第3讲 条件概率 乘法定理 全概率贝叶丝

1.4.3 全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算 比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法定 理和乘法定理的综合运用。 综合运用
加法定理 P(A+B)=P(A)+P(B) wenku.baidu.com、B互斥
乘法定理 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
全概率公式 设A1, A2,„, An 是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0, i =1, 2, „, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, „, An 之一同时发生，则
3
1 3 7 20 29 P P( A1 ) P( H i ) P( Ai | H i ) ( ) 3 10 15 25 90 i 1
⑵由全概率公式得
7 8 20 , P( A2 | H 2 ) , P( A2 | H 3 ) 10 15 25 7 8 5 P( A1 A2 | H1 ) , P( A1 A2 | H 2 ) , P( A1 A2 | H 3 ) 30 30 30 3 1 7 8 20 61 P( A2 ) P( H i ) P( A2 | H i ) ( ) 3 10 15 25 90 i 1 P( A2 | H1 )
代入数据计算，得 P(A|B)= 0.1066。 结果的意义：
(1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌有无 意义？ (2). 检出阳性是否一定患有癌症?
(1). 该试验对于诊断一个人是否患有癌症有无 意义？ 如果不做试验，抽查一人, 他是癌症患 者的概率 P(A)=0.005 。 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后 呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人 是癌症患者的概率为 P(A|B)= 0.1066 。
解: 设Ai={第 i 次取到红球}, i =1,2,3, 则
B A1 A2 A3， 故 P( B) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) r b r c b r b (r c) (b c) (r c)
原因
结果
换个角度：
某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是 红球，求该球是取自1号箱的概率。
或者问：“该球取自各箱的可能性大小” 。
求的是条件概率，是某结果发生条件下，求 各原因发生的可能性大小。
考虑上边例子：
记 Ai = {球取自 i 号箱}， i =1, 2, 3; B = {取得红球}。
所求为 P(A1|B)。
1 7 8 5 2 P( A1 A2 ) P( H i ) P( A1 A2 | H i ) ( ) , 3 30 30 30 9 i 1
2 P( A1 A2 ) 20 q P( A1 | A2 ) 9 61 61 P( A2 ) 90
3
因此
P ( B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
i 1 3
1 1 1 2 1 8 1 3 5 3 5 3 15
全概率公式
P ( B ) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
n
理论和实用意义: 在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai , 使B 伴随着某个Ai 的出现而出现，且每个 P(B|Ai ) 容易计算。 Ai ：理解为导致事件B发生的原因或伴随事件
1.4.2 乘法公式
P( AB) , 由条件概率的定义： P( A | B) P( B)
在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。 即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , 将 A、B的位置对调，有 若 P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) ， (3) (2)
P( A i | B)
P( A i ) P( B｜A i )
P( Aj ) P( B｜Aj )
j 1
n
,
i 1, 2,, n .
－1763年，贝叶斯 (Bayes) 结果 原因
AB
例4: 某一地区患有癌症的人占0.005 (P(A)) ， 患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95 (P(A|B))，正常人对这种试验反应是阳性的概 率为0.04 ( A B )，现抽查了一个人，试验反应 是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 解：设 A = {抽查的人患有癌症}, B = {试验结果是阳性}。 则 A 表示“抽查的人不患癌症”。 已知:
小结
条件概率的定义与计算； 概率乘法定理； 全概率公式及贝叶斯公式。
作业：P35 ，21，23，26，27，29.
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报 名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随 机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。 ⑴求先抽取的一份是女生表的概率p； ⑵已知后抽到的是一份男生表，求先抽到的一份是 女生表是概率q。
通常记 事件B发生的条件下, 事件A发 生的概率为 P(A|B)。 上例： P(A|B)＝2/3 一般情况下， P(A|B) ≠P(A) 。
II. 条件概率定义 定义1: 设A、B是两个事件，且P(B)>0，称 P( AB ) P( A | B) (1) P( B) 为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。
多个事件乘法公式的推广: 当 P(A1A2…An-1) > 0 时，有
P (A1A2…An）
= P(A1) P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1) .
例 1: 一批灯泡共100只，其中10只是次品，其 余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求: 第三次才取到正品的概率。 解：设 Ai ={第i次取到正品}, i=1,2,3。 A={第三次才取到正品}。则:
A A1 A2 A3 . 故， ( A) P ( A1 A2 A3 ) P P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) 10 9 90 0.0083。 100 99 98
例2：袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑 球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其 颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球 c 个。若 B={第一、第三次取到红球,第二次 取到黑球}，求P(B)。
P ( A1 B) P ( A1 | B) P ( B)
运用全概率公式 计算P(B)
P ( A1 ) P ( B | A1 )
P ( A ) P ( B｜A )
k 1 k k
3
将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。
贝叶斯公式 设A1, A2,„, An 是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0，i=1, 2, „, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, „, An 之一同时发生，则
III. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0, 则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω |B)=1； 3. 设A1, A2,…互斥，则
P(( A1＋A2＋) | B)) P( A1 | B) P( A2 | B)
对概率所证明的一切性质，也都适用于条件 概率。
概率论与数理统计 第三讲
主讲教师：张冬梅 博士 副教授 浙江工业大学理学院
§1.4 条件概率， 概率乘法定理，
全概率公式，贝叶斯公式
1.4.1 条件概率 I. 条件概率的概念 一家有两个小孩（假设生男生女比例相同）， 问家中有一男一女（A）的概率是多少？ {男男 男女 女男 女女} P(A)=2/4 若已知家中至少有一个女孩（B） 则 P(A)=2/3 ？
P ( B ) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1 n
例3: 有三个箱子, 分别编号1, 2, 3。1号箱装 有1红球, 4白球; 2号箱装有2红球, 3白球; 3 号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱, 再 从箱中任取一球，求取到红球的概率。 解：记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球}。 B发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生，
解：设H i {报名表是第i区考生的 i 1,2,3） （ } , A j {第j次抽到的报名表是男生 （j 1,2）则 表} 1 P( H 1 ) P( H 2 ) P( H 3 ) ; 3
（1）
P( A1 | H 1 ) 7 8 20 , P( A1 | H 2 ) , P( A1 | H 3 ) 10 15 25
概率从0.005增加到0.1066, 约增加了21倍。
即：试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。
(2). 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 P(A|B)=0.1066。
即使你检出阳性，也不必过早下结论你有 癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说， 1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医 生常要通过其他试验来确认。
P( A) 0.005, P( A ) 0.995 , P( B | A) 0.95, P( B | A ) 0.04 。
求 P(A|B)。
由贝叶斯公式，得
P( A) P( B | A) P( A | B) ， P( A) P( B | A) P( A ) P( B | A )