立体几何专题复习(自己精心整理)

专题一证明平行垂直问题
题型一证明平行关系
(1）如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别
是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD。

（2）在正方体AC1中,M，N，E，F分别是A1B1，A1D1,B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.
思考题1（1）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.
（2)如图,在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2,BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD。

题型二证明垂直关系(微专题)
微专题1:证明线线垂直
(1）已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为
AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC。

求证：PM⊥QN.
（2)(2019·山西太原检测）如图,直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，E，F分别是CC1,BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上
的点，求证:DF⊥AE。

微专题2：证明线面垂直
（3）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求证:BD1⊥平面ACB1.
(4)（2019·河南六市一模）在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠
ADC＝60°.若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD。

微专题3：证明面面垂直
（5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中
点,求证:平面DEA⊥平面A1FD1.
（6)如图，四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝
AB＝错误!PD，求证:平面PQC⊥平面DCQ。

思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD＝DC，E是PC的中点,
作EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD。

（2)（2019·济南质检）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D
为BC的中点,PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO
＝4，AO＝3，OD＝2。

①证明：AP⊥BC；
②若点M是线段AP上一点，且AM＝3,试证明平面AMC⊥平面BMC.
题型三探究性问题
在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为
正方形，PD＝DC，E,F分别是AB，PB的中点．
(1）求证：EF⊥CD;
（2）在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB.若存在，确
定G点的位置；若不存在,试说明理由．
思考题3（2019·山西长治二模）如图所示,四棱锥P－ABCD的底
面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2，E为PD上一点，
PE＝2ED。

(1）求证：PA⊥平面ABCD；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置,并证明；若不存在，说明理由．
专题二求解异面直线所成角和线面角问题
题型一异面直线所成的角
(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．（2）(2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC ＝60°,平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为思考题1(2019·湖南雅礼中学期末)如图1,在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1,E是DC 的中点；如图2,将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和BD 所成角的余弦值为________．
题型二定义法求线面角
（1）(2019·山东荷泽期末)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形,B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为（）
A。

错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!
（2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设
点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范
围是（)
A．［错误!,1］B．［错误!，1] C．［错误!，错误!］D．[错误!，
1]
思考题2(1)(2019·河北石家庄一模)如图所示,在三棱柱ABC－A1B1C1
中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3,则BB1与平
面AB1C1所成的角的大小为________．
（2)把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为()
A．90°B．60°C．45°D．30°
题型三向量法求线面角
（1)(2019·河南郑州月考）如图,已知四棱锥P－ABCD的底面
ABCD是边长为2的正方形,PA＝PD＝错误!,平面ABCD⊥平面PAD，M是
PC的中点，O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是
________．
（2）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°,AC与BD相交于点O，AE
⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3。

若直线FO与平面BED所成的
角为45°，则AE＝________．
思考题3（1)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P
为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．
(2)（2019·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD ＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD,则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为（)
A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!
（1)（2019·太原模拟一)如图,在四棱锥P－ABCD中，底面
ABCD是边长为错误!的正方形，PA⊥BD.
①求证:PB＝PD；
②若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平
面PCD所成角的大小．
(2）(2019·湖南长郡中学选拔考试）如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
BA＝BC＝5，AC＝8，D为线段AC的中点．
①求证：BD⊥A1D；
②若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为错误!，求AA1的长．
思考题4（2019·石家庄质检二）如图，三棱柱ABC－
A1B1C1中，侧面BB1C1C为∠CBB1＝60°的菱形，AB＝AC1。

(1)证明：平面AB1C⊥平面BB1C1C；
(2)若AB⊥B1C，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，
求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值．
专题三求解二面角问题
题型一定义法求二面角
(1)（2019·台州一模)在边长为a的等边三角形
ABC中,AD⊥BC于点D,沿AD折成二面角B－AD－C，若此
时BC＝错误!a，则二面角B－AD－C的大小为________．
（2）如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB⊂α,B∈
l，AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是
（3)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在表面积为16π的球
O的球面上，AC为球O的直径．当三棱锥P－ABC的体积最大时，设二面角P－AB－C的大小为θ,则sinθ＝()
A.错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!
思考题1 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2,AD＝3，
点E为AD的中点，现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻
折，使得点A，D重合于F,此时二面角E－BC－F的余弦
值为（）
A.错误!
B.错误!
C.错误!D。

错误!
(2）如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线,点C在底面圆周
上,若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角P－AC－B的正切值是________．
题型二向量法求二面角
（1）已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E ＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为________．
(2)(2019·河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8,CD＝217，则该二面角的大小为(）A．150°B．45°C．60°D．120°
思考题2（1)设平面α的一个法向量为n1＝(1,2，－2），平面β的一个法向量为n2＝（－2，－4，k），若α和β所成的锐二面角的余弦值为错误!，则k＝________．
(2)(2019·辽宁丹东模拟)如图,正方形A1BCD折成直二面角A
－BD－C,则二面角A－CD－B的余弦值是________．
（3)(2019·广东中山模拟)在矩形ABCD中，已知AB＝2,AD
＝2错误!，M,N分别为AD和BC的中点，沿MN把平面ABNM折起，若折起后｜AC｜＝错误!，则二面角A－MN－C的大小为（)
A．30°B．45°C．60°D．90°
(2019·惠州二次调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB,PC＝2.
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2)若PA＝PB,求二面角A－PC－D的余弦值．
思考题3（2019·河北五一名校联考)
在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面）ABC－A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥
底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形,A1A＝A1C，A1A⊥A1C.
(1）求证：A1C1⊥B1C；
（2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值．
题型三空间角的综合问题
(2019·唐山五校联考）如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底
面ABCD，ABCD是直角梯形,AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E
是PB的中点．
（1)求证：平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P－AC－E的余弦值为错误!，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
思考题4(2019·江南十校素质检测)如图，在以A，B,C，D,E，F为顶
点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD,FC＝FB，四边形ABCD为平行四
边形，且∠BCD＝45°.
(1）求证：CD⊥BF;
(2）若AB＝2EF＝2，BC＝错误!，直线BF与平面ABCD所成角为45°，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．
专题四综合问题
题型一空间的距离
(1)（2019·江西九江期末)如图,在四棱锥P－ABCD中，PA
⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形,E为CD的中点，F为PA的中点，
且PA＝AB＝2.则点P到平面BEF的距离为（)
A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!
(2）已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2,E，
F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离．
思考题1(1)(2019·黑龙江哈尔滨期末）三棱柱ABC－A1B1C1底面
为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(）A。

错误!B。

错误! C.错误! D.错误!
2。

（2017·课标全国Ⅰ，理）如图，在四棱锥P－ABCD中,AB∥CD，
且∠BAP＝∠CDP＝90°。

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的余
弦值．
(2)(2019·湖南长沙一模）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,E，F
分别为BB1,CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离．
题型二探究性问题
(2019·湖南重点校联考)如图,在四棱锥P－ABCD中，PA⊥
平面ABCD，AD∥BC,AD⊥CD,且AD＝CD＝2错误!,BC＝4错误!，
PA＝2。

（1）求证：AB⊥PC；
（2)在线段PD上，是否存在一点M,使得二面角M－AC－D的大小为45°,如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在,请说明理由．
思考题2（2019·西安八校联考）已知几何体ABCC1B1N的直
观图如图所示,CB⊥底面ABB1N,且ABB1N为直角梯形，侧面BB1C1C
为矩形，AN＝AB＝BC＝4，BB1＝8，∠NAB＝∠ABB1＝90°.
(1）连接B1C，若M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在,请说明理由．
(2)求二面角C－NB1－C1的余弦值．
题型三翻折问题
(2019·安徽合肥调研性检测)平面四边形ABCD中，
∠DAB＝错误!，AD＝AB，△BCD为等边三角形．现将△ABD
沿BD翻折得到四面体P－BCD，点E,F，G，H分别为PB，PD，
CD，CB的中点．
(1)求证：四边形EFGH为矩形;
（2)当平面PBD⊥平面CBD时,求直线BG与平面PBC所成角的正弦值．
思考题3如图，在直角梯形ABCP中，∠A＝∠B
＝90°,AB＝BC＝3，AP＝6，CD⊥AP于D，现将△PCD
沿线段CD折成60°的二面角P－CD－A,设E,F,G分别是
PD，PC，BC的中点．
（1)求证：PA∥平面EFG；
（2)若M为线段CD上的动点，求直线MF与平面EFG所成角的最大角，并确定成最大角时点M在什么位置?
高考题呈现
1．（2014·全国Ⅱ）如图,四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明:PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝错误!，三棱锥P－ABD的体积V＝错误!，求A到平面PBC的距离．
2．(2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，
PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝错误!.
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求错误!的值；若不存在，说明理由．
3。

(2018·浙江）如图，已知多面体ABC－A1B1C1，A1A，B1B，C1C
均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B
＝2.
(1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
4。

(2016·课标全国Ⅲ）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM
＝2MD,N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
5．(2018·课标全国Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点,以DF 为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置,且PF⊥BF。

（1）证明:平面PEF⊥平面ABFD；
（2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
6．(2016·课标全国Ⅰ,理)如图,在以A，B,C,D,E，F为顶点的五面
体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－
AF－E与二面角C－BE－F都是60°。

（1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；
（2)求二面角E－BC－A的余弦值．
7。

（2017·课标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，
且∠BAP＝∠CDP＝90°。

（1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°,求二面角A－PB－C的
余弦值．
8．（2018·课标全国Ⅱ，理)如图,在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，
PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°,求PC与平面
PAM所成角的正弦值．
9．（2018·北京，理）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面
ABC，D,E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝错误!，
AC＝AA1＝2.
（1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B－CD－C1的余弦值;
(3)证明：直线FG与平面BCD相交．
10．（2017·北京，理)如图,在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝错误!，AB＝4.
(1)求证:M为PB的中点；
（2）求二面角B－PD－A的大小;
（3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．。