反常积分审敛法

则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t
a
f
( x) dx
是
t
的单调递增有上界函数
,
因此
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t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在 ,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
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定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
分大时, 必有
,即
当x充
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2) 当p 1时,可取 0, 使l 0, (l 时用任意正 数 N 代替 l ), 必有
即
注意:
此极限的大小刻画了
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d x
( x s 1
ex )
lim
x
x s 1 ex
0
根据极限审敛法1知 I2 收敛.
综上所述 , (s) I1 I2 在 s 0上收敛.
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2. 性质
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
证: (s 1) xs exd x xs dex (分部积分)
例2. 判别反常积分 1 x 1 x2 的敛散性 .
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3.
判别反常积分
x2 1 1 x2
dx
的敛散性
.
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x2 x2
lim x 1
x
2
x
2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5. 若
f
(
x)
C
[a
,
)
,
且
a
f（x）d x收敛 ,
则反常积分
a
f
( x) d
x 收敛 .
证：令
(
x)
1 2
[
f
(
x)
f (x) ], 则 0 (x)
f (x)
a
f（x）d x收敛 ,
a
(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2(x) f (x)
f (x)d x 2
ut 0
eu2 d u
1 1 t
22
(t 1)
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
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内容小结
1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过分项
使每一项只含一种类型的反常积分, 只有各项都收敛时,
才可保证给定的积分收敛 .
解:
此处 x 0 为瑕点, 因 lim
x
1 4
ln
x
0
,故对充分小
1
x0
的 x, 有 x4 ln x 1, 从而
1
ln x x
x4 ln x
1
x4
1
1
x4
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
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三、 函数
1. 定义
(s)
xs1 exd x 0
(s
0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 . 令
(x)d x
a
a
a
f (x) d x
可见反常积分
a
f
( x) d
x
收敛 .
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定义. 设反常积分 f (x) d x 收敛 , a
若 a
f (x)
dx 收敛 , 则称
若 a
f (x) dx 发散 , 则称
绝对收敛 ; 条件收敛 .
例4. 判断反常积分 的敛散性 .
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在
,
即反常积分
a
f
( x) d
x 收敛
.
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定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C[a , ),且对充
分大的x 有 0 f (x) g(x) , 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性 ,
s 0时, (s)
(3) 余元公式:
(s)(1 s) π sin(π s)
当
s
1 2
时,
有
(0 s 1) (证明略)
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(4) (s)的其他形式
令 x u2,得
(s) 2 eu2 u2s1 d u (s 0) 0
再令 2s 1 t , 即s 1 t , 得应用中常见的积分 2
lim
1
1
x1 (1 x)(1 k 2x2 ) 2(1 k 2 )
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
类似定理5, 有下列结论:
若反常积分
b
a
f
(x) d x
(a为瑕点)收敛 , 则反常积分
b
a
f
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( x) d
x
收敛
,
称为绝对收敛
.
例7. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
根据比
较审敛原理知 eax sin bx dx 收敛 , 故由定理5知所 a
给积分收敛 (绝对收敛) .
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二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
a
0 a
令 x a 1 , 则有
t
b
f (x) d x lim
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
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利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
0
0
xs ex
s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有
0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
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(2) 当s 0时, (s) .
证: (s) (s 1) , (1) 1 s
且可证明(s)在s 0连续,
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理3 目录 上页 下页 返回 结束
定理7. (极限审敛法2)
lim (x a)q f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别反常积分
3. 函数的定义及性质 .
思考与练习
P268
作业
1 (3), (4), (5), (8) ;
P268 1 (1), (2), (6), (7) ; 5 (1), (2)
2; 3
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
*第五节
第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
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一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛.
根据极限收敛准则知
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的敛
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
散性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
1
(x 1)2
1
(1 x2 )(1 k 2x2 )
I1
1 xs1 exd x ,
0
I2
xs1 exd x
1
1) 讨论 I1. 当s 1时, I1 是定积分 ;
当0 s 1时,
x s 1
ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较审敛法 2知 I1 收敛.
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I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
f
(x)
M xp
p 1,
f
(
x)
N xp
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例1. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的敛散性 .
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1)
满足
lim x p f (x) l