分式运算、化简的技巧
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
初中数学常考分式化简计算题
初中数学常考分式化简计算题
在初中数学中，分式化简计算题是一个重要的知识点，也是中考数学考试中的一个重点。
以下是一些常见的分式化简计算方法和例题:
1. 分式化简的一般步骤:
(1) 找到分式中的常数项和系数;
(2) 将分式中的常数项和系数分别化成最简分数;
(3) 合并同类项，消去分母;
(4) 检查化简结果是否满足有理数范围。
2. 常用化简方法:
(1) 约分法：将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，以达到化简的目的;
(2) 代入法：将一个复杂的分式转化为一个较简单的分式，然后代入已知分式中进行化简;
(3) 加减法：对于两个分式，可以通过加减运算使其化为同一个分式的分子和分母，以达到化简的目的。
3. 例题展示:
例 1:将分式方程 5x+2=12x-7 化简成最简分式。
解：将方程两边同时除以 12，得到 x+5/6=7/6。
接着，将分式
方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=1/3。
例 2:将分式方程 3x+4=7x-1 化简成最简分式。
解：将方程两边同时除以 7，得到 x+3/7=x-1/7。
接着，将分式方程中的常数项和系数分别化成最简分数，合并同类项，消去分母，最终化简得到 x=2/7。
以上是分式化简计算题的一些常见方法和例题展示。
在初中数学学习中，同学们需要熟练掌握各种化简方法，并且多做一些练习题，才能熟练掌握分式化简的计算技巧。
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简求值的若干方法与技巧
分式化简是指将一个分式写成一个最简形式的过程。
下面列举一些分式化简的方法与技巧：
1. 因式分解法：如果分子和分母都可以被一个公因子因式分解，可以先进行因式分解，然后约去公因子。
2. 公约法：将分子和分母的公因子约去，使分子和分母无公因子。
3. 分子与分母分别除以最大公约数法：先求出分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数，使得分子和分母互质。
4. 乘法逆元法：如果分子和分母互为乘法逆元，即分子和分母互为倒数关系，可以将分式化简为整数。
5. 积化和差法：对于有相同分子或分母的分式，可以将其化为积或差的形式，然后进行约分或运算。
6. 公倍数法：如果分式的分子和分母都是整数，可以找到一个公倍数使得分子和分母变为整数，然后约去公倍数。
7. 有理化法：对于含有根号的分式，可以通过有理化的方法将其转化为整数或分数。
8. 倒数法：对于一个分式，可以将其倒数的分子和分母对换位
置，然后约分。
以上是一些常见的分式化简的方法与技巧，根据具体的情况选择合适的方法进行求解。
分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧分式化简求值解题技巧一、整体代入对于一些分式表达式，可以先将其中的变量整体代入，然后再求值。
比如：已知a+2b=2006，求3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b)的值。
可以先将a替换为2006-2b，然后化简得到：3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b) = 3(2006-2b)² + 12b(2006-2b) + 12b² ÷ (2(2006-2b)+4b)再进行进一步化简求解。
练一练：1.已知x+y=3，求(2x+3y) ÷ (x-y)的值。
2.已知112x-3xy+2y ÷ xy-x-2y = 5，求xy ÷ (x+2y)的值。
3.若a+b=3ab，求(1+2b²) ÷ (2a-b)的值。
二、构造代入有些分式表达式可以通过构造代入的方式来求解。
比如：已知x-5 ÷ (x-2) = 2001，求(x-2)³ - (x-1)² + 1的值。
可以构造一个分式，使得它的分母为(x-2)，分子为(x-2)³-(x-1)²+1，然后将其化简，得到：x-2)³-(x-1)²+1 ÷ (x-2) = (x-5) + 4(x-2) + 9再进行进一步化简求解。
练一练：4.若ab=1，求a ÷ (b+c) + b ÷ (c+a) + c ÷ (a+b)的值。
5.已知xy+yz+zx ÷ xyz = 2，求(x+y)² ÷ z²的值。
三、参数辅助，多元归一有些分式表达式可以通过引入参数或多元归一的方式来求解。
比如：已知a+b+c=1，求a(1-b) ÷ (b+c) + b(1-c) ÷ (c+a) + c(1-a) ÷(a+b)的值。
分式的简化和运算的解题技巧总结
分式的简化和运算的解题技巧总结分式在数学中有着重要的应用，是一种有理数的表示形式，可以帮助我们更方便地处理数学问题。
本文将总结分式的简化和运算的解题技巧，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 分式的简化分式的简化是指将分子和分母的公因式约去，使得分数的大小关系不变，同时使得表达更简洁。
简化分式的主要步骤如下：a. 将分子和分母进行因式分解；b. 找出分子和分母的公因式，并约去；c. 化简后的分子作为新的分子，分母作为新的分母。
例如，简化分式$\frac{12x^4y^3}{18x^2y^5}$的步骤如下：a. 分子因式分解为$2^2 \cdot 3 \cdot x^4 \cdot y^3$，分母因式分解为$2 \cdot 3^2 \cdot x^2 \cdot y^5$；b. 找出分子和分母的公因式为$2 \cdot 3 \cdot x^2 \cdot y^3$，约去公因式得到$\frac{2x^2}{3y^2}$。
2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法是两种常见的运算方法，需要注意的是在进行运算之前，需要将分式化简到最简形式，以便进行后续计算。
分式的乘法规则：a. 将两个分式的分子相乘，得到新的分子；b. 将两个分式的分母相乘，得到新的分母；c. 新的分子作为新的分子，新的分母作为新的分母。
例如，计算分式$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}$的步骤如下：a. 将分子相乘得到$3 \cdot 5 = 15$；b. 将分母相乘得到$4 \cdot 6 = 24$；c. 得到的新的分子为15，新的分母为24，所以$\frac{3}{4} \cdot\frac{5}{6} = \frac{15}{24}$。
分式的除法规则：a. 将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，得到新的分子；b. 将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，得到新的分母；c. 新的分子作为新的分子，新的分母作为新的分母。
代数式的分式化简
代数式的分式化简分式化简是数学中常见的一种运算。
对于给定的分式，化简是将其写成最简形式的过程。
化简过程中，需要运用分数的基本性质和规律。
本文将探讨分式的化简方法，并举例说明。
首先，我们来看如何化简分数表达式。
分数表达式通常由两个整数构成，分子和分母，用分子除以分母得到的商即为分数的值。
要将一个分数化简，需要找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数。
这样得到的分数称为最简分数。
举个例子来说明。
假设我们有一个分数表达式：$\frac{18}{27}$。
首先，我们需要找到18和27的最大公约数。
18和27都可以被3整除，所以它们的最大公约数是3。
接下来，我们将分子和分母都除以3，得到最简分数$\frac{6}{9}$。
再次化简，我们发现6和9的最大公约数是3，所以最简分数为$\frac{2}{3}$。
除了最大公约数法，还可以使用因式分解法来化简分数。
这种方法适用于分子和分母都是多项式的情况。
具体步骤如下：（1）将分子和分母因式分解；（2）将分子和分母的公因式约去；（3）将剩余的因式化简到最简形式。
举个例子来说明。
假设我们有一个分数表达式：$\frac{2x^2 +4x}{2x^3 + 6x^2}$。
首先，我们将分子和分母进行因式分解。
分子可以因式分解为$2x(x+2)$，分母可以因式分解为$2x^2(x+3)$。
接下来，我们将公因式$x$约去，得到$\frac{2(x+2)}{2x(x+3)}$。
然后，我们可以将分子和分母再次因式分解，得到$\frac{2(x+2)}{2x(x+3)} =\frac{2(x+2)}{2x(x+3)}$。
最后，我们将剩余的因式化简到最简形式，得到$\frac{x+2}{x(x+3)}$。
在化简分数的过程中，我们还可以运用分数的基本运算法则。
比如，两个分数相除的化简可以通过将第二个分数的分子与第一个分数的分母相乘，第二个分数的分母与第一个分数的分子相乘，然后再化简所得分数得到。
分式化简知识点总结
分式化简知识点总结一、分式的定义分式是由分子和分母组成的数学表达式，通常表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不能为0。
分式表示了两个数之间的比例关系，它可以用来表示比例、比率、百分数、概率等。
二、化简分式的规则化简分式是指将分式表达式化为最简形式，即分子与分母都不能再被约分的形式。
化简分式的规则如下：1. 将分子和分母的公因式约去。
2. 分式中的各项均不能再被约分为整数。
3. 如果分子和分母中含有指数，可以利用指数的性质进行化简。
例如，对于分式3/6，它可以化简为1/2；对于分式6x/9x，它可以化简为2/3。
三、分式的运算分式的运算包括加减乘除四则运算，下面我将分别介绍这四种运算的规则。
1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法规则如下：1. 找到两个分式的公分母，并将它们化为相同的形式。
2. 将分子相加或相减，并保持分母不变。
例如，对于分式1/2 + 1/3，首先找到它们的最小公倍数为6，然后将它们化为相同的形式，得到3/6 + 2/6，最后将分子相加得到5/6。
2. 分式的乘法：分式的乘法规则如下：1. 将分式的分子和分母相乘，得到新的分子和分母。
2. 将新的分子和分母化为最简形式。
例如，对于分式1/2 * 2/3，将分子和分母相乘得到2/6，化简为1/3。
3. 分式的除法：分式的除法规则如下：1. 将分式的分子乘以倒数，得到新的分子。
2. 将新的分子和分母化为最简形式。
例如，对于分式1/2 ÷ 3/4，将分子乘以倒数得到1/2 * 4/3 = 4/6，化简为2/3。
四、分式方程分式方程是指方程中包含分式的等式。
解分式方程的一般步骤如下：1. 将方程中的分式化为最简形式。
2. 经过等式两边的乘除法，使得方程中的分式消失。
3. 求解方程得到分式的值。
例如，对于分式方程(2x-1)/3 = 1/3，首先将分式化为最简形式，得到(2x-1)/3 = 1/3，然后经过等式两边的乘除法，将分式消失，得到2x - 1 = 1，最后求解方程得到x=1。
谈谈分式化简的几个小技巧
数学篇初中数学中“分式的化简”是非常重要的知识点，其运算的综合性和技巧性较强.如果化简运算方法选取不当，不仅会使解题过程变得复杂，而且错误率高.下面介绍三种分式化简的常用技巧：通分约分、因式分解、提取公因式.同学们需注意的是，有时候要综合运用这三种技巧，才能实现快速解题的目标.首先，巧借“通分约分”化简分式.此技巧适合包含多个简单分式的题型，分式之间往往通过“+”“-”这两个符号连接.此时，可以尝试“通分”同化分母，再根据具体情况结合部分相同项进行“约分”，从而达到简化分式的目的.其次，妙用“因式分解”化简分式.有的时候，分式化简的式子往往比较复杂，直接求解比较困难.利用“因式分解”可以寻找部分共同项，然后利用乘除法抵消部分或全部共同项，以达到化简分式的目的.在抵消“共同项”时，一定要注意整个式子的“+”“-”符号，以防出错.此方法适合局部可以因式分解的复杂分式，通过局部的因式分解，可以简化分式形式.第三，灵活“提取公因式”化简分式.在化简分式的过程中，首先看多项式的各项是否有公因式，若有公因式，则把它提取出来.及时灵活地提取公因式，可以大大简化计算过程.需要注意的是，提取的公因式应尽量单独放在最前面，而且保持独立性，以便为后续的“约分”或“消项”做准备.例1化简（1x +1-1x -1）÷2x 2-1.分析：先计算（1x +1-1x -1），采用“通分”处理可得-2(x +1)(x -1)，再结合后面的2x 2-1计算最终结果.解：（1x +1-1x -1）÷2x 2-1=-2（x +1）（x -1）÷2x 2-1=-2x 2-1÷2x 2-1=-1.评注：该题比较简单，采用“通分”可以整合（1x +1-1x -1），再利用“约分”去掉共同项1x 2-1即可得出最后结果.变式：化简（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2.分析：该题同例1，利用“通分”处理（x +1x -x x -1），得到-1x (x -1)，结合后面的1（x -1）2，利用“约分”抵消1(x -1)项，最后算出结果即可.解：（x +1x -x x -1）÷1（x -1）2=[(x +1)(x -1)-x 2x (x -1)]÷1（x -1）2=-1x (x -1)÷1（x -1）2=-1x (x -1)∙(x -1)2=1-x x .评注：先计算括号里的内容，利用“通分”处理（x +1x -x x -1）得到-1x (x -1)，整个式子就变得简单了.“通分约分”可以简化部分分式.例2化简（xy -x 2）÷x -yxy.分析：解答这道题，可以先把题目中(xy -x 2)因式分解为x （y -x ），这样，与后面的x -yxy 有共同项（x -y ），再通过“约分”抵消，得到结果.解：（xy -x 2）÷x -y xy =x （y -x ）÷x -yxy =x （y -x ）×xyx -y=-x 2y .谈谈分式化简的几个小技巧新疆阿勒泰地区福海县初级中学李红艳解法荟萃32数学篇评注：通过“因式分解”（xy -x 2），找到共同项(x -y )，再利用乘除法全部或部分“约去”共同项，从而简化分式，得出结果.变式：化简2x -64-4x +x2÷(x +3)∙x 2+x -63-x .分析：可以先“因式分解”寻找共同项，尝试消项.2x -64-4x +x2因式分解为2(x -3)(x -2)2，x 2+x -63-x因式分解为(x +3)(x -2)3-x ，最后综合求解即可.解：2x -64-4x +x2÷（x +3）∙x 2+x -63-x =2(x -3)(x -2)2÷（x +3）∙（x +3）(x -2)3-x =2(x -3)(x -2)2∙1x +3∙（x +3）(x -2)3-x =-2x -2.评注：此题式子比较复杂，但是利用“因式分解”可以找出很多共同项，综合所有项后，发现很多可以抵消的项，从而大大简化了原式.但在抵消“共同项”或“近似共同项”时，一定要注意“+”“-”号，避免出错.例3化简(y +1y 2-4y +3-y -2y 2-6y +9)÷y -5y -1.分析：题目式子比较复杂，先对扩号内部式子的分母进行“因式分解”，得到y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2，此时观察发现可以“提取公因式”1y -3，得到1y -3（y +1y -1-y -2y -3）.然后再运用“通分”处理（y +1y -1-y -2y -3）得y -5(y -1)(y -3)，最后综合计算1y -3∙y -5(y -1)(y -3)÷y -5y -1，得出结果1(y -3)2.=[y +1(y -1)(y -3)-y -2(y -3)2]÷y -5y -1=1y -3（y +1y -1-y -2y -3）∙y -1y -5=1y -3∙(y +1)(y -3)-(y -2)(y -1)(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1y -3∙y -5(y -1)(y -3)∙y -1y -5=1(y -3)2.评注：此题两个分式的分母经过因式分解以后有公因式可提取，分解因式并提取公因式后为1y -3（y +1y -1-y -2y -3），然后再计算最后答案.变式：化简(x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4)÷x -4x +2.分析：对（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）分母进行因式分解可得（x -2x (x +2)-x -1(x +2)2）,然后提取公因式1x +2可得1x +2∙（x -2x -x -1x +2）.再通分（x -2x -x -1x +2）可得x -4x （x +2）.最后求1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2得1x （x +2）.解：（x -2x 2+2x -x -1x 2+4x +4）÷x -4x +2=éëêùûúx -2x (x +2)-x -1(x +2)2÷x -4x +2=1x +2∙（x -2x -x -1x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）÷x -4x +2=1x +2∙x -4x （x +2）∙x +2x -4=1x （x +2）.评注：此题的解题关键是综合“因式分解”与“通分约分”，在处理过程中应及时、灵活提取公因式，从而化简分式.分式化简问题虽然复杂难解，但是有规律可循，有技巧可取.只要同学们仔细观察，善于综合运用“通分约分”“因式分解”“提取解法荟萃。
分式化简的解题思路及方法
分式化简的解题思路及方法分式化简是代数学习中常见的问题，正确化简分式可以简化计算过程，提高求解效率。
本文将介绍分式化简的解题思路及方法，帮助读者更好地掌握这一技能。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《分式化简的解题思路及方法》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《分式化简的解题思路及方法》篇1一、分式化简的解题思路分式化简的解题思路主要包括以下几个方面:1. 熟悉分式的基本形式：分式通常写成 $frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是代数式。
要化简分式，需要先将其转化为这种基本形式。
2. 确定公因式：在分式中，如果有公共的因子，可以先提出来，这样可以简化分式的形式。
3. 利用分式性质：分式具有一些特殊的性质，如分子分母同乘以一个数或一个代数式，分式的值不变。
利用这些性质，可以对分式进行化简。
4. 运用运算法则：分式的化简也需要运用代数运算法则，如合并同类项、分配律、结合律等。
二、分式化简的方法分式化简的方法主要有以下几种:1. 提取公因式法：这种方法是指在分式中提取公共的因子，将分式化简为最简形式。
例如，将 $frac{2x+4y}{x+2y}$ 化简为$frac{2(x+2y)}{x+2y}$，再进一步化简为 $2$。
2. 拆分分式法：这种方法是指将分式拆分成两个或多个分式，以便更好地提取公因式或运用运算法则。
例如，将$frac{x+y}{x-y}$ 拆分成 $frac{x+y}{x-y} cdot frac{x+y}{x+y} = frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-y^2}$。
3. 合并同类项法：这种方法是指将分式中的同类项合并在一起，从而简化分式的形式。
例如，将 $frac{3x+2y}{x+y}$ 化简为$frac{3x+2y}{x+y} cdot frac{x+y}{x+y} =frac{3x^2+2xy+2xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2} =frac{3x^2+4xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}$。
分式化简求值的七种类型
分式化简求值的七种类型分式的化简与求值是分式运算的重要内容，现摘取几例加以分析.㈠与因式分解相结合的单一化简例1、先化简：22221224323a a a a a a a -+-÷---,再求当3a =-时分式的值。
思路分析：题目中出现了特殊的二次三项式，注意运用多项式因式分解的方法,一般地，若二次项系数是1，一次项的系数可以看作两个数的和（或者是和的相反数），常数项可以作为上面和中的两数的乘积，即可把二次三项式分解因式.如果二次项系数不为1，则可以把二次项系数提出来.解：原式=()()()()()()()()()()()()()()()()21121211131313321222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--++-+-+÷=•=-+---++ 当a=-3时，原式=()()()23142233263-+==⨯-⨯-+ 点评：注意特殊的二次三项式()()()2x a b x ab x a x b +++=++因式分解的方法,以及乘法公式、提取公因式、分组分解等方法的灵活运用,比如2221222333a b b a b a b a b-+--+÷+-+的化简，应注意分组.2221222333a b b a b a b a b -+--+÷+-+()()22133321a b a b a b a b --+=•+--+ ()()()()113121a b a b a ba b a b +--++=•+--+6a b +=。
㈡巧变幻求值型例2：设abc=1，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值。
思路分析:第一个分式分母中的1可巧妙变换成abc,第3个分式的分子,分母同时乘b. 解：原式=1a b bc ab a abc bc b abc bc b++++++++ 1111111b bc bc b b bc bc b bc b bc b ++=++==++++++++ 点评：仔细分析题中的条件和所求代数式之间的关系，巧妙变幻是解决分式中较复杂运算的重要途径。
分式的化简公式
分式的化简公式分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成，分子和分母都是代数式或者数。
在解决问题的过程中，我们经常需要对分式进行化简，以便更方便地进行计算。
下面将介绍一些分式的化简公式及其应用。
一、分式的乘法公式当两个分式相乘时，可以利用分式的乘法公式进行化简。
假设有两个分式A和B，其形式分别为A = a/b、B = c/d，其中a、b、c、d均为实数。
则A×B = (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d)这个公式可以将两个分子相乘再除以两个分母的积，从而得到分式的乘法结果。
例如，化简分式(3/5) × (4/7)：(3/5) × (4/7) = (3 × 4)/(5 × 7) = 12/35二、分式的除法公式当两个分式相除时，可以利用分式的除法公式进行化简。
假设有两个分式A和B，其形式分别为A = a/b、B = c/d，其中a、b、c、d均为实数。
则A/B = (a/b) ÷ (c/d) = (a × d)/(b × c)这个公式可以将第一个分子乘以第二个分母，并且将第一个分母乘以第二个分子，从而得到分式的除法结果。
例如，化简分式(5/9) ÷ (2/3)：(5/9) ÷ (2/3) = (5 × 3)/(9 × 2) = 15/18 = 5/6三、分式的加法和减法公式当两个分式相加或相减时，可以利用分式的加法和减法公式进行化简。
假设有两个分式A和B，其形式分别为A = a/b、B = c/d，其中a、b、c、d均为实数。
则A + B = (a/b) + (c/d) = (a × d + b × c)/(b × d)A -B = (a/b) - (c/d) = (a × d - b × c)/(b × d)这个公式可以将两个分式的分子与分母进行相应运算，并将结果合并为一个分式。
浅谈分式化简的几种技巧
浅谈分式化简的几种技巧
一、整体法
分析：因为(4x2+6x+9)(2x-3)=8x3-27．故把4x2+6x+9看做一个整体，
分析：由已知等式是不能求a、b的值的，可以考虑将求值式变形，将式子用条件式中
的12
a b
表示，便可做整体代入求值。
(分子、分母除以ab)．
整体法解题时，其变形、计算不局限在某一个字母或某一项上，而是把某一个代数式看
做一个整体参与变形、计算，从而使解题简化．练习题：
1．已知x+y=5，xy＝3．求下列代数式的值．
【提示或答案】
提示：将求值式用x+y、xy表示，做整体代入．
二、因式分解法
说明：计算时在两个分式中提取公因式并约简，将复杂的分式“化整为零，分别突破，从而使解题得到简化．
例2化简
【练习】
1．化简
2．计算
三、换元法
换元法是数学中普遍适用的一种解题方法．在分式化简中运用换元法，其目的是减少观察的困难．
原式=(a2-b2)(a2-ab+b2)(a2+ab+b2)
＝(a+b)(a-b)(a2-ab+b2)(a2+ab+b2)
=[(a+b)(a2-ab+b2)]·[(a-b)(a2+ab+b2)]
=(a3+b3)(a3-b3)=a6-b6
要注意的是，用换元法化简、计算后，必须换回来，即把新元a、b的代数式换式x、y 的代数式．
=tx-1+ty-1+tz-1=t(x+y+z)-3．
∵x+y+z=0，∴原式＝t·0-3=-3．
【练习】
提示或参考答案：
则a+b+c=0，两边平方，
得a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0，
∴a2+b2+c2＝-2(ab+bc+ca)．。
数学公式知识：代数式的分式计算与化简
数学公式知识：代数式的分式计算与化简代数式是数学中的一个重要概念，它是由一些数和变量通过运算符号组合而成的式子。
在代数式中常常会包含有分式，即分数形式的表达式。
分式含有分子和分母两部分，其中分母不能为零。
代数式的分式计算与化简是代数学习中的重要环节，下面将从分式的四则运算、最简分式的求法以及综合应用等方面进行详细阐述。
一、分式的四则运算分式的四则运算包括加、减、乘、除四种基本运算。
对于两个分式a/b和c/d，它们的四则运算规则如下：1.加法：将分子通分，并将分母约分成最简分式，即可将两个分式相加。
2.减法：将分子通分，并将分母约分成最简分式，即可将两个分式相减。
3.乘法：分子相乘，分母相乘，约分后即可得到乘积的最简分式。
4.除法：将除式取倒数，并将被除式乘上这个倒数，然后将分子约分成最简分式，即可得到商的最简分式。
需要注意的是，在进行分式四则运算时必须注意通分与约分，通分是为了使分式之间的分母相同，从而进行加减运算，通分时常用到质因数分解，而约分则是为了将分式的分子和分母化简成最简形式。
进行分式四则运算的过程中，通分与约分应当恰当地运用，从而保证运算结果的正确性。
二、分式的最简形式求法对于一个分式，如果分子和分母之间不存在公因数，则该分式为最简分式。
而对于存在公因数的分式，可以通过约分的方法化简成最简分式。
下面介绍两种常见的求最简分式的方法。
1.辗转相除法以分式a/b为例，辗转相除法的求解步骤如下：1）计算a和b的最大公因数d；2）将a和b同时除以d，得到a'和b'；3）化简后得到的最简分式为a'/b'。
2.质因数分解法以分式a/b为例，质因数分解法的求解步骤如下：1）将a和b同时进行质因数分解，得到它们的质因数分解式；2）将a和b的所有公因数约掉，得到a'和b'；3）化简后得到的最简分式为a'/b'。
质因数分解法适用于任何分式的化简，但是过于繁琐，一般较少采用。
初中数学(初二)考点：分式的化简求值
1、考点名称:分式的化简求值5年考试次数:327考点内容:(1) 先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.(2) 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.(3) 化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.规律方法：分式化简求值时需注意的问题：1.化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当…时,原式=…”.2.代入求值时,有直接代入法,整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.2、考点名称:解分式方程5年考试次数:247考点内容:(1)解分式方程的步骤:①去分母;②求出整式方程的解;③检验;④得出结论.(2)解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如下检验:①将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解.②将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解. 所以解分式方程时,一定要检验.3、考点名称:分式方程的应用5年考试次数:151考点内容:1、列分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答.必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:如设和答叙述要完整,要写出单位等.2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:速度=路程时间;工作量问题:工作效率=工作量工作时间等等.列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力. 4、考点名称:待定系数法求一次函数解析式5年考试次数:76考点内容:待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:(1)先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;(3)解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.5、考点名称:三角形内角和定理5年考试次数:106考点内容:(1)三角形内角的概念:三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角,且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理:三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法,不唯一,但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起,组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角;③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角6、考点名称:全等三角形的判定5年考试次数:136考点内容:(1)判定定理1:SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2:SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3:ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.(4)判定定理4:AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)判定定理5:HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.7、考点名称:等腰三角形的判定5年考试次数:44考点内容:判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.简称:等边对等角说明:①等腰三角形是一个轴对称图形,它的定义既作为性质,又可作为判定办法.②等腰三角形的判定和性质互逆;③在判定定理的证明中,可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,但不能作未来底边的中线;④判定定理在同一个三角形中才能适用.8、考点名称:勾股定理5年考试次数:760考点内容:(1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式a2+b2=c2的变形有:、及(4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.9、考点名称:三角形中位线定理5年考试次数:229考点内容:(1)三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.(2)几何语言: 如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC,DE=BC.10、考点名称:平行四边形的判定5年考试次数:102考点内容:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形.(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.符号语言:∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言:∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形.。
分式运算中的十二种常用技巧
分式运算中的十二种常用技巧在分式运算中，有很多常用技巧可以帮助我们简化表达式、求解问题。
下面我将介绍分式运算中的十二种常用技巧。
一、分子与分母的公因式法当分子与分母有公因式时，我们可以先约去它们的公因式，再进行运算。
例如，对于分式 $\frac{3x^2}{4x}$，我们可以约去分子和分母的公因式 $x$，简化为 $\frac{3x}{4}$。
二、通分法对于两个分式，如果它们的分母不同，我们需要先将它们的分母化为通分，再进行运算。
例如，对于分式 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3}$，我们可以将它们的分母化为通分，变为 $\frac{3x}{6} + \frac{2y}{6}$，再进行求和。
三、分数相加减法分数相加减法可以通过通分法化简，再按照分子相加减，分母保持不变的原则进行运算。
例如，对于分式 $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$，我们可以先将其通分为 $\frac{9}{12} + \frac{2}{12}$，再进行求和，得到$\frac{11}{12}$。
四、负号的运用在分式运算中，可以用负号将有多个项的分式变为一个项的分式。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$，我们可以将其转化为 $\frac{ad - bc}{bd}$。
五、分式的乘法分式的乘法可以按照分子相乘、分母相乘的原则进行运算。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$，我们可以将其简化为 $\frac{ac}{bd}$。
六、分式的除法分式的除法可以通过将被除数与除数的分子与分母交叉相乘，再进行约分得到结果。
例如，对于分式 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$，我们可以将它转化为 $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$，再进行约分。
七、分式的乘方分式的乘方可以通过将分子与分母分别进行乘方运算得到结果。
小学数学重点之分式的化简与运算
小学数学重点之分式的化简与运算分式的化简与运算是小学数学中的重要内容之一。
在学习这部分知识时，我们需要掌握分式的概念、化简方法以及运算规则等内容。
本文将从这几个方面来详细介绍分式的化简与运算。
一、分式的概念分式是由分子和分母组成的一种数学表达式，分子和分母都是代数式。
分式的一般形式为：$\frac{a}{b}$其中，a是分子，b是分母。
分式可以理解为一个除法的结果，分子表示被除数，分母表示除数。
例如，$\frac{2}{3}$表示2除以3的结果。
二、分式的化简方法1.化简分子和分母的公因式：如果分子和分母有公因式，可以约去公因式，使得分子和分母的值尽可能小。
例如，分式$\frac{8}{12}$可以化简为$\frac{2}{3}$，因为8和12都可以被2整除。
2.化简分子和分母的最大公约数：如果分子和分母没有公因式，可以使用最大公约数来化简分式。
例如，分式$\frac{15}{25}$可以化简为$\frac{3}{5}$，因为15和25的最大公约数是5。
3.分式的倒数：分式的倒数是指将分子和分母互换的结果。
例如，分式$\frac{2}{3}$的倒数是$\frac{3}{2}$。
三、分式的运算规则1.分式的加法：分式的加法要求分母相同。
如果分母相同，只需将分子相加，并保持分母不变。
例如，$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}$。
2.分式的减法：分式的减法同样要求分母相同。
如果分母相同，只需将分子相减，并保持分母不变。
例如，$\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
3.分式的乘法：分式的乘法只需要将分子相乘，分母相乘。
例如，$\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{12}$。
4.分式的除法：分式的除法可以通过将除号转化为乘号，再求倒数来实现。
例如，$\frac{1}{2}\div\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}=\frac{4}{6}=\f rac{2}{3}$。
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方法决定效率，细节决定成败！
每天进步一点点，一年进步… …
7.轮换对称式的求值
已知： c a b 1 ，求 c2 a2 b2 的值。
ab bc ac
ab bc ac
小练习 7.
已知
abc=1,求
ab
a a
1
bc
b b
1
ac
c c
1
的值。
8.拆项法化简分式
方法决定效率，细节决定成败！
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的值．
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课下作业答案：
1. 64 2. 1 29 14 xy
4.(1)
x2 y2
3. - 3
(2) 1 （3） 1
a2
z
5. a 2 ,- 1 a2 4 3
6. m2+3m, 4
（4） xy x y
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4.构造完全平方，再求值
已知：x2-3x-1=0，则
x1 x
，
x2
1 x2
，
x4
1 x4
。
小练习 4：
已知： x2
1 x2
5 ，求
x
1 x
的值。
方法决定效率，细节决定成败！
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5.利用取倒数法求值
已知： x 1 ，求 x2 的值。
x2 1 3
x4 1
由
x x2 1
1 3
课下作业：
1.已知：
x 2
y 3
z 4
，则
2xy 3yz 4zx x2 y2 z2
的值是
。
1
ｘ２
2.已知：x -
=3 则
的值是
x
ｘ４＋３ｘ２＋１
。
3.已知：
a
x
b
3 bc
y ca
，则
x+y=
4.计算
(1)
(1
x
y
)(1 y
x
x
) y
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(2)
(
a a2
2 2a
a2
a 1 4a
（1）若 x y z （x,y.z 均不为 0），则 x 2 y z 的值是
。
234
z
（2）已知：
a
x
b
y bc
5 ca
，则
x+y=
.
小练习 3：
（1）若 x y z ，则 x 2 y+3z 的值是 2 3 5 2x 3y z
。（2）若
x y
4 3
则
x 2y x2 3y
的值是
。
知，x≠0
∴两边取倒数得： x2 1 3 ，即 x 1 =3.
x
x
∴
x4 1 x2
=
x2
1 x2
=（x+
1 )2 x
2
7
x2
1
∴
的值是 。
x4 1
7
说明：该题的解法叫做“倒数法”。
小练习 5：
已知：
x2
x 3x
1
5,
求
x4
x2 2x2
的值。 1
请您利用“倒数法”解下面题目：
已知：
x2
x 2x
2
4, 求：
分式运算中的技巧
1.先约分，再代入求值
(1)
m2
4m m2 1
4
m2 m 1
2 m 1
，其中
m=3.
(2)
x2
8 4x
4
( x2 x2
x 2), 其中
x
2.
小练习 1：
(1)
x2
x2 4 4x
4
x2 2
2x x
, 其中x
1.
(2)
m2 m2 9
.(1
2m 7 m2 2m
4
)
（1） x 2 的值。 x
x2 （2） x4 6x 4 的值。
6.分离整数法
3
（1）若
是正整数，求 x 的值。
2x 1
（3）若
3x 1 x 1
是整数，求
x
的值。
x2
（2）若
是整数，求 x 的值。
x 1
小练习 6：
（1）若 x 1 是整数，求 x 的值。 x 1
（2）若 2x 1 是整数，求 x 的值。 x 1
) 4
a
a
2
4a a2
(3) ( 1 1 1)
xy
x y z xy yz zx
（4）
x
2
y
x4 y
x2
x y x y x4 y4 x2 y2
5．计算 ( a
1
2
a
1
) 2
4 a2
，并求出当 a
-1
时，代数式的值.
6.已知
m2+3m-4=0,求（m
2
5 m
) 2
m 3 m2 2m
m M
1 3
,
其中m
20.
2.先变形，再整体代入
已知： 1 1 5 ，则 2x 5xy 2 y
。
xy
x 2xy y
小练习 2：
若分式 1 1 2 ，则 4x+5xy 4 y
。
xy
x 3xy y
方法决定效率，细节决定成败！
每天进步一点点，一年进步… …
3.见比设元，再代入求值