第7篇参数估计7.7单侧置信区间
第七节单侧置信区间
即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)
参数估计第三讲分布参数的区间估计 单侧置信区间
第三讲(0-1)分布参数的区间估计 单侧置信区间Ⅰ.授课题目（章节）§7.6 (0-1)分布参数的区间估计§7.7 单侧置信区间Ⅱ.教学目的与要求1. 了解(0-1)分布参数的区间估计；2. 掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅲ.教学重点与难点：重点：单侧置信区间的概念的理解难点：正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.Ⅳ.讲授内容：§7.6 (0-1)分布参数的区间估计设有一容量50>n 的大样本，它来自(0-1)分布的总体X ，X 的分布律为x x p p p x f --=1)1();(, 1,0=x ,其中p 为未知参数。
现在来求p 的置信水平为1—α的置信区间.已知(0-1)分布的均值和方差分别为: 2,σμp ==p )1(p -.设1X ,n X X ,,2 是一个样本. 因样本容量n 较大，由中心极限定理，知)1()1(1p np npX n p np np Xn i i --=--∑=近似地服从)1,0(N 分布，于是有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--<-2/2/)1(ααz p np np X n z P α-≈1 而不等式 2/2/)1(ααz p np np X n z <--<- 等价于 0)2()(222/222/<++-+X n p z X n p z n αα.记 )4(2121ac b b a p ---=, )4(2122ac b b ap -+-=. 其中222/22/),2(),(X n c z X n b z n a =+-=+=αα.于是可得p 的一个近似的置信水平为1—α的置信区间为),(21p p .例 设自一大批产品的100个样品中,得到一级品60个,求这批产品的一级品率p 的置信水平为0.95的置信区间.解 一级品率p 是(0-1)分布的的参数,此时100=n ,6.010060==x ,1—α=0.95,025.02/=α,96.12/=αz ,按上面的公式求p 的置信区间,其中36,84.123)2(,84.103)(222/22/==-=+-==+=X n c z X n b z n a αα 于是 50.0)4(2121=---=ac b b a p , 69.0)4(2122=-+-=ac b b ap 故p 的一个近似的置信水平为0.95的置信区间为(0. 50, 0.69).§7.7 单侧置信区间对于给定值α)10(<<α,若由来自X 的样本1X ,n X X ,,2 确定的统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 ),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥>1}{P ,则称随机区间（θ,∞）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信下限.又若统计量θ=θ(1X ,n X X ,,2 )(θθ<),对于任意Θ∈θ满足αθθ-≥<1}{P则称随机区间（∞-,θ）是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间，θ称为θ的置信水平为α-1的单侧置信上限.例如对于正态总体X ，若均值μ，方差2σ均为未知，设1X 2X ，……,n X 是一个样本,由n S X /μ- ～ t(n-1)有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-)1(/n t n S X p αμα-=1，即 αμα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-->1)1(n t n S X P . 于是得到μ的一个置信水平为α-1的单侧置信区间(),1(--n t n SX α∞).μ的置信水平为α-1的单侧置信下限为).1(--=n t n SX αμ又由 22)1(σS n -～),1(2-n χ有 ,1)1()1(2122αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->--n S n P 即 αχσα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<-1)1()1(2122n S n P 于是得2σ的一个置信水平为1α-的单侧置信区间 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---)1()1(,0212n S n αχ .2σ的置信水平为1α-的单侧置信上限为 .)1()1(2122--=-n S n αχσ 例 从一批灯泡中随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小时计)为1050 1100 1120 1250 1280设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.解 1,95.0=-α n=5, ,1318.2)4()1(05.0==-t n t α ,1160=x .99502=s 由此可得所求单侧置信下限为1065)1(=--=n t n sx αμⅤ. 小结与提问：小结：首先了解(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法, 其次理解单侧置信区间的概念,且掌握正态总体均值和方差的单侧置信区间的求法.提问：思考题1：(0-1)分布参数p 的近似的置信水平为1—α的置信区间的求法是怎样?思考题2：正态总体均值和方差在给定置信水平为α-1条件下的单侧置信区间的求法与双侧置信区间的求有什么区别? Ⅵ.课外作业：P 22, 23211。
7.7 单侧置信区间
2 ( n 1 ) S 2 2 . 1 ( n 1)
因
令
2
( n 1) S 2
P{
2
~ 2 ( n 1) ，
2 ( n 1)} 1 ，
( n 1) S 2
2
故 的置信水平1 的单侧置信区间
( n 1) S 2 ( 2 , ) ， ( n 1)
( n 1) S 单侧置信下限为 2 。 ( n 1)
2 2
例1 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿 命(以小时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡 寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95 的单侧置信下限.
解
X X ~ t (n 1), 有 P t (n 1) 1 , S/ n S / n
于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间 S t ( n 1), , X n
1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950, t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318, s t ( n 1) 1065. 的置信度为0.95的置信下限 x n
2. 正态总体均值的单侧置信区间
X X1, X 2 ,, X n iid N (, ) ，, 未知 取 ~ t (n 1), S/ n
2 2
X 有 P t ( n 1) 1 , S / n
S 即 P X t ( n 1) 1 , n 于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间
第七章 参数估计
第七章 参数估计
1、正态总体、方差已知或非正态总体，大样本 当总体服从正态分布且方差已知时，或者总体不是正态分布但是大样本时，样本 均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值u，方差为Ϭ2/n。而样本均 值经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布，即 Z=(x-u)/(Ϭ/n0.5)~N(0,1) 根据上式和正态分布的性质可以得出总体均值u在1-α置信水平下的置信区间为： xα+是(-)事Z(α先/2)所(Ϭ确/n定0.5的)。而其一中个，概x率+Z值(α/2，) (Ϭ也/n称0.为5)为风置险信值上，限是，总x体-Z均(α/2值) (Ϭ不/包n0.含5)为在置置信信下区限间，的 概是率估；计1总- 体α称均为值置时信的水估平计，误Z差(α/。2) 是标准正态分布右侧面积为α/2的z值；Z(α/2) (Ϭ/n0.5) 也即是说，总体均值的置信区间由两个部分构成：点估计值和描述估计量精度的 +(-)值，这个+(-)值称为估计误差。
第七章 参数估计
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
其中，区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。
由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名 为置信区间。原因是：如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取100个样本，根据 每一个样本构造了一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置 信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没有包含，则95%这个值 称为置信水平。一般，如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总 体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称为置信度或置信系数。
自然使用估计效果最好的那种估计量。什么样的估计量才算一个好的估计量呢？ 统计学家给出了评价估计量的一些标准，主要包括以下几个：
7.4单正态总体下未知参数的置信区间 课件- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电版)
2 的无偏估计为 ˆ 2
1 n
n i 1
X
2 i
2 ，
取 a b 满足
G ˆ 2, 2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2 n
P
a
1
2
n
(Xi
i1
)2
b
1
二、方差的置信区间
取
a
2 2
n,b
2 12
n
此时，对应的 2 的双侧1 置信区间为：
n
X
i
2
n
X
i
2
i1
, i1
．
第7章 参数估计
1
07
参数估计
目录/Contents
第7章 参数估计
2
7.1 点估计
7.2 点估计的良好性评判标准
7.3 置信区间
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
7.5
两个正态总体下未知参数的置信区间
目录/Contents
第7章 参数估计
3
7.4 单正态总体下未知参数的置信区间
一、均值的置信区间 二、方差的置信区间
故 的双侧 0.95 置信区间的观测值为[1485.69,1514.31] ．
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
12
1
期望 已知, 方差 2的双侧置信区间；
2
期望 未知, 方差 2的双侧置信区间.
二、方差的置信区间
第7章 参数估计
13
(1)期望 已知, 方差 2 的双侧置信区间
当 已知时，
0.95 的双侧置信区间.
解 由题设条件知 n 10, 0.05, x 1500, s 20, 查表得
统计学第七章、第八章课后题答案
统计学复习笔记第七章 参数估计一、 思考题1． 解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。
估计量也是随机变量。
如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。
2． 简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2)有效性:是指估计量的方差尽可能小。
对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
（3)一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
3． 怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。
有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间），并不说明置信度,也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。
因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”）,有误导读者之嫌.在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现.这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然.4． 解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95％仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率.也就是说,无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95％（的区间）包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0。
95的概率覆盖总体参数.5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1. 估计总体均值时样本量n 为2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为其中： 2222)(E z n σα=n z E σα2=▪与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下,置信水平越大，所需要的样本量越大；▪与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；▪与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
第7节 单侧置信区间
解
µ 是 X 的无偏估计且
X S
−
µ
~
t(n
− 1)
n
⎧
⎫
Q
P
⎪ ⎨ ⎪⎩
X S
−
µ
n
<
tα (n − 1)
⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−α
⇒
P⎧⎨µ
⎩
>
X
−
tα
(n−1)
S
n⎫⎬⎭=1−α
⇒µ>X−
S n
tα
(n
−
1)
由题设 x = 41117, s = 1347, 1 − α = 0.95, n = 16
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400
假设这些数据来自正态总体 N (µ,σ 2 ) . 其中µ,σ 2 未知，试求 µ 的置信水平为0.95的置信下限.
2、
σ
2 1
σ
2 2
的单侧置信区间（µ1, µ2 未知）
(n1 − 1)S12
S12
σ
2 1
S22
=
σ
2 1
(n2 − 1)S22
(n1
− 1)
~
F (n1 − 1, n2
− 1)
σ
2 2
σ
2 2
(n2 − 1)
⇒
⎧ ⎪
S12
P
⎪⎨σ
2 1
⎩
S
2 2
σ
2 2
⎫
⎪ ⎬
=
1
−
α
07心理统计学-第七章 参数估计
犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信 度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节 点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p
n
p, SE p
n
pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试 问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总 体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平 均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成 绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测 得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。 返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2） 三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）
心理及教育统计学第7章参数估计
章节内容
第一节 点估计、区间估计及标准误 第二节 总体平均数的估计 第三节 标准差与方差的区间估计 第四节 相关系数的区间估计 第五节 比率及比率差异的区间估计
总体参数估计：在研究中从样本获得一组数 据后，通过这组信息，对总体特征进行估计， 即从局部结果推论总体的情况。
总体参数估计分点估计和区间估计两种。
7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7 7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7
71.9684.04
当n2=36时，df2=35，t0.05/2=2.042
7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2 7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2
75.982.1
【例7-4】
根据n2=36的样本估计总体参数μ：
0.95的置信区间 7 8 1 . 9 6 1 . 1 8 7 9 1 . 9 6 1 . 1 8
76.781.3
0.99的置信区间
7 9 2 . 5 8 1 . 1 8 7 9 2 . 5 8 1 . 1 8
75.782.04
83.686.4
总体方差σ2未知，对总体平均数的估计
总体方差未知，用样本的无偏方差(
s
2 n 1
)作为总体
方差的估计值，实现对总体平均数μ的估计。因为在总
体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查t值
表，确定t/2或t(1－)/2。
有两种情况：
（1）总体的分布为正态时，可不管n之大小。
（2）总体分布为非正态时，只有n＞30，才能用概率对 其抽样分布进行解释，否则不能推论。
0.05水平和0.01水平是人们习惯上常用的两个显著性 水平。
区间估计的原理是抽样分布理论。在计算区间估计值， 解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分 布规律及抽样分布的标准误(SE)。
7.7 单侧置信区间-
单侧置信上限为:
X
S n
t
(n
1)
S X n t (n 1))
3. 正态总体方差的单侧置信区间
若总体、 2均未知，取
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
(1) 2 的单侧置信上限
有
(n 1)S 2
P
2
2 1
(n
1)
1
,
(n 1)S 2
2 (n 1)
例. 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿命(以小 时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限.
解
X
S/ n
~ t(n 1), 有
P
(n 1)S 2
0,
2 1
(n
1)
.
(n 1)S 2
2 (n 1) ,
单侧置信上限为 2
=
(n 1)S 2
2 1
(
n
1)
单侧置信下限为
2
(n 1)S 2
2 (n 1)
作 业 P176 25 (1)
称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的单侧置信区间, (， )
称为 的置信水平为 1 的单侧置信下限.
单侧置信上限
2. 正态总体均值的单侧置信区间
设正态总体 X 的均值是, 方差是 2 , (均为未知)
X1, X2,
, Xn 是一个样本,
单侧置信区间
μ的置信水平为1-α的单侧置信区间
S X t ( n 1 ), n
μ的置信水平为1-α的单侧置信下限为
S X t ( n 1) n
又例如,μ未知,
2
( n 1) S 2
2
~ ( n 1)
2
给定α,找
12 ( n 1)
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ),
由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1 , X 2 ,, X n ) ,
Θ,
使得
P{ } 1 ,
称随机区间( , ) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限. 对于给定值α ( 0 <α <1 ), 如果有统计量 使得
( n 1) S 2 5 0.039 0.41 2 1 ( n 1) 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 ) ，其中 2 已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
思考题答案：
n
X
z
练习题：
1. 为研究某汽车轮胎的磨损特性,随机抽了16只轮胎 使用,记录其使用到磨坏时所行驶的路程(公里),得
X , S 2 分别是样本均值和样本方差.
未知，
2
X ~ t ( n 1), S/ n
给定α,
找 t (n 1), 使
X P t ( n 1) 1 S / n
S P X t ( n 1) 1 n
x 41116, s 6346.
概率论与数理统计课件第7章参数估计
一、矩估计
4
A B
一、矩估计 例1
5
01
OPTION
02
OPTION
一、矩估计 解
6
一、矩估计
7
一、矩估计
8
解（1）
一、矩估计
9
解（2）
一、矩估计 例3
10
一、矩估计 解
11
一、矩估计
12
关于矩估计量有下列结论:
一、矩估计
13
例4
解
一、矩估计
14
01
OPTION
02
OPTION
一、无偏性 定义1
51
ˆ lim E θ 如果 n+ X1 ,
, X n θ
一、无偏性
52
例1
试求 1 3 2
解
(1)由矩估计定义可知
一、无偏性
53
故
一、无偏性
54
一、无偏性 例2
55
一、无偏性
56
解
一、无偏性 定理 1
57
则有
因此, 样本均值是总体均值的无偏估计, 样本
二、极大似然估计
48
极大似然估计求解
似然函数 对数似然求导法
直接法
49
目录/Contents
7.1 7.2
点估计 点估计的优良性评判标 准 置信区间 单正态总体下未知参数的置信区间 两个正态总体下未知参数的置信区间
7.3
7.4 7.5
50
目录/Contents
7.2
点估计的优良性评判标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性
置信区间
69
置信区间
70
置信区间
单侧置信区间
(n
1)
2 0.95
(5)
1.145,
S 2 0.039
标准差σ的单侧 0.95 的置信上限
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
5 0.039 0.41 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 )，其中 2已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
布, N (, 2 ),, 2未知.从某天生产的滚珠中随机地抽
取6个滚珠,测得直径（毫米）为
14.7， 15.1， 14.9， 14.8， 15.2， 15.1
求标准差σ的单侧 0.95 的置信上限.
解： 2的单侧 0.95 的置信上限是
2
(n 1)S 2
2 1
(
n
1)
2
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ), 由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1, X2 ,, Xn ), Θ, 使得
P{ } 1 ,
称随机区间( ,) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限.
2
(n 1)S 2
12 (n 1)
1
2 的置信水平为1-α的单侧置信区间
0,
(n 1)S
12 (n
2
1)
2 的置信水平为1-α的单侧置信上限为
2
(n 1)S 2
2 1
(n
概率论第七章参数估计
概率论第七章参数估计参数估计是概率论中的一个重要概念，用于根据样本数据推断总体参数的未知值。
本文将介绍参数估计的概念、常见的估计方法以及对估计结果的评估。
一、参数估计的概念参数估计是指根据样本数据来推断总体参数的未知值。
总体是指要研究的对象的全体，参数是总体分布的特征数值，例如总体均值、总体方差等。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种。
点估计是根据样本数据得到一个参数值的估计方法。
常见的点估计方法有最大似然估计法和矩估计法。
最大似然估计法是根据已知的样本数据，选择使得基于样本数据构建的似然函数取得最大值的参数值作为参数的估计值。
矩估计法是根据已知的样本数据，选择使得样本矩与总体矩之间的差距最小的参数值作为参数的估计值。
区间估计是指根据样本数据得到参数的一个区间估计，给出了参数取值范围的上下限。
常见的区间估计方法有置信区间法和预测区间法。
置信区间法是根据样本数据，给出参数估计值的上下限，使得该参数值落在这个区间的概率达到预先规定的置信水平。
预测区间法是根据样本数据，给出新观测值的一个区间估计，使得新观测值落在这个区间的概率达到预先规定的置信水平。
二、常见的估计方法最大似然估计法是参数估计中最常用的方法。
它是在已知样本数据的情况下，选择使得样本数据出现的概率最大的参数值作为参数的估计值。
最大似然估计法的优点是估计结果具有良好的渐进性质，但是对样本数据的要求较高，需要满足一定的充分统计条件。
矩估计法是一种简单的参数估计方法。
它是在已知样本数据的情况下，选择使得样本矩与总体矩之间的差距最小的参数值作为参数的估计值。
矩估计法的优点是计算简单，但是在一些情况下可能存在多个参数估计值。
置信区间法是一种常用的区间估计方法。
它是在已知样本数据的情况下，给出一个区间，使得参数的真值落在这个区间的概率达到预先规定的置信水平。
置信区间法的优点是提供了参数取值范围的上下限，对参数的估计结果具有一定的可信度。
预测区间法是一种用于预测新观测值的区间估计方法。
第7章 参数估计7.7 单侧置信区间
下限” 与之相反, ; 平均寿命 θ 的“下限” 与之相反 在考虑化学药品 中杂质含量的均值 µ 时, 我们常关心参数 µ 的 上限” 这就引出了单侧置信区间的概念. . “上限” 这就引出了单侧置信区间的概念
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 α ( 0 < α < 1 ) , 若由样本 X 1 , X 2 ,⋯,
单侧置信上限 σ 2
意 θ ∈ Θ满足
P {θ < θ } ≥ 1 − α ,
则称随机区间 ( − ∞ , θ ) 是θ 的置信水平为 1 − α 的 单侧置信区间 , θ 称为θ 的置信水平为 1 − α的单侧
置信上限 .
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间
若均值 µ , 方差σ 2 均为 例如对于正态总体X， 例如对于正态总体 ， 未知 , 设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 是一个样本 , 由 X −µ ~ t ( n − 1), S/ n
S −∞, X + tα (n−1), n 单侧置信上限 µ S X − tα (n−1), ∞, n 单侧置信下限 µ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正 总 方 σ2 的 信 为 −α 单 置 区 态 体 差 置 度 1 的 侧 信 间 (n−1)S2 0, 2 χ (n−1). 1− α
µ 的置信水平为 1 − α 的置信下限 S µ = X − tα (n−1). n
又由 有
( n − 1) S
2
σ
2
~ χ 2 ( n − 1),
( n − 1) S 2 2 P > χ 1−α ( n − 1) = 1 − α , 2 σ
第7章参数估计
所以重量的标准差的95%的置信区间
√︁
√︁
为[
12*0.230256 23.337
,
12*0.230256 4.403
]
=
[0.3441,
0.7922]。
即，我们约有95%的把握估计该品牌袋装大米重量的标准
差������在0.3441千克到0.7922千克之间。
参数估计的基本原理 点估计 区间估计
=0.31 ± 1.645
2
������
100
=0.31 ± 0.07608
=(23.39%, 38.61%)
即，我们约有90%的把握估计全校学生戴眼镜比 例������在23.39%到38.61%之间。
R的计算结果： 90 percent confidence interval: 0.2340092, 0.3946717
假定A品牌袋装大米的重量服从正态分布，现随机抽取13袋大 米，测得其重量（单位：千克）分别为
⎛ 24, 24.2, 24.4, 24.6, 24.7, ⎞ ⎝ 24.8, 25, 25.1, 25.1, 25.2, ⎠
25.3, 25.4, 25.6.
分别计算该品牌袋装大米的重量的均值，及重量的标准差 的95%的置信区间。
参数估计的基本原理 点估计 区间估计
一个总体参数的区间估计 总体均值的区间估计 总体比例的区间估计 总体方差的区间估计
两个总体参数的区间估计 两个总体均值之差的区间估计 两个总体比例之差的区间估计 两个总体方差之比的区间估计
样本量������的确定 估计总体均值是样本量的确定 估计总体比例时是样本量的确定
2������
∑︁ ������������
������=1
(07)第7章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题
7.1.1 估计量与估计值 7.1.2 点估计与区间估计 7.1.3 评价估计量的标准
7-4
作者：徐刚，河南城建学院数理系
统计学
STATISTICS (第五版)
估计量与估计值
7-5
作者：徐刚，河南城建学院数理系
统计学
STATISTICS (第五版)
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
统计学
STATISTICS (第五版)
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7-3
估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本量的确定方法
作者：徐刚，河南城建学院数理系
统计学
STATISTICS (第五版)
作者：徐刚，河南城建学院数理系
统计学
STATISTICS (第五版)
有效性
(efficiency)
量，有更小标准差的估计量更有效
ˆ) P(
ˆ1 的抽样分布
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
作者：徐刚，河南城建学院数理系
7 - 16
统计学
STATISTICS (第五版)
7 - 31
作者：徐刚，河南城建学院数理系
统计学
STATISTICS (第五版)
总体比例的区间估计
总体服从二项分布 可以由正态分布来近似
1.
假定条件
2.
使用正态分布统计量 z p z ~ N (0,1) (1 ) n 3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为
7.5正态总体均值与方差的区间估计7.7单侧置信区间
7 2
随机区间 1 , 是的置信度为1 的单侧置信区间 。
P 2 X1 , 则称 2 X 1 ,
又若将 7 2 式改为： , X n 1 , , X n 为的单侧置信上限 。
7 3
随机区间 , 2 是的置信度为1 的单侧置信区间 。
, X n 2 X1,
, X n 1
7 1
则称随机区间 1 , 2 是的双侧 1 置信区间 ；称 1 为置信度；
1和 2分别称为双侧置信下限和双侧置信上限。
2
第3页
上述置信区间中置信限是双侧的，但对于有 些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的 界限，即上限或下限. 例如：对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿 命过长没什么问题，过短就有问题了.
10
2 2 n 36, X 15, S 16
第11页
S S 置信区间为： X t 2 n 1 , X t 2 n 1 n n
S S 由P X t0.025 X t0.025 1 0.05 n n
查表得：t0.025 35 2.0301
又： 15 2.0301 4 13.647,15 2.0301 4 16.353 6 6
的置信区间为13.647,16.353
？求置信度为99％时 1 2
两种情况下的置信区间
? 答案：1 13.333,16.667
2 1
n1
2 1
~ N 0,1
n2
第七章__参数估计
三、区间估计与标准误
㈠区间估计的定义 是根据样本统计量，利用抽样分布的原理，在一定的
可靠程度上，估计出总体参数所在的范围，即以数 轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。 ㈡置信区间与显著性水平 ⑴置信区间：也称置信间距，指在一定可靠程度上，总体参
数所在的区域距离或区域长度。
⑵置信界限（临界值）：置信区间的上下两端点值。 ⑶显著性水平：指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错
⑶区间估计的原理是样本分布理论。在计算区间估计值解释估 计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及样本 分布的标准误。样本分布可提供概率解释，而标准误的大小 决定区间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标准 误变小。
当总体方差已知时，样本平均数的分布为正态分布或
渐近正态分布，此时，样本平均数的平均数uX u， 平均数的离散程度即平均数分布的标准差（简称
例4
解:由题意知,其总体方差未知,但其总体分布为正态分布，
则此样本均数的分布服从t分布， 可以依t分布对总平 均身高μ进行估计。
SEX
S 4.8 0.81; df n 1 36 1 35 n 1 35
查t值表可知 : t0.05 230 2.042;t0.01 230 2.75
例2 已知某区15 岁男生立定跳远的方差 为 436.8cm ，现从该区抽取58名15岁男生， 测得该组男生立定跳远的平均数为198.4cm， 试求该区15岁男生立定跳远平均成绩的95%和 99%的置信区间。
例2
解：由题意知：由于样本容量（n=58）大于30 ，
该样本的抽样分布为渐进正态分布。
SEX
因此, 的95%的置信区间为 :
82 2.0211.12 82 2.0211.12
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250,
1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均
值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.
解
1 0.95,
n 5, x 1160,
t (n 1) t0.05 (4) 2.1318, s2 9950,
的置信水平为0.95 的置信下限
侧置信下限.
又如果统计量 ( X1 , X2 , , Xn ), 对于任 意 满足
P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧
置信上限.
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间
例如对于正态总体X，若均值, 方差 2 均为
未知 , 设 X1, X2 , , Xn 是一个样本, 由
X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(n
1)
1
,
即
P X
S n
t
(n
1)
1
,
于是得 的一个置信水平为1 的单侧置信区间
X
S n
t
(n
1),
,
的置信水平为1 的置信下限
X
S n
t
(n
Байду номын сангаас
1).
又由
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1),
有
(n P
1)S 2
2
2 1
(n
1)
1,
即
P
2
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
1 ,
于是得 2 的一个置信水平为1 的单侧置信区
间
0,
(n 1)S
12 (n
2
1)
,
2 的置信水平为1 的单侧置信上限
2
(n 1)S 2
2 1
(
n
1)
.
例 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,
x
s n
t
(n
1)
1065.
补充例题
三、小结
正态总体均值的置信度为1 的单侧置信区间
, X
S n
t
(
n
1),
单侧置信上限
X
S n
t
(n
1),
,
单侧置信下限
正态总体方差 2 的置信度为1 的单侧置信区间
0,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
.
单侧置信上限 2
第七节 单侧置信区间
一、问题的引入 二、基本概念 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入
在以上各节的讨论中, 对于未知参数 , 我们 给出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿 命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是
平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在考虑化学药品 中杂质含量的均值 时, 我们常关心参数 的
“上限”. 这就引出了单侧置信区间的概念.
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1), 若由样本 X1 , X 2 , , X n 确定的统计量 ( X1 , X 2 , , X n ) , 对于任 意 满足
P { } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单