垂直于弦的直径教案设计

垂直于弦的直径教案设计

第一课时( 一)

教学目标：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力

(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.

教学重点、难点：重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力难点：垂径定理的证明教学学习活动设计：

(一)实验活动，提出问题：

1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导

学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题

通过演示实验观察感性理性引出垂径定理

(二)垂径定理及证明：求证：AE=EB，

已知：在O0 中，CD是直径，AB是弦，CDAB垂足为E.

证明：连结0A OB则OA=OB又••• CDAB直线CD是等腰△ OAB

的对称轴，又是O0 的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD

两侧的两个半圆重合， A 点和B 点重合，AE 和BE 重合，

重合.因匕， AE=BE ， =， =. 从而得到圆的一条 重要性质 .

垂径定理：平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

CD 为OO 的直径，CDAB AE=EB =,

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆 心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦 所对的劣弧 . 加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避 免学生记混 .

（三） 应用和训练

为3cmT,求OO 的半径. 分析：要求OO 的半径，连结 OA 只要求出OA 的长就可以

了，因为已知条件点 0到AB 的距离为3cm,所以作OEAB 于

E ,而 AE=EB= AB=4cmt 匕时解 Rt △ AOE 即可.

解：连结OA 作OEAE 于E.

则 AE=EB.

AB=8cm AE=4cm.

又••• OE=3cm

在 Rt △ AOE 中， (cm).

分别和 、 例1已知在OO 中，弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离

OO的半径为5 cm.

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定

理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、

弓形高h

关系：r =h+d; r2 =d2 + (a/2)2

例2、已知：在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略) 说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成练习1:教材P78中练习1, 2两道题.由学生分析思路，学

生之间展开评价、交流.

指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法; ②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距

( 四) 小节与反思教师组织学生进行：知识：(1) 圆的轴对称性;(2) 垂径定理及应用.

方法：(1) 垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形;(2) 在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距；(3) 为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧

( 五) 作业

教材P84 中11、12、13.

第二课时（二）

教学目标：

（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用

（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力. 促进学生创造思维水平的发展和提高

（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系教学重点、难点：重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法难点：垂径定理的推论1.

学习活动设计：

（一）分解定理（对定理的剖析） 1、复习提问：定理：平分这条弦，并且平分弦所对应的两

条弧.

2、剖析：（教师指导）（二）新组合，发现新问题：（A 层学生自己组合，小组交流，

B 层学生老师引导）

，（包括原定理，一共有10 种）

（三）探究新问题，归纳新结论：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的

两条弧.

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

(4)圆的两条平行线所夹的弧相等

(四)巩固练习：练习1、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

这句话对吗?为什么?

( 在推论1(1) 中，为什么要附加不是直径这一条件.)

练习2、填空：在O0中

⑴若MNABMN为直径，则⑵ 若AC=BC MN为直径，AB不是直径，则则

⑶若MNAB AC=BC则⑷若=,MN为直径，则( 此题目的：巩固定理和推论) ( 五) 应用、反思例、四等分.

(A 层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成) 教材P80中的第3题图，是典型的错误作.

此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通

过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的

第3 题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解. 培养学生的思维能力.

（六）小结：知识：垂径定理的两个推论能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图

（七）作业：第三课时垂径定理及推论在解题中的应用教学目的：⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生

渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用教学难点：如何进行辅助线的添加教学内容：

（一）复习1. 垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备