微课制作 函数的单调性
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f(2) f(1) O 1 2x
注：
函数的单调性也叫函 函数的增减性
有些函数在定义域内是单调的如 y=x;有些函数在 定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分 区间上是减函数（如二次函数），还有的函数是 非单调的，如y=c（c为常数）。
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数 y f ( x) 的图象，根据图象 y f ( x) 是 说出 y f ( x) 的单调区间，以及在每一单调区间上， 增函数还是减函数. y 3
小结
1、函数的单调性的定义． 2、根据图像写出函数的单调区间。
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
M
N
？
对区间I内
x 1， x 2 ，
有f(x1)<f(x2)
I x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
当x1<x2时，
有f(x1)<f(x2)
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x2 )，
那么就说f(x)在这个区间上是单调增 那么就说f(x)在这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
青海省海南州第一高级中学数学教研组
高中必修1第1章第3.1节函数的单调性
赵持秀
2016年5月4日
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好 ，
形 少 数 时 难 入 微 ；
数 缺 形 时 少 直 观 ，
上升
y
下降
y
局部上升或下降
y
y x 1
x
y x 1
x
yx
x
2
o
o
o
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
解：函数的单调区间有 [－5，－2）， [－2，1）， [1，3）， [3， 5 ]. 其中在[－5，－2）， [1，3）上函数是减函数，在 [－2，1）， [3，5 ]上函数是增函数。
单调区间的书写：
函数在其定义域内某一点处的函数值 是确定的。若函数在区间端点处有定义， 则写成闭区间，当然写成开区间也可以， 若函数在区间端点处无定义，则必须写 成开区间。
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
x2
x
ห้องสมุดไป่ตู้
定 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为
增区间.
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
函数的这种性质称为函数的单调性 能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标 关系来说明上升或下降趋势吗？
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
注：
函数的单调性也叫函 函数的增减性
有些函数在定义域内是单调的如 y=x;有些函数在 定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分 区间上是减函数（如二次函数），还有的函数是 非单调的，如y=c（c为常数）。
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数 y f ( x) 的图象，根据图象 y f ( x) 是 说出 y f ( x) 的单调区间，以及在每一单调区间上， 增函数还是减函数. y 3
小结
1、函数的单调性的定义． 2、根据图像写出函数的单调区间。
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
M
N
？
对区间I内
x 1， x 2 ，
有f(x1)<f(x2)
I x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
当x1<x2时，
有f(x1)<f(x2)
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x2 )，
那么就说f(x)在这个区间上是单调增 那么就说f(x)在这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
青海省海南州第一高级中学数学教研组
高中必修1第1章第3.1节函数的单调性
赵持秀
2016年5月4日
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好 ，
形 少 数 时 难 入 微 ；
数 缺 形 时 少 直 观 ，
上升
y
下降
y
局部上升或下降
y
y x 1
x
y x 1
x
yx
x
2
o
o
o
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
解：函数的单调区间有 [－5，－2）， [－2，1）， [1，3）， [3， 5 ]. 其中在[－5，－2）， [1，3）上函数是减函数，在 [－2，1）， [3，5 ]上函数是增函数。
单调区间的书写：
函数在其定义域内某一点处的函数值 是确定的。若函数在区间端点处有定义， 则写成闭区间，当然写成开区间也可以， 若函数在区间端点处无定义，则必须写 成开区间。
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
x2
x
ห้องสมุดไป่ตู้
定 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为
增区间.
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
函数的这种性质称为函数的单调性 能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标 关系来说明上升或下降趋势吗？
在某一区间内，
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O