人教版数学高一-人教A版 三角函数的简单应用 名师导学案
121任意角的三角函数(一)导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4
1.2任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数（一）
一、学习目标、细解考纲
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)
3掌握公式——并会应用．
4.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养了学生数学抽象和数学建模的核心素养.
5.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升了学生直观想象和数学运算的核心素养.
二、自主学习—————（素养催化剂）
（阅读教材第11—14页内容，完成以下问题：）
1.任意角的正弦,余弦,正切是怎样定义的?明确函数定义域
2.各函数在每个象限的符号怎么判断?
3.理解公式一,明确公式一的作用
三、探究应用,“三会培养”(素养生长剂)
四、拓展延伸、智慧发展（素养强壮剂）
五、备选例题
六、本课总结、感悟思考（素养升华剂）。
人教版高中数学高一A版必修4导学案 任意角的三角函数(第1课时)
第1课时三角函数的定义1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用.2.能判断任意角的三角函数值的符号.3.掌握公式一及其应用.1.任意角的三角函数(1)单位圆：在直角坐标系中，称以________为圆心，以为半径的圆为单位圆.(2)锐角的三角函数：如图所示，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=a，AB=b，OB=r，设∠BOA=α，则有：(3)任意角的正弦、余弦、正切：如图所示，α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以α的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系.设P(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则有：利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(除原点外)的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y2)，那么：①比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r .②比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r .③比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx.(x ≠0)(4)定义：当α＝ (k ∈Z )时，tan α无意义.除此之外，对于每一个确定的α，都分别有 确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为 ，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为 ，分别记作y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x .由于角的集合与实数集之间建立了一一对应关系，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数，即实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)，其关系如下图所示：(5)【做一做1－1】 若角α终边上有一点P (0,3)，则下列式子无意义的是( ) A.tan αB.sin αC.cos αD.sin αcos α【做一做1－2】 若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎫22，－22，则sin α的值为( )A.22B.－22C.12D.－1 2.三角函数值的符号sin α，cos α，tan α在各个象限的符号如下：正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆： “一全正，二正弦，三正切，四余弦”.其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正.【做一做2】 已知α是第三象限角，设sin αcos α＝m ，则有( ) A.m ＞0 B.m ＝0 C.m ＜0 D.m 的符号不确定 3.公式一(k ∈Z )sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝________， tan(α＋2k π)＝________.该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应.【做一做3－1】 已知sin 5.1°＝m ，则sin 365.1°＝( ) A.1＋m B.－m C.m D.与m 无关 【做一做3－2】 已知α与β的终边相同，则下列正确的是( ) A.sin α＝－sin β B.cos α＝cos β C.tan αtan β＝0 D.tan α＝－tan β答案：1．(1)原点 单位长度 (2)b r a r b a (3)y x y x (4)π2＋k π 唯一 自变量 三角函数 (5)R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }【做一做1－1】 A 角α的终边在y 轴的非负半轴上，则α＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以tan α无意义．【做一做1－2】 B x ＝22，y ＝－22，则sin α＝y ＝－22. 【做一做2】 A3．sin α cos α tan α 【做一做3－1】 C 【做一做3－2】 B对任意角的三角函数的理解剖析：可以从以下几方面来理解任意角的三角函数：(1)要明确sin α、cos α、tan α分别是一个整体，如sin α不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f (x )表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.(2)三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了.就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.(3)任意的三角函数的概念与锐角三角函数概念的实质是一样的，锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.题型一 三角函数值的计算【例1】 求2π3的正弦、余弦和正切值.分析：根据定义，只需求出角2π3的终边与单位圆的交点坐标即可.【例2】 已知角α的终边经过点P (3,4)，求sin α，cos α， tan α. 分析：分别写出x ，y ，r 的值，应用定义求得.【例3】 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值. 分析：根据任意角的三角函数的定义，应首先求出点P 到原点的距离r ，由于含有参数a ，要分类讨论.反思：(1)对于α的终边上一点P (x ，y )(非原点)，P 到原点的距离为r ，根据三角函数的定义可得sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.(2)求三角函数值往往用上述定义，而不必再转化为求出角的终边与单位圆的交点坐标，只要知道角的终边上任意一点(非原点)的坐标即可.题型二 判断已知角的三角函数值的符号【例4】 判断下列三角函数值的符号： (1)sin(－670°)cos 1 230°；(2)sin 8·cos 8. 分析：判断出相关角的终边所在的象限，确定各三角函数值的符号，则积的符号可判断. 反思：已知α的大小，判断sin α，cos α，tan α的符号的步骤：①确定α所在象限；②由α所在象限确定sin α，cos α，tan α的符号.题型三 利用三角函数值的符号确定角所在象限 【例5】 若sin θtan θ＜0，则θ是( ) A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第一或第四象限角 D.第二或第三象限角反思：已知sin α，cos α，tan α中任两个值符号，确定α所在象限时，首先分别确定出α终边所在的可能位置，二者的交集即为α的终边位置.题型四 公式一的简单运用 【例6】 求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4. 分析：先利用公式一化简，再求值. 反思：对公式一的理解：答案：【例1】 解：因为角2π3的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，32，所以sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，tan 2π3＝－ 3.【例2】 解：由x ＝3，y ＝4，得r ＝32＋42＝5.∴sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43.【例3】 解：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |.若a ＞0，r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a ＜0，r ＝－5a ，角α在第四象限．sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.【例4】 解：(1)∵－670°＝－2×360°＋50°，∴－670°是第一象限角，∴sin(－670°)＞0.又1 230°＝3×360°＋150°， ∴1 230°是第二象限角，∴cos 1 230°＜0，∴sin(－670°)cos 1 230°＜0. (2)∵52π＜8＜3π，即8 rad 的角是第二象限角，∴sin 8＞0，cos 8＜0.∴sin 8·cos 8＜0.【例5】 D ∵sin θtan θ＜0，∴sin θ＞0，tan θ＜0或sin θ＜0，tan θ＞0.当sin θ＞0，tan θ＜0时，θ是第二象限角；当sin θ＜0，tan θ＞0时，θ是第三象限角．综上所得，θ是第二或第三象限角．【例6】 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22.1．sin 390°等于( )A.12B.2D.12．若sin α＜0且tan α＞0，则α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．已知角α的终边过点P (4a ，－3a )(a ＜0)，则2sin α＋cos α的值是________. 4．判断下列各式的符号. (1)tan 250°cos(－350°)；(2)sin 105°cos 230°. 5．利用定义求5sin 4π，5cos 4π，5tan 4π的值.答案：1．A sin 390°＝sin(30°＋360°)＝sin 30°＝12. 2．C 由于sin α＜0，则α的终边在第三或四象限，又tan α＞0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．3.25∵x ＝4a ，y ＝－3a ，∴r ＝|5a |＝－5a .∴sin α ＝y r ＝35.cos α＝x r ＝45-.∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.4．解：(1)∵250°是第三象限角，－350°＝－360°＋10°是第一象限角， ∴tan 250°＞0，cos(－350°)＞0， ∴tan 250°cos(－350°)＞0.(2)∵105°是第二象限角，230°是第三象限角， ∴sin 105°＞0，cos 230°＜0， ∴sin 105°cos 230°＜0.5．解：如图所示，在坐标系中画出角5π4的终边．设角5π4的终边与单位圆的交点为P，则有P⎛⎝⎭.∴5πtan4＝1，5πsin4＝5πcos4＝。
【四维备课】高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案 新人教a版必修4
1.6《三角函数模型的简单应用》导学案【学习目标】1.通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【导入新课】复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识.新授课阶段例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．解：例2 画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解：例4 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++． （１） 求这一天的最大温差；（２） 写出这段曲线的函数解析式． θφφ-δδ太阳光答案：解：例5 若cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值.解：课堂小结1.精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质.2.分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题.作业课本第73页习题A 组第1、2、3、4题拓展提升一、选择题1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ）A ．0B ．4π C.2π D.π 2．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=- 3．若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A ．35(,)(,)244ππππ B.5(,)(,)424ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244ππππ 4．若,24παπ<<则（ ）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ． αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ） A ． 52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是 ，因为当α= 时，该命题的结论不成立.8．函数xx y cos 2cos 2-+=的最大值为________. 9．若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.10．满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 11．若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.三、解答题 12．画出函数[]π2,0,sin 1∈-=x x y 的图象.13．比较大小（1）00150sin ,110sin ；（2）00200tan ,220tan .14．（1）求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域.（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值.参考答案例1解：（1）由图可知：这段时间的最大温差是20C ；（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象， ∴1468.2T =-=∴16.T = ∵ωπ2=T ，∴.8πω= 又∵301010,2301020.2A b -⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩ ∴10,20.A b =⎧⎨=⎩ ∴10sin()20.8y x πφ=++ 将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ. 例2分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3分析与简解：与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的例4答案：解：（１）由图可知，这段时间的最大温差是20℃．（２）从图中可以看出，从6~14时的图象是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期的图象，所以()13010102A =-=， 1(3010)202b =+=， ∵121462ω=- π， ∴8ω=π． 将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π． 综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈． 例5解：令sin ,[1,1]x t t =∈-，21sin 2sin y x p x q =-++, 2222(sin )1()1,y x p p q t p p q =--+++=--+++22()1y t p p q =--+++,对称轴为t p =.当1p <-时，[1,1]-是函数y 的递减区间，max 1|29t y y p q =-==-+=,min 1|26t y y p q ===+=，得315,42p q =-=，与1p <-矛盾； 当1p >时，[1,1]-是函数y 的递增区间，max 1|29t y y p q ===+=,min 1|26t y y p q =-==-+=，得315,42p q ==，与1p >矛盾； 当11p -≤≤时，2max |19t p y y p q ===++=，再当0p ≥，min 1|26t y y p q =-==-+=，得1,4p q =+当0p <，min 1|26t y y p q ===+=，得1,4p q ==+1),4p q ∴=±=+一、选择题1.C 当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数 2.C 111sin()sin()sin[()]sin()32323326y x y x y x y x πππππ=-→=-→=+-→=- 3.B 5sin cos 0544(,)(,)tan 054240,24ππαααπππαπαππαπα⎧<<⎪->⎧⎪⇒⇒∈⎨⎨>⎩⎪<<<<⎪⎩ 或 4.D tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >> 5.D 2525T ππ== 6. C 由x y sin =的图象知，它是非周期函数二、填空题7.① 0 此时()cos f x x =为偶函数8.3 22221(2cos )2cos ,cos 11,3113y y y x x x y y y ---=+=⇒-≤≤≤≤++ 9.2,3或 ,12,,2,32T k k N k k k ππππ=<<<<∈⇒=而或 10.|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 11.34 [0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤<max 3()2sin,332344f x ωπωπωππω===== 三、解答题 12.解：将函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象关于x 轴对称，得函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象，再将函数[]sin ,0,2y x x π=-∈的图象向上平移一个单位即可.13.解：（1）00000000sin110sin70,sin150sin30,sin70sin30,sin110sin150==>∴>而（2）00000000tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而14.解：（1）221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈ 5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈ 为所求. （2）0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间 当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-； 当cos 1x =时，max ()sin1f x =.。
高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用问题导学案新人教A版必修4(2021学年)
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１.6 三角函数模型的简单应用问题导学一、与函数图象有关的问题活动与探究１已知电流I与时间t的关系为Ｉ＝A sｉｎ（ωt+φ).(1)如图所示的是I=A siｎ(ωt+φ)错误!在一个周期内的图象，根据图中数据求I=A sｉｎ（ωt+φ)的解析式;(2)如果t在任意一段错误!秒的时间内,电流Ｉ=A sin(ωｔ+φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？迁移与应用已知函数ｆ(x)(１)（2)根据(1)的结果,若函数y=f(kｘ)（k>0）的周期为错误!,当ｘ∈错误!时,方程ｆ(ｋx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．正确运用三角函数的图象与性质以及数形结合的数学思想,还要综合应用相关学科的知识来帮助理解具体问题.二、函数解析式的应用活动与探究２一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米,最高点距地面１８米，P 是摩天轮轮周上的定点,点P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米）,设h＝Ａsin(ωt＋φ)+Ｂ(Ａ>０,ω>0，φ∈[0,２π））,则下列结论错误的是（）Ａ．A＝8 B.ω=错误!C．φ＝错误!Ｄ.Ｂ=1０迁移与应用设y=f（t)是某港口水的深度ｙ（m)关于时间t(时)的函数,其中0≤ｔ≤２４,下表是该港)的图象,下面的函数中,最能近似表示表中数据的对应关系的函数是( ）A.ｙ=12+3sin错误!ｔ,ｔ∈[0,24］B.ｙ＝12＋3ｓin错误!，t∈［0,24]C.y＝12+3sin错误!ｔ，t∈[0,２4]D．y＝12＋３ｓin错误!，t∈[0,24］解决该类题目的关键在于如何把实际问题三角函数模型化,而散点图起了关键的作用．解决这类题目的通法如下:当堂检测1.电流I（Ａ）随时间t（s)变化的关系式是Ｉ＝5sｉn错误!，则当t＝错误!s时,电流I 为( ）A.5 A Ｂ.2。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)导学案 新人教A版必修4
1.2.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x.思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 梳理 (1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0).对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？答案由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时yx无意义，故tan α无意义.梳理三角函数的定义域知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.当α为第一象限角时，y>0，x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.梳理记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.知识点四诱导公式一思考当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.梳理诱导公式一类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P (－1，3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝yr，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值.解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b2，cos α＝a a 2＋b2，tan α＝ba. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.类型二 三角函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 D解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π4.解 ①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π4是第四象限角，∴tan 7π4是负的，符号是“－”.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.跟踪训练3 (1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角. 答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解 ①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值.(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值. (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解 (1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( ) A.45 B.35 C.－35D.－45答案 D解析 由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.故选D.2.cos(－11π6)等于( )A.12B.－12C.32D.－32答案 C解析 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.3.若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A.－34B.34C.43D.－43答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35， ∴32＋y 2＝5，∴y 2＝16， ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A.1B.0C.2D.－2答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.5.已知角α的终边上有一点P (24k ，7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解 当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2＋(7k )2＝25k ，∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724.当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝724.1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课时作业一、选择题1.sin(－1 380°)的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝32. 2.已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A. 3 B.± 3 C.－ 2D.－ 3答案 D解析 ∵cos α＝x r＝x x 2＋5＝24x ， ∴x ＝0或2(x 2＋5)＝16，∴x ＝0或x 2＝3，∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 D4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.4π3D.11π6答案 D解析 ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12.∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴角α的最小正值为2π－π6＝11π6. 5.已知角α的终边经过点P (3，4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t 等于( )A.－916B.916C.34D.－34答案 A解析 sin(2k π＋α)＝sin α＝－35＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为正数，所以α是第四象限角，所以t ＜0.又sin α＝4t 9＋16t2，则4t9＋16t 2＝－35，所以t ＝－916.6.某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 答案 A解析 由三角函数定义可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32.7.如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角.8.若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A.±15B.±55C.±255D.±12答案 C 二、填空题9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ . 答案32解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角. 答案 一或二解析 要使原式有意义，需cos αtan α>0， 即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角.11.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .答案 2解析 ∵y ＝3x 且sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m | ＝－10m ＝10，∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.12.函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域是 . 答案 {－4，0，2}解析 由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上，当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，sin x cos x >0，y ＝0；当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，sin x cos x <0，y ＝2；当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，sin x cos x >0，y ＝－4；当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，sin x cos x <0，y ＝2.故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x的值域为{－4，0，2}. 三、解答题13.化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4； (2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.解 (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan(3×360°＋45°)＝a 2＋b 2＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.四、探究与拓展14.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝ .答案 0或－ 2解析 ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.15.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值. 解 (1)∵1|sin α|＝－1sin α， ∴sin α＜0.①∵lg(cos α)有意义，∴cos α＞0.② 由①②得角α在第四象限.(2)∵点M (35，m )在单位圆上， ∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，∴m ＜0，∴m ＝－45. 由三角函数定义知，sin α＝－45.。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.4 三角函数的图象与性质导学案
1．4三角函数的图象与性质1．4．1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标1、会用“五点法”和“几何法”画正弦函数、余弦函数的图，体会“几何法”作正弦函数图象的过程，提高动手能力；2、通过函数图象的应用，体会数形结合在解题中的应用；3、三角函数图象和图象的应用；自主梳理1． 正弦函数（或余弦函数）的概念 任意给定一个实数x ，有唯一确定的值x sin （或x cos ）与之对应，由这个对应法则所确定的函数x y sin =（或x y cos =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为 。
2． 正弦曲线或余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 和 。
3． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：（1）正弦函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。
（2）余弦函数[]π2,0,cos ∈=x x y 的图象中，五个关键点是： ， ， ， 。
预习检测1、函数)3sin(π+=x y 的定义域为____________________；值域为____________________；2、函数)3cos(2π-=x y 的定义域为__________________；值域为____________________；互动课堂 问题探究1：【例】 作出函数x y cos 31-1=在]2,2[ππ-上的图像；【变式】)23sin(π+=x y ；问题探究2：【例】已知]23,2[ππ-∈x ，解不等式23sin -≥x ；【变式】已知R x ∈，解不等式23sin -≥x ；问题探究3：【例】求下列函数的值域： （1）x x y sin |sin |+= （2）]6,6[),32sin(2πππ-∈+=x x y（3）1cos 2cos --=x x y【变式】求函数],3[,1sin 4sin 32ππ∈+-=x x x y 的值域；问题探究4： 【例】（1）讨论方程x x sin lg =解的个数；（2）若函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 与直线k y =有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围；【变式】当k 为何值时，方程k x x =+|sin |2sin 有一解、三解、四解？课堂练习1、在同一坐标系内的函数x y sin =与x y cos =的图象的交点坐标是 （ ） A ． Z k k ∈),0,(π B Z k k ∈+),1,22(ππC Z k k k∈-+),)1(,2(ππ D Z k k k∈-+),2)1(,4(ππ2、下面有四个判断：① 作正、余弦函数的图象时，单位圆的半径长与x 轴上的单位长可以不一致； ② []π2,0,sin ∈=x x y 的图象关于)0,(πP 成中心对称； ③ []π2,0,cos ∈=x x y 的图象关于直线π=x 成轴对称； ④ 正、余弦函数的图象不超过两直线1,1-==y y 所夹的范围。
三角函数的应用教案(1 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第五章三角函数5.7 三角函数的应用（第2 课时）【教学内容】学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”。
【教学目标】1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；2.初步学会使用数据分析或图像特征进行一些简单的函数模型求解；3.会使用三角函数模型解决简单的实际问题。
【教学重难点】教学重点：用三角函数模型解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.【教学过程】一、导入新课思考：生活中有什么事情是周而复始发生的？举例：小结：从上述例子中，可以得知生活中有很多重复出现的现象，我们尝试利用某种函数模型去研究当中的规律，帮助我们做出更加科学的决策。
请问你认为目前我们所学的什么函数模型适用于上述规律呢？函数模型；因为它具有性质。
二、课堂探究例题 1 如图，我国某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +ϕ) +b ( A > 0,ω> 0, ϕ<π)（1）求这一天 6—14 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。
解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃（2）由图可以看出，从 6—14 时的图像是函数小结：（1）振幅A=b=如何求函数中的ω和ϕ；（2）所求函数模型只能近似刻画某个区间的变化规律。
例题 2：货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头；卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时刻与水深关系的预报.(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 米,安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4 米,安全间隙为1.5 米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时0.3 米的速度减少,如果这条船停止卸货后需0.4 小时才能驶到深水域，那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?问题探究 1：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？小组合作发现，代表发言。
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式导学案(1)
1.3 三角函数的诱导公式（二）学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一 诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系.(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得 诱导公式五 sin ()2απ-=cos α，cos ()2απ-=sin α. 知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案 以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin(－α). 由此可得 诱导公式六 sin ()2απ+=cos α，cos ()2απ+=－sin α.知识点三 诱导公式的推广与规律1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α，sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α.2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一 利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值.解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－13cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－19. 反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α的值.解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.类型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边. ∴原等式成立.反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2 求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2(π＋θ) ＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.证明 因为左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.所以左边＝右边，故原等式成立. 类型三 诱导公式在三角形中的应用 例3 在△ABC 中，sin A ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，试判断△ABC 的形状.解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sinA ＋B －C2＝sinA －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B 2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，即cos C ＝cos B .又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形.反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 跟踪训练3 在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④ 答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.类型四 诱导公式的综合应用例4 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin (π2＋α)cos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值.解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值.解 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )精品文档A.－233B.233C.13D.－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.2.若cos(2π－α)＝53，则sin(3π2－α)等于( ) A.－53B.－23C.53D.±53答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin(3π2－α)＝－cos α＝－53.3.已知tan θ＝2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)等于( )A.2B.－2C.0D.23答案 B解析 sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值.解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3 ＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.5.求证：tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝－tan α.证明 因为左边＝tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan αsin αcos αcos αsin α＝－tan α＝右边，所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.25答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2.已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45 B.－45C.±45D.35精品文档答案 B解析 ∵cos(3π2＋α)＝sin α，∴sin α＝－35.又α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝45，∴cos(－3π＋α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45，故选B.3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos C B.sin(A ＋B )＝－sin C C.cosA ＋C2＝sin BD.sinB ＋C2＝cos A2答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cosA ＋C2＝cos(π2－B 2)＝sin B2，故C 项不正确； ∵B ＋C ＝π－A ， ∴sinB ＋C2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，故D 项正确. 4.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( ) A.2 B.－2 C.2－π2D.π2－2 答案 C 解析 cos α＝2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝sin 2，∵α为锐角，∴α＝2－π2.5.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－3m 2.二、填空题7.若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝ . 答案265解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角，∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265. 8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ . 答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245° ＝44＋12＝892.9.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ . 答案 2解析 因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2，所以原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10.在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝ . 答案π2解析 由题意得3cos A ＝3sin A ， ① cos A ＝3cos B ，②由①得tan A ＝33，∴A ＝π6. 由②得cos B ＝cosπ63＝12，∴B ＝π3.∴C ＝π2.三、解答题11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值.解 ∵角α的终边经过点P (－4，3)，∴tan α＝y x ＝－34，∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin αsin α－sin αcos α＝tan α＝－34.12.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值.解 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝－sin α，∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.13.已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α；(3)tan(5π－α). 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)＝ .答案 －34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.15.已知α是第四象限角，且f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＋2π＝15，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝15，∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。
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1.6.1三角函数的简单应用
寄语：珍惜每一分钟，创造高效课堂！
一、学习目标：
1、将三角函数与物理知识联系在一起并加以应用.
2、面对实际问题，会建立数学模型，即把问题提供的“条件”逐条翻译成“数学语言”.
3、培养学生观察问题和探索问题的能力.
二、学习重点：1、通过对实际问题的分析，抽象出三角函数模型.
2、根据函数图像写解析式.
学习难点：利用三角函数知识解决实际问题.
三、知识链接：
1、说出sin()y A x ωϕ=+中,,A x ϕωϕ+的含义？.
2、请用不同方法说明由sin y x =的图像得到sin()y A x k ωϕ=++的图像的方法？
四、基础练习：
（B ）1、电流I 随时间t 变化的关系式是[)0,ω∈+∞I=Asin t,t ，设10rad s ωπ=，A=5, (1)求电流I 的周期.
(2)当t=0，
60
1,203,401,201时，求电流I.
（B ）2、某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函
数y Asin(x )b =ω+ϕ+
（1）求这段时间的最大温差;
（2）写出这段曲线的函数解析式.
五、能力提升：
(B)1、一个单摆如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为rad α，α作为时间t 的函数，满足关系11()sin(2)22
t t απ=
+.求： （1）最初时(t=0) α的值是多少？ （2）单摆摆动的频率是多少？
（3）经过多长时间单摆完成5次完整摆动？
(B)2、如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t(s)时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度h(单位：cm)，由下列关系式决定：2sin()4h t π
=+，[)0,t ∈+∞.以横
轴表示时间，纵轴表示高度，作出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并回答问题：
（1）小球开始振动（t=0）时的位置在哪里？
（2）小球位于最高、最低位置时h 的值是多少？
（3）经过多少时间小球振动一次（即周期是多少）？
（4）小球每1s 能往复振动多少次（即频率是多少）?
(C)3、画出函数x y sin 的图象并观察其周期．
六、反思小结：。