空间向量求二面角

空间向量求二面角

基本结论:构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．

点到平面的距离 例1

即

18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． ()1证明：C//B 平面D P A ；

()2证明：C D B ⊥P ；

()3求点C 到平面D P A 的距离．

例2例3

1．如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，G 是AC 中点，F 为

CE 上的点，且ACE BF 平面⊥．

（Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥；（Ⅱ）求三棱锥BGF C -的体积．

2.（本小题满分12分）

将棱长为a 正方体截去一半（如图7所示）得到如图8所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点． （1）证明：1AF ED ⊥；

（2）求三棱锥1E AFD -的体积．

A B C

D E F G A 1 B 1

C 1

D 1 A

B

C

D

图7 D 1 D

C

B

A 1

A

E F

图8

3．（本题满分12分）

如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，

4===CA BC PB ，E 为PC 的中点， M 为AB 的中点， 点F 在PA 上，且2AF FP =． （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；

（3）求三棱锥ABE F -的体积．

4.如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .

（1）证明：CF ⊥平面MDF ;（2）求三棱锥M CDE -的体积

A B

C

D

F

P

M

P

E

D

C

B

A

5．（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB ∥CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=

2

1

AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；

（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积； （3） 证明：EF ⊥平面PAB ．

P

A

B

H C

F

E

D

图5