角的轴对称图形

1.4(2)角的轴对称性

角的轴对称性
角平分线上的点到角的两边距离相等．角平分线上的点到角的两边距离相等．
几何语言：几何语言：
平分∠ 平分， ∵OP平分∠MON，点C在OP上，且CA⊥OM于A，在上 ⊥ 于， CB⊥ON于B， ⊥ 于，＝． ∴CA＝CB．
M A C B P N
O
我们已经知道：我们已经知道：
如果点P 如果点P在∠AOB的平分线上，那么点P到 AOB的平分线上，那么点P 的平分线上边OA、OB的距离相等． OA、OB的距离相等．的距离相等
反过来：反过来：
如果点P在∠AOB的内部，且点P到边OA、如果点P AOB的内部，且点P到边OA、的内部 OA OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？的距离相等
4.到三角形的三个顶点距离相等的点是到三角形的三个顶点距离相等的点是（） A.三条角平分线的交点三条角平分线的交点 B.三条中线的交点三条中线的交点 C.三条高的交点三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点三条边的垂直平分线的交点
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，、如图，平分∠ 中平分，于， DE⊥AB，DF⊥AC，且BD = DC，问EB = FC吗？ ⊥ ， ⊥ ，，吗说明理由 A
在∠AOB的内部任取折痕上的一点P，分 AOB的内部任取折痕上的一点P 的内部任取折痕上的一点别作P OA、OB的垂线段PC、PD，别作P到OA、OB的垂线段PC、PD，再的垂线段PC 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ C O D A P B
PC与PD重合， PC＝PD． PC与PD重合，即PC＝PD．重合

轴对称图形有哪些

轴对称图形有哪些
轴对称图形有:正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形.
1、正方形:是特殊的平行四边形,两组对边分别平行且相等;四条边都相等;对角线互相垂直平分;具有不稳定性(易变形);
2、长方形:有一个角是直角的平行四边形叫做长方形;两条对角线相等;对边平行且相等;具有稳定性;
3、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;顶角是直角;底边上的高等于腰上的高;等腰三角形的性质:两条边相等的三角形是等边三角形;等腰三角形的判定:在同一个三角形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
4、等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形;
5、等腰梯形:有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形;等腰梯形的判定:在同一个梯形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
6、菱形:具有一个角为直角的平行四边形叫做菱形;
7、圆:圆是一种特殊的平行四边形,它的定义域是所有的实数;
8、扇形:由圆心角的角度和弧度决定的图形叫做扇形;
9、圆锥:由圆锥面、底面圆和母线组成的几何体叫做圆锥;10、球:在地球表面,由坚硬的岩石组成的天然形体叫做球;11、椭圆:定义:过焦点的圆叫做椭圆;12、双曲线:定义:过焦点的双曲线;13、抛物线:定义:与x 轴有两个交点的曲线叫做抛物线;14、直线:无限长的,平行于x 轴y 轴的线段叫做。

角是轴对称图形吗

1.4 线段、角是轴对称图形吗教学目标：1、线段、角的轴对称的性质的掌握；2、线段的垂直平分线的作法，性质的掌握；3、角平分线的作法、性质的掌握；教学准备：尺规作图用具教学重点：l线段垂直平分线、角平分线作法及性质。

教学过程：一、创设情境：M 1、口述、交流：前面学过的几何图形中哪些是轴对称图形？A B （注意同学说的线段和角） 2、操作、实践：（1）如图，折纸使A 、B 重合，你发现了什么？（折痕就是对称轴）（2）在折痕上找一点M ，MA 与MB 的大小有什么关系？说说理由。

（全等）再找一点试一试。

二、新课讲解：1、小结、交流：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

即上图中，l 是线段AB 的垂直平分线，则MA=MB2、展示、模仿：（1）分别从A 、B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D 。

（2）过C 、D 两点作直线。

A B 直线CD 就是AB 的垂直平分线。

作好图形后，先让学生讨论CD 是垂直平分线的理由。

3、探索、实践：用上面方法再找一个点P ，使PA=PB ，P 点在直线CD 上吗？边作边叙述作法，然后再多找几个点试一试，把你得到的结论说出来，并与同学交流。

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（与线段垂直平分线性质作比较）4、小结线段垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的点的集合。

5、实践、思考：角是轴对称图形吗？你能用折纸的方法找出它的对称轴吗？试一试。

角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线。

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

三、课堂练习1、如图，在Rt △ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，交AB 于E ，交BC 于D ，在图中找出相等的线段，说明它们相等的理由。

AEC D B2、如图，用直尺和圆规作∠ADB的对称轴（即角平分线反向延长）AD B3、P19 3 在课本的网格线上画，可有多种不同的方法。

2.4 线段、角的轴对称性课件苏科版数学八年级上册

例 3 在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两个工厂到货场C的距离相等，试在图 2.4-6 中作出点C.
解题秘方：连接AB，作出线段AB的垂直平分线即可. 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C. 如图2.4-6, 点C即为所求.
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图2.4-9，都与距离有关，条件PD⊥OA，PE⊥OB 都具备； (2)点在角的平分线上性质 (角的内部的)点到角两边的判定距离相等.
4. 拓展三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等.
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
特别解读
1. 线段垂直平分线的性质中的“ 距离”是 “该点与这条线段两个端点的距离”.
2. 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
例 1 如图2.4-2，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分
解题秘方：由线段垂直平分线的判定可知，证明 AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 证明：如图2.4-4，连接DE、DF. ∵ AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中，
AE＝AF， ቐ∠EAD＝∠FAD，∴△AED≌△AFD. ∴ DE＝DF.

线段角的轴对称性重要知识

线段两个端点的距离相等.
判定定理：和一条线段两个端点距离相等
的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点
的集合.
重点辅导
7
例题讲解已知:如图,在ΔABC中, AB、
BC的中垂线交于点O，那么点O在AC的中垂线吗？为什么？
A ME
·O
B
C
FN
重点辅导
8
随堂练习如图，在△ABC中, ∠ACB=900,AB的中垂线交BC于E,垂足为D,∠CAE:∠EAB=3:2,则∠B=___ ．
例:已知:如图,在ΔABC中.O是∠B、 ∠C外角的平分线的交点，那么点O在 ∠A的平分线上吗？为什么？
A
BH
C
M
E
N
0 F
重点辅导
12
∠AOC=∠BOC
PD⊥OA， PE⊥OB
PD=PE
A D
PC
O
EB
性质定理：在角的平分线上的点到这个
角的两边的距离相等.
判定定理：到一个角的两边的距离相等的
点，在这个角的平分线上.
A D
C E
B
重点辅导
9
随堂练习如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E， AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、 G，要求△AEG的周长，还需添加什么条件？
A
D
F
B
EG
重点辅导
C
10
A
C
O B
你对角有哪些认识？
角是轴对称图形，对称轴是角平线所在的直线.
重点辅导
11
■你对线段有哪些认识?
A
B
线段是轴对称图形．它有两条

轴对称的性质及线段、角的对称性(1)

轴对称总复习之一——轴对称图形、线段和角【知识梳理】知识点1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于对称，也称这两个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做．知识点2、轴对称图形定义：，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：联系：1：2;【例题精讲】例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．巩固练习1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．知识点3、线段的垂直平分线(重点)1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的，也叫中垂线。

2.线段的垂直平分线必须满足两个条件：①；②．3.轴对称的性质（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等．（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．知识点4、成轴对称的图形的画法画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。

知识点5、线段的轴对称性(重点、难点)线段是轴对称图形，它的对称轴有条，分别是．线段垂直平分线的性质：．线段垂直平分线的判定：．知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点)用尺规作线段AB的垂直平分线的方法：1．分别以A、B为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C、D．2．过C、D两点作直线．直线CD就是线段AB的垂直平分线．画图，理由如下：知识点7、角的轴对称性(重点、难点)角是轴对称图形，它的对称轴有条，对称轴是．角平分线的性质：．角平分线的判定：．注：“距离”指垂直到直线的线段长度。

结论等腰三角形是轴对称图形课件

自然界中的对称美
等腰三角形是轴对称图形这一结论也可以帮助人们更好地理解自然界中的对称美，如雪花、蜂巢等自然现象。
THANKS
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PART 02
轴对称图形的定义与性质
轴对称图形的定义
轴对称图形
如果一个图形关于一条直线对称，那么这个图形被称为轴对称图形。
轴对称性质
轴对称图形具有对称性，即图形关于对称轴对称，其形状和大小完全相同。
轴对称图形的性质
对称轴的性质
对称轴是一条直线，它将图形分为两个完全相同的部分。
对称性的应用
等腰三角形具有明显的轴对称性，这使得它在几何图形中具有独特的地位。通过对称轴，我们可以轻松地找到等腰三角形的其他重要性质，如高、中线等。
基础教学
在几何教学中，等腰三角形是讲解轴对称概念的重要工具。通过研究等腰三角形，学生可以深入理解轴对称图形的性质和特点。
在建筑设计中的应用
结构稳定性
在建筑设计中，等腰三角形经常被用作结构元素，以增加结构的稳定性。例如，在桥梁和高层建筑中，等腰三角形的设计可以有效地分散压力和重量。
总结词：旋转对称
详细描述：将等腰三角形绕着底边中点旋转180度，观察旋转后的图形是否与原图形重合，如果重合则证明是轴对称图形。
证明方法二：通过折叠证明
总结词：折叠对称
详细描述：将等腰三角形沿底边中线折叠，观察折叠后的两部分是否完全重合，如果重合则证明是轴对称图形。
证明方法三：通过坐标证明
总结词：坐标对称
等腰三角形的对称性
等腰三角形是一种特殊的轴对称图形，它具有两条对称轴，分别是底边上的高和中线。因此，等腰三角形可以被视为轴对称图形。
轴对称图形在几何、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用，因为它们具有优美的外观和独特的性质。

八年级数学上册苏科版角的轴对称性

离相等的所有点的集合.
（2）∵ PD⊥OA, PE⊥OB, PD=PE ∴ OP平分∠AOB.
∠AOC=∠BOC
PD=PE
PD⊥OA，PE⊥OB
【习题精讲】 1、（教科书P55.练习）
利用网格画图：（1）在BC上找一点P，使得P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
（2）把三角尺绕点P旋转，三角尺的两条直角边分别交OA、OB于点E、F（如图② ），
PE与PF相等吗？
通过实验可以得到PE=PF的结论，现在请你证明这个结论.
证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足为M、N，
则∠PME＝∠PNF＝90°，
M N
∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN， ∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°， ∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°， ∴∠MPE＝∠FPN，
P O
O
D’
答：点O在另两个内角的平分线上
答：点O不在另两个内角的平分线上
【变式2】
从图中得出的结论：①AD∥BC；②∠AOB＝∠DOC＝90论为 ① ② ④ （写序号）
如图：OA⊥BO，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
O
∵AO，BO为∠A、∠B的平分线，
∴BE＝CF．
∴BE＝2.5 ．
3、（教科书P59.第11题）
在七年级下册“证明”如一章的学习中，我们曾做过如下的实验：
画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．
（1）把三角尺的直角顶点落在射线OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与 OA、OB垂直，垂足分别为E、F（如图① ）．度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？
分析：（1）P到∠BAC两边的距离相等，P在∠BAC的平分线上

线段、角的轴对称性(一)

C M
E
A 0 D B
生活中的数学如图，在架设电线杆时，如图，在架设电线杆时，为了确保它与地面垂直，它与地面垂直，一般在它的某一处用两根同样长的绳子固定在地面上，两根同样长的绳子固定在地面上，只要使底部D上在BC BC的要使底部D上在BC的 A 中点处，中点处，电线杆就与地面垂直了, 与地面垂直了,你能说明理由吗？能说明理由吗？
A D B E G F C
●本节课你还有哪些疑问? 本节课你还有哪些疑问?
线段、线段、角的轴对称性
一、情境创设：情境创设：如图，三点表示三个村庄，如图，A,B,C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划建一所小学，村民子女就近入学问题，计划建一所小学，要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回要使学校到三所村庄的距离相等请你当一回设计师，在图中确定学校的位置，设计师，在图中确定学校的位置，你能办到吗？ A B
.
.
.C
■你对线段有哪些认识? 你对线段有哪些认识?
A B
线段是轴对称图形．线段是轴对称图形．它有两条对称轴，分别为:线段的中垂线, 对称轴，分别为:线段的中垂线, 线段本身所在的直线. 线段本身所在的直线.
如图,已知: 如图,已知:直线CD是线段AB的垂直平分线, 是直线CD上任一点, CD上任一点平分线,点M是直线CD上任一点,连结 MA、MB,则MA=MB， MA、MB,则MA=MB，你能说明理由吗？由吗？ C
M A 0 D B
结论
线段的垂直平分线上的点到这条线线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．段两个端点的距离相等．
C A
M B N
0
是线段AB AB的垂直平分线上的点 ∵点M是线段AB的垂直平分线上的点

简单的轴对称图形-角

简单的轴对称图形角
目录
• 轴对称图形的基本概念 • 角的基本概念 • 轴对称图形中的角 • 角在轴对称图形中的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
轴对称图形的基本概念
轴对称的定义
轴对称
一个图形关于一条直线（对称轴）折叠，两侧部分能够完全重合。
对称轴
使得图形两侧能够完全重合的直线。
轴对称图形的性质
角平分线定理
角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离
相等。
角的轴对称性质
一个角关于其角平分线对称，意味着这个角是
轴对称图形。
轴对称图形与角的未来应用
数学教育
在数学教育中，轴对称图形与角的联系是一个重要的知识点，有助于培养学生的空间想象能力和几何思维能力。
实际应用
在实际生活中，轴对称图形的应用非常广泛，如建筑设计、图案设计、商标设计等。而角的轴对称性质在几何学、物理学等领域也有着广泛的应用。
角度计算
要点二
距离计算
利用轴对称图形的性质，可以计算出某些角度的大小。
利用轴对称图形的性质，可以计算出某些距离的大小。
05
CATALOGUE
总结与展望
轴对称图形与角的联系
轴对称图形
指一个图形关于一条直线对称，这条直线被称
为对称轴。
角的轴对称性
一个角关于其角平分线对称，即角的平分线是
角的对称轴。
详细描述
正方形是四边相等且四个内角均为直角的四边形。在正方形中，轴对称性表现为沿着对角线或边中垂线对折后，两侧图形完全重合。正方形的每个角大小为90度，是所有轴对称图形中唯一一个所有内角大小相等的图形。
04
CATALOGUE

简单的轴对称图形——垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册

第03讲简单的轴对称图形—垂直平分线和角平分线(7类热点题型讲练)1．理解线段的垂直平分线的概念；2．掌握线段的垂直平分线的性质定理及逆定理；(重点)3．能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算．(难点)4．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)5．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)知识点01线段的垂直平分线（简称中垂线）定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.作法：作已知线段的垂直平分线.知识点02角平分线的性质1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.作已知角的角平分线.题型01根据线段垂直平分线的性质求解【例题】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在()ABC AB AC < 中，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，15cm AC =，ABE 的周长为24cm ，则AB 的长为．【变式训练】1．（2024·山东滨州·一模）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N 两点；作直线MN 交AB 于点E ．若16AB =，8AC =，则BE 长为．2．（23-24八年级下·四川雅安·阶段练习）如图所示，在ABC 中，DM EN 、分别垂直平分AB 和AC ，交BC 于D E 、．(1)若50DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；(2)若ADE V 的周长为19cm ，求BC 的长度．题型02线段垂直平分线的实际应用【例题】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，政府计划在,,A B C 三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（）A ．ABC 三边垂直平分线的交点B ．ABC 三条角平分线的交点C ．ABC 三条高所在直线的交点D ．ABC 三条中线的交点【变式训练】1．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边高线的交点处D ．A ∠，B ∠两内角平分线的交点处题型03作垂线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在ABC 中，90C ∠=︒．(1)尺规作图：作边AB 的垂直平分线，交BC 与点D ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不写作法）(2)若38ABC ∠=︒，求CAD ∠的度数．【变式训练】1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A ，B 所在的直线上建一图书室E ，并使图书室E 到本社区两所学校C 和D 的距离相等．已知CA AB ⊥，DB AB ⊥，垂足分别为A ，B ，且 2.5km AB =，1.5km CA =， 1.0km BD =．(1)请用直尺和圆规在图中作出点E （不写作法，保留作图痕迹）；(2)求图书室E 到居民区A 的距离．2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，某居民小区在三栋住宅楼A ，B ，C 之间修建了供居民散步的三条绿道，小区物业打算在绿道内部修建一个凉亭，按照设计要求，凉亭到三条绿道的距离相等，请在图中标注凉亭的位置，保留作图痕迹，并说明设计理由．题型04根据角平分线的性质定理求解【例题】（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，OP 平分AOB ∠，PC OB ⊥，如果6PC =，那么点P 到OA 的距离等于【变式训练】1．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，若6,2AC DE ==，则ACD 的面积为．2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知P 是AOB ∠平分线上一点，15AOP ∠=︒，CP OB ∥交OA 于点C ，PD OB ⊥，垂足为D ，且6PC =，则OPC 的面积等于．题型05根据角平分线的性质定理证明【例题】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 为BC 上一点，DE 平分ADC ∠，且AE 平分BAD ∠．(1)求证：ED AE ⊥；(2)求证：点E 为BC 的中点．【变式训练】1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）教材第56页拓广探索12题：(1)如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线①求证：ABD ACD S AB S AC=△△；②另一方面，我们进一步探索，可以证明ABDACD S BD S CD= ．请你选择上述两结论中的其中一个进行证明；(2)由（1）的探索我们可以得到关于ABC 的角平分线AD 的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）；(3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ∥交BA 的延长线于点E ．求证：BD BA CD EA=．2．（22-23八年级上·上海普陀·期中）如图，在ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线．(1)在线段AD 上任意取一点F ，过点F 作MN AD ⊥，交AB 于点M ，交AC 于点N ，通过这样的作图能得到结论MF FN =，那么依据是_________．(2)如果=60B ∠︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，且AD 、CE 相交于点F ，求证：FE FD =．(3)如果100ACB ∠=︒，在边AB 上截取一点E ，连接CE ，使20ACE ∠=︒，连接DE ．请直接写出ADE ∠的度数．题型06角平分线的性质实际应用【例题】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（）A ．在边AC ，BC 两条高的交点处B ．在边AC ，BC 两条中线的交点处C ．在边AC ，BC 两条垂直平分线的交点处D ．在ABC ∠和ACB ∠两条角平分线的交点处【变式训练】1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线a ，b ，c ，表示三条相互交叉的公路，交点为三个小区，现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处题型07作角平分线（尺规作图）【例题】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图1，两条交叉马路OM ，ON 中间区域建有A ，B 两个温室花房．现要在两条马路OM ，ON 之间的空场处建鲜花交易中心P ，使得交易中心P 到两条马路OM ，ON 的距离相等，且到两个温室花房A ，B 的距离也相等．如何确定交易中心P 的位置?如图2，利用尺规作图求作点P （不写作法，保留作图痕迹）．【变式训练】1．（2024·广东茂名·一模）如图，已知ABC ，CA CB =，ACD ∠是ABC 的一个外角．(1)请用尺规作图法，求作射线CP ，使CP 平分ACD ∠．（保留作图痕迹，不写作法）(2)证明：CP AB ∥．2．（23-24九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，AB CD ∥，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．(1)若110ACD ∠=︒，求MAB ∠的度数；(2)若CN AM ⊥，垂足为N ，求证：ACN MCN △≌△．一、单选题1．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，100,BAC AB AC ∠=︒>．若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ ∠的度数是（）A ．20︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，534BC AC AB ===，，，点D 是ABC ACB ∠∠，的角平分线的交点，则点D 到BC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．3.53．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图在ABC 中，边AB ，AC 的垂直平分线交于点P ，连结BP ，CP ，若50A ∠=︒，则BPC ∠=（）A ．100︒B ．95︒C ．90︒D ．50︒4．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在ABC 中，AB AC =，54B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧交AB 于点D ，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 长为半径作弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，交AB 于点F ，则ACF ∠的度数是（）A ．25︒B ．20︒C ．18︒D ．15︒5．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①ABE 的面积BCE =△的面积；②=AFG AGF ∠∠；③2FAG ACF ∠=∠；④AF FB =．A ．①③④B ．①②④C ．①②③D ．③④二、填空题6．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，3cm AE =，ABD △的周长为13cm ，则ABC 的周长．7．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若1BG =，4AC =，则ACG 的面积为8．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，ABC 的面积是12，8AB =，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是线段AD ，AC 上的动点，则CM MN +的最小值是．9．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在ABC 中，100A ∠=︒，点D 是BC 上的一点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，则EDF ∠=．10．（2023·四川泸州·二模）如图，已知线段6AB =，点P 为线段AB 上一动点，以PB 为边作等边PBC ，以PC 为直角边，CPE ∠为直角，在PBC 同侧构造Rt PCE △，点M 为EC 的中点，连接AM ，则AM 的最小值为三、解答题11．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）A 、B 是两个村庄，12L L 、是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．（不用写作法，但是要保留作图痕迹）12．（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且BD DE =，连接AE ．(1)求证：AB EC =；(2)若ABC 的周长为42cm ，16cm AC =，求DC 的长．13．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，BE AC =．(1)求证：AD BC ⊥．(2)若75BAC ∠=︒，求B ∠的度数．14．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）感知：如图1，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B Ð=°探究：如图2，AD 平分BAC ∠，180B C ∠+∠=︒．90B ∠<︒，求证：DB DC =．15．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在ABC 中，AC CB ≠，DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于点M 、N ，垂足分别为点D 、E ，分别延长DM 和EN ，相交于点F ．八年级的小明同学非常喜欢钻研数学问题，在学习线段垂直平分线时，他发现MCN ∠与ACB ∠存在一定的数量关系，于是他通过举例的方式进行研究：(1)当100ACB ∠=︒时，MCN ∠=________；当80ACB ∠=︒时，MCN ∠=________．(2)当ACB m ∠=时，求MCN ∠的度数（用含m 的代数式表示，写出推理过程）．(3)当50DFE ∠=︒时，MCN ∠=________°．16．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等边ABC ，点N 是边AB 上一点，以BN 为边向外作等边BNM ，连AM 、CN ．(1)如图1，求证：AM CN =；(2)如图2，若CN AB⊥，判断BC与MN的关系并证明；(3)如图3，在（2）下，连MC，以MC为边向下作等边MCP，设MC交AB于G，连PG，求证：12PMG PCGS S=△△．。

角的轴对称性

简单的轴对称图形：角的轴对称性教学目标知识技能1.经历探索角的轴对称性的过程,进一步体验轴对称的特征.2.探索并了解角的轴对称性及相关性质.3.会用尺规作角的平分线.过程与方法1.通过独立思考,小组合作探究,主动展示,经历角的平分线性质的形成与初步应用过程,从而增强应用数学知识的意识与解决实际问题的能力.2.通过观察、折叠等活动,发展空间观念,培养有条理的思考和规范的数学语言.情感态度与价值观1.通过活动体验学数学的快乐,增强学生学习数学的求知欲和数学活动的经验,并在合作学习中获得成功的体验,增强自信心,提高学习数学的兴趣,培养学生的合作、探究精神.2.培养学生自主学习、主动参与、主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.教学重难点【重点】掌握角平分线的性质,会用尺规作已知角的平分线.【难点】角平分线的性质的应用.教学准备【教师准备】课件、基本作图工具.【学生准备】笔记本、基本作图工具、角的纸片等.教学过程一、新课导入:[导语]前面我们学习了基本图形“线段”是轴对称图形,那么,我们之前学过的另一个基本图形“角”是不是轴对称图形?如果是,对称轴是怎样的直线?【活动内容】不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法?对折,再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?[处理方式]学生实验:通过折纸的方法作角的平分线;教师与学生一起动手操作,展示学生作品.通过折纸及作图过程,由学生自己去发现结论.教师要有足够的耐心,要为学生的思考留有时间和空间.通过探究,学习新知:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.[设计意图]体验角平分线的简易作法,并为角平分线的性质定理的引出做铺垫.通过探究角的对称性,让学生亲自动手折叠一个角,能够调动学生的学习积极性,提高学生的学习兴趣,为整节课的学习奠定基础.二、知识探索：探究活动1角平分线的性质【活动内容】请同学们按要求继续前面的折纸活动,并与同伴交流.折纸要求:1.在折痕(即∠AOB的角平分线)上任意找一点C;2.过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,点D是折痕与OA边的交点,即垂足;3.过点C折OB边的垂线,得到新的折痕CE,点E是折痕与OB边的交点,即垂足;4.将∠AOB再次对折.【问题】在上述的操作过程中,折痕CD与CE能重合吗?改变点C的位置,CD与CE还相等吗?你能解释其中的道理吗?小组交流展示成果.已知:如图∠AOC=∠BOC,CD⊥OA,垂足为D,CE⊥OB,垂足为E,CD与CE相等吗?试说明理由.解:因为CD⊥OA,CE⊥OB（已知）所以∠CDO=∠CEO=90°（垂直的定义）在△CDO和△CEO中,∠CDO=∠CEO（已证）因为∠COD=∠COE（已知）OC=OC（公共边）所以△CDO≌△CEO （AAS）故：CD=CE. （全等三角形的对应边相等）(教师板书)结论:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言:因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.[处理方式]学生动手折叠,教师在多媒体上演示折叠过程.学生分组讨论、交流,并用文字语言阐述得到的性质.[设计意图]本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流,经历实践→猜想→证明→归纳的过程,符合学生的认知规律,尤其是对于结论的验证.【即时训练一】判断下列说法是否正确.如图所示.1.因为OC平分∠BOA,所以CD=CE.()2.因为CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()3.因为OC平分∠AOB,CD⊥OA,CE⊥OB,所以CD=CE.()【即时训练二】如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,CD=5 cm.求:点D到AB的距离.教师引导学生学会分析问题,具体就是:已知条件和要求的线段或角,需要在图形中确定下来,没有的就需要添加辅助线,以便选择需要应用的性质解答.生:本题需要作出表示点D到AB的距离线段,然后利用角平分线的性质解答.解:过点D作DE⊥AB,垂足为E,因为AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,所以DE=DC=5 cm,即点D到AB的距离是5 cm.[设计意图]注重符号语言转化性质的条件和结论,是为了让学生更好地理解和应用解答问题,尤其是对图形的分析,是学生学习的弱项,加强对图形的标注和构造,为今后图形性质的学习打下坚实的基础.注意事项:角平分线性质中的距离,对应的必须是垂线段,不能认为是任意线段.探究活动2尺规作角的平分线对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线,对不能折叠的角怎样得到其角平分线呢?下面我们探究用尺规作角的平分线.已知:∠AOB.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:(1)在∠AOB的两边OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.(2)分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.(3)作射线OC.则OC是∠AOB的平分线.你能说明这样作的道理吗?想一想:在作图的过程中有哪些相等的线段?学生交流后得到:OD=OE,CD=CE.△COD和△COE全等吗?全等的依据是什么?[处理方式]教师口述作法步骤,学生根据教师的口述完成作图过程.不要求学生写作法,教师可以引导学生分析在作图的过程中哪些线段相等,学生可以通过交流讨论明确这样作的道理.[设计意图]明确几何作图的基本思路和方法.在自己操作的过程中培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.探究活动3角平分线性质的应用一条公路与一条铁路所成角的平分线上有一点P,要从点P建两条路,一条到公路上,一条到铁路上,怎样修建距离最短?这两条路有什么关系?理由是什么?设公路与铁路交于点O,公路为OA,铁路为OB,过点P分别作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N,则PM是到公路上的路,PN是到铁路上的路(垂线段最短).因为点P在公路与铁路所成角的平分线上,所以PM=PN.[设计意图]让学生进一步理解角的平分线的性质,并在此基础上学会利用角的平分线的性质解决简单的问题.[知识拓展]“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这句话逆过来说“到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”是否也正确呢？三、课堂小结：1.角的轴对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3.尺规作角平分线.四、随堂检测：1.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案:B2.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP答案:D3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB 于E,且AB=6 cm,则△DEB的周长为()A.4 cmB.6 cmC.10 cmD.不能确定答案:B4.如图所示,MP⊥NP,MQ为△MNP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不正确的是()A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT答案:D五、板书设计：角的轴对称性探究活动1角平分线的性质探究活动2尺规作角的平分线探究活动3角平分线性质的应用六、作业布置：【必做题】教材第127页习题5.5知识技能第1题.【选做题】教材第127页习题5.5数学理解第2,3题.教学反思1、成功之处：通过折纸操作,从而得到启发,在教师的引导下,让学生悟出角平分线的性质和用尺规作角的平分线,培养学生实践操作能力;学生在经历观察、类比、归纳等过程的基础上,再让学生实践用尺规作角的平分线的过程,进一步提升了学生的感性和理性的融合.在本课时中,营造了一个和谐的课堂学习氛围.2、不足之处：过多的关注学生的实践和操作,忽略了实践和操作的可行性，导致延误了很多时间，致使课堂教学未能按计划完成！另外，在整堂课时间的安排与掌控中，没有合理有效的合理安排，使得课堂结尾仓促！。

2.4 线段、角的轴对称性第1课时苏科版数学八年级上册课件

＝4＋2 ＝6.
2 . 4 线段、角的轴对称性练习
1. 利用网格画线段 PQ 的垂直平分线：
l
解：如图所示.
2 . 4 线段、角的轴对称性 2. 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什
么地方，才能使 A、B 两村到车站的距离相等?
2 . 4 线段、角的轴对称性
解：如图所示，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线l，直线l交公路于点 C，则点C就是汽车站的位置，此时 A， B 两村到车站的距离相等.
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直.
2 . 4 线段、角的轴对称性
例1 已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直平分线 l1、l2 相交于点 O.
求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上. 证明：连接 OA、OB、OC. ∵点O在AB 的垂直平分线l1 上， ∴ OA＝OB
2 . 4 线段、角的轴对称性于是，我们得到如下定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
2 . 4 线段、角的轴对称性几何语言
如图， ∵点A 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ AB＝AC.
2 . 4 线段、角的轴对称性易错提醒
线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的对称轴.
A. 2
B. 4
(C )
C. 6
D. 8
2 . 4 线段、角的轴对称性
方法点拨
利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是一种常用的解题方法. 本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将BC 的长转化为线段 AE＋EC 的长，即可求解.

轴对称的性质及线段、角的对称性

轴对称总复习之一——轴对称图形、线段和角【知识梳理】知识点1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于对称，也称这两个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做．知识点2、轴对称图形定义：，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：联系：1：2;【例题精讲】例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．巩固练习1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．知识点3、线段的垂直平分线(重点)1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的，也叫中垂线。

2.线段的垂直平分线必须满足两个条件：①；②．3.轴对称的性质（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等．（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．知识点4、成轴对称的图形的画法画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。

知识点5、线段的轴对称性(重点、难点)线段是轴对称图形，它的对称轴有条，分别是．线段垂直平分线的性质：．线段垂直平分线的判定：．知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点)用尺规作线段AB的垂直平分线的方法：1．分别以A、B为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C、D．2．过C、D两点作直线．直线CD就是线段AB的垂直平分线．画图，理由如下：知识点7、角的轴对称性(重点、难点)角是轴对称图形，它的对称轴有条，对称轴是．角平分线的性质：．角平分线的判定：．注：“距离”指垂直到直线的线段长度。

三角形是轴对称图形对吗

不对，不是所有的三角形都是轴对称图形。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）。

三角形性质1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2、在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。

3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

7、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

10、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

11、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

12、等底同高的三角形面积相等。

13、底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

14、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

15、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

2.4线段、角的轴对称性(3)

初中数学
八年级(上册)
2.4
Байду номын сангаас
线段、角的对称性（3）
AOB
2.4 线段、角的对称性（3）
做一做
在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考：它是轴对称图形吗？为什么？
A O B
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
A O
C
B
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P， PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
D A P C E B
O
定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
2.4 线段、角的对称性（3）
想一想
角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？
A
E B D C
A
A C
B
E
B
P
P
F
2.4 线段、角的对称性（3）
1、如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上一点， CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，CE=6㎝，CF= ㎝，理由是。
A E C P
O F
B
2.4 线段、角的对称性（3）
2、如图，AD平分BAC，∠C=90°,DE⊥AB,那么 (1)DE和DC相等吗？为什么？ (2)AE和AC相等吗？为什么？
d
p
B O A
2.4 线段、角的对称性（3）
问题：三角形的两条内角平分线的交点在第三个内角的平分线上吗？
已知:如图,在Δ ABC中.P是∠B、∠C的平分线的交点，那么点P在∠A的平分线上吗？为什么？

线段、角是轴对称图形

1.4 线段、角是轴对称图形教学目标：1、线段、角的轴对称的性质的掌握；2、线段的垂直平分线的作法，性质的掌握；3、角平分线的作法、性质的掌握；教学准备：尺规作图用具教学重点： l线段垂直平分线、角平分线作法及性质。

教学过程：一、创设情境： M1、口述、交流：前面学过的几何图形中哪些是轴对称图形？ A B （注意同学说的线段和角）2、操作、实践：（1）如图，折纸使A 、B 重合，你发现了什么？（折痕就是对称轴）（2）在折痕上找一点M ，MA 与MB 的大小有什么关系？说说理由。