中考数学一轮复习 圆中成比例的线段

中考数学一轮复习 圆中成比例的线段

知识考点：

1、相交弦定理、切割线定理、割线定理是圆中成比例线段的重要的结论，是解决有关圆中比例线段问题的有力工具。

2、掌握和圆有关的比例线段的综合运用，主要是用于计算线段的长。 精典例题：

【例1】已知如图，AD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的切线，割线BMN 交AD 的延长线于C ，且BM ＝MN ＝NC ，若AB ＝2。求：

（1）BC 的长； （2）⊙O 的半径r 。

分析：由题设图形不难可以看出在本题中可综合运用勾股定理、切割线定理、割线定理来解题。 解：（1）设BM ＝MN ＝NC ＝x ，由切割线定理可得：BM BN AB ⋅=2

即)(22

x x x +=解得：2=

x ，∴BC ＝233=x ；

（2）在Rt △ABC 中，AC ＝1422=-AB BC

由割线定理可得：CM CN AC CD ⋅=⋅

∴7

14

2=⋅=

AC CM CN CD

∴14

145)714214(21)(21=-=-=

CD AC r 【例2】如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AE AD ⋅的值。

分析：由切割线定理有PC PB PA ⋅=2

，可得直径BC 的长，要求AE AD ⋅，由△ACE ∽△ADB 得BA CA AE AD ⋅=⋅，也就是求CA 、BA 的长。 解：连结CE

∵PA 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线 ∴PC PB PA ⋅=2

又PA ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15 ∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAB ＝∠ACP 又∠P 为公共角，△PAB ∽△PCA ∴

2

12010===PC PA AC AB ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝900

•

例1图

O

N

M

D

C

B

A

•P

O D

C

B A

∴2252

22==+BC AB AC ∴AC ＝56，AB ＝53 又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB ∴△ACE ∽△ADB ，∴

AC

AD

AE AB =

∴905356=⨯=⋅=⋅AC AB AE AD

【例3】如图，AB 切⊙O 于A ，D 为⊙O 内一点，且OD ＝2，连结BD 交⊙O 于C ，BC ＝CD ＝3，AB ＝6，求⊙O 的半径。 分析：把“图形”补成切割线定理、相交弦定理图形，问题就解决了。 解：延长BD 交⊙O 于E ，两方延长OD 交⊙O 于F 、G ，设⊙O 的半径为r

∵BA 切⊙O 于A ，∴BE BC AB ⋅=2

∵AB ＝6，BC ＝3，∴BE ＝12，ED ＝6

又DC EG DG FD ⋅=⋅，FD ＝r －OD ，DG ＝r ＋OD ∴36))((⨯=-+OD r OD r ，OD ＝2

∴1822

2=-r ，22=

r

探索与创新：

【问题一】如图，已知AB 切⊙O 于点B ，AB 的垂直平分线CF 交AB 于C ，交⊙O 于D 、E ，设点M 是射线CF 上的任一点，CM ＝a ，连结AM ，若CB ＝3，DE ＝8。探索：

（1）当M 在线段DE （不含端点E ）上时，延长AM 交⊙O 于点N ，连结NE ，若△ACM ∽△NEM ，请问：EN 与AB 的大小关系。

分析：如图1，由△ACM ∽△NEM 可得∠NEM ＝900

，连结BO 并延长交EN 于G ，可证BO 垂直平分EN ，即可证明EN ＝AB ，结论就探索出来了。

解：∵AB 的垂直平分线CF 交AB 于C ，CB ＝3

∴AB ＝6，∠ACM ＝900

又∵△ACM ∽△NEM ，∴∠NEM ＝900

连结BO 并延长交EN 于点G

∵CB 切⊙O 于B ，∴∠GBC ＝900

∴∠GBC ＝∠BCE ＝∠GEC ＝900

∴四边BCEG 是矩形

∴∠EGB ＝900

，G 为NE 的中点 ∴EN ＝2EG ＝＝2CB ＝6＝AB

（2）如图，当M 在射线EF 上时，若a 为小于17的正数，问是否存在这样的a ，使得AM 与⊙O 相切？若存在，求出a 的值；若不存在，试说明理由。

•

例3图

G

F O

E

D

C

B

A

分析：先满足AM 与⊙O 相切，求出相应的a 值，看它是否是小于17的正数即可。 解：当AM 与⊙O 相切于点P 时，有MP ＝AM －AP ＝AM －AB ＝AM －6

∵MC ＝a ，AC ＝3，∠ACM ＝900

∴AM ＝92+a ，又MD ＝MC －CD ＝1-a ME ＝MC －CE ＝9-a ，ME MD MP ⋅=2

∴)9)(1()69(22--=-+a a a

即0180112

=-a a ，解得11

180

=a （0=a 已舍去）

∵1711

1800<<

∴存在这样的正数a ，使得AM 与⊙O 相切。

跟踪训练： 一、选择题：

1、PT 切⊙O 于T ，割线PAB 经过O 点交⊙O 于A 、B ，若PT ＝4，PA ＝2，则cos ∠BPT ＝（ ） A 、

54 B 、21 C 、83 D 、4

3 2、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∶BC ＝1∶2，AB ＝35，PD ＝40，则过点P 的⊙O 的切线长是（ ） A 、60 B 、240 C 、235 D 、50

•第2题图

P

O

D

C

B

A

•

第3题图

Q

P

C

B

A

•

第4题图

T D

O P

C B

A

3、如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，∠PAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，连结CB 并延长与PQ 相交于Q 点，若AQ ＝6，AC ＝5，则弦AB 的长是（ ） A 、3 B 、5 C 、

310 D 、5

24

4、如图，PT 切⊙O 于T ，PBA 是割线，与⊙O 的交点是A 、B ，与直线CT 的交点是D ，已知CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，那么PB ＝（ ）

A 、10

B 、20

C 、5

D 、58 二、填空题：

1、如图，PA 切⊙O 于A ，PB ＝4，PO ＝5，则PA ＝ 。

2、如图，两圆相交于C 、D ，AB 为公切线A 、B 为切点，CD 的延长线交AB 于点M ，若AB ＝12，CD ＝9，则MD ＝ 。

•

问题图2

M

F

O

E

D C

B

A