初中数学：二次根式易错点剖析
八年级数学下学期《二次根式》易错题集
《二次根式》易错题集易错题知识点1．忽略二次根式有意义的条件，只有被开方数a≥0时，式子a才是二次根式；若a<0，则式子a就不能叫二次根式，即a无意义。
2．易把2a与2)(a混淆。
3．二次根式的乘除法混合运算的顺序，一般从左到右依次进行或先把除法统一成乘法后，再用乘法运算法则计算。
4．对同类二次根式的定义理解不透。
5．二次根式的混合运算顺序不正确。
典型例题选择题1．当a＞0，b＞0时，n是正整数，计算的值是（）A．（b﹣a）B．（a n b3﹣a n+1b2）C．（b3﹣ab2）D．（a n b3+a n+1b2）考点：二次根式的性质与化简。
分析：把被开方数分为指数为偶次方的因式的积，再开平方，合并被开方数相同的二次根式．解答：解：原式=﹣=a n b3﹣a n+1b2=（a n b3﹣a n+1b2）．故选B．点评：本题考查的是二次根式的化简．最简二次根式的条件：被开方数中不含开得尽方的因式或因数．2．当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是（）A．29 B．16 C．13 D．3考点：二次根式的性质与化简。
分析：将被开方数中16﹣x和x﹣13的取值范围进行讨论．解答：解：=|16﹣x|+|x﹣13|，（1）当时，解得13＜x＜16，原式=16﹣x+x﹣13=3，为常数；（2）当时，解得x＜13，原式=16﹣x+13﹣x=29﹣2x，不是常数；（3）当时，解得x＞16；原式=x﹣16+x﹣13=2x﹣29，不是常数；（4）当时，无解．故选D点评：解答此题，要弄清二次根式的性质：=|a|，分类讨论的思想．3．当x＜﹣1时，|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1|的值为（）A．2 B．4x﹣6 C．4﹣4x D．4x+4考点：二次根式的性质与化简。
分析：根据x＜﹣1，可知2﹣x＞0，x﹣1＜0，利用开平方和绝对值的性质计算．解答：解：∵x＜﹣1∴2﹣x＞0，x﹣1＜0∴|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1|=|x﹣（2﹣x）﹣2|﹣2（1﹣x）=|2（x﹣2）|﹣2（1﹣x）=﹣2（x﹣2）﹣2（1﹣x）=2．故选A．点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，=a；a＜0时，=﹣a；a=0时，=0；解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算．4．化简|2a+3|+（a＜﹣4）的结果是（）A．﹣3a B．3a﹣C．a+D．﹣3a考点：二次根式的性质与化简；绝对值。
二次根式运算错误剖析
二次根式运算错误剖析刘素君二次根式是初中代数的重要内容，其中的概念和性质都有条件限制，同学们在运用这些概念和性质解题时，往往会忽视这些条件而导致错解，现将同学们作业中易出现的错误归类剖析如下。
一. 忽视二次根式0a a ≥中而造成错解 例1. 化简：a 31)3a (-- 错解：原式a 3a 31)3a (2-=-⨯-= 剖析：错解中忽视了0a 31>-这一隐含条件，即03a <-，此式的值应为负值。
正解：原式a 31)3a (2-⨯--= a 3--=二. 忽视0b ,0a b a b a >≥=中而造成错解例2. 已知：4x y ,5y x =-=+，求x y y x +的值。
错解：原式xy yx x yy x +=+=-=-=4525剖析：因为4xy =，所以x 、y 同号，又因5y x -=+，所以x 、y 同为负数，因此上述变形x y x y y x y x ==与是错误的。
正解1：经分析知，0y ,0x <<，原式|x |xy |y |xy x xy y xy 22+=+= 25445xyxy)y x (x xyy xy =-=+-=-+-= 解法2：经分析知，0y ,0x <<。
设：m x y y x =+，两边平方得：4252442)5(2xyxy 2)y x (2xy y x 2x y y x m 22222=+⨯--=+-+=++=++= 因为：0x y y x m >+=， 所以25m =三. 忽视使用公式：|a |a 2=例3. 已知：321a +=，求：a a 1a 2a 1a a a 21222-+---+-的值。
错解：原式)1a (a 1a 1a )a 1(2-----= 132a 11a --=--= 剖析：因为132321a <-=+=， 所以01a <-。
因此上述变形)1a (a 1a a a 1a 2a 22--=-+-是错误的。
考点03 二次根式-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)
考点03 二次根式数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；考向一、二次根式的相关概念；考向二、二次根式的性质与化简考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用考向一：二次根式的相关概念1.平方根与二次根式【易错警示】1．下列式子一定是二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；故选：C．2．12的平方根为 ± ．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（ ）A．5B．﹣5C．D．【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【解答】解：∵＝5，∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，则a +b 的值是（ ）A ．B ．+1C ．﹣1D ．1﹣【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，∴（a +）2+|b ﹣1|＝0，∴a +＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝﹣，b ＝1，∴a +b ＝+1．故选：B ．5．已知n 是一个正整数，且是整数，那么n 的最小值是（ ）A ．6B ．36C ．3D ．2【分析】先把＝2，从而判断出6n 是完全平方数，所以得出答案正整数n 的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n 是完全平方数，∴正整数n 的最小值是6，故选：A ．2..同类二次根式与最简二次根式【易错警示】、都是二次根式。
二次根式问题易错点分析
分析: 条件中 没有给 出 a 、 b 的大 小关 系, 解题 时应该分 a > b 和 a < b 两种情况 讨论 . 1 2 2 | a- b | a - 2 ab + b = . a- b a- b a- b ( 1) 当 a > b 时 , 原式= = 1; a- b 正解 : ( 2) 当 a < b 时, 原式 = 综上 , 原式 = - ( a - b) a - b = - 1.
3 a + b 是同. 由题 意知 a - 1< 0, 所以 , a - 1= 正解 : ( a - 1) = - ( 1- a ) = = = ( 1- a ) 2
根式 , 则 a 、 b 的值为 ( ( A) a = 0, b = 2 ( D) a = 2, b = 0 错解 : 由题意, 得 解得 a = 1,
8 ab
是同类根式 ?
错解 : 由题意, 得 2 2 k - 3 k + 2= 2 k - 7 k + 5, 2k - k - 2= 3 k - 5 k + 1. 整理得 k - 4 k + 3= 0. 解方程, 得 k 1 = 3, k 2 = 1. 分析: 当 k = 1 时 , 2 k - 7 k + 5= 0, k 3 k + 2= 0, 此时两个根式的根指数为 0, 它们 没有意义 . 正解 : 由错解知 , 当 k = 3 时, 它们是同 类根式. 6. 未按/ 顺序0 计算 例6 计算 ( 2+ 1) A 1 @ ( 3- 1) . 3- 1
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中学教与学
二次根式问题易错点分析
秦
现就学生在解二次根式问题时经常出现 的错误类型归纳分析如下 , 供大家参考 . 1. 概念不清 例1 若
人教版八年级数学下册第16章二次根式重难点详解
点拨:观察发现已知条件 x, y中的 5 与2
5 2 是一对相反数,而所求式子是这
两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式
简化求值.
栏目名：错题集
解二次根式常见错误分类解析
一、审题不清导致错误 例 1 16 的平方根是______ .
错解： 16 的平方根是 4.
诊断：错把 16 的平方根当成 16 的平方根。
。
栏目名：期末练兵
综合练习题
一、选择题（每小题 3 分,共 30 分）
1．下列各式正确的是（
）
A． 4 2; B. (6)2 6; C. 7 5 7 5; .
D. 52 5
2.下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． 27
B． 5
C． 12
3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（
剖析：二次根式 a 中 a 的取值范围为 a 0 ，从而 a 0 。
解：∵ x3 2x2 0; ∴ x x 2 0
而 x 2 0,x 0 即 x 0. 又 x 2 0, x 2
∴ x 的取值范围是 2 x 0 。
例 2 数 a、 b 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所
正解： 5 2 3 5 2 3 15 2 3
3
3
十、乱用运算律导致错误
例 11 计算 6 3 2 .
错解：原式＝ 6 ÷ 3 ＋ 6 ÷ 2 ＝ 2 3 。
诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。
正解： 6 3 2 =
6
6 3 2
诊断:当一个式子与一个多项式相乘时,多项式应注意添括号.
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
第05讲 实数与二次根式(易错点梳理+微练习)(解析版)
第05讲实数与二次根式易错点梳理易错点梳理易错点01混淆平方根与算术平方根对于正数a 来说，a ±表示a 的平方根，a 表示a 的算术平方根。
易错点02混淆平方根与立方根的性质正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根，实数a 的立方根只有一个，无论a 是正数、负数还是0。
易错点03二次根式概念理解错误对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号即为二次根式，忽视了二次根式a 中0≥a 的条件，所以在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数。
易错点04二次根式运算顺序出错由于乘除是同一级运算，因此按顺序哪个在前，要先算哪个运算。
易错点05错用二次根式的性质二次根式的性质有)0,0(≥≥∙=b a b a ab ；)0,0(>≥=b a ba ba ，切记不存在b a b a ±=±。
易错点06解题时忽视限制条件应用二次根式的运算性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab ，)0,0(>≥=b a ba ba 时，必须要满足括号里的条件。
考向01平方根例题1：（2021·四川凉山·）A ．9B ．9和﹣9C ．3D ．3和﹣3【答案】D【思路分析】先化简，再根据平方根的地红衣求解．3±，故选D ．【点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根，记作x =±．例题2：（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．4=±B ．()2234636m n m n =C ．24833a a a ⋅=D ．33xy x y-=【答案】A【思路分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【解析】A 、4=±，正确，故该选项符合题意；B 、()2234639m n m n =,错误，故该选项不合题意；C 、24633a a a ⋅=，错误，故该选项不合题意；D 、3xy 与3x 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．考向02立方根例题3：（2021·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2(3=-B=C1=D ．1)3+=【答案】B【思路分析】根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项．【解析】解：A 、(23=，错误，故不符合题意；B =，正确，故符合题意；C 1=-，例题4：（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【思路分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【解析】A.42=16 4(2)=16-，∴16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232= ，5(2)32-=-，∴32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y =则155153232,28,x y ====1515,x y ∴>且1,1,x y >>,x y ∴>∴当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．考向03实数例题5：（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（）A ．-2BC ．12D ．0【答案】B【思路分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．【解析】解： 正数大于0，负数小于0，正数大于负数，∴1022>>>-，故选：B ．【点拨】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．例题6：（2021·贵州毕节·中考真题）下列各数中，为无理数的是（）A ．πB ．227C ．0D ．2-【答案】A【思路分析】根据无理数的定义逐项判断即可．【解析】A 、π是无理数，符合题意；B 、223.1428577= 小数点后的142857是无限循环的，则227是有理考向04二次根式的概念与性质例题7：（2021·湖北襄阳·中考真题）x 的取值范围是（）A ．3x ≥-B ．3x ≥C ．3x ≤-D ．3x >-【答案】A【思路分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．在实数范围内有意义，∴x +3≥0，即：3x ≥-，故选A ．【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．例题8：（2021·浙江杭州·中考真题）下列计算正确的是（）A2=B 2=-C 2±D 2=±【答案】A【思路分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．2==，故A 正确，C 2=，故B 、D 错误；故选：A ．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．考向05二次根式的乘除例题9：（2021·湖南株洲·中考真题）计算：4-=（）A ．-B ．－2C ．D ．【答案】A化简，然后根据乘法法则运算即可．【解析】解：()44--⨯-A ．【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．例题10：（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 【答案】D【思路分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方最简二次根式，故本选项不符合题意；C |a ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．故选：D ．【点拨】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．考向06二次根式的加减例题11：（2021·广西梧州·中考真题）下列计算正确的是（）A=B =C ．2=D ．2＝2【答案】D【思路分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案；=A B=选项C 错误；）2＝2，选项D 正确；故选：D【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键例题12：（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）ABC D 【答案】D【思路分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．【解析】A =B =与类二次根式，故此选项错误；C 故此选项错误；D ==，D ．【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．微练习一、单选题【答案】B<<∴56<，∴30的算术平方根介于5与6之间．故选：B ．2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）下列计算：①222+=a a a ，②(1)x y x xy +=+，③46，④236() mn mn =，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】解：①23a a a +=，故①错误；②(1)x y x xy +=+，故②正确；③446+，故③正确；④2336() mn m n =，故④错误；故正确的有②，③，共2个，故选：B ．3．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模））A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】B∴56，5和6之间；故选B ．4．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）下列四个实数中，最小的数是（）A ．5-B ．14C ．0D 【答案】A【分析】解：∵-5＜0＜14，A ．227B C ．3.1415926D 【答案】B【分析】解：A .227是分数，属于有理数；B 是无理数；C .3.1415926是有限小数，属于有理数；D 3=是整数，属于有理数；故选：B ．6．（2021·重庆·西南大学附中模拟预测）在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是（）A ．1x >-B ．1x ≥-C ．1x ≥-且2x ≠D ．1x >-且2x ≠【答案】C【分析】解：根据题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥−1且x ≠2．故选：C ．7．（2021·山东兰陵·一模）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简a 的结果是（）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b【答案】A【分析】解：由数轴可知，a ＜0＜b ，∴a -b ＜0∴2a a b a b a =-+-=-；故选：A8．（2021·江苏建邺·二模）2b =-，则b 满足的条件是（）A ．2b ＞B ．2b ＜C ．2b ≥D ．2b ≤【答案】D2b =-∴20b -≥∴2b ≤故选：D ．9．（2021·内蒙古包头·三模）下列说法中，真命题有（）有意义，则1x >；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则c 的值为8；1≥x ，故错误；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒，故正确；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则22-12+c =0，解得c =8，故正确；④在反比例函数2k y x-=中，若0x >时，y 随x 的增大而增大，则k -2＜0，则k 的取值范围是2k <，故错误；故选：B ．10．（2021·重庆·字水中学三模））A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间．【答案】C【分析】解:===== 78∴<介于7和8之间，故选：C ．11．（2021·广西·南宁十四中三模）下列属于最简二次根式的是（）AB C D 【答案】B【分析】A.3=开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.是最简二次根式，故此选项符合题意；3=含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.10=被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选B 12．（2021·甘肃庆阳·二模））A B ．3C ．D ．【答案】D【分析】解：S =D13．（2021·福建·厦门市第九中学二模））AB C ．3D合题意；C.3 D.=故选D．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）下列运算正确的是（）B．AC．x5•x6＝11x D．（x2）5＝7x【答案】C【分析】解：A不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；B、12a，故B选项错误；C、x5•x6＝11x，故C选项正确；D、（x2）5＝10x，故D选项错误，故选：C．15．（2021·福建南平·二模）下列运算正确的是（）A=B=C2=D=【答案】A【分析】解：A=B：选项错误，不符合题意；C：选项错误，不符合题意；D：选项错误，不符合题意；故答案选A．二、填空题16．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）______．【答案】1或2．【分析】解：∵23=∴23<<，1，2，故答案为：1或2．17．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）______________．【答案】2【分析】解：原式=2，故答案为：2．|＝__．18．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）30+|﹣119．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）112-⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．【答案】2-【分析】解：原式2=2=．故答案为2-．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）=_______．【答案】32【分析】解：原式=32=．故答案为：32．21．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）=______．【答案】22=，故答案为：2．22．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）已知1y ==_______．【答案】2【分析】 1y =，2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得2x =，1y =∴，∴2=．故答案为：2．23．（2021·山东省诸城市树一中学三模）已知1a =，1b -，则33a b ab -=__________．【答案】【分析】解：33a b ab -()22ab a b =-()()ab a b a b =+-，∵1a +，1b =，∴)11211ab ==-=，11a b +-=112a b -=+-=，24．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）21|3|()2--+-．【答案】4【分析】解：原式＝3﹣3+4＝4．25．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）计算：201332-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭【答案】【分析】解：原式=143+-+=26．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）计算：11()(53--．【答案】2-【分析】解：11()(53--35=-+2=．27．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）1124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭21124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭42=+2=．。
二次根式化简及运算的三个易错点剖析
数学篇学思导引二次根式的化简和运算是同学们学习二次根式时的一个主要内容.由于二次根式的定义、性质以及运算中包含的隐含条件、附加条件比较多，因此，同学们在化简和运算的过程中稍不注意，就会出现各种错误.对此，本文列举了几种常见错误类型，以帮助同学们提高解题的正确率.一、忽略二次根式定义中的两个非负性条件二次根式也就是形如a(a≥0)的代数式.我们在理解二次根式的定义时，要注意两个很容易被忽略的前提条件：一是二次根式当中的被开方数一定要是一个非负数，即a≥0；二是二次根式本身就是一个非负数，即a≥0(a≥0).这两个前提条件看起来并不起眼，但若在做题的时候忽视了这两个前提条件，就可能会出错.例1将式子3-m2n+5mn3-4m2n2化简.错解：原式=3m-n+5n mn-4mn.错解剖析：该错解显然没有注意挖掘二次根式成立的隐含条件，忽略了二次根式特有的双重非负性，即开根号必须注意a≥0、a≥0这两个前提条件.正解：因为-m2n≥0，m2≥0，所以n<0.又因为mn3≥0，n<0，所以m≤0.所以原式=-3m-n-5n mn-4mn.例2化简(a-的结果是______.错解：原式==-(a-2)=2-a.错解剖析：这道题难度不高，但却很容易出错，错解错在没有考虑到a-2是负值的可能性，直接就按照a-2>0来进行计算，这说明了对二次根式的定义掌握不牢固.由二次根式要满足a≥0(a≥0)的条件，能得出-1a-2>0，a-2<0，a<2这几个结论.由于a-2<0，所以a-2无法直接移到根号里.正解：原式=-(2-a==-2-a.二、忽略二次根式乘除公式中字母的取值范围二次根式的乘除公式指的是积和商的算术平方根，用公式表示就是ab=a⋅b(a≥0,b≥0)和=a a>0,b≥0).很显然，运用二次根式的乘除公式必须满足括号里的限制条件，否则二次根式就是无意义的.但很多同学在运用二次根式的乘除公式解题时经常会忽略这两个字母的取值范围，从而导致解题出错.例3根据已知条件a<2，b<3，化简.=a-2)=.二次根式化简及运算的三个易错点剖析江苏省盐城亭湖初级中学茆正权28数学篇学思导引错解剖析：解题过程看似正确，但其实忽略了二次根式的商的算术平方根中字母的取值情况，由于题目已经明确告知了a 和b 的取值范围，在运用二次根式的除法公式化简时还应明确代数式的取值范围.正解：因为a <2，b <3，所以a -2<0，b -3<0.所以原式=.例4已知m 为实数，化简-m 3.错解：-m 3=m 2⋅(-m )=m 2⋅-m =|m |⋅-m =m -m .错解剖析：解题过程没考虑m 的取值范围，盲目套用算术平方根公式.这种错误非常常见，同学们在记忆公式的时候显然只注意了前半部分，忽视了括号中的内容，这样算出来的答案显然是错误的.正解：因为m 为实数，因此-m 3≥0，m 3≤0，所以m ≤0.所以-m 3=m 2⋅-m =-m -m .三、错用二次根式的运算法则二次根式的运算法则跟整式和分式的运算法则是一致的，必须遵循同级运算的规则，即从左往右依次计算.乘法对加法存在分配律，但除法对加法没有分配律，所以同学们在进行二次根式运算，特别是进行混合运算时，应严格按照从左到右的顺序计算，且不能盲目套用运算法则.例5化简32÷(26+13)的结果是（）.A.62-23B.63-33C.63-3636错解：原式=1=+32⋅3=33+36.故选D 项.错解剖析：本题之所以会误选D 项，是因为错误地运用分配律进行计算.实际上，乘法分配律为a (b +c )=ab +ac ，但对于除法却没有对应的分配律，即不能按a ÷(b +c )=a ÷b +a ÷c 计算.正解：原式=32=32==63-36因此本题的正确答案是C 项.例6请计算ab ⋅1ab.错解：原式=1=.错解剖析：乘法和除法属于同级运算，需要按照一般运算顺序从左往右进行运算.而错解错在先算后面的乘法，再算前面的除法，虽然算起来很简单，但结果就错了.乘除混合运算是没有结合律的，正确的算法是先算前面的除法，再算后面的乘法.正解：原式=1ab ⋅1ab ==.所以正确答案应该是二次根式的化简和运算问题看似简单，却常常暗藏陷阱，是出错率较高的一类问题.同学们在做题的时候，必须认真审题，挖掘题目当中的隐含条件，以及可能出现的陷阱.同时，对于二次根式的基本知识，尤其是二次根取值范围.29。
八年级数学下册 12.3 二次根式的加减 二次根式常见错误剖析素材 (新版)苏科版
二次根式常见错误剖析本文通过对一些二次根式运算中典型错误的剖析，揭示错误之所在,诊断产生错误的原因，从中探寻正确的解法，以避免类似错误发生，现举例剖析，供读者参考.一. 应用性质()a a =2时,忽视a ≥0这一条件 例1 化简:()().222x x - 错解:原式=2-x.错解剖析:导致错解的原因是忽视了算术平方根的非负性,避免出错的方法是先写出化简后的带绝对值的代数式,再判断绝对值中的代数式的符号然后去绝对值.正解:原式=().2222-=-=-x x x二. 对二次根式变形时,将负号误带入根号内,造成错解例2 将xy 3-根号外的因式移到根号内.错解:原式=().932xy xy =- 错解剖析: xy 3-中的根式符号“-”号不能移到根号里面，因为xy 3-是非正数，而xy 9则是非负数.正解:原式=.932xy xy -=⋅-三.错误理解最简二次根式例3 下列根式中,不是最简二次根式的是( )A. 12+aB. 12+xC.42b D.y 1.0 错解: A 或C.错解剖析:由于最简二次根式应满足两个条件:一是被开方数中不能含有开的尽方的因数或因式,二是被开方数中不能含有字母，因而A 、 B 、C 都应是最简二次根式.事实上, 12+a 中比再含有开得尽方的因式了,42b 尽管式子含有分母,但被开方数是2b,因而它仍是最简二次根式.而y 1.0=,101y 被开放数中含有分母,故它不是最简二次根式.对于这类题,不可仅从表面形式上作出结论,应深究其所具有的本质特征才行.正解: D四.错用分配律2 对乘法分配律a(b+c)=ab+ac 的变形应用(a+b)÷d=(a+b)d b d a d +=⋅1的错误理解. 例4 计算:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷513115. 错解:原式=31153115÷+÷=.3553515315+=⨯+⨯错解剖析:错解的原因是把和对除数的分配即(a+b)÷d=(a+b)d b d a d +=⋅1,误解为除数对和的分配.正解: 原式=().23515351515155315-=+⨯=+÷ 五.不熟悉二次根式的运算法则例5 下列计算正确的是( ) A.228=- B. ()()15252=+- C. 14931227=-=- D. 23226=- 错解: C 或D.错解剖析:产生上述错误的原因在于对二次根式的运算法则不熟悉. A 中222228=-=-;B 中()()()152525222-=-=+-; C 中;333323331227=-=- D 中.1232226226-=-=- 正解: A通过以上几例可以看出,为避免二次根式问题出现错误,应把握准几个相关的概念:二次根式,最简二次根式以及同类二次根式等，从定义本身全面分析,获得结果,同时要能熟练地运用分母有理化的方法进行化简计算,正确处理2a ,掌握b a ab ⋅=,a b a b =和a=2a 的限制条件,以保证在化简过程中不出差错.。
二次根式易错点总结
二次根式易错点总结
二次根式是数学中的一个重要概念，但在学习过程中，学生常常会遇到一些易错点。
以下是对二次根式易错点的总结：
1. 对定义理解不准确：二次根式的定义为非负实数的平方根。
学生需要明确，只有非负实数才有实数平方根，且负数没有实数平方根。
2. 运算顺序混淆：在进行二次根式的加减运算时，学生需要遵循先乘除后加减的原则。
然而，在二次根式的乘除法中，学生需要先进行乘除法再进行加减法。
3. 对性质理解不准确：在进行二次根式的化简时，学生需要掌握并准确应用二次根式的性质。
例如，当对一个二次根式进行化简时，应先将各个项的系数提取出来，然后再进行化简。
4. 对运算律掌握不熟练：在进行二次根式的运算时，学生需要熟练掌握运算律。
例如，在进行二次根式的乘除法时，学生需要掌握乘法分配律、乘法结合律等运算律。
5. 对运算顺序掌握不准确：在进行二次根式的混合运算时，学生需要明确运算的顺序，即先进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
此外，当有括号时，应先进行括号内的运算。
6. 对负数平方根的理解存在误区：虽然负数没有实数平方根，但在某些情况下，我们可以通过引入复数来定义负数的平方根。
然而，学生需要明确，在实数范围内，负数没有平方根。
综上所述，为了更好地掌握二次根式，学生需要准确理解其定义、性质、运算律和运算顺序，并注意一些常见的易错点。
(易错题精选)初中数学二次根式知识点总复习含答案解析(1)
（易错题精选）初中数学二次根式知识点总复习含答案解析(1)一、选择题1．化简2-2（）的结果是A．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】B【解析】2(2)22-=-=故选:B2．下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】【详解】解：选项A，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A符合题意；选项B，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B不符合题意；选项C，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C不符合题意；选项D，被开方数含分母， D不符合题意，故选A．3．1x-x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≥1C．x≤﹣1 D．x＜﹣1【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可．【详解】解：由题意得，x﹣1≥0，解得，x≥1，故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟悉掌握是关键.4．31xx+-在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )A ．1x ≠B ．3x ＞-且1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≥-且1x ≠【答案】D【解析】【分析】 根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得；x+3≥0，x-1≠0，解不等式就可以求解．【详解】在有意义， ∴x+3≥0，x-1≠0，解得：x≥-3且x≠1，故选D ．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为0；②二次根式的被开方数是非负数．5．m 的值不可以是（ ）A ．18m =B ．4m =C ．32m =D ．627m = 【答案】B【解析】【分析】【详解】A. 18m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；B. 4m = ，此选项符合题意C. 32m =，是同类二次根式，故此选项不符合题意；D. 627m =3，是同类二次根式，故此选项不符合题意 故选：B【点睛】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的定义，掌握二次根式的化简法则是本题的解题关键.6．= ）A ．0x ≥B ．6x ≥C ．06x ≤≤D ．x 为一切实数 【答案】B【解析】 ∵()x ?x 6x x 6-=-,∴x ≥0,x-6≥0,∴x 6≥.故选B.7．下列运算正确的是（ ）A ．1233x x -=B ．()326a aa ⋅-=- C ．(51)(51)4-+=D ．()422a a -=【答案】C【解析】【分析】 根据合并同类项，单项式相乘，平方差公式和幂的乘方法进行判断.【详解】解：A 、1233x x x -=，故本选项错误； B 、()325a a a ⋅-=-，故本选项错误； C 、(51)(51)514-+=-=，故本选项正确；D 、()422a a -=-，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查的是实数的计算，熟练掌握合并同类项，单项式相乘，平方差公式和幂的乘方法是解题的关键.8．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b【答案】C【解析】试题分析：利用数轴得出a+b 的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可： ∵由数轴可知，b ＞0＞a ，且 |a|＞|b|，()a b a a b b +=-++=.故选C ．考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．9．当3x =-时，二次根m 等于（ ）AB C D 【答案】B【解析】解：把x =﹣3代入二次根式得，原式=，依题意得：=．故选B ．10．已知3y =，则2xy 的值为（ ）A ．15-B ．15C ．152-D ．152 【答案】A【解析】试题解析：由3y =，得250{520x x -≥-≥， 解得 2.5{3x y ==-．2xy =2×2.5×（-3）=-15，故选A ．11．若x +y ＝，x ﹣y ＝3﹣的值为（ ）A ．B ．1C ．6D ．3﹣【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】解：∵x+y ＝，x ﹣y ＝3﹣，==1．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行解题．12．下列计算正确的是()A6=B=C．2=D5=-【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．【详解】A====C.=，此选项计算错误；5=，此选项计算错误；故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．13．下列各式中，是最简二次根式的是( )A B C D【答案】B【解析】【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.【详解】（1）A被开方数含分母，错误.(2)B满足条件，正确.(3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.(4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误.所以答案选B.【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.14．婴儿游泳是供婴儿进行室内或室外游泳的场所，婴儿游泳池的样式多种多样，现已知一长方体婴儿游泳池的体积为300立方米、高为38米，则该长方体婴儿游泳池的底面积为（）A．403平方米B．402平方米C．203平方米D．202平方米【答案】D【解析】【分析】根据底面积＝体积÷高列出算式，再利用二次根式的除法法则计算可得．【详解】解：根据题意，该长方体婴儿游泳池的底面积为300÷38＝33008÷＝800＝202（平方米）故选：D．【点睛】考核知识点：二次根式除法．理解题意，掌握二次根式除法法则是关键．15．如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．6C．236223+--D．23225+-【答案】D【解析】【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案.【详解】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示：22则阴影面积((=23+=5故选：D【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．16．下列二次根式是最简二次根式的是（）A B C D【答案】D【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A、被开方数含分母，故A不符合题意；B、被开方数含开的尽的因数，故B不符合题意；C、被开方数是小数，故C不符合题意；D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．17．若a b>）A．-B．-C．D．【答案】D【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可；【详解】∴-a3b≥0∵a＞b，∴a ＞0，b ＜0=，故选：D ．【点睛】此题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．18．如果m 2+m =0，那么代数式（221m m ++1）31m m +÷的值是（ ）AB ．C + 1D + 2 【答案】A【解析】【分析】先进行分式化简，再把m 2+m =. 【详解】 解：（221m m ++1）31m m+÷ 223211m m m m m+++=÷ 232(1)1m m m m +=⋅+ ＝m 2+m ，∵m 2+m =0，∴m 2+m =∴原式=故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．19．有意义的x 的取值范围（ ） A ．x ＞2B ．x≥2C ．x ＞3D ．x≥2且x≠3 【答案】D【解析】试题分析：分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数． 根据题意，得20{30x x -≥-≠解得，x≥2且x≠3．考点：（1）、二次根式有意义的条件；（2）、分式有意义的条件20．下列计算或运算中，正确的是（）A．=B=C．=D．-=【答案】B【解析】【分析】根据二次根性质和运算法则逐一判断即可得．【详解】A、=BC、=D、-=，此选项错误；故选B．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的性质．。
二次根式问题易错点分析
二次根式问题易错点分析二次根式是初中数学的重要内容之一，学生在学习时经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的错误分析如下，供大家参考。
一、概念不清例1 若a ,则a 、b 的值为（ ） A. a ＝0,b ＝2 B. a ＝1,b ＝1C. a ＝0,b ＝2 或a ＝1,b ＝1D. a ＝2,b ＝0 错解 由题意,得2,43.a b b a b +=⎧⎨=+⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩选B.辨析 未掌握同类二次根式的概念,因为a 2a ,所以3b a b =+,而不是43b a b =+.另外,通过验证知1,1.a b =⎧⎨=⎩也是错误的.正解 因为a 2a 由题意,得2,3.a b b a b +=⎧⎨=+⎩解得0,2.a b =⎧⎨=⎩选A.a =（a ≥0）未注意条件例2 化简(1a -错解 (1a -辨析 a =时,未注意它成立的条件0a ≥.由题意知101a ->-,即10a -<,所以1a -因此以上解答是错误的.正解(1a -＝－(1a -＝－＝－三、运算未注意隐含条件例3 已知 a ＋ b ＝－2,a b ＝12,.2.辨析由条件a＋b＝－2,a b＝12可知a＜0,b＜0,.正解＋＝＋＝＋＝－a－b＝－)a bab+＝.四、分类讨论思想薄弱例4 化简1a b-a≠b）。
错解1a b-a ba b--＝1.分析条件中没有给出a、b的大小关系，解题时应分a＞b和a＜b两种情况讨论。
正解1a b-a ba b--。
（1）当a＞b时，原式＝a ba b--＝1；（2）当a＜b时，原式＝()a ba b---＝－1.所以原式＝()()1,1.a ba b>⎧⎪⎨-<⎪⎩五、忽视表达式的意义例5 k为何值时，23k k-与227k k-错解由题意，得222232275,2235 2.k k k kk k k k⎧-+=-+⎪⎨--=-+⎪⎩所以2430k k-+=。
二次根式易错点分析
二次根式是中学数学的重要内容之一，也是中考的重要考点。
所出题型以易和中等难度为主，是得分的主要题型。
但也容易在概念、取值范围和计算中出错。
现在将结合题型说明。
易错点一：对公式的应用条件不清楚或忽略了应用公式所需要的条件 （一）应用性质时,忽视a ≥0这一条件例1、化简:错解:原式=2-x.正解： （二）如果ab b a =⋅成立，那么b a ab ⋅=也成立例2、（1）若x x -⋅-53＝()()x x -⋅-53，则x 的取值范围是（2）若()()x x -⋅-53有意义，则x 的取值范围是易错点二：错误理解最简二次根式例3、下列根式中,不是最简二次根式的是( )A.B.C.D. 例4、已知最简二次根式与是同类二次根式，求a 、b 的值。
错解：由条件，得解得易错点三：错用或乱用运算律进行计算例5、计算:（1） （2）231)23(2-⨯-÷（3）÷（4）÷(-)易错点四（选讲）：对二次根式变形时,将负号误带入根号内,造成错解 例6、将根号外的因式移到根号内错解:原式=正解：例7、化简11)1(---a a 错解：)11()1(11)1(2--∙-=---a a a a =a a -=--1)1(()a a =2()().222x x -12+a 12+x 42by 1.0b a b a --+328⎩⎨⎧=-=-+.83,22b a b a ⎩⎨⎧==.1,3b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+÷513115x 1252x 236+3121xy 3-().932xy xy =-二次根式复习（二）——二次根式的综合运算一、填空题：1．化简：12＝______；22)62()75(-⨯-＝_________． 2．当a ______时，a aa 22-=-．3．等式b a b a -=2成立的条件是______． 4．当0<x ，化简224y x x +＝_______．5．x 的分母有理化因式是 ；23-的分母有理化因式是 ； 223-的分母有理化因式是 。
二次根式运算学生存在的问题及整改措施
题目：二次根式运算学生存在的问题及整改措施一、问题分析1. 学生对二次根式的概念理解不清学生在学习二次根式时，往往不能准确地理解二次根式的含义，无法正确区分二次根式和一次根式，容易混淆概念。
2. 二次根式运算符号使用不规范学生在进行二次根式运算时，经常存在运算符号使用不规范的情况，如混淆开平方和开立方的符号，导致计算结果错误。
3. 求二次根式的意义认识不深学生在求解二次根式时，缺乏对二次根式的意义的深刻认识，只是简单地套用公式进行计算，缺乏对数学内涵的理解。
二、整改措施1. 建立严谨的二次根式概念教师需要通过具体的例子和实际问题引导学生理解二次根式的含义，帮助学生建立严谨的概念框架，确保学生对二次根式的理解准确。
2. 规范运算符号的使用在教学中，教师应该重点强调二次根式运算符号的规范使用，让学生明确开平方、开立方的符号，在实际计算中不发生错误。
3. 引导学生深入理解二次根式教师可以设计一些富有趣味性的问题，引导学生深入理解二次根式的意义，培养学生的数学思维和推理能力，使学生在计算二次根式时能够灵活应用所学知识。
4. 在课外拓展相关知识教师可以引导学生利用课外时间，通过阅读相关资料、参与数学竞赛等方式，拓展和深化对二次根式的理解，提高学生的数学综合素质。
5. 优化考核方式在学生的考核方式上，可以适当增加二次根式的应用题目，以及开放性题目，鼓励学生通过解决实际问题来加深对二次根式的理解和运用能力。
三、结语通过以上整改措施的实施，相信学生在学习二次根式时能够更加系统地掌握相关内容，提高数学学习成绩，更好地理解和运用二次根式知识。
也提高了学生的数学思维能力和创新能力，为学生未来的学业打下坚实的数学基础。
4. 建立动手实践的学习机会除了教室上的理论教学之外，为了帮助学生更好地理解和掌握二次根式，我们还可以提供一些动手实践的学习机会。
可以设计一些与实际生活相关的问题，要求学生通过测量、计算等方法，应用二次根式进行解答。
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析)
初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式（1）)0()(2≥=a a a （2）a a =2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab（4）除法公式)0,0( b a ba b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
常考题：一．选择题（共14小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣且x ≠1B ．x ≠1C ．D ．3．下列计算错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．估计的运算结果应在（ ）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间5．如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．化简的结果是（）A．B．C．D．9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定11．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．12．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．313．若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5二．填空题（共13小题）15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．16．计算：的结果是．17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= ．20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．21．计算：﹣﹣= ．22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．23．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号）25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．26．计算：= ．27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．三．解答题（共13小题）28．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．30．先化简，再求值：，其中．31．先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．32．先化简，再求值：，其中．33．已知a=，求的值．34．对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？35．一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．37．已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．38．计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C． D．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．D．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（2007•荆州）下列计算错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．【解答】解：A、==7，正确；B、==2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、，故错误．故选D．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．【解答】解：∵=（x+y）2有意义，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x=1，y=﹣1，∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．【解答】解：∵==2，∴当n=6时，=6，∴原式=2=12，∴n的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．8．（2013•佛山）化简的结果是（）A．B．C．D．【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可．【解答】解：原式===2+．故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9．（2013•台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．【解答】解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n．故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．10．（2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则，=a﹣4+11﹣a，=7．故选A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．11．（2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．12．（2009•绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴点（a，b）在第三象限．故选C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．14．（2013•上城区一模）已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，原式====3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．二．填空题（共13小题）15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式的化简规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．16．（2013•南京）计算：的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．17．（2013•泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ﹣6 ．【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【解答】解：（﹣）﹣﹣|﹣3|=﹣3﹣2﹣（3﹣），=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= 5 ．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．19．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= 6 ．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：∵x@y=，∴（2@6）@8=@8=4@8==6，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．20．（2014•荆州）化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解：原式=2×﹣4××1=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．21．（2014•广元）计算：﹣﹣= ﹣2 ．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解：==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5cm．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2（cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．23．（2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a= 1 ．【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．24．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2 ．（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．【解答】解：矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简=1 ．【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，∴=p﹣1+2﹣p=1．【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．26．（2009•泸州）计算：= 2 ．【分析】运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．【解答】解：原式=2﹣+=2．【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．三．解答题（共13小题）28．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．【点评】学会分母有理化的两种方法．29．（2014•张家界）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．30．（2009•广州）先化简，再求值：，其中．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，当a=时，原式=6+3﹣3=6．【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．31．（2005•沈阳）先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式===；当x=1+，y=1﹣时，原式=．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．32．（2010•莱芜）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．【解答】解：原式====﹣（x+4），当时，原式===．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．33．（2008•余姚市校级自主招生）已知a=，求的值．【分析】先化简，再代入求值即可．【解答】解：∵a=，∴a=2﹣＜1，∴原式=﹣=a﹣1﹣=a﹣1+=2﹣﹣1+2+=4﹣1=3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．34．（2002•辽宁）对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，故错误的是乙．【解答】解：甲的解答：a=时，﹣a=5﹣=4＞0，所以=﹣a，正确；乙的解答：因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，错误；因此，我们可以判断乙的解答是错误的．【点评】应熟练掌握二次根式的性质：=﹣a（a≤0）．35．（2011•上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：（1）周长=++==，（2）当x=20时，周长=，（或当x=时，周长=等）【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．36．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【分析】（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．【解答】解：（1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又s=；（2）=（﹣）=，=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），=（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．37．（2009秋•金口河区期末）已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算．【解答】解：∵，，∴xy=×2=，x﹣y=∴原式=（x﹣y）2+xy=5+=．【点评】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算．38．（2010秋•灌云县校级期末）计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算．【解答】解：（1）原式==6﹣12﹣6=6﹣18；（2）原式=﹣×=﹣3a2b2×=﹣a2b．【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．39．（2013秋•故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【解答】解：根据，可得m=13，n=42，∵6+7=13，6×7=42，∴==．【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．40．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1+ 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．。
二次根式的运算知识易错点剖析
二次根式运算中的易错点示例一、二次根式化简不彻底例 1计算错解:原式=.错解分析:二次根式结果中,被开方数不含有分母,0.2应看成分数15正解:原式 ===点拨：二次根式的结果中若被开方数是分式或分数(包括小数)一定要化简 , 然后再进行同类二次根式的合并.二、二次根式化简不正确例 2 计算:错解:原式=-+=-+0.40.4错解分析≠.0.4正解:原式 ==.例 3错解:原式=4错解分析≠4正解:原式=点拨：化简过程中,还容易出现以下错误11,=+=-23等 .三、合并同类二次根式错误例 4计算错解:原式 =错解分析,其被开方数不相同,故不能合并. 正解:原式=点拨：有时在计算过程中会出现这样的错误1=.四、运算定律误用例 5 计算:3. 错解:原式=3÷1=3.错解分析:3(33≠÷.该错解把乘法的结合律误用到乘除混合运算中. 正解:原式=31=. 五、忽略根式中或已知中隐含条件，导致错误 例6 如果b ＜0，那么二次根式ab化简为（ ） （A ）a ab （B ）-a ab （C ）a ab - （D ）aab--错解：选A.原式=a abaab =2. 错解分析:本题二次根式ab中隐含了ɑ＜0的条件，上述解答忽略了这个隐含条件，误认为ɑ＞0，因而出现错误． 正解：选B ．因为ab有意义，所以a b ≥0．又b ＜0，所以ɑ＜0．原式=a aba ab aab -==2， 所以结果选B ．例7 已知321+=a ,求式子a a a a a a a -+---+-22212112的值． 错解：原式=()()()111122-----a a a a a =()111----a a a a =aa 11--=()321321+--+=321--．错解分析:已知条件中321+=a 隐含了321+=a =32-＜1，因而()a a a a a -=-=-=+-1111222,上述解答认为ɑ-1＞0，因而出现错误．正解：原式=()()111122-----a a a a a =()111----a a a a =ɑa 11+-=()321321++-+=3．例8 把()a a --111中的ɑ-1移到根号内，则()aa --111= ． 错解：原式=()a aa -=--11112． 错解分析:二次根式a-11中隐含了1-ɑ＞0的条件，因而ɑ-1＜0．逆用公式a a =2时，应特别注意，是将根号外的非负因式（数）移入根号内．正解：原式=()aa ---111=()aa ---1112=a --1． 答案：a --1六、忽略对字母的讨论，导致错误 例9 当m ，n 为何值时，n m 2有意义？错解：因为n m 2=n m ，所以要使原式有意义，只要n 有意义．错解分析:尽管化简n m 2=n m ，但是原式中m ，n 取值范围与变形后的式子中m ，n 取值范围是有区别的．上述解答中忽略了对字母m 的取值的讨论，而去求化简后式子中m ，n 的取值范围，因而导致错误．正解：要使n m 2有意义，必须n m 2≥0，当m ≠0时，则2m ＞0，所以n ≥0.当m =0时，则n m 2=0，所以n 可以为任意实数． 例10 化简2122-+aa （ɑ＜1且ɑ≠0）. 错解：原式=21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a =a a 1-．错解分析:本题中虽然给出了字母ɑ＜1且ɑ≠0的条件，但ɑ与a1的大小关系不确定．上述解答忽略了对字母ɑ的讨论，认为aa 1-＞0，因而导致错误．所以解答本题的关键是对字母ɑ进行分类讨论．正解：原式=a a a a 112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-．（1）当0＜ɑ＜1时，a a 1-＜0，原式==-a a 1a a -1； （2）当-1＜ɑ＜0时，aa 1-＞0，原式==-aa 1a a 1-；（3）当ɑ≤-1时，aa 1-≤0，原式==-a a 1a a-1． 综合（1）（2）（3）可知当0＜ɑ＜1或ɑ≤-1时，原式==-a a 1a a-1；当-1＜ɑ＜0时，原式==-aa 1a a 1-．七、运用公式2a =|ɑ|不当，导致错误例11 计算或化简：(1)2)7(-； (2)aa 1-（ɑ＜0）. 错解：；（2）原式==-⋅=-22aaa a a a a a a a -=-⋅. 分析：公式a a =2中，2a 表示ɑ2的算术平方根，因而是一个非负数，运用此公式将根号内的ɑ移到根号外时，一定要加绝对值符号，保证其为非负数，应特别注意．正解：（1）原式=77=-． （2）原式==-⋅=-a a a aa a 2a a a a --=--⋅. 八、忽视有关性质成立的条件例12错解－ 2) ×( － 3) = 6.错解分析:错解错在没有考虑积的算术平方根的性质成立的条件是ɑ≥0, b ≥0.例13.错解错解分析:上述错解中忽视了分式性质,即A B =A MB M⋅⋅成立的条件是M ≠0,而0, 所以本题不能用此方法解,但可借用因式分解法.=九、思考问题不全面例14 若24m -和31m -是同一个数的平方根，求m 的值．错解：因为24m -和31m -是同一个数的平方根，根据一个数的两个平方根互为相反数，所以24310m m -+-=，所以解得1m =．错解分析：错解只考虑了两个不相同平方根的情况，漏掉了24m -可能与31m -相等的情况．当2431m m -=-时，3m =-．正解：因为24m -和31m -是同一个数的平方根，所以24310m m -+-=或2431m m -=-，解得1m =或3m =-．二次根式错解示例一、例1计算=9 ． 错解： =93±．错解分析： 该解答的错误是没有弄清楚符号“”的意义，符号“”表示非负数的算术平方根，而“9”表示9的算术平方根，9的算术平方根应该是3．正解：=93．二、例2化简 312-． 错解：312-=9=3．错解分析： 该解答的错误是把被开方数相减，二次根式的加减不是把被开方数加减，而是先化简，然后再将同类二次根式进行合并． 正解：312-=3332=-． 三、例3 化简：2818-．错解：2818-=12349=-=-．错解分析： 该解答的错误是“4,928218==”,原因是错用了二次根式的除法法则，二次根式的除法法则不是“)0,0(>≥=b a ba ba ”,而是“)0,0(>≥=b a ba ba ”.正解：2818-=22223-=22.四、例4 化简)35(15+÷.错解：)35(15+÷=53315515+=÷+÷.错解分析： 该解答的错误是用15分别去除以5与3，原因是被除数对加法运算没有分配律，即c a b a c b a ÷+÷≠+÷)(，而除数对加法运算律有分配律，即 a c a b a c b ÷+÷=÷+)(．正解：)35(15+÷=25335)35)(35()35(15--+-=．五、例5 把式子mm 1- 根号外的因式移到根号内．错解：mm 1-=m m m-=-⋅)(12． 错解分析：该解答的错误是逆用公式“a a =2”时忽视了“0≥a ”这一条件，而本题中隐含着条件“m <0”；故本题中逆用公式“a a =2”时变形的过程为：m =-(-m )=-2)(m -,其中-m 代表公式“a a =2 ”中的“a ”．正解：mm 1-=m m m m 121)()(-⋅--=---=m m m--=-⋅--)()(12． 六、例6 把式子11+m 分母有理化．错解：11+m =11)1)(1(1---+-=m m m m m ．错解分析：该解答的错误是未考虑式子1-m 的值有可能为0，若式子1-m 的值为0，则相当于原式的分子与分母同时乘以了0，这样原式变形后的式子就无意义了．正解：若1≠m ，则11+m =11)1)(1(1---+-=m m m m m ；若 1=m ，则11+m =21．。
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二次根式易错点剖析
二次根式是中考的有效考点之一，其考点形式灵活，难度不高，是比较容易得分的知识点，倘若你粗心大意，掉以轻心，也会大意失荆州，造成常态学习中不曾出现的错误，影响自己的考绩，为能及时给大家提个醒，写下这篇易错点剖析，供学习时借鉴，以杜绝以下错误走进你的考卷.
易错点1 对二次根式的意义理解不准导致错误
例1（2017x的取值范围是（）A．x≥1 B． x＞1 C. x≤1 D．x＜1
错解：x-1＞0,所以x＞1，所以选B.
正解x-1≥0,所以x≥1，所以选A.
评析：根据二次根式的意义确定字母的取值范围是二次根式的一个重要而基础性的考点，解答时，一定要准确做好如下几点：
1.准确理解二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，准确找到被开方数，准确理解非负数的意义是解题的基础；
2.准确选择不等号建立起不等式是解题的关键；
3.准确且熟练求解不等式是解题的核心所在，解集求错，一定不会有正确的选择.
易错点2 对最简二次根式的意义理解不准导致错误
例2（2017年荆州）下列根式是最简二次根式的是（）
A B C D
错解：选A或选B或选D.
正解：的被开方数是1
3
，是一个分数，含有了分母3，所以A不是最简二次根式；
的被开方数是0.3，是一个小数，实质也是一个分数，与A项实质是相同的，所以也不是最简二次根式，
20，而20=22×5，里面还有能开尽方的因式或因数，所以也是不符合最简二次根式的定义，因此也是不能选择的.所以选C.
评析：最简二次根式的条件非常重要，对条件的意义和应用也可以这样理解：
1.最简二次根式的被开方数一定不能是分数或分式或小数；
2.最简二次根式中的每一个因数或因式中一定不能含有开的尽平方的数或式；
3.判断的前提条件是被开方数中各个因数或因式之间必须只有一种运算连接而成，这就是乘法运算.
易错点3 的意义理解不准导致错误
例3 （2017年枣庄）.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简||a的结果是（）
A.2a b -+ B ．2a b - C.b - D ．b
错解：因为a ＜0，b ＞0，所以||a =|a|+|a-b|=-a+a-b==-b ，所以选择C.
正解：因为a ＜0，b ＞0，所以a-b ＜0,所以||a =|a|+|a-b|=-a-（a-b ）=2a b -+，所以选择A.
评析
|a|,从而把二次根式的化简问题转化为熟悉的绝对值型化简问题. 易错点4 对运算法则理解不准导致错误
例4 （2017年黄冈____________．
错解 .
正解3323333633=-=⨯-.
评析：二次根式的运算是一种基本运算，计算时关键是准确理解和运用计算法则，特别是把根号外部的数迁移到根号底下时，一定要满足两个条件，一是被迁移的数必须是非负数；二是迁移时，必须升级为平方幂后移到根号下.当然也可以分母有理化外移二次根式下的分母，外移时也要满足两个条件，一是外移的对象必须是非负数；二是外移时必须灵活使用绝对值的化简法则.
易错点5 解题方法不对导致错误
例5（2017年天津）估计38的值在 （ ）
A ．4和5之间
B ．5和6之间 C. 6和7之间 D ．7和8之间 错解：选A 或选B 或选D.
正解：因为36＜38＜49，所以6＜38＜7，所以选C.
评析：估算时找准被开方数的范围是解题的关键，确定范围时，一定要取相邻的两个完全平方数，不能取太大或太小的，更不能出错.只要常加练习，这种估算的方法一定能熟练运用. 易错点6 化简结果不彻底导致错误
例6（2017年福州）先化简，再求值：(1-a 1)1
2-∙a a ，其中a=2-1． 错解：(1-
a 1)1
2-∙a a =1a a - (1)(1)a a a +- =11a + ，
当时，原式
正解：(1-
a 1)12-∙a a =1a a
- (1)(1)a a a +- =11a + ，
当时，原式
. 评析：一步之差，却导致结果的天壤之别，从而让你丢掉了不应该失去的分值，多么可惜啊！记住：一定要让结果最简.
易错点7 综合运用能力不强导致错误
例7（2017山东滨州）下列计算：（1）)2=2，（2，（3）(-2
=12，（4）
1=-，其中结果正确的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
错解：因为2 =2 =-2，2(- =-12，
））=2-2=2-3=-1，所以正确的个数为2个，所以B.
正解：因为2 =2 =2=| -2|=2，2(- =12，
））=2-2=2-3=-1，所以正确的个数为4个，所以D.
评析：当遇到二次根式综合题时，一定要沉着冷静，全面准确再现知识，不能似是而非，更不能自己随意杜撰，解答的每一个问题都必须找到正确的数学依据，这样，才能确保解答正确性.
二、易错点专练
1.（2017年济宁）.若1-x 2+x 21-+1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是
A ．x ≥
21 B ．x ≤21 C ．x=21 D ．x ≠2
1 2.（2017年绵阳）使代数式x x 3431-++有意义的整数x 有 （ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
3.（2017年益阳）下列各式化简后的结果为 的是 （ ）
A B C D 4.（2017年重庆A ）估计110+的值应在 （ ）
A.3和4之间
B.4和5之间
C.5和6之间
D.6和7之间
5.（2017年成都）化简求值：2121211x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中1x = ．
参考答案：
1.C
2.B
3. C
4. B
5.解：原式=()21
121
1x x x x -+-÷++ ()21111x x x x -+=
-+ 11
x =+，
当1x =时，原式
3=.。