人教版数学高一-人教A版三角函数的简单应用名师导学案

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121任意角的三角函数(一)导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4

1.2任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数（一）
一、学习目标、细解考纲
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)
3掌握公式——并会应用．
4.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养了学生数学抽象和数学建模的核心素养.
5.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升了学生直观想象和数学运算的核心素养.
二、自主学习—————（素养催化剂）
（阅读教材第11—14页内容，完成以下问题：）
1.任意角的正弦,余弦,正切是怎样定义的?明确函数定义域
2.各函数在每个象限的符号怎么判断?
3.理解公式一,明确公式一的作用
三、探究应用,“三会培养”(素养生长剂)
四、拓展延伸、智慧发展（素养强壮剂）
五、备选例题
六、本课总结、感悟思考（素养升华剂）。

人教版高中数学高一A版必修4导学案任意角的三角函数(第1课时)

第1课时三角函数的定义1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用.2.能判断任意角的三角函数值的符号.3.掌握公式一及其应用.1.任意角的三角函数(1)单位圆：在直角坐标系中，称以________为圆心，以为半径的圆为单位圆.(2)锐角的三角函数：如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=a，AB=b，OB=r，设∠BOA=α，则有：(3)任意角的正弦、余弦、正切：如图所示，α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以α的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系.设P(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则有：利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(除原点外)的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2)，那么：①比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r .②比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r .③比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx.(x ≠0)(4)定义：当α＝ (k ∈Z )时，tan α无意义.除此之外，对于每一个确定的α，都分别有确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为，分别记作y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x .由于角的集合与实数集之间建立了一一对应关系，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数，即实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)，其关系如下图所示：(5)【做一做1－1】若角α终边上有一点P (0,3)，则下列式子无意义的是( ) A.tan αB.sin αC.cos αD.sin αcos α【做一做1－2】若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎫22，－22，则sin α的值为( )A.22B.－22C.12D.－1 2.三角函数值的符号sin α，cos α，tan α在各个象限的符号如下：正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆： “一全正，二正弦，三正切，四余弦”.其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正.【做一做2】已知α是第三象限角，设sin αcos α＝m ，则有( ) A.m ＞0 B.m ＝0 C.m ＜0 D.m 的符号不确定 3.公式一(k ∈Z )sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝________， tan(α＋2k π)＝________.该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应.【做一做3－1】已知sin 5.1°＝m ，则sin 365.1°＝( ) A.1＋m B.－m C.m D.与m 无关【做一做3－2】已知α与β的终边相同，则下列正确的是( ) A.sin α＝－sin β B.cos α＝cos β C.tan αtan β＝0 D.tan α＝－tan β答案：1．(1)原点单位长度 (2)b r a r b a (3)y x y x (4)π2＋k π 唯一自变量三角函数 (5)R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }【做一做1－1】 A 角α的终边在y 轴的非负半轴上，则α＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以tan α无意义．【做一做1－2】 B x ＝22，y ＝－22，则sin α＝y ＝－22. 【做一做2】 A3．sin α cos α tan α 【做一做3－1】 C 【做一做3－2】 B对任意角的三角函数的理解剖析：可以从以下几方面来理解任意角的三角函数：(1)要明确sin α、cos α、tan α分别是一个整体，如sin α不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f (x )表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.(2)三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了.就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.(3)任意的三角函数的概念与锐角三角函数概念的实质是一样的，锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.题型一三角函数值的计算【例1】求2π3的正弦、余弦和正切值.分析：根据定义，只需求出角2π3的终边与单位圆的交点坐标即可.【例2】已知角α的终边经过点P (3,4)，求sin α，cos α， tan α. 分析：分别写出x ，y ，r 的值，应用定义求得.【例3】已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值. 分析：根据任意角的三角函数的定义，应首先求出点P 到原点的距离r ，由于含有参数a ，要分类讨论.反思：(1)对于α的终边上一点P (x ，y )(非原点)，P 到原点的距离为r ，根据三角函数的定义可得sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.(2)求三角函数值往往用上述定义，而不必再转化为求出角的终边与单位圆的交点坐标，只要知道角的终边上任意一点(非原点)的坐标即可.题型二判断已知角的三角函数值的符号【例4】判断下列三角函数值的符号： (1)sin(－670°)cos 1 230°；(2)sin 8·cos 8. 分析：判断出相关角的终边所在的象限，确定各三角函数值的符号，则积的符号可判断. 反思：已知α的大小，判断sin α，cos α，tan α的符号的步骤：①确定α所在象限；②由α所在象限确定sin α，cos α，tan α的符号.题型三利用三角函数值的符号确定角所在象限【例5】若sin θtan θ＜0，则θ是( ) A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第一或第四象限角 D.第二或第三象限角反思：已知sin α，cos α，tan α中任两个值符号，确定α所在象限时，首先分别确定出α终边所在的可能位置，二者的交集即为α的终边位置.题型四公式一的简单运用【例6】求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4. 分析：先利用公式一化简，再求值. 反思：对公式一的理解：答案：【例1】解：因为角2π3的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，32，所以sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，tan 2π3＝－ 3.【例2】解：由x ＝3，y ＝4，得r ＝32＋42＝5.∴sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43.【例3】解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |.若a ＞0，r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a ＜0，r ＝－5a ，角α在第四象限．sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.【例4】解：(1)∵－670°＝－2×360°＋50°，∴－670°是第一象限角，∴sin(－670°)＞0.又1 230°＝3×360°＋150°， ∴1 230°是第二象限角，∴cos 1 230°＜0，∴sin(－670°)cos 1 230°＜0. (2)∵52π＜8＜3π，即8 rad 的角是第二象限角，∴sin 8＞0，cos 8＜0.∴sin 8·cos 8＜0.【例5】 D ∵sin θtan θ＜0，∴sin θ＞0，tan θ＜0或sin θ＜0，tan θ＞0.当sin θ＞0，tan θ＜0时，θ是第二象限角；当sin θ＜0，tan θ＞0时，θ是第三象限角．综上所得，θ是第二或第三象限角．【例6】解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22.1．sin 390°等于( )A.12B.2D.12．若sin α＜0且tan α＞0，则α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．已知角α的终边过点P (4a ，－3a )(a ＜0)，则2sin α＋cos α的值是________. 4．判断下列各式的符号. (1)tan 250°cos(－350°)；(2)sin 105°cos 230°. 5．利用定义求5sin 4π，5cos 4π，5tan 4π的值.答案：1．A sin 390°＝sin(30°＋360°)＝sin 30°＝12. 2．C 由于sin α＜0，则α的终边在第三或四象限，又tan α＞0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．3.25∵x ＝4a ，y ＝－3a ，∴r ＝|5a |＝－5a .∴sin α ＝y r ＝35.cos α＝x r ＝45-.∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.4．解：(1)∵250°是第三象限角，－350°＝－360°＋10°是第一象限角， ∴tan 250°＞0，cos(－350°)＞0， ∴tan 250°cos(－350°)＞0.(2)∵105°是第二象限角，230°是第三象限角， ∴sin 105°＞0，cos 230°＜0， ∴sin 105°cos 230°＜0.5．解：如图所示，在坐标系中画出角5π4的终边．设角5π4的终边与单位圆的交点为P，则有P⎛⎝⎭.∴5πtan4＝1，5πsin4＝5πcos4＝。

【四维备课】高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案新人教a版必修4

1.6《三角函数模型的简单应用》导学案【学习目标】1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【导入新课】复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识.新授课阶段例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．解：例2 画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解：例4 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++．（１）求这一天的最大温差；（２）写出这段曲线的函数解析式． θφφ-δδ太阳光答案：解：例5 若cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值.解：课堂小结1.精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质.2.分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题.作业课本第73页习题A 组第1、2、3、4题拓展提升一、选择题1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）A ．0B ．4π C.2π D.π 2．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是（） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=- 3．若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（）A ．35(,)(,)244ππππ B.5(,)(,)424ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244ππππ 4．若,24παπ<<则（）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ． αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（） A ． 52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α= 时，该命题的结论不成立.8．函数xx y cos 2cos 2-+=的最大值为________. 9．若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.10．满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 11．若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.三、解答题 12．画出函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的图象.13．比较大小（1）00150sin ,110sin ；（2）00200tan ,220tan .14．（1）求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域.（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值.参考答案例1解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是20C ；（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象， ∴1468.2T =-=∴16.T = ∵ωπ2=T ，∴.8πω= 又∵301010,2301020.2A b -⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩ ∴10,20.A b =⎧⎨=⎩ ∴10sin()20.8y x πφ=++ 将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ. 例2分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3分析与简解：与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的例4答案：解：（１）由图可知，这段时间的最大温差是20℃．（２）从图中可以看出，从6~14时的图象是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，所以()13010102A =-=， 1(3010)202b =+=， ∵121462ω=- π， ∴8ω=π．将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π．综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈．例5解：令sin ,[1,1]x t t =∈-，21sin 2sin y x p x q =-++, 2222(sin )1()1,y x p p q t p p q =--+++=--+++22()1y t p p q =--+++,对称轴为t p =.当1p <-时，[1,1]-是函数y 的递减区间，max 1|29t y y p q =-==-+=,min 1|26t y y p q ===+=，得315,42p q =-=，与1p <-矛盾；当1p >时，[1,1]-是函数y 的递增区间，max 1|29t y y p q ===+=,min 1|26t y y p q =-==-+=，得315,42p q ==，与1p >矛盾；当11p -≤≤时，2max |19t p y y p q ===++=，再当0p ≥，min 1|26t y y p q =-==-+=，得1,4p q =+当0p <，min 1|26t y y p q ===+=，得1,4p q ==+1),4p q ∴=±=+一、选择题1.C 当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数 2.C 111sin()sin()sin[()]sin()32323326y x y x y x y x πππππ=-→=-→=+-→=- 3.B 5sin cos 0544(,)(,)tan 054240,24ππαααπππαπαππαπα⎧<<⎪->⎧⎪⇒⇒∈⎨⎨>⎩⎪<<<<⎪⎩ 或 4.D tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >> 5.D 2525T ππ== 6. C 由x y sin =的图象知，它是非周期函数二、填空题7.① 0 此时()cos f x x =为偶函数8.3 22221(2cos )2cos ,cos 11,3113y y y x x x y y y ---=+=⇒-≤≤≤≤++ 9.2,3或 ,12,,2,32T k k N k k k ππππ=<<<<∈⇒=而或 10.|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 11.34 [0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤<max 3()2sin,332344f x ωπωπωππω===== 三、解答题 12.解：将函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象关于x 轴对称，得函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象，再将函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象向上平移一个单位即可.13.解：（1）00000000sin110sin70,sin150sin30,sin70sin30,sin110sin150==>∴>而（2）00000000tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而14.解：（1）221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈ 5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈ 为所求. （2）0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-；当cos 1x =时，max ()sin1f x =.。

高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用问题导学案新人教A版必修4(2021学年)

高中数学第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用问题导学案新人教Ａ版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第一章三角函数1．６三角函数模型的简单应用问题导学案新人教A版必修4)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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１.6 三角函数模型的简单应用问题导学一、与函数图象有关的问题活动与探究１已知电流I与时间t的关系为Ｉ＝A sｉｎ（ωt+φ).(1)如图所示的是I=A siｎ(ωt+φ)错误!在一个周期内的图象，根据图中数据求I=A sｉｎ（ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一段错误!秒的时间内,电流Ｉ=A sin(ωｔ+φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？迁移与应用已知函数ｆ(x)(１)（2)根据(1)的结果,若函数y=f(kｘ)（k>0）的周期为错误!,当ｘ∈错误!时,方程ｆ(ｋx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．正确运用三角函数的图象与性质以及数形结合的数学思想,还要综合应用相关学科的知识来帮助理解具体问题.二、函数解析式的应用活动与探究２一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米,最高点距地面１８米，P 是摩天轮轮周上的定点,点P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米）,设h＝Ａsin(ωt＋φ)+Ｂ(Ａ>０,ω>0，φ∈[0,２π））,则下列结论错误的是（）Ａ．A＝8 B.ω=错误!C．φ＝错误!Ｄ.Ｂ=1０迁移与应用设y=f（t)是某港口水的深度ｙ（m)关于时间t(时)的函数,其中0≤ｔ≤２４,下表是该港)的图象,下面的函数中,最能近似表示表中数据的对应关系的函数是( ）A.ｙ=12+3sin错误!ｔ,ｔ∈[0,24］B.ｙ＝12＋3ｓin错误!，t∈［0,24]C.y＝12+3sin错误!ｔ，t∈[0,２4]D．y＝12＋３ｓin错误!，t∈[0,24］解决该类题目的关键在于如何把实际问题三角函数模型化,而散点图起了关键的作用．解决这类题目的通法如下:当堂检测1.电流I（Ａ）随时间t（s)变化的关系式是Ｉ＝5sｉn错误!，则当t＝错误!s时,电流I 为( ）A.5 A Ｂ.2。

高中数学第一章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)导学案新人教A版必修4

1.2.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案 sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 梳理 (1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？答案由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时yx无意义，故tan α无意义.梳理三角函数的定义域知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.当α为第一象限角时，y>0，x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知识点四诱导公式一思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.梳理诱导公式一类型一三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值例1 已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝yr，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值.解由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b2，cos α＝a a 2＋b2，tan α＝ba. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值. 解因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.类型二三角函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π4.解 ①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π4是第四象限角，∴tan 7π4是负的，符号是“－”.反思与感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.跟踪训练3 (1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第象限角. 答案二解析由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 类型三诱导公式一的应用例4 求下列各式的值.(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值. (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C.－35D.－45答案 D解析由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.故选D.2.cos(－11π6)等于( )A.12B.－12C.32D.－32答案 C解析 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.3.若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A.－34B.34C.43D.－43答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35， ∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16， ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－2答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.5.已知角α的终边上有一点P (24k ，7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(－1 380°)的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝32. 2.已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.－ 2D.－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r＝x x 2＋5＝24x ， ∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 D4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.4π3D.11π6答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π6. 5.已知角α的终边经过点P (3，4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t 等于( )A.－916B.916C.34D.－34答案 A解析 sin(2k π＋α)＝sin α＝－35＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t ＜0.又sin α＝4t 9＋16t2，则4t9＋16t 2＝－35，所以t ＝－916.6.某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析由三角函数定义可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32.7.如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角.8.若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A.±15B.±55C.±255D.±12答案 C 二、填空题9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ . 答案32解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第象限角. 答案一或二解析要使原式有意义，需cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角.11.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .答案 2解析 ∵y ＝3x 且sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m | ＝－10m ＝10，∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.12.函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是 . 答案 {－4，0，2}解析由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4，0，2}. 三、解答题13.化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4； (2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.解 (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan(3×360°＋45°)＝a 2＋b 2＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.四、探究与拓展14.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝ .答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.15.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值. 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.② 由①②得角α在第四象限.(2)∵点M (35，m )在单位圆上， ∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45. 由三角函数定义知，sin α＝－45.。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质导学案

1．4三角函数的图象与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图，体会“几何法”作正弦函数图象的过程，提高动手能力；2、通过函数图象的应用，体会数形结合在解题中的应用；3、三角函数图象和图象的应用；自主梳理1．正弦函数（或余弦函数）的概念任意给定一个实数x ，有唯一确定的值x sin （或x cos ）与之对应，由这个对应法则所确定的函数x y sin =（或x y cos =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为。

2．正弦曲线或余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做和。

3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：（1）正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象中，五个关键点是：，，，。

（2）余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图象中，五个关键点是：，，，。

预习检测1、函数)3sin(π+=x y 的定义域为____________________；值域为____________________；2、函数)3cos(2π-=x y 的定义域为__________________；值域为____________________；互动课堂问题探究1：【例】作出函数x y cos 31-1=在]2,2[ππ-上的图像；【变式】)23sin(π+=x y ；问题探究2：【例】已知]23,2[ππ-∈x ，解不等式23sin -≥x ；【变式】已知R x ∈，解不等式23sin -≥x ；问题探究3：【例】求下列函数的值域：（1）x x y sin |sin |+= （2）]6,6[),32sin(2πππ-∈+=x x y（3）1cos 2cos --=x x y【变式】求函数],3[,1sin 4sin 32ππ∈+-=x x x y 的值域；问题探究4：【例】（1）讨论方程x x sin lg =解的个数；（2）若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围；【变式】当k 为何值时，方程k x x =+|sin |2sin 有一解、三解、四解？课堂练习1、在同一坐标系内的函数x y sin =与x y cos =的图象的交点坐标是（） A ． Z k k ∈),0,(π B Z k k ∈+),1,22(ππC Z k k k∈-+),)1(,2(ππ D Z k k k∈-+),2)1(,4(ππ2、下面有四个判断：① 作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与x 轴上的单位长可以不一致； ② []π2,0,sin ∈=x x y 的图象关于)0,(πP 成中心对称； ③ []π2,0,cos ∈=x x y 的图象关于直线π=x 成轴对称； ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线1,1-==y y 所夹的范围。

三角函数的应用教案(1 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

第五章三角函数5.7 三角函数的应用（第2 课时）【教学内容】学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”。

【教学目标】1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；2.初步学会使用数据分析或图像特征进行一些简单的函数模型求解；3.会使用三角函数模型解决简单的实际问题。

【教学重难点】教学重点：用三角函数模型解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.【教学过程】一、导入新课思考：生活中有什么事情是周而复始发生的？举例：小结：从上述例子中，可以得知生活中有很多重复出现的现象，我们尝试利用某种函数模型去研究当中的规律，帮助我们做出更加科学的决策。

请问你认为目前我们所学的什么函数模型适用于上述规律呢？函数模型；因为它具有性质。

二、课堂探究例题 1 如图，我国某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +ϕ) +b ( A > 0,ω> 0, ϕ<π)（1）求这一天 6—14 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。

解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃（2）由图可以看出，从 6—14 时的图像是函数小结：（1）振幅A=b=如何求函数中的ω和ϕ；（2）所求函数模型只能近似刻画某个区间的变化规律。

例题 2：货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头；卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时刻与水深关系的预报.(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 米,安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4 米,安全间隙为1.5 米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时0.3 米的速度减少,如果这条船停止卸货后需0.4 小时才能驶到深水域，那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?问题探究 1：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？小组合作发现，代表发言。

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式导学案(1)

1.3 三角函数的诱导公式（二）学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系.(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得诱导公式五 sin ()2απ-=cos α，cos ()2απ-=sin α. 知识点二诱导公式六思考能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin(－α). 由此可得诱导公式六 sin ()2απ+=cos α，cos ()2απ+=－sin α.知识点三诱导公式的推广与规律1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α，sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α.2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值.解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 反思与感悟对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值.解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.类型二利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边. ∴原等式成立.反思与感悟利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2 求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ) ＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.证明因为左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.所以左边＝右边，故原等式成立. 类型三诱导公式在三角形中的应用例3 在△ABC 中，sin A ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状.解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，即cos C ＝cos B .又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形.反思与感悟解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 跟踪训练3 在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④ 答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.类型四诱导公式的综合应用例4 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin (π2＋α)cos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值.解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.反思与感悟解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值.解方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )精品文档A.－233B.233C.13D.－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.2.若cos(2π－α)＝53，则sin(3π2－α)等于( ) A.－53B.－23C.53D.±53答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin(3π2－α)＝－cos α＝－53.3.已知tan θ＝2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)等于( )A.2B.－2C.0D.23答案 B解析 sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值.解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3 ＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.5.求证：tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝－tan α.证明因为左边＝tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan αsin αcos αcos αsin α＝－tan α＝右边，所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.25答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2.已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45 B.－45C.±45D.35精品文档答案 B解析 ∵cos(3π2＋α)＝sin α，∴sin α＝－35.又α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝45，∴cos(－3π＋α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45，故选B.3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cosA ＋C2＝sin BD.sinB ＋C2＝cos A2答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos(π2－B 2)＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，故D 项正确. 4.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( ) A.2 B.－2 C.2－π2D.π2－2 答案 C 解析 cos α＝2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝sin 2，∵α为锐角，∴α＝2－π2.5.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－3m 2.二、填空题7.若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝ . 答案265解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角，∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265. 8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ . 答案892解析原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245° ＝44＋12＝892.9.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ . 答案 2解析因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2，所以原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10.在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝ . 答案π2解析由题意得3cos A ＝3sin A ， ① cos A ＝3cos B ，②由①得tan A ＝33，∴A ＝π6. 由②得cos B ＝cosπ63＝12，∴B ＝π3.∴C ＝π2.三、解答题11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值.解 ∵角α的终边经过点P (－4，3)，∴tan α＝y x ＝－34，∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin αsin α－sin αcos α＝tan α＝－34.12.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值.解 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α，∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.13.已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(3)tan(5π－α). 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)＝ .答案－34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.15.已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。

人教版高中数学高一A版必修4课堂导学案 1.6三角函数模型的简单应用

课堂导学三点剖析1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题t(时) 03691215182124y(米)10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0根据上述数据描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+b 的图象.(1)试根据以上数据，求出y=Asinωt+b 的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略进出港所用的时间）？思路分析：（1）从拟合曲线可知，函数y=Asinωt+b 中的b ，由t=0时的函数值取的，t=3时取得最大值，进而可求得ω、A 、b 的值，即得函数的表达式.(2)根据（1）中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5+7=11.5（米）的时段，从而就可回答题中的两问.解:（1）从拟合曲线可知：函数y=Asi nωt+b 在一个周期内由最大变到最小需9-3=6小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此ωπ2=12,ω=6π. 又∵当t=0时，y=10;当t=3时，y max =13. ∴b=10,A=13-10=3.于是所求的函数表达式为y=3sin6πx+10. (2)由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5（米）.由拟合曲线可知，一天24小时，水深y 变化两个周期，故要使船舶在一天内停留港口的时间最长，则应从凌晨3点前进港，而从第二个周期中的下午15点后离港.令y=3sin6πx+10≥11.5，可得sin 6πx≥21. ∴2kπ+6π≤6πx≤2kπ+65π (k ∈Z ).∴12k+1≤x≤12k+5(k ∈Z ).取k=0，则1≤x≤5；取k=1，则13≤x≤17. 而取k=2时，则25≤x≤29（不合题意）.从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午的17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时. 2.从实际问题中抽象出三角函数模型【例2】如右图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m). (1)求函数h=f(t)的关系式；（2）画出函数h=f(t)的图象.解：(1)如下图，以O 为原点，过点O 的圆的切线为x 轴，建立直角坐标系.设点A 的坐标为（x,y ），则h=y+0.5.设∠OO 1A=θ,则cosθ=22y-,y=-2cosθ+2. 又θ=122π×t,即θ=6πt ，所以y=-2cos 6πt+2,h=f(t)=-2cos 6πt+2.5.(2)函数h=-2cos 6πt+2.5的图象如下温馨提示呈现周期性变化规律的实际问题的解决往往与三角函数有关. 实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同于常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意：（1）自变量的变化范围.（2）数形结合，通过观察图形，获得本质认识.（3）要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当数学模型. 3.绝对值对周期函数的影响【例3】画出下列函数图象并观察其周期性. （1）y=sin ｜x ｜; （2）y=cos ｜x ｜.思路分析：本题中含有｜x ｜，故应先对x 进行分类讨论去掉绝对值.根据绝对值的意义可知，x≥0的部分应是y=sinx,y=cosx 右半平面的部分，由于这几个函数都是偶函数，其图象应关于y 轴对称，于是可作出x ＜0部分的图象. 解：(1)y=sin ｜x ｜=⎩⎨⎧<-≥.0)sin(,0sin x x xx其图象如下图所示：从图中可以看出y=sin ｜x ｜不再是周期函数. (2)y=cos ｜x ｜=⎩⎨⎧<≥.0cos ,0cos x xx x其图象如下图所示：从图中可以看出y=cos ｜x ｜仍是周期函数，其周期为2π,而且y=cos ｜x ｜的图象与y=cosx 的图象相同. 各个击破类题演练1已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t≤24，单位小时）的函数，记作：y=f(t).t(时) 03691215182124y(米)1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y =Acosωt+b.(1)根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8:00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：（1）由上表中数据，知周期T=12. ∴ω=T π2=122π=6π. 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.① 由t=3,y=1.0,得b=1.0.② ∴A=0.5,b=1, ∴振幅为21，∴y=21cos 6πt+1. (2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放,∴21cos 6πt+1＞1,∴cos 6πt ＞0. ∴2kπ-2π＜6πt ＜2kπ+2π,即12k-3＜t ＜12k+3.③∵0≤t≤24,故可令③中k 分别为0,1,2得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.∴在规定时间上午8:00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00. 变式提升1(2006广东模拟)如下图某地夏天从8—14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin （ωx+φ）+b.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；（2）写出这段曲线的函数解析式.解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度.(2)观察图象可知，从8—14时的图象是y=Asin （ωx+φ）+b 的半个周期的图象.∴A=21×(50-30)=10,b=21×(50+30)=40. ∵ωπ221•=14-8, ∴ω=6π,∴y=10sin(6πx+φ)+40.将x=8,y=30代入上式，解得φ=6π,∴所求解析式为 y=10sin(6πx+6π)+40，x ∈［8，14］. 类题演练2要在宽为6米的教室当中装一盏电灯，电灯装在距离正中桌面的高是多少米时，才能使两边靠墙的课桌得到的亮度最大？（已知：电灯对课桌的照度E=2bIcosα,I 为电灯的光度，b 、α如右图所示）.解：由题设E=2cos b I α及b=αsin 3得E=9I sin 2αcosα要使靠墙的课桌得到最大亮度，即E值最大. ∵9I是常数，且cosα的值使得（sin 2αcosα）2与sin 2αcosα同时达到最大值，因（sin 2αcosα）2=cos 2α(1-cos 2α)2 =21·2cos 2α·(1-cos 2α)·(1-cos 2α), 又由α为锐角，且2cos 2α+(1-cos 2α)+(1-cos 2α)=2为定值， ∴当2cos 2α=1-cos 2α，即cosα=31时（sin 2αcosα）2最大.亦即E 最大，这时h=223tan 3=α(米). 注：若x+y+z=k,k 为定值，x ＞0,y ＞0,z ＞0,则当且仅当x=y=z 时xyz 有最大值. 变式提升2将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如右图所示坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s 做圆周运动，P 0是气针的初始位置，气针到轴（O ）的距离为r cm ，求气针（P ）的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求出P 的运动周期.当φ=6π，r ＝ω=1时，作出其图象.解：过P 作x 轴的垂线，设垂足为M ，则PM 就是正弦线. y=γsin(ωt+φ)，因此T=ωπ2,当φ=6π,γ=ω=1时， y=sin(t+6π),其图象是将y=sint 图象向左平移6π得到.类题演练3画出y=tan ｜x ｜的图象并观察其周期性解析：y=tan ｜x ｜=.0tan ,0tan )tan(tan <≥⎩⎨⎧-x x x x其图象如下图：从图中可以看出y=tan ｜x ｜不是周期函数. 变式提升3画出y=｜tanx ｜的图象，并与上图比较. 解：y=｜tanx ｜=.0tan ,0tan tan tan <≥⎩⎨⎧-x x x x从图中可以看出，y ｜tanx ｜是周期函数，T=π.。

高一数学三角函数的简单应用导学案

三角函数的简单应用
【学法指导】
1.阅读探究课本的基础知识和例题（15分钟），并完成课后习题，自主高效预习，提高自己的阅读理解能力；
2.完成预习自学，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。

3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。

学习目标：
1. 对一些简单的周期现象，能够选择适当的三角函数模型，刻画和解决实际问题
2. 通过解决周期现象的数学应用过程，进一步掌握数学建模方法，提高数学建模能力
3. 激情投入、高效学习，通过本节学习，培养学生的数学应用意识二、问题导学：
1. 画出函数x y sin =，x y sin =的图像并观察其性质
2.建模的过程中散点图的作用是什么？
3.解答实际应用问题的一般步骤是什么？
【我的收获】
【我的疑惑】
三、合作探究
1、如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4
π
，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ，（1）试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；
（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.
2、某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数
据，经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=ϖ的图象。

【我的收获】（1）我对知识的总结
（2）我对数学思想及方法的总结。

统编人教A版高中必修第一册数学《5.2 三角函数的概念》集体备课导学案

5.2.1 三角函数的概念1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义；2.根据定义认识函数值的符号。

理解诱导公式一；3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。

一、设角，是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。

那么（1）的正弦函数。

叫做α记作，;sin α=y 即（2）的余弦函数。

叫做α记作，;cos α=x 即（3）的正切。

叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x xy α是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为（tangent function)。

二、三角函数的定义域。

三角函数定义域αsin =yαcos =yαtan =y 三、诱导公式=+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ；=+)2(tan παk 。

Z k ∈一、探索新知探究一.角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。

当6πα=时，点P 的坐标是什么？当322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？探究二：一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？1.任意角的三角函数定义设角，是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。

那么（1）的正弦函数。

叫做α记作，;sin α=y 即（2）的余弦函数。

叫做α记作，;cos α=x 即（3）的正切。

叫做α记作;tan α=xy 即 )0(tan ≠=x xy α是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为（tangent function)。

正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.通常将它们记为：正弦函数 R x x y ∈=,sin余弦函数 R x x y ∈=,cos正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。

5.7三角函数的应用(一)导学案-高一上学期数学人教A版)

5.7 三角函数的应用（一）【学习目标】1.会用三角函数模型解决简单的实际问题；2.体会可以利用三角函数构建刻画周期变化的数学模型.【重、难点】三角函数模型的应用【学习过程】导入：三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用，你能举几个例子吗？思：阅读课本242243页内容，思考一下问题：(1)问题1中位移y随时间t的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？(2)由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态(t＝0)时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？(3)简谐运动在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”，可以用函数y=A sin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.简谐运动中涉及到的物理量：①简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；②简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；③简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；④相位；初相．（4）问题2中如何确定电流i 随时间t 变化的函数解析式的？典型例题类型（一）三角函数在物理中的应用例1. （1）某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：①这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？②写出这个简谐运动的函数解析式. （2）一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．类型（二）三角函数在生活中的应用例2.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.类型（三）三角函数在几何中的应用例3.如图，已知直线12l l∥，A是1l，2l之间的一定点并且点A到1l，2l的距离分别为1h，2h，其中12h=，26h=，B是直线2l上一动点，作AC AB⊥，且使AC与直线1l交于点C.设π2ABDαα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则ABC面积S关于角α的函数解析式为()Sα=；()Sα的最小值为 .类型（四）数据拟合模型的应用例4 .海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）．（提示：先画出散点图，再选择模型）(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（参照课本247页）(3)若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4 h 才能驶到深水域，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？（参照课本248页）议：思中问题；例1、例2、例3、例4展：例1、例2、例3评：例3、例4检：1.如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是π3cos3gs tl⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，[)0,t∈+∞取210m/sg=，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（）cm．（精确到0.1cm）A．12.7B．25.3C．101.3D．50.72.图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过0.5周期后，乙点的位置将移至何处？小结：1.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律．2.函数模型的应用：利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．。

人教版高中数学高一A版必修4导学案任意角的三角函数

课堂导学三点剖析1.三角函数的定义【例1】已知角α的终边经过点P （-4a,3a ）(a≠0)，求sinα、cosα和tanα.思路分析：本题考查利用三角函数定义求三角函数值.选取角α终边上任意一点，求出r=22y x +,利用三角函数的定义便可求解.解：因为x=-4a,y=3a,所以r=22)3()4(a a +-=5|a|.当a ＞0时，r=5a,角α为第二象限角，所以 sinα=5353==a a r y ,cosα=5454-=-=a a r x , tanα=4343-=-=a a x y ; 当a ＜0时，r=-5a,角α为第四象限角，所以 sinα=5353-=-=a a r y ,cosα=5454=--=a a r x ,tanα=4343-=-=a a x y . 温馨提示当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题需要对参数进行分类讨论.已知角α终边上任意一点，求α的三角函数值时，我们直接用比值定义计算，没有必要用相似三角形向教材定义转化.2.三角函数符号及用向有线段表示三角函数【例2】确定下列各式的符号：（1）sin105°·cos230°;(2)sin π87·tan π87; (3)cos6·tan6；（4）sin1-cos1.思路分析：先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号.解：（1）∵105°，230°分别为第二、第三象限角，∴sin105°＞0,cos230°＜0.∴于是sin105°·cos230°＜0.(2)∵2π＜π87＜π,∴π87是第二象限角，则sin π87＞0,tan π87＜0. ∴sin π87·tan π87＜0. (3)∵π23＜6＜2π, ∴6是第四象限角,∴cos6＞0,tan6＜0.则cos6·tan6＜0.(4)∵4π＜1＜2π,如下图所示，由三角函数线可得：sin1＞22＞cos1.∴sin1-cos1＞0.温馨提示 (1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.(2)sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.(4)中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数.3.三角函数线的理解及应用【例3】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合：（1）sinα≥23;(2)cosα≤-21. 思路分析：作出满足条件：sinα=23,cosα=21的角的终边，然后根据条件确定角α终边的范围.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB.则OA 与OB 围成的区域（图甲中阴影部分）即为角α的终边范围.故满足条件sinα≥23的角α的集合为{α|2kπ+3π≤α≤2kπ+32π,k ∈Z }. (2)作直线x=-21交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD.则OC 与OD 围成的区域（图乙中阴影部分）即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+32π≤α≤2kπ+34π 3,k ∈Z }.各个击破类题演练1求35π的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作∠AOB=35π（如右图），易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为（21，23-）.所以， sin 35π=23-,cos 35π=21,tan 35π=3-. 变式提升1已知角α的终边在直线y=-3x 上，求sinα.解：设角α终边上任一点为P （k,-3k ）(k≠0),则 x=k,y=-3k,r=||10)3(22k k k =-+.(1)当k ＞0时，r=10k,α是第四象限角， sinα=10103103-=-=kk r y , (2)当k ＜0时，r=-10k,α为第二象限角, sinα=10103103=--=k k r y . 温馨提示一个任意角α的三角函数只依赖于α的大小，只与终边位置有关，而与P 点在终边上的位置无关.类题演练2判断下列各式的符号：（1）tan250°·cos(-350°);(2)sin151°cos230°;(3)sin3cos4tan5;(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,∴tan250°·cos(-350°)＞0.(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,∴sin151°·cos230°＜0.(3)∵2π＜3＜π,π＜4＜23π,23π＜5＜2π, ∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,∴sin3·cos4·tan5＞0.(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sinθ＜1＜2π, ∴cos(sinθ)＞0. 同理，-2π＜-1＜cosθ＜0, ∴sin(cosθ)＜0,故sin(cosθ)·cos(sinθ)＜0.变式提升2若sin2α＞0且cosα＜0,试确定α所在的象限.解：∵sin2α＞0,∴2kπ＜2α＜2kπ+π(k ∈Z ),∴kπ＜α＜kπ+2π (k ∈Z ) 当k=2n(n ∈Z )时，有2nπ＜α＜2nπ+2π(n ∈Z )α为第一象限角. 当k=2n+1(n ∈Z )时，有2nπ+π＜α＜2nπ+23π(n ∈Z )，α为第三象限角. ∴α为第一或第三象限角.由cosα＜0，可知α在第二或第三象限，或α终边在x 轴的负半轴上.综上可知，α在第三象限.类题演练3利用单位圆中的三角函数线，确定满足sinα-cosα＞0的α的范围.解：如右图，设角α终边与单位圆的交点为P （x,y ）sinα=y,cosα=x.若sinα=cosα即y=x ，角α的终边落在直线y=x 上.此时α=kπ+4π,若sinα-cosα＞0, 即y-x ＞0.此时角α的终边落在y=x 上方,反之落在y=x 下方，因此角α的范围为2kπ+4π＜α＜2kπ+45π(k ∈Z ). 变式提升3试比较x,tanx,sinx 的大小，x ∈(0,2π).解析：如右图在单位圆中，设∠AOT=x,则AT=tanx,MP=sinx,∵S △OAT ＞S 扇OAP ＞S △OAP ，即21OA·AT ＞21OA·x ＞21OA·MP ，整理,即AT ＞x ＞MP.因此tanx ＞x ＞sinx. 答案:tanx ＞x ＞sinx。

5.7 三角函数的应用导学案(1)-人教A版高中数学必修第一册

第五章三角函数 5.7 三角函数的应用1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．2．实际问题抽象为三角函数模型．重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.2、|sin |y x 是以____________为周期的波浪型曲线.提出问题现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．典例解析问题１某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t （单位:s ）与位移y （单位:mm ）之间的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．请你查阅资料，了解振子的运动原理．归纳总结现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin （ωx+φ ）,x ∈［０，＋∞）表示，其中A ＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T ＝2πω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f =1T＝ω2π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x ＝０时的相位φ 称为初相．问题２如图5.7.2（1）所示的是某次实验测得的交变电流i （单位：Ａ）随时间t 狋（单位：ｓ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7.2（２）．（１）求电流i 随时间t 变化的函数解析式；（２）当t=0,1600, 1150, 7600, 160时，求电流i ．请你查阅资料，了解交变电流的产生原理．1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()A．该质点的运动周期为0.7 sB．该质点的振幅为5 cmC．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D．该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零2．与图中曲线对应的函数解析式是()A．y＝|sin x|B．y＝sin |x|C．y＝－sin |x| D．y＝－|si n x|3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin t2(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]4．在电流强度I与时间t的关系I＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意1100秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值．5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124 y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0(1)试根据以上数据，求出y＝A sin ωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论．参考答案：学习过程问题1 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移狔随时间狋的变化规律可以用函数y=Asin（ωt+φ ）来刻画．根据已知数据作出散点图，如图5.7.1所示．由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm ，因此A ＝20；振子振动的周期为0.6ｓ，即2πω= 0.6 解得 ω ＝10π3；再由初始状态（t ＝０）振子的位移为-20，可得sin φ =－１，因此φ＝- π2．所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin （10π3t - π2） t ∈[０，＋∞）．问题2 由图5.7.2(2)可知，电流最大值为５Ａ，因此A ＝５；电流变化的周期为150ｓ，频率为５０Ｈｚ，即ω2π＝５０，解得ω＝100π；再由初始状态（t ＝０）的电流约为4.33Ａ，可得sin φ =0.866，因此 φ 约为π3．所以电流i 随时间t 变化的函数解析式是: i=5sin （100πt+π3）,t ∈[100，＋∞）．当t=1600时，i =5; 当t=1150时，i =0; 当t=7600时，i =−5; 当t=160时，i =0;达标检测1．【解析】由题图可知，该质点的振幅为5 cm. 【答案】 B2．【解析】注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C. 【答案】 C3．【解析】当10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π，此时F (t )＝50＋4sin t 2是增函数，即车流量在增加．故应选C. 【答案】 C4．【解】由题意得：T ≤1100，即2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.5. 【解】 (1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的表达式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，可得sin π6t ≥12，∴2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17；而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意，舍)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.。

第五章第二节三角函数概念导学案高中数学人教A版必修一

5.2.1三角函数的概念姓名：_______________【学习目标0】1.结合单位圆理解三角函数的定义,会用定义求给定角的三角函数值.2.根据任意角终边所在象限的位置,会判断任意角三角函数值的符号.3.掌握三角函数诱导公式一并会应用.【概念学习 1】三角函数的定义1.如图所示,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).(1)把点P的叫作α的正弦值,记作sin α,即;(2)把点P的叫作α的余弦值,记作cos α,即;(3)把点P的叫作α的正切值,记作tan α,即.将正弦函数__________、余弦函数___________和正切函数___________统称为三角函数.它们的的定义域分别为：正弦函数是_____、余弦函数是_____和正切函数是_________________ 【概念引伸 2】设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P到原点的距离为r,你能求出sin α,cos α,tan α吗?试试看.【概念巩固3】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin α,cos α,tan α的大小与点P(x,y)在角α的终边上的位置有关. ( )(2)若α是第二象限角,且P(x,y)是其终边与单位圆的交点,则cos α=-x.( )(3)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )【概念学习4】根据任意角的三角函数值的定义可以判定其在各象限的符号口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.【概念巩固5】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知α是三角形的内角,则必有sin α>0,cos α>0.( )(2)若sin α<0, cos α>0,则角α为第四象限角.( )(3)已知cos α<0,则角α是第二或第三象限角.( )(4)已知α是第二象限角的充要条件是sin α>0且cos α<0.( )【举例讲解6】例1 (1)(多选题)下列选项中,符号为负的是( )A.sin(-100°)B.cos(-1800°)C.tan 10D.cos4(2) (多选题)在平面直角坐标系中,角α的顶点在原点,以x轴的非负半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值一定为负的是( )A.sin α+cos αB.sin α-cos αC.sin α·cos αD.sinαcosα)在 ( )(3) 若α是第四象限角,则点P(cosα,tanα2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(4)(多选题)如果实数x,y满足|cos x|+|cos y|>|cos x+cos y|,且y∈(π,π),则|cos x-cos y|=( )2A.cos x-cos yB.cos y-cos xC.cos x+cos yD.|cos y|+|cos x|【概念学习7】终边相同的角的同一三角函数的值是相等的,即sin(α+k·2π)=,cos(α+k·2π)=, tan(α+k·2π)=,其中k∈Z.【概念学习8】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知sin 5.1°=m,则sin 365.1°=m.( )(2)tan(-960°)=√3.( )(3)若cos α=cos β,则α=β.( )(4)若sin α=sin β,则α=β+ k·2π.( )【学习延伸9】填写下列特殊角的弧度制和三角函数值：【举例讲解10】例2 (1)sin 405°= ( ) A .-√22B .√22C .√32D .-√32(2)cos (-17π3)= ( )A .-√32B .-12C .12D .√32(3)sin 810°+tan 1125°+cos 420°= .(4)sin 7π3cos (-23π6)+tan (-15π4)cos 13π3.例3 (1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标为(-12,y),则sin αtan α= .变式 (1)若角α的终边在直线y=2x 上,求sin α,cos α,tan α的值.(2)已知角α的终边过点P (-3cos θ,4cos θ),其中θ∈(π2,π),求sin α,cos α,tan α的值.例4求函数y=sinx|sinx |+|cosx |cosx +tanx|tanx |的定义域和值域.例5已知1|cosα|= − 1 cosα,且lg sin α有意义. （参考数据：lg2=0.3010）(1)试判断角α的终边所在的象限;(2)若角α的终边上有一点M (m ,4),且|OM|=5(O 为坐标原点),求m 的值及lgsin α的值.【课堂小结11】1、利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:(1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P (x ,y )(x ≠0)是单位圆上一点,则sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x.(3)若已知角α终边上一点P (x ,y )(x ≠0)不是单位圆上一点,则先求r=√x 2+y 2,再求sin α=yr,cos α=x r,tan α=y x. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 2、判断三角函数值在各象限的符号的攻略: (1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限; (2)关键:准确记忆三角函数值在各象限的符号;(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度,导致象限判断错误. 3、利用公式一进行化简求值的步骤:(1)定形:将已知的任意角写成2k π+α的形式,其中α∈[0,2π),k ∈Z . (2)转化:根据公式一,转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值:若角α为特殊角,则可直接求出该角的三角函数值(需熟记特殊角的三角函数值).【自我总结12】你觉得高中三角函数值变难了吗？变难的地方在哪？能否通过数形结合理解记忆，如三角函数值的符号特征，特殊角三角函数值，以及轴线角的三角函数值，任意角的三角函数值是如何转化研究等。

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