第7篇参数估计7.7单侧置信区间
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第七节 单侧置信区间
一、问题的引入 二、基本概念 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入
在以上各节的讨论中, 对于未知参数 , 我们 给出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿 命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是
平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在考虑化学药品 中杂质含量的均值 时, 我们常关心参数 的
2
~
2 (n 1),
有
(n P
1)S 2
2
2 1
(n
1)
1,
即
P
2
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
1 ,
于是得 2 的一个置信水平为1 的单侧置信区
间
0,
(n 1)S
12 (n
2
1)
,
2 的置信水平为1 的单侧置信上限
2
(n 1)S 2
2 1
(
n
1)
.
例 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,
x
s n
t
(n
1)
1065.
补充例题
三、小结
正态总体均值的置信度为1 的单侧置信区间
, X
S n
t
(
n
1),
单侧置信上限
X
S n
t
(n
1),
,
单侧置信下限
正态总体方差 2 的置信度为1 的单侧置信区间
0,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
.
单侧置信上限 2
“上限”. 这就引出了单侧置信区间的概念.
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1), 若由样本 X1 , X 2 , , X n 确定的统计量 ( X1 , X 2 , , X n ) , 对于任 意 满足
P { } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单
测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250,
1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均
值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.
解
1 0.95,
n 5, x 1160,
t (n 1) t0.05 (4) 2.1318, s2 9950,
的置信水平为0.95 的置信下限
未知 , 设 X1, X2 , , Xn 是一个样本, 由
X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(n
1)
1
,
即
P X
S n
t
(n
1)
1
,
于是得 的一个置信水平为1 的单侧置信区间
X
S n
t
(n
1),
,
的置信水平为1 的置信下限
X
S n
t
(n
1).
又由
(n 1)S 2
侧置信下限.
又如果统计量 ( X1 , X2 , , Xn ), 对于任 意 满足
P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧
置信上限.
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间
例如对于正态总体X，若均值, 方Hale Waihona Puke Baidu 2 均为
一、问题的引入 二、基本概念 三、典型例题 四、小结
一、问题的引入
在以上各节的讨论中, 对于未知参数 , 我们 给出两个统计量 , , 得到的双侧置信区间( , ).
但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿 命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是
平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在考虑化学药品 中杂质含量的均值 时, 我们常关心参数 的
2
~
2 (n 1),
有
(n P
1)S 2
2
2 1
(n
1)
1,
即
P
2
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
1 ,
于是得 2 的一个置信水平为1 的单侧置信区
间
0,
(n 1)S
12 (n
2
1)
,
2 的置信水平为1 的单侧置信上限
2
(n 1)S 2
2 1
(
n
1)
.
例 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,
x
s n
t
(n
1)
1065.
补充例题
三、小结
正态总体均值的置信度为1 的单侧置信区间
, X
S n
t
(
n
1),
单侧置信上限
X
S n
t
(n
1),
,
单侧置信下限
正态总体方差 2 的置信度为1 的单侧置信区间
0,
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
.
单侧置信上限 2
“上限”. 这就引出了单侧置信区间的概念.
二、基本概念
1. 单侧置信区间的定义
对于给定值 ( 0 1), 若由样本 X1 , X 2 , , X n 确定的统计量 ( X1 , X 2 , , X n ) , 对于任 意 满足
P { } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单
测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250,
1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均
值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限.
解
1 0.95,
n 5, x 1160,
t (n 1) t0.05 (4) 2.1318, s2 9950,
的置信水平为0.95 的置信下限
未知 , 设 X1, X2 , , Xn 是一个样本, 由
X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(n
1)
1
,
即
P X
S n
t
(n
1)
1
,
于是得 的一个置信水平为1 的单侧置信区间
X
S n
t
(n
1),
,
的置信水平为1 的置信下限
X
S n
t
(n
1).
又由
(n 1)S 2
侧置信下限.
又如果统计量 ( X1 , X2 , , Xn ), 对于任 意 满足
P{ } 1 ,
则称随机区间( , ) 是 的置信水平为1 的 单侧置信区间, 称为 的置信水平为1 的单侧
置信上限.
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间
例如对于正态总体X，若均值, 方Hale Waihona Puke Baidu 2 均为