立体几何专题复习(自己精心整理)

专题一证明平行垂直问题

题型一证明平行关系

(1）如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别

是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD。

（2）在正方体AC1中,M，N，E，F分别是A1B1，A1D1,B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.

思考题1（1）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.

（2)如图,在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2,BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD。

题型二证明垂直关系(微专题)

微专题1:证明线线垂直

(1）已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为

AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC。求证：PM⊥QN.

（2)(2019·山西太原检测）如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1,BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上

的点，求证:DF⊥AE。

微专题2：证明线面垂直

（3）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求证:BD1⊥平面ACB1.

(4)（2019·河南六市一模）在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠

ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD。

微专题3：证明面面垂直

（5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中

点,求证:平面DEA⊥平面A1FD1.

（6)如图，四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝

AB＝错误!PD，求证:平面PQC⊥平面DCQ。

思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，

底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC，E是PC的中点,

作EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD。

（2)（2019·济南质检）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D

为BC的中点,PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO

＝4，AO＝3，OD＝2。

①证明：AP⊥BC；

②若点M是线段AP上一点，且AM＝3,试证明平面AMC⊥平面BMC.

题型三探究性问题

在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为

正方形，PD＝DC，E,F分别是AB，PB的中点．

(1）求证：EF⊥CD;

（2）在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB.若存在，确

定G点的位置；若不存在,试说明理由．

思考题3（2019·山西长治二模）如图所示,四棱锥P－ABCD的底

面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2，E为PD上一点，

PE＝2ED。

(1）求证：PA⊥平面ABCD；

(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置,并证明；若不存在，说明理由．

专题二求解异面直线所成角和线面角问题

题型一异面直线所成的角

(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．（2）(2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC ＝60°,平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为思考题1(2019·湖南雅礼中学期末)如图1,在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1,E是DC 的中点；如图2,将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和BD 所成角的余弦值为________．

题型二定义法求线面角

（1）(2019·山东荷泽期末)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形,B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为（）

A。错误!B。错误! C.错误!D。错误!

（2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设

点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范

围是（)

A．［错误!,1］B．［错误!，1] C．［错误!，错误!］D．[错误!，

1]

思考题2(1)(2019·河北石家庄一模)如图所示,在三棱柱ABC－A1B1C1

中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3,则BB1与平

面AB1C1所成的角的大小为________．

（2)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()

A．90°B．60°C．45°D．30°

题型三向量法求线面角

（1)(2019·河南郑州月考）如图,已知四棱锥P－ABCD的底面

ABCD是边长为2的正方形,PA＝PD＝错误!,平面ABCD⊥平面PAD，M是

PC的中点，O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是

________．

（2）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°,AC与BD相交于点O，AE

⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3。若直线FO与平面BED所成的

角为45°，则AE＝________．

思考题3（1)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P

为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．

(2)（2019·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD ＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD,则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为（)

A。错误! B.错误!C。错误! D.错误!

（1)（2019·太原模拟一)如图,在四棱锥P－ABCD中，底面

ABCD是边长为错误!的正方形，PA⊥BD.

①求证:PB＝PD；

②若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平

面PCD所成角的大小．

(2）(2019·湖南长郡中学选拔考试）如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

BA＝BC＝5，AC＝8，D为线段AC的中点．

①求证：BD⊥A1D；

②若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为错误!，求AA1的长．

思考题4（2019·石家庄质检二）如图，三棱柱ABC－

A1B1C1中，侧面BB1C1C为∠CBB1＝60°的菱形，AB＝AC1。

(1)证明：平面AB1C⊥平面BB1C1C；

(2)若AB⊥B1C，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，

求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值．