(完整版)直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题,推荐文档

为 8cm
2 作法：以 A 点为圆心，rA′=15+7=22 为半径作圆，则⊙A 的半径为 22cm 例 3．如图所示，点 A 坐标为（0，3），OA 半径为 1，点 B 在 x 轴上．
1 若点 B 坐标为（4，0），⊙B 半径为 3，试判断⊙A 与⊙B 位置关系；
2 若⊙B 过 M（－2，0）且与⊙A 相切，求 B 点坐标． _
即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线
P
∴ PA2 PC PB
A
D
E
O
C
B
（4） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长
的积相等（如上图）。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线 ∴ PC PB PD PE
五、三角形的内切圆
A
D
E
P
O
C
O
A
(1)
(2)
(2）作⊙A 与⊙O 相内切，并求出此时⊙A 的半径．
解题思路：（1）作⊙A 和⊙O 外切，就是作以 A 为圆心的圆与⊙O 的圆心距
d=rO+rA；（ 2） 作 OA 与⊙O 相内切，就是作以 A 为圆心的圆与⊙O 的圆心 距
d=rA－rO．
解：如图 2 所示，（1）作法：以 A 为圆心，rA=15－7=8 为半径作圆，则⊙ A • 的半径
答（1）AB=5>1+3，外离．
（2）设 B（x，0）x≠－2，则 AB= 9 x2 ，⊙B 半径为│x+2│，
①设⊙B 与⊙A 外切，则 9 x2 =│x+2│+1，
_
x
当 x>－2 时， 9 x2 =x+3，平方化简得：x=0 符题意，∴B（0，0），
C
O
BD
三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平
分两条切线的夹角。即：∵ PA 、 PB 是的两条切线
B
∴ PA PB PO 平分BPA
（证明）
O P
四、圆幂定理
A
（1） 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘
积相等。
D
B
O
P
C
A
即：在⊙ O 中，∵弦 AB 、CD 相交于点 P ，
半径作⊙O，当射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转 度时与⊙0 相切．
六、圆与圆的位置关系
外离（图 1） 无交点 d R r； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ；
相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r； 内含（图 5） 无交点 d R r；
∴ PA PB PC PD （相似）
（2） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所
C
成的两条线段的比例中项。
即：在⊙ O 中，∵直径 AB CD ，
B
OE
A
D
∴ CE2 AE BE
（3） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点
到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
1 CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． 2 若 CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径． 解题思路：（1）要说明 CD 是否是⊙O 的切线，只要说明 OC 是否垂直于 CD，垂足 为 C ， 因为 C 点已在圆上．
由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切
图 2 所示．
解：∵PO=OO′=PO′ ∴△PO′O 是一个等边三角形 ∴∠OPO′=60°
又∵TP 与 NP 分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°
∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°
例 2．如图 1 所示，⊙O 的半径为 7cm，点 A 为⊙O 外一点，OA=15cm， 求：（1）作⊙A 与⊙O 外切，并求⊙A 的半径是多少？
d
R
r
图1
d
R
r
图2
d
R
r
图3
d Rr
dr R
图4
图5
例 1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图 1 所示（点 O，O′是圆心），分隔
两个肥皂泡的肥皂膜 PQ 成一条直线，TP、NP 分别为两圆的切线，求∠TPN 的大小．
（1）
(2)
解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如
直线与圆、圆与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点(切点）；
3、直线与圆相交 d r 有两个交点；
rd
d=r
rd
二、切线的判定定理与性质 （1） 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
当半径 r 多长时所作的⊙A 与直线 BC 相切？相交？相离？
P
B O
A来自百度文库
解题思路：作 AD⊥BC 于 D
在
中 ，∠B=30° ∴
在
中，∠C=45°
∴ CD=AD
∵ BC=6cm ∴
∴
∴当
时，⊙A 与 BC 相切；当
时，⊙A 与 BC 相交；
当
时，⊙A 与 BC 相离。
例 2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在 AB 的延长线上，且 ∠ D C B = •∠ A ．
理由：①C 点在⊙O 上（已知） ➁∵AB 是直径
A ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在 Rt△OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是 10．
B
1 定义：与三角形三边都相切的圆（角平分线的交点）
2 内心、外切三角形
例 1：如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C＝90 ，AO 的延长线交 BC 于点
D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
1、如图，∠ABC=90°，O 为射线 BC 上一点，以点 O 为圆心、 1 BO 长为 2
即：∵ MN OA 且 MN 过半径OA 外端
∴ MN 是⊙ O 的切线
O
（2） 性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图）
M
A
N
①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就
能推出最后一个。
例 1、 在
中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以 A 为圆心，