《微积分》正项级数及其审敛法

n1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界

u n收敛 .
n1
(2) 设 s (n ) 且 u v ,
n
n
n
则 s
n
n
不是有界数列

v n发散 .
定理证毕.
n1

推论: 若 un 收敛(发散)
是收敛的，

1
1
所以
n n 1 6
ln ln n
n 1.02
n 16
收敛.
1
修改有限项不改变级数敛散性，所以
收敛.
n n 2
ln ln n
即
1
1
=
n 2 (ln n ) ln n
n n 2
ln ln n
收敛.
4.比较审敛法的极限形式/比较审敛法2:
2、比较审敛法1（大小比较）
3、比较审敛法2（比较法极限） 比较审敛法2’（比阶审敛法）
需要基本函数
常见基本函数： -几何级数（等比） -调和级数
-p级数
4、比值审敛法（达朗贝尔判别法） 无需找基本函数
5、根值审敛法（柯西判别法）
必须为数(≠1)或无穷
才可以判定.
需要求 n 时的极限，极限值必须要为数或无穷
u N 3 ru N 2 r 2 u N 1 , ,
u N m r m 1u N 1 ,

而级数
r
m
1
u
N
收敛
1
,
m 1



uN m
u u收敛 ,
收敛
m 1
n N 1
当 1时 , 取 1, 使 r 1 ,
n 1
n
发散，
收敛，
6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：

设 u n 是正项级数,如果lim
u n 1 ( 数或
)
n1
n un
则 1时 级 数 收 敛 ; 1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 . (1 )
1
1

，所以
n (n 2 1)
3
n2
n 1
1
收敛.
n (n 2 1)
(2) ln n e e ln n
ln


ln
n
ln
n

ln n ln ln n
= e = e n ln ln n ln n
ln n ln ln n
n1
且vn kun (n N )(kun vn ), 则 vn 收敛(发散).
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.

例：判定级数
1
的收敛性
n2 ln n
11
解：当 n 2
时，
ln n
n
，
而级数
1

是发散的，根据比较审敛法，
n2 n
1
因此级数
发散.
n2 ln n
( 2 ) 级 数

1
的一般项
n 1 3 n 2 n
1
11
a

n
3n 2n
3 n 1
n 2
3
令
bn

1 3n
，因为
a
， lim n lim
1
1
b n
n
n 1 2 n 3

1
因为 bn 发散，由比较审敛法2，所以给
n 1
n 1 n
n


若级数 v n 发散，则级数 u n 发散.
n1
n1
(3)当
un和
v 为等价无穷小，二者敛散性相同. n
解释：要想正项级数收敛，需要： 1、每次加上“很小”的数. 2、一般项趋于0的速度要“足够快”. 3、本定理“比较”两个级数趋于0的速度.

例 判定级数的收敛性 (1)
n 1
证明：当 为有限数时 , 对 0 ,
N , 当 n N时 , 有 un1 , un
即 un1
un
(n N )
当 1时 , 取 1 , 使 r 1 ,
u ru ,
N 2
N 1
7.根值审敛法 (柯西判别法)：

设
u n 是 正 项 级 数 , 如 果 lim
n
u n


n
n1
( 为数或 ) ,
则 1时 级 数 收 敛 ; 1时 级 数 发 散 ; 1时 失 效 . (1 )
根值审敛法(柯西判别法)/比值审敛法(达朗贝尔判别法) 优点和缺点都一样：


设 un 与 vn 都是正项级数,如果 lim u n l , (l为 数 或 )
n1
n1
n vn
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;


(2) 当 l 0 时，若 v n 收敛,则 u n 收敛;
(0 l )
n1
ln ln n
当 n 1 6 e e 1 5 .1 5 4 3 时，ln ln n 1 .0 2 1 ，
1
1
因此 n ln ln n n 1 .0 2 ，所以 n ln ln n n 1 .0 2 ( n 1 6 )
1
1
因为

n ln ln n
n 1.02
1
( n 1 6 ) ， n 1.02 n 16
1
例
级数 发散 , n1 n
1
级数
收敛 ,
n2
n1

( 1)

2.条 件 是 充 分 的 ,而 非 必 要 .
2 (1)n 3
例 un
2n
2n vn,

2 (1)n
级数 u n
n1
n1
2n
收敛 ,
但 un1 2 (1)n1 a ,
例 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 的收敛性.( p 0 )
2p 3p 4p
np
11
解
wk.baidu.com
设 p 1,
, np n
则 P 级数发散
.
当 p 1 时，对于 k 1 x k ，有
1 xp

1 kp
.
1
1
k 1
k 1 1
k 1 1

nn
n 1 n
n 1
n
2 1
2 1
( 2 ) n 时 ，1 c o s :
，而
n
2 n2
n 1 2 n 2

因此


1 cos

发散.
n 1
n
11
1
(3 ) n 时 ，ln (1 ) : ，而

nn 1
n 1 n
因 此 ln (1 ) 发 散 .
1 n2 n 1

1
( 2 ) n 1 3 n 2 n
1
1
解：(1)
一般项
a n

n2 n 1
，
11
n 1
n n2
令 ，因为 1
b n n
lim an lim
n b n
n
1
1，
11
1

1
n n2

b n

发散，所以给定级数发散.
n 1
n 1 n
优点：无需找基本函数. 缺点：1、 需要为数或者无穷；
2、 = 1时方法失效，需采用其他方法.
例 判定级数
1 的收敛性 nn
n 1
解： Q lim n u
1
1
lim n = lim = 0 1
n
n
n n
n
n n
根据根值审敛法，级数收敛.
例 判定级数
an
np
作业
习题9-2 1（单）、2（单）、3（2、4、5）、4（单）
定级数发散.
例 判定级数的收敛性


( 2 ) (1 c o s ) ( 0 )
n 1
n

x
(1) s in ( 0 x )
n 1
n

1
(3 ) ln (1 )
n 1
n
解：(1) n 时 ，s in x :
x
x
，而

x
发 散 ，因 此 s in 发 散 .
( 4 ) lim u n 1 lim
(2n 1) 2n 1,
n un
n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
1
1

,
(2n 1) 2n n2
1
级数
收敛 ,
n2
n1

1
故级数
收敛 .
n1 2n (2n 1)
1dx
kp
kp k
k
dx
kp
k
dx xp
部分和 1 1
1
2 dx
n dx
s n 1 2 p 3 p
np
1

1 xp
x n 1 p
n dx
1
1
1
1 1
xp
1
(1
)
p1
n p1
1
p1
即 s 有界 , n
则 P 级数收敛 .
u
2(2 (1)n )
n
n
1
lim a 2 n
n

, 6
3
lim a 2 n 1 ,
n
2
u
lim
n
n1
u

lim a n
n
不存在
.
n
相邻项比值极限一定要存在或无穷（有确定意义）, 才可以用比值审敛法.
例 4 判别下列级数的收敛性:
1
(1) ; n1 n!
n 1
的收敛性，其中
a 0.
解： a n
Q
lim n u n
n
lim n
n
= lim
np
n
a nn
=a
p
当 a 1 时级数收敛；当 a 1时级数发散； 当 a =1 时级数是p级数，当且仅当 p 1 时收敛.
小结：
1、正项级数 及 收敛基本定理.
（一般项、部分和数列的特点）.
当 n N 时 , u n 1 ru n u n , lim u n 0 . 发散 n
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时 比 值 审 敛 法 失 效 ;
例如p级数 u
= lim n1 lim
np
1
u n n
n ( n 1) p

3.比较审敛法 设 u n 和 v n 均为正项级数，
n1
n1


且un vn (n 1, 2, ),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1


反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1

n1
证明： (1 ) 设 v n u n v n ,
当p 1时, 收敛 P 级数
当p 1时, 发散
比较审敛法需要找一个已知敛散性的级数做比较， 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.

例 判定级数的敛散性：(1)
n 1
1 n (n 2 1)

1
( 2 ) n 2 (ln n ) ln n
解：(1) 因为
正项级数及其审敛法

1.定义: 如果级数

u
中各项均有
n
n1
这种级数称为正项级数.
u n 0，
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s 2 s n 部分和数列{ s n }为单调增加数列. 定理
正 项 级 数 收 敛 部 分 和 所 成 的 数 列 sn有 界 .

n1


un
10 n 1
n!
10
故级数
n!
发散 .
n 1 10 n
( n ),
(3)
Q
lim
u n1

lim
(n 1) 2
2n

lim
( n 1) 2

1
1
n u
2 n
n 1
n2
n 2n 2
2
n
n2
故 级 数
收敛.
2n
n 1
n !
(2)
;
n 1 10 n
n2
(3)
;
2n
n 1
1

1
(4)
.
n1 (2n 1) 2n
解： (1 ) u n 1 ( n 1 )! 1 0
un
1
n1
故级数
n! 1
收敛 .
n1 n!
( n ),
(2)

u n1

( n 1 )! 10 n
n1


(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
(0 l )
n1
n1
证明：(1 ) 由 lim
u n

l
v n n
对于 l 0 ,
2
N , 当 n N时 , l l un l l
2v
2
n
l
3l
即 2 vn un 2 vn (n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
比阶审敛法/比较审敛法2’:


设 un 与 vn都是正项级数，且两个级数的一般项
n1
n1
均为 n 时的无穷小.
则(1)当
u为 n
v
n
的同阶或高阶无穷小时，

若级数 v n 收敛，则级数 u n 收敛.
n1
n1
(2)当
u为 n
v 的同阶或低阶无穷小时，