八年级数学竞赛例题专题讲解13：整式的乘除

专题13 三角形的基本知识

阅读与思考

三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.

解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.

应熟悉以下基本图形：

图4

图3

图2

图1

C

D

B

A

D C

B

A

D

C

B

A

D

C

O

B

A

例题与求解

【例1】 在△ABC 中，∠A =50°，高BE ，CF 交于O ，则∠BOC =________.

（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）

解题思路：因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.

【例2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为（）

A.17cm

B.5cm

C.5cm或17cm

D.无法确定

（北京市竞赛试题）解题思路：中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.

【例3】 如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC =140°，∠BGC =110°，求∠A 的大小.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：运用凹四边形的性质计算.

G

C D

B

E

F A

【例4】 在△ABC 中，三个内角的度数均为正数，且∠A ＜∠B ＜∠C ，4∠C ＝7∠A ，求∠B 的度数.

（北京市竞赛试题）

解题思路：把∠A ，∠C 用∠B 的代数式表示，建立关于∠B 的不等式组，这是解本题的突破口.

【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？

（2）现有长为150cm的铁丝，要截成)2

n小段，每段的长不小于1cm

(>

n

的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段.

（江苏省竞赛试题）解题思路：对于（1），不妨设三角形三边为a，b，c，且c

a<

<，

b

由条件及三角形三边关系定理可确定c的取值范围，从而可以确定整数c的值.

对于（2），因n段之和为定值150cm，故欲使n尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.

【例6】在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问：以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？

（天津市竞赛试题）解题思路：本题的解题关键是找到规律：三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.

能力训练

A 级

1.设a ，b ，

c

是△ABC 的三边，化简

c b a c b a --+++=____________.

2.三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是__________.

3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形.

4.如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为____________. （“缙云杯“试题）

E

D

C

B

A

H

D C

M

G B

A

E

C

B

A

（第4题） （第5题） （第6题）

5.如图，已知AB ∥CD ，GM ，HM 分别是∠AGH ，∠CHG 的角平分线，那么∠GMH =_________.

T E

D G

H

C

B

A F

2

1

A

C

E

D

B

（第7题） （第9题） 6.如图，△ABC 中，两外角平分线交于点E ，则∠BEC 等于（ ） A .)90(2

1A ∠-︒ B .A ∠+︒2

190 C .)180(2

1A ∠-︒ D .A ∠-︒2

1180

7.如图，在△ABC 中，BD ，BE 分别是高和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH ⊥BE 交BD 于G ，交BC 于H .下列结论：

①∠DBE =∠F ；②2∠BEF =∠BAF +∠C ；③∠F =2

1

（∠BAC -∠C ）；④∠BGH =∠ABE +∠C .

其中正确的是（ ）

A .①②③

B .①③④

C .①②③

D .①②③④

8.已知三角形的每条边长的数值都是2 001的质因数，那么这样的不同的三角形共有（ ）

A .6个

B .7个

C .8个

D .9个 9.如图，将纸片△ABC 沿着D

E 折叠压平，则（ ）