最值系列之将军饮马

最值系列之——将军饮马

一、什么是将军饮马？

【问题引入】

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？

A B

将军

军营

河

【问题简化】

如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？

【问题分析】

这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．

【问题解决】

作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB

当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

【思路概述】

作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．

二、将军饮马模型系列

【一定两动之点点】

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

B B

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．

P O B A

M

N

【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．

A

P''

当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．

A

【两定两动之点点】

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

B

B

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

【一定两动之点线】

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

B

B

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

三、几何图形中的将军饮马

【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】

1．正方形中的将军饮马

【关于对角线对称】

如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________．

N M D C

B

A

【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值．点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小．

D

M

【假装不存在的正方形】

（2019·山东聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，

且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()

A ．(2,2)

B ．5(2，5)2

C ．8(3，8)3

D ．(3,3)

【分析】此处点P 为折点，可以作点D 关于折点P 所在直线OA 的对称：

也可以作点C 的对称：

【隐身的正方形】

（2017·辽宁营口）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( )

P

D

C

B

A

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【分析】作点C 关于P 点所在直线AB 的对称点C ’，当C ’、P 、D 共线时，PC +PD 最小，最小值为5，故选B ．

2．三角形中的将军饮马 【等边系列】

如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．

A B

C

D

M

N

【分析】M 点为折点，作B 点关于AD 的对称点，即C 点，连接CN ，即为所求的最小值．

C

过点C 作AB 垂线，利用勾股定理求得CN 的长为2倍根号7．

C

【隐身的等边三角形】

如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．

N M

D

B

A

【分析】对称点并不一定总是在已知图形上．

C

【角分线系列之点点】

（2018·山东潍坊）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( )

E A

F

C

D

B

A ．3

B

．4

C ．

D ．

【分析】此处E 点为折点，可作点C 关于AD 的对称，对称点C ’在AB 上且在AB 中点，化折线段CE +EF 为C ’E +EF ，当C ’、E 、F 共线时得最小值，C ’F 为CB 的一半，故选C ．