立体几何垂直问题大题

（四）、面垂直面⇒线垂直面面面垂直，先找交线，再找与交线垂直的直线。

1.四棱锥P－ABCD中，底面ABCD直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，面PBC⊥面ABCD。（1）证：AB⊥平面PBC；

2.在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，四边形BDEF是矩形，面BDEF⊥面ABCD，（Ⅰ）证：AC⊥平面BDEF；

3.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知45,90,

A C

∠=︒∠=︒105

ADC

∠=︒,AB BD

=，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E，F分别为棱AC，AD的中点．求证：DC⊥平面ABC；

二、证明面垂直面

1.菱形ABCD的边长为3，AC与BD交于O，且

60

=

∠BAD．将菱形ABCD沿对角线AC 折起得到三棱锥B ADC

-（如图），点M是棱BC的中点，

32

2

DM=．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面MDO；

2.多面体EDABC中,AC,BC,CE两两垂直,AD//CE,ED DC

⊥,Ⅱ)证:面BDE⊥面BCD.

3.三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=1

2AA1，D是棱AA1中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

4.直角梯形ABCD，AB//CD , BC⊥CD,E为AB 一点,AD=AE,DC,BE不平行，将三角形ADE沿

DE折起到P，使得PC=PB ,证明：平面PDE⊥平面ABCD

5.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=900，D为AC的中点，AB⊥PD，（1）求证：平面PAB⊥平

面ABC

B1

C

B

A

D

C1

A1

6.五棱锥P —ABCDE ，

⊥

PA 平面ABCDE ，AB//CD ， 42,22,45===︒=∠AE BC AB ABC （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；

(二)已知面⊥面,证明面垂直面

1.如图在四棱锥

P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a

的正方形,侧面

PAD ⊥

底面

ABCD ,2

2

PA PD AD ==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证:EF //平面PAD ;(Ⅱ) 求证:面PAB ⊥平面PDC ;

2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点，求证：（2）平面BEF ⊥平面PAD ．

3.如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，AB=AE=

2

3

AD =4，现将△ABE 沿BE 边折至△PBE 位置，且平面PBE ⊥平面BCDE ．（I ）求证：平面PBE ⊥平面PEF ；

4.在三棱锥P-ABC 中，平面⊥PAC 平面

ABC ，AC PD ⊥于点D ，

且22==AD DC ，（Ⅱ）；

平面求证：平面ABC PDB ⊥．

F

E

D

C B

A P

P

A

B E

C

P

A

B

C

D

A

B

C

P

M

5.在四棱锥P －ABCD 中，正三角形ABC ，平面PAB ⊥底面ABCD ，ABCD 为矩形，E 是PA 的中点．求证：BE ⊥面PAD ；

三、证明线垂直线 1.正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点， 1AA AB a == （Ⅰ）证：1AD B D ⊥；

2.在四棱锥

ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面

ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为

PB PC ,的中点． （1）求证：DM PB ⊥；

3.四棱锥ABCD P -的俯视图是菱形ABCD ，顶点P 的投影恰好为A ．⑴求证：PC BD ⊥；

4.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；

5.多面体PMBCA 中，平面⊥PAC 平面ABC ，PAC ∆是边长为2的正三角形，PM ∥BC ，

且52,42===AB PM BC

.（Ⅰ）求证：BC PA ⊥；

6.如图所示，已知直三棱柱

ABC A B C '''-，2AC AB AA '=== ,,AC AB AA '两两垂直,

,,E F H 分别是,,AC AB BC '的中点． （Ⅰ）证明：EF AH ⊥；

7、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，E 、F 是CC 1，A 1D 1中点,证明：BF ⊥AE

8、.斜三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１，面Ａ１ＡＣＣ１⊥面ABC ，ＡＣ⊥ＢＣ。Ａ１B ⊥Ｃ１Ｃ，ＡＣ＝ＢＣ，证Ａ１Ａ⊥Ａ１Ｃ

9，三棱锥A-BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 正三角形．（1）证DM ∥平面APC ；（2）求证： BC ⊥PC ；

（二）已知面垂直面

1.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．

（Ⅱ）求证：PA ⊥CD ；

2.四棱锥P -ABCD 中, BC ∥AD ,BC =1,AD =3,AC ⊥CD ,且平面PCD ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证:AC ⊥PD ;

E

B

A

D

C

P

F

E

D

A

C

B

P