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ，或a x b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb xb 的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b ++．注意：对于集合{|}x a xb 与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z +．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y 时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y =-，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的→．对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A Ba Ab B．如果元素a和元素b对应，那么②给定一个集合A到集合B的映射，且,我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．。