线代习题

<向量代数与空间解析几何>习题

1. 求点),,(c b a 的关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴的对称点的坐标.

2. 设(3,,2)B(124)A x --与，，点间的距离为29，试求x .

3. 在yoz 平面上，求与三个已知点(3,1,2)B(422)051A C --、，，和（，，）等距离的点.

4. 求平行于向量}6,7,6{-的单位向量.

5. 已知两点(1,3,3)B(421)A --与，，，求向量AB 的模与方向余弦.

6. 已知||12

2||,10||βαβαβα⨯=⋅==，求，.

7. 求与)1,0,1(M 110M )0,1,1(M 321）、，，（、三点所在平面垂直的单位向量.

8. 求过点012-5z 7y -3x (3,0,-1)

=+且与平面平行的平面方程.

9. 一平面过点(2,-1,3)4,1,5),x 2y 3z 50+++=和(且垂直于平面,求此平面方程.

10. 将平面的一般式方程012-3z y -2x =+化为截距式方程.

11．指出下列各平面的特殊位置：

（1）04-2y =（2）0z -2y 3x =+（3）4y -2x =（4）02z 3y =+

12. 求平面0D Cz By Ax 1=+++与平面0D Cz By Ax 2=+++的距离.

13. 一平面过z 轴且与平面07-z 5-y 2x =+成3

π

角，求此平面方程.

14. 已知点,1

21-x

A(5,1,4)z

y L ==：及

直线求： （1）求过A 且与L 平行的直线；

（2）求过点A 且与L 及向量}1,4,3{--=AB 垂直的直线；

（3）求过点A 且与直线2470

35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩

平行的直线.

15.求直线1

2

3121-x -+=+=z y 与平面0z y 23x =++的交点.

16．求直线

3

211-x z

y ==在平面01-z y 4x =+-上的投影直线方程.

17．求下列旋转曲面方程：

（1）平面z x o 内抛物线x =2

z 绕x 轴旋转；

（2）平面y x o 内双曲线164x 2

2

=-y 分别绕x 轴及y 轴旋转.

18.判断11462x 222=-+-++z y x z y 是否表示球面方程，若是，求出球心坐标及球半径.

19.指出下面方程所表示的曲面的名称，并作出草图：

（1）;1941x 222=++z y （2）04

x 22

2=-+z y ；（3）22x 20y z -+=.

20.指出下列方程所表示的曲线：

（1）⎩

⎨

⎧==++325222x z y x （2）⎩

⎨

⎧==++13694222y z y x

21.求曲线C ：)0(,

0,

2

2

2222>⎩⎨⎧=-+=++a ax y x a z y x 在y x o 平面和z x o 平面上的投影曲线方程.

<矩阵及其初等变换>习题

1. 当。则时_______,____,___,x ,2128-2x ====⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡u z y x u u z y 2. 求下列式中的矩阵X ：

.11311232021132O X =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--

3. 计算：

（1）⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21011201421023 （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n b b b a a a 2121],,,[

（3）[]n n a a a b b b 2

1

2

1⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ （4）⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-127075321134

4. 设,111111111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=A ,150421321

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=B 求T 3AB-2A,A .B

5. A 、B 均为n 阶方阵，问下列等式成立的条件是什么？

（1）;2B)(A 222B AB A ++=+（2）22(A B)(A-B).A B +=-

6. 计算（n 为正整数）：

（1）n

⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡101λ

， （2）,001001n a a a ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡ （3）0000.00n

a b c ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

7. 设1)(2--=x x x f ，311312,()110A f A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

求.

8. ( 1)设A 、B 均为n 阶矩阵，且A 为对称阵，证明AB B T

也是对称阵.

(2)设X 是1⨯n 矩阵，且,1=X X T 证明：T

XX I S 2-=是对称矩阵，且2

S I =.

9. 举反例说明下列命题是错误的： （1）若O A =2

,则O A =； （2）若A A =2

,则;I A O A ==或

(3) 若,AY AX =且;Y X =≠，

则O A