点阵常数测定

❖ 由布拉格方程2dsinθ＝λ微分得出：
2sind 2d cos
d cot d
λ看作常数,则 d c ot
d
对立方晶系而言 d a
d
a
当△ θ一定，点阵常数的相对误差△a/a与 cotθ成正比。
如果衍射线条的θ角趋近于90°，则 误差将趋于0，点阵常数的精度较高。 所以，实验过程中，使θ>60 °的区域 出现尽可能多的衍射线，并使最大θ角 的衍射线尽可能靠近90 °。
测量衍射图相上各条衍射线的 位置2θ值，然后利用布拉格方程 和各个晶系的面间距公式，求出 该晶体的点阵常数。
a
h2 k2 l2
2 sin
（对立方晶系）
在衍射花样中，通过每一条衍射线都可 以计算出一个点阵常数，而理论上每个 晶体的点阵常数只能有一个固定值。 要考虑测量误差。
干涉指数是整数，波长在衍射测量中是固 定不变的，所以点阵常数的精确度主要取决 于sinθ.
△y1 △y2 △yn 0 △y′ 1 △y′ 2 △y′n 0
充分的条件应该是：各测量值的误差平方和 应该最小，即
（△y1）2 （△y2）2 （△yn）2 最小
上式即为最小二乘法的基本公式，利用它可 以准确地确定直线的位置或待测量的直线。
最小二乘法求直线方程方法：
若已知两个物理量x和y呈直线关系，即
4.4 点阵常数的测定方法
❖ 主要内容： ❖ 1、 原理 ❖ 2、 德拜－谢乐法的系统误差 ❖ 3、德拜－谢乐法的误差校正方法 ❖ 4、点阵常数计算举例 ❖ 5 、衍射仪精确测定点阵常数
4.4.1 原理
点阵参数是晶体物质的重要参数，它随物 质的化学成分和外界条件（温度和压力）而 变化。在金属与合金材料的研究过程中所涉 及到的许多理论和实际应用问题，如晶体物 质的键合能、密度、热膨胀、固溶体类型、 固溶度、固态相变、宏观应力等都与点阵常 数变化密切相关。
图解外推法
❖ 根据德拜－谢乐法中相机半径误差、底片 伸缩误差、试样偏心误差、试样对x射线的 吸收误差的讨论得出综合误差：
△ S、R、C、A
（△S′S′
△R R
）
△x R
sin
cos
由于
90。、△ △、sin cos和cos sin
于是
△d d
cos sin
△
sin cos
△
csoins（[ △S′S′
对于一个调整好中心位置的高吸 收试样，吸收误差相当于试样水平偏 离所造成的误差，所以，因吸收而引 起的误差可包括到试样偏心误差中
x射线折射误差
X射线从一种介质进入另一种介质时， 也会发生折射现象。 在高精度测量过程中， 必须对布拉格方程进行校正，以消除折射 误差。
经校正以后的布拉格方程为：
n
2d（1
y=a+bx，假设实验测量的各物理量对应 的数值为：
x1y1、x2y2、 ······xnyn, 运用最小二乘法可 以求得最佳直线截距a和斜率b。
方法如下：
测量值最小误差的平方和表达式：
△y2 （a bx1 y1）2 （a bx2 y2）2
S′
4R
△S′ S′
在实验工作中，采用不对称装片或反装 法可以降低收缩误差。
试样偏心误差：
由于机械加工精度而造成的试样架转 动轴与圆筒底片中心轴的不完全重合
试样偏心位移分解为x方向和y方 向的分量
垂直位移△y使衍射线对位置的相对变化 为A→C，B→D。当△y很小时，AC和BD近 乎相等，因此可以认为垂直位移不会在S’中 产生误差。
计算点阵常数，然后作a与 cos2 的图解，并外
推到 cos2 ＝ 0。
具体作法，以点阵常数a为纵坐标， cos2 为横 坐标作图
满足以下条件，才能得出较好的结果：
1）在θ＝60°∽90°之间有数目多、分 布均匀的衍射线；
2）至少有一条衍射线在80°以上。
柯亨最小二乘法
在实验点中可以画出两条正负误 差大体相等的直线
sin 2
）sin
用校正折射的布拉格方程 ，计算d观察时， d观察<d校正，对立方晶系，点阵常数的折射校
正公式可以近似地表达为：
a校正 a观察 （1 ）
通常， 105 107 之间
4.4.3 德拜－谢乐法的误差校正方法
1、采用精密实验技术（P73自学） 2、外推法消除系统误差 3 、柯亨最小二乘法
△R R
）
源自文库
△x R
sin
cos
]
在背散射区，当θ接近90°，φ很小，运 用 近似关系sinφ≈φ，cosφ＝1
△d d
（△S′S′
△R R
△x R
）sin
2
在同一张底片中，由于每一条衍射线的各种
误差来源相同，因而上式括弧内数值为定值，
设为常数K，因此：
△d d
D sin2
D cos2
由上式可见，面间距d的相对误差
水平位移△x的存在，使衍射线条位置 的相对变化为A →C，B→D。于是，S’的误 差为AC+BD=2DB≈2PN＝2 △xsin2φ
因此，试样偏心导致的误差为：
△C
（△S′ S′）
（2△xsin2） 4R
△x R
sin
cos
于是，a的相对误差为：
△a a
cot△
△x R
cos2
吸收误差
4.4.2 德拜－谢乐法的系统误差
❖ 德拜－谢乐法用于点阵常数精确测定系 统误差主要有:
❖ （1）相机半径误差； ❖ （2）底片伸缩误差； ❖ （3）试样偏心误差； ❖ （4）试样对x射线的吸收误差； ❖ （5）x射线折射误差
相机半径误差
相机半径误差和底片收缩误差
❖ 如果相机半径的准确值为R，由于误差的存 在，实际半径为R＋△R,对于底片上间距为 S`的一对衍射线，其表现的φ值
和 cos2 成正比，
当 cos2 趋近于零或θ趋近于90°时，
上述综合误差即趋于零。
可以用图解外推法求得立方晶系的精确点阵常数a0。 a=a0±bcos2θ b——常数
如果以cos2θ为自变量，a为因变量，上式为一直线
方程。
根据各条衍射线测得的θ带入
a 2 sin
H 2 K 2 L2
❖ φ表现＝S’/4（R＋ △R）而φ真实＝S’/4R ❖ 因此，φ的测量误差是
△R
表现
真实
（ 4 R S′△R）
S′ 4R
（
R
△R △R
）
由于△R很小，故△φR＝－φ（ △R/R)
底片伸缩误差
照相底片经冲洗、干燥以后会发生变形， 由于底片收缩或伸长造成的误差为：
△s
表现
真实
S′+△S′ 4R