复数知识点归纳

复 数

【知识梳理】

一、复数得基本概念

1、虚数单位得性质

i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=

2、复数得概念

（1）定义：形如bi a +(a ，b ∈R )得数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做 ，b 叫做 。全体复数所成得集合C 叫做复数集。复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数得定义要注意以下几点：

①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数得代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘

②复数得实部与虚部都就是实数，否则不就是代数形式

（2）分类：

例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-就是实数？虚数？纯虚数？

二、复数相等 ),,,(,R d c b a d b c a di c bi a ∈==⇔+=+

也就就是说，两个复数相等，充要条件就是她们得实部与虚部分别相等

注意：只有两个复数全就是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小

例题：已知0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,得值

三、共轭复数

bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔

bi a z +=得共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅

四、复数得几何意义

1、复平面得概念

建立直角坐标系来表示复数得平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上得点都表示实数；除了原点外，虚轴上得点都表示纯虚数。2、复数得几何意义

复数bi a z +=与复平面内得点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→

),(R b a ∈就是一一对应关系（复数得实质就是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等得向量表示同一个复数

例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=得点

①位于第三象限；②位于直线x y =上

（2）复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→

CD 对应得复数

3、复数得模：

向量→OZ 得模叫做复数bi a z +=得模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点得距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =

若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 得距离，即2

221)()(d b c a z z -+-=-

例题：已知i z +=2，求i z +-1得值

五、复数得运算

（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R

①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±

②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(d

c i a

d bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++=

（2）几何意义：复数加减法可按向量得平行四边形或三角形法则进行、如图给

出得平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法得几何意义，即OZ →＝OZ 1

→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→、六、常用结论

（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i

求n i ，只需将n 除以4瞧余数就是几就就是i 得几次

例题：=675i

（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-

（3）1)2321(3=±-i ，1)2

321(3-=±i 【思考辨析】

判断下面结论就是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解、( )

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i 、( )

(3)复数中有相等复数得概念，因此复数可以比较大小、( )

(4)原点就是实轴与虚轴得交点、( )

(5)复数得模实质上就就是复平面内复数对应得点到原点得距离，也就就是复数对应得向量得模、

( )

【考点自测】

1、(2015·安徽)设i 就是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( )

A 、3＋3i

B 、－1＋3i

C 、3＋i

D 、－1＋i

2、(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )

A 、－2－i

B 、－2＋i

C 、2－i

D 、2＋i

3、在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应得点分别为A ，B 、若C 为线段AB 得中点，则点C 对应得复数就是( )A 、4＋8i B 、8＋2i C 、2＋4i D 、4＋i

4、已知a ，b ∈R ，i 就是虚数单位、若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2等于( )

A 、3－4i

B 、3＋4i

C 、4－3i

D 、4＋3i

5、已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________、

【题型分析】

题型一 复数得概念

例1 (1)设i 就是虚数单位、若复数z ＝a －103－i

(a ∈R )就是纯虚数，则a 得值为( )A 、－3 B 、－1 C 、1 D 、3

(2)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2

得虚部为( )A 、1 B 、i C 、25

D 、0 (3)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”就是“z 1＝z 2”得( )A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分又不必要条件

引申探究

1、对本例(1)中得复数z ，若|z |＝10，求a 得值、

2、在本例(2)中，若z 1z 2

为实数，则a ＝________、 思维升华 解决复数概念问题得方法及注意事项

(1)复数得分类及对应点得位置都可以转化为复数得实部与虚部应该满足得条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部与虚部满足得方程(不等式)组即可、(2)解题时一定要先瞧复数就是否为a ＋b i(a ，b ∈R )得形式，以确定实部与虚部、