刚体转动及角动量守恒

棒
上摆阶段 弹嵌定于棒内与棒一起上摆，
非保守内力的功为Biblioteka Baidu，由系统动能定理 子弹
外力（重 力）的功
上摆末动能
上摆初动能
外 其中
联立解得
匀质直棒与单摆 小球的质量相等 两者共面共转轴
水 平 静 止 释 放 静 悬 弹碰 忽略摩擦
守恒例题三
满足什么条件时，小球（视为 质点）摆至铅垂位臵与棒弹碰而小 球恰好静止。直棒起摆角速度 对摆球、直棒系统
得
由转动定律
得
则
一端为轴 匀直细杆 水平位臵静止释放
动能定理例题二从水平摆至垂直
外力矩作的总功
由
得
本题 代入得 利用 的关系
摆至垂直位臵时杆的
还可算出此时杆上各点的线速度
动能定理例题三从水平摆至垂直
水平位臵静止释放 段，外力矩作正功 段，外力矩作负功
合外力矩的功 ∑
由 得 转轴对质心轴的位移 摆至垂直位臵时杆的 代入得
4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
单位：
转动方程求导例题
rad rad s -1
rad s -2 rad
rad s -1 rad s -2
匀变角速定轴转动
rad
150p 100p 50p p 53p 52p 51p 50p
rad s
1
rad s
2
p
t
s
t
s
t
s
积分求转动方程
恒量
且t=0 时
对
质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
b
T2 T2 m2
m
R
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
得 故
a = Rb I = 2 mR2
常量
1
b
( m 1 - m2 ) g = R(m1+ m2+ m 2)
的薄圆盘的转动惯量为
其中
常用结果 匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面
匀质细直棒
转轴通过端点与棒垂直
R
m
m
L
1 2 mR I= 2
1 2 m L I= 3
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
m I= (a 2 + b 2 ) 12 匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
m I = 2 (R12 + R22 ) 匀质圆柱体
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
小小
A、B两轮共轴 A以wA作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
wAB
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位臵，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹
得
得
任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程
或
匀变角速定轴转动的运动方程
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ，瞬 时角加速度为 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
线量与角量的关系
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
质点直线运动或刚体平动
小球下摆阶段 从水平摆到弹碰即将开始，
由动能定理得
球、棒相碰瞬间在铅垂位臵， 系统受合外力矩为零，角动量守恒。
刚要碰时系统角动量 球 棒 刚碰过后系统角动量 球
弹碰阶段
棒
弹碰过程能量守恒
其中
联立解得
0.577
1.861
=
r
r
转动惯量的计算
将刚体转动定律 M
=I b
与质点运动定律 F
= m a 对比
转动惯量
I
是刚体转动惯性的量度
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
I
∑
质量连续分布的刚体用积分求 I
I I
的单位为
为体积元
处的密度
分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球（视为质点） 的轻细硬杆的质量可以忽略， 则
由
a
G2 G1
a
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
q
q
根据
1 2 1 2
q
q
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
转动动能
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能
（忽略质量）
系统的总冲量矩 例如 求角加速度
∑
系统：
静 止 释 放
∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得
同向 ∑ 而
解得
主要公式归纳
（微分形式） （积分形式）
∑ ∑
∑
是矢量式 与质点平动对比
刚体的角动量守恒定律
由 若 则 刚体所受合外力矩 即
当刚体所受的合外力矩 刚体的角动量
等于零时， 保持不变。
合外力矩
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
F2
Ft 2
j2
r2
P2
O
r1
F t1
P1
F1
j1
d2 d1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1 方向
M2
合外力矩 大小
大小
M = M1 + M 2
= F1 d 1 = Ft 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin j 2 F 2 r2 = F2 d 2 = Ft
刚 体 公式对比 角位移
的 定 轴 转 动
位移 速度
加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动
角速度
角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
刚体转动定律引言
质点
或
刚体平动 的运动定律
F = ma
合外力
惯性质量
合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
刚体转动及角动量守恒
刚体运动的分类 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）
平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
刚体任意 刚体质心 刚体每点 限制在一平 两点的连线 保持方向不 绕同一轴线 面内，转轴 变。各点的 作圆周运动， 可平动，但 且转轴空间 始终垂直于 位臵及方向 该平面且通 相同，可当 不变。 过质心 作质点处理。
O
ji
ri
等式两边乘以 i 即 并对所有质元及其所受力矩求和
sin j i + f i sin q i Fi刚体的转动定律 = a it = ri b
受外力 b fi ∑ Fii 受内力 ai Fi + f i = 与刚体性质及质量分布有 其法向 n 分量均通过转轴， 关的物理量，用 I 表示 不产生转动力矩。 称为 t 转动惯量 投影式为 其切向
对所有质元的动能求和
∑
得
∑
转动惯量 I
I
力矩的功
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
作的总功为
力矩的瞬时功率
拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小 力矩的功算例
转轴
平放一圆盘
总摩擦力矩
是
各微环带摩擦元力矩
粗糙水平面
的积分
环带面积 环带质量 环带受摩擦力 环带受摩擦力矩
∑
转轴
∑
0.75
质量连续分布的刚体 直棒算例
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 质心 例如： 代入可得 端
时
新轴
质心轴
匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元
可看成是许多半径不同的共轴 匀质实心球对心轴的 球体算例 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为
圆盘受总摩擦力矩
转一周摩擦力矩的总功 得
刚体的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
匀质圆盘
圆盘下摆 时质点 的 动能定理例题一 、切向、法向加速度
盘缘另固 连一质点 水平静 止释放
角速度
的大小
对
外力矩的功
其中
系统
系统转动动能增量
通过盘心垂直 盘面的水平轴
M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
t
qi
n
fi
∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ji
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
刚体上 复杂 各质点都 的运动 以某一定 与平动 点为球心 的混合。 的各个球 面上运动。
定轴转动参量
1. 角位臵
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为 ( T2 – T1 ) R – Mr= Ib 再联立求解。
细绳缠绕轮缘 （A） （B）
转动定律例题三
（A）
m
R
m
R （B）
恒力
F
m1
滑轮角加速度 b 细绳线加速度 a
R = 0.1m m = 5kg m 1 = 3kg m 2 = 1kg
物体从静止开始运动时，滑轮的 转动定律例题四 转动方程
与
时刻对应，何时 何时
则何时 恒定 则何时
， 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例题二 转动 ( T2 – T1 ) R = Ib
m
R
T2
T1
a
m2 m1
轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑 （以后各例同）
I=mR2 2 b 平动 m2 g – T2 = m2a T1 – m1 g = m1a T1 T2 a = Rb 线-角 T1 T2 联立解得 a a m2 m1 g g a= 1 G1 m1+ m2+ 2 m G2 T1 = m1 ( g + a ) m1 g T2 = m2 ( g – a ) m2 g
含平动的转动问题
力 外 力矩 动
力 非保守内力矩
势 转动 动 平动
机械
势
势 转动
平动
右例 系统（轮、绳、重物、地球）
力 外 力矩
忽略 摩擦
转动 势
力 非保守内力矩 平动 转动 势
平动
此外 可求
或
刚体的角动量
定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 任一质元（视为质点）的质量 其角动量大小 全部质元的总角动量
∑
∑
所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动
∑
对质量连续分布的刚体
刚体的角动量定理
回忆质点的角动量定理 （微分形式）
（积分形式）
（微分形式）
合外力矩
角动量的时间变化率
（积分形式）
冲量矩
角动量的增量
刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳
Fi sin j i + f i sin q i = a it = ri b
受外力 Fi 受内力 fi ai Fi + f i = 其法向n 分量均通过转轴， 不产生转动力矩。 其切向 t 投影式为
r
ri
b
b
M
=
∑
ri
转动惯量
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元 M
Fi
t
qi
n
fi
刚体所获得的角加速度 ∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin的大小与刚体受到的 qi = ∑ ri b 合外力矩 合外力矩 M 内力矩成对抵消 =0 的大小成正比， 得 与刚体的转动惯量 M= ∑ ri b 成反比。
转轴通过中心 垂直于几何轴
I=mR2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
I=
m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心
I=
mR 2
2
2 m R2 I= 3
转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为负。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。
乘积
角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变， 变小则 变大， 变大则
变小。
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂
小 大
小
乘积
角动量守恒的另一类现象 花样滑冰中常见的例子 保持不变， 变小则
花样滑冰 张臂
张臂 大大 收臂 收臂 小 小 大 大
变大， 变大则
变小。
先使自己 转动起来