第四章 静定结构的位移
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结构力学4静定结构的位移计算
4.3 平面杆件结构位移计算的一般公式
4.3.1 单位荷载法与结构位移计算的一般公式
P R1 1
F D 1 D F
c F R 2 c2 D F R c
c2 c1
d d du i1
D F R c M d FQ dh FN du
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0
(a)
虚位移之间的关系为 1 1 1 B 2 2
1 1 4 2 2 2 C B B 2 2 3 3 3
1 1 1 1 3 E 2 B 2 2 3 3 1 2 1 将以上各关系式代入式(a)，得 FB F1 F2 F3 2 3 3 河南理工大学万方科技学院
4.1.3 计算位移的方法
虚功法——依据虚功原理的单位荷载法。
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理 4.2.1 实功与虚功 1．功
｛
W FD cos
W 2 Fr
α
力，Δ表示广义位移） Δ
功是力与位移的矢量点积
a c l
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第四章 静定结构的位移计算
沿所求位移方向虚设单位荷载 F=1的方法称为 单位荷载法，或称为单位力法。 当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单 位荷载法来求解，其计算步骤如下： 1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出
在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
虚功原理
W =U
可写为
位移状态 位移状态
0406互等定理(力学)
P2
2
第 I 状态 由虚功原理
∆21
∆12
第 II 状态
W12
W21
Q1Q2 N 1 N 2 M1 M 2 + + )ds GA EA EI = P2 ∆21 = ∑ ∫ ( k Q2Q1 + N 2 N1 + M 2 M1 )ds GA EA EI
= P1∆12 = ∑ ∫ ( k
P1∆12 = P2 ∆21
δij 称柔度系数。 称柔度系数。 δij ＝δji 表示不仅大小相等，而且量纲相同。 表示不仅大小相等，而且量纲相同。
图示长 l ，EI 为常数的简支梁
A 跨中C
P1 = 1
B
A
C
P2 = 1
B
第 I 状态
θB
2
fC 第 II 状态
δ 21
l =θB = 16 EI
δ 12
l2 = fc = 16 EI
2. 位移互等定理
P1 A B
∆21
P2 A B
状态1 状态2
∆12
P1∆12 = P2 ∆21
令P1=1 ，P2=1 ，则
δ 12 = δ 21
δ 12 = δ 21
位移互等定理：同一结构，在位置1 作用单位力 位移互等定理：同一结构，在位置 引起位置2 处的位移，等于在位置2 引起位置 处的位移，等于在位置 作用单位力 引起位置1 处的位移。 引起位置 处的位移。
第四章 静定结构的位移计算
4.6 线弹性体系的互等定理
Reciprocal theorems
1. 虚功互等定理
第 状态
2
∆12
2
P2
∆22
∆11
建筑材料力学第四章静定结构的位移计算
建筑材料力学第四章静 定结构的位移计算
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
2020/8/1
建筑力学
§4-1 概述
一、静定结构的位移
静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制 造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产 生水平线位移、竖向线位移以及角位移。
1. 截面位移
B
C
B
A
刚架受荷载作用
A
C
桁架受荷载作用
建筑力学
AC
B
C'
温度变化
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
建筑力学
二、各类结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产
生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
(M 单位荷载1作用下的结构内弯矩)
(MP 外荷载作用下的结构内弯矩)
FP1 FP2 12
1、2之位移分别为
、 。然后加 ，则1、2截面产生新的
位移
。
建筑力学
FP1 FP2 12
实功： 虚功：
虚功强调作功的力与位移无关。
建筑力学
§4-2 变形体虚功原理及位移计 算一般公式
一、 变形体虚功原理
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
一、图乘法基本公式
为方便讨论起见，把积分 。
改写成
建筑力学
y
Mk(x) dω=Mkdx
Mk图
A
Bx
x
dx
x0
《结构力学》第四章 静定结构的位移计算 (3)
A M k M P ds
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
B EI
2
R 1
cos
( FP R
sin
)
Rd
0
EI
d
FPR3
2EI
FPk 1
A
B Bx 2 By 2
B kP
B
A M k M P ds B EI
2
(1)
(FPR sin
)
Rd
0
EI
R
O
FP R2 （
）
EI
（1）梁与刚架
三、结构的外力虚功
作用在结构上的外力可能是单个的集中力、力 偶、均布力，也可能是一个复杂的力系，为了 书写方便，通常将外力系的总虚功记为：
W = Fk × km
其中，Fk为作功的力或力系，称为广义力; km为广义力作功的位移，称为广义位移。 下面讨论几种常见广义力的虚功。
1) 集中力的虚功
Pk
k
M
4EIk
GAl 2
kP
若截面为矩形，则：A bh, I bh3 /12,k 6 l 1, 2
h / l 1 , 10
h/l 1 , 15
则：
Q kP
( h)2
Q
M kP
l
kP 25% kMP
对于粗短杆来说，剪 切变形产生的位移不可忽
Q
kP 1%
1
m
ds
第i根杆件静力状态上的力在位移状态的位移上所 作的虚功：
Vi
s FNk
mds
s FQk mds
s Mk
1
m
ds
整个杆件结构各个截面上的内力在位移状态的位 移上的所作的总虚功：
N
N
N
结构力学 第4章 静定结构的位移计算
YA = − b / a
1 ⋅ ∆ + YA ⋅ c = 0
∆ = b⋅c / a
这是单位荷载法 这是单位荷载法 。
求多跨静定梁在C点的支座反力F 例2. 求多跨静定梁在C点的支座反力 C。
F E F D C B A (a)
a
2a
a
2a
a
F E
F D C FC B A (b)
E δ2
δ1
D
δC=1 C
一、公式的进一步推导
∆ KH N P N KQP Q M P M = ∑ ∫ ( N dλ + Qdη + M dϕ ) = ∑ ∫ EA + GA + EI
dϕ
ds
ds
dλ
dη
dλ σ NP ε= ⇒ dλ = εds = ds = ds ds E EA QP dη = γds = k ds GA MP 1 dϕ = ds = ds ρ EI
3.虚功原理的应用 3.虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设单位位移法:已知一个力状态， 虚设单位位移法:已知一个力状态，虚设一个单位位移 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时， 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原 理也称为虚位移原理。 理也称为虚位移原理。 2）虚设力系求位移（虚力原理） 虚设力系求位移（虚力原理） 虚设单位荷载法:已知一个位移状态， 虚设单位荷载法:已知一个位移状态，虚设一个单位力 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时， 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚 功原理也称为虚力原理。 功原理也称为虚力原理。
钢筋混凝土结构G≈0.4E 钢筋混凝土结构 矩形截面, 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
结构位移计算(第四章)
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
l
P B
l
Mi
1
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
2 A1 lh 3
1 A2 lh 3
二次抛物线
2 A lh 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
B
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
)
用单位荷载法计算支座移动引起的位移计算 步骤如下：
（1）沿拟求△方向虚设相应的单位荷载； （2）求RK,根据静力平衡条件求单位荷载作用下 相应于支座移动cK的支座反力RK； （3）求△
ic Ri Ci
注意：当R与c方向一致时，乘积为正；反之为负。
§4-7 线弹性结构的互等定理
1. 功的互等定理: 方法一
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx
第4章 结构位移计算
1
第四章 静定结构位移的计算
§4—1 计算结构位移的目的
§4—2 功 广义力和广义位移 A′ §4—3 计算结构位移的一般公式 §4—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4—5 图乘法
§4—6 静定结构由于支座位移和温度变化时 的位移计算 §4—7 互等定理
2
§4—1 计算结构位移的目的
4.1.1 结构的位移
在实际计算时，根据结构的具体情况
讨
论
1. 梁和刚架:轴向变形和剪切变形影响较小，可 以忽略 △KP= 2.桁架：只有轴力的作用 △KP= 3. 组合结构：
△KP=
28
(4)拱结构：一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变 形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对 位移的影响，故位移公式：
MMP D= 邋 蝌 EI dx + F N FNP dx EA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL4 k qL2 弯曲变形：DM = 剪切变形： D Q = 384EI 8GA 2 骣 D EI h Q = 11.52 = 2.56 琪 两者的比值： 琪 2 DM GAL L 桫
t
6
4.1.2 计算结构位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度； 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
Fp=1 A
求C点转角位移
B
Fp=1
B Fp=1 求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
第四章 静定结构位移的计算
§4—1 计算结构位移的目的
§4—2 功 广义力和广义位移 A′ §4—3 计算结构位移的一般公式 §4—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4—5 图乘法
§4—6 静定结构由于支座位移和温度变化时 的位移计算 §4—7 互等定理
2
§4—1 计算结构位移的目的
4.1.1 结构的位移
在实际计算时，根据结构的具体情况
讨
论
1. 梁和刚架:轴向变形和剪切变形影响较小，可 以忽略 △KP= 2.桁架：只有轴力的作用 △KP= 3. 组合结构：
△KP=
28
(4)拱结构：一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变 形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对 位移的影响，故位移公式：
MMP D= 邋 蝌 EI dx + F N FNP dx EA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL4 k qL2 弯曲变形：DM = 剪切变形： D Q = 384EI 8GA 2 骣 D EI h Q = 11.52 = 2.56 琪 两者的比值： 琪 2 DM GAL L 桫
t
6
4.1.2 计算结构位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度； 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
Fp=1 A
求C点转角位移
B
Fp=1
B Fp=1 求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
讲课 第四章 静定结构的位移计算
(1)虚设位移状态——求未知力（虚功的应用之一——虚位移原理） FX 例：图(a)示扛杆，其中B端作用巳知荷载 FP ，求扛杆平衡时在A端需加的未知力。 A
C
解：扛杆是一个可变体系，可绕 C 点自由 转动，如图(b)示。把这个刚体位移取作虚 位移，可得出虚功方程为：
a (a)
b
B
P
FX X FP P 0 设 P 表示位移 P 和 X 之间的 b 比例系数： P P X a
虚功：力在其它因素引起的位移上作 的功。力与位移是彼此无关的量，分 别属于同一体系的两种彼此无关的状 态。
△11
2
P2
△22
B
△12
A
1
P1
2
B
△21
△11
Tkj=Pk· △kj
虚功是代数量，有正有负。
A
1
P2
2
B
△12
△22
9
注意：作功的力必须和位移在一条作用线上，否则，二者的乘积就不是功。
4.2 刚体体系的虚功原理
小结： ⑴ 虚功原理（这里用虚位移原理）的特点是用几何方法解决平衡问题。 ⑵ 求解问题直接，不涉及约束力。
15
4.2 刚体体系的虚功原理
例：如图(a)所示简支梁，现欲求B支座反力X。步骤如下 ①首先解除 B 支座的约束，以相应的未知 力 X 代替，于是原结构变成了具有一个自 由度的体系，它在荷载与未知力 X 的共同
应的广义位移。
当广义位移与广义力方向一致时，虚功为正，相反时为负。
12
12
4.2 刚体体系的虚功原理
计算静定结构内力的另一个普遍方法 — 虚功原理，它等价于平衡方程。
应该指出，在虚功方程中，力状态与位移状态是彼此独立的，因
位移计算的一般公式(力学)
YAb/a
1YAc0 bc/a
这是单位荷载法，它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method .
(1)虚力原理所建立的虚功方程，实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位
广义力 P=1 (3)求解时关键是找出虚力状态的静力平衡关系。 (4)实质是用静力平衡法来解几何问题。
.
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B
P
P
X
C
C
a
b
(a)
X (b) 待分析力状态
(c)
虚设位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
由外力虚功总和为零，即： XXPC0
将 X/Ca/b代入得:
XbP /a
通常取 1
X
x
单位位移法
.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理， 实质上是实际受力状态的平衡方程：
（2）实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P
W 1 P 2
（3）虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
t C
P
t
.
WPt
21
P2
22
P2
注意：
P1 11
12
（1）两种状态属同一体系； （2）均为可能状态。即
位移应满足变形协调条件；
力状态应满足平衡条件。
（3）位移状态与力状态完全无关；
P1
NP,kQ P,MP
EA GA EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
N E PN A kG Q PQ A M E PM I d x
结构力学考研《结构力学习题集》4-静定位移
第四章 静定结构位移计算一、是非题1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。
5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
Mk M p21y 1y 2**ωω7、图示桁架各杆EA 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
A8、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
aa9、图示简支梁，当P 11=，P 20=时，1点的挠度为0.01653l EI /，2点挠度为0.0773l EI /。
当P 10=，P 21=时，则1点的挠度为0.0213l EI /。
（ ）l10、图示为刚架的虚设力系，按此力系及位移计算公式即可求出杆AC 的转角。
C1P11、图示梁AB 在所示荷载作用下的M图面积为ql 3。
lAl /212、图示桁架结点C水平位移不等于零。
13、图示桁架中，结点C 与结点D 的竖向位移相等。
二、选择题1、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;;B.D.M C.=1=1=12、图示结构A 截面转角（设顺时针为正）为：A.22Pa EI / ;B.-Pa EI 2/ ;C.542Pa EI /() ;D.-542Pa EI /() 。
aa3、图示刚架l a >>0 , B 点的水平位移是：A .不定，方向取决于a 的大小；B .向左；C .等于零；D .向右。
4、图示静定多跨粱，当EI 2增大时，D 点挠度：A .不定，取决于EI EI 12；B .减小；C .不变；D .增大。
5、图示刚架中杆长l ，EI 相同，A 点的水平位移为:A.()2302M l EI /→;B.()M l EI 023/→;C.()2302M l EI /←;D.()023M l EI /←。
静 定 结 构 的 位 移 计 算
式（b）仅要求结构为小变形，因此： （1）适合于各类变形； （2）适合于静定结构和超静定结构； （3）适合于弹性材料和非弹性材料； （4）适合于荷载作用和非荷载因素作用； （5）可计算绝对位移和相对位移。
§4-3 结构位移计算的一般公式
四、结构位移计算的一般步骤 （1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。
下面介绍计算位移的图乘法：
§4-6 图乘法
一、图乘法及其应用条件
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件： （1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图中至少有一个是直线
§4-5 图乘法
设：M x tan (内力图是直线)
MM P EI
ds
1 EI
MM Pds
指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相 对其位移前旧位置关系的改变。
线位移，角位移， 相对线位移、相对角位移
等统称广义位移
§4－1 结构位移计算概述
二、位移计算的目的
1、 验算结构的刚度
结构变形不得超过规范规定的容许值。
2、超静定结构的内力分析的需要
超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。
泊松比
§4-4 荷载作用下的位移计算
K (F NK FQK M K )ds F RK cR (b)
由(b)式得：
( F N FNP k F QFQP M M P )ds (c)
EA GA EI
(c)式中正负号规定：内力方向一致者，积分结 果取正号，反之取负号。结果为正说明实际位移方向 与假设方向一致，反之为负。
CV
2 1
§4-3 结构位移计算的一般公式
四、结构位移计算的一般步骤 （1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。
下面介绍计算位移的图乘法：
§4-6 图乘法
一、图乘法及其应用条件
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件： （1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图中至少有一个是直线
§4-5 图乘法
设：M x tan (内力图是直线)
MM P EI
ds
1 EI
MM Pds
指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相 对其位移前旧位置关系的改变。
线位移，角位移， 相对线位移、相对角位移
等统称广义位移
§4－1 结构位移计算概述
二、位移计算的目的
1、 验算结构的刚度
结构变形不得超过规范规定的容许值。
2、超静定结构的内力分析的需要
超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形连续条件。
泊松比
§4-4 荷载作用下的位移计算
K (F NK FQK M K )ds F RK cR (b)
由(b)式得：
( F N FNP k F QFQP M M P )ds (c)
EA GA EI
(c)式中正负号规定：内力方向一致者，积分结 果取正号，反之取负号。结果为正说明实际位移方向 与假设方向一致，反之为负。
CV
2 1
第4章 静定结构的位移计算
在荷载作用下，应变 κ、γ 0、ε 与内力 MP、F 、 QP FNP 的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）
MP κ= EI
γ0 =
kF QP GA
FNP ε= EA
上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定 律，即体系是线性弹性体。
kF FNP MP QP 1⋅∆ = ∑∫ M ds + ∑∫ F ds + ∑∫ FN ds Q EI GA EA
条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。 下面讨论W及V的具体表达式。
q(s) q(s)ds
FP 2
ds
FP 3
ds
C1
FR1
M
FN
A
FR2
FN
A
FR1
F ds F Q Q
给定位移、变形
虚设平衡力系
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W = 1 ⋅ ∆ CV + ∑ FRK C K
K
内虚功
V = ∑ ∫ (Mκ + FQγ 0 + FN ε )ds
K
所求位移 1⋅∆CV = ∑∫(Mκ + FQγ 0 + FNε )ds − ∑FRKCK 3. 小结 1） 、Q、N、 RK ——单位载荷 FP1 =1在结构中产 MF F F 生的内力和支座反力， ds、γ 0ds、εds、C1、C2及 κ ∆CV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
i K
微段ds的内虚功dV： dV = Mdθ + FQdη + FN dλ = Mκ ds + FQγ 0ds + FNε ds
MP κ= EI
γ0 =
kF QP GA
FNP ε= EA
上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定 律，即体系是线性弹性体。
kF FNP MP QP 1⋅∆ = ∑∫ M ds + ∑∫ F ds + ∑∫ FN ds Q EI GA EA
条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。 下面讨论W及V的具体表达式。
q(s) q(s)ds
FP 2
ds
FP 3
ds
C1
FR1
M
FN
A
FR2
FN
A
FR1
F ds F Q Q
给定位移、变形
虚设平衡力系
2. 位移计算一般公式 外力虚功 W = 1 ⋅ ∆ CV + ∑ FRK C K
K
内虚功
V = ∑ ∫ (Mκ + FQγ 0 + FN ε )ds
K
所求位移 1⋅∆CV = ∑∫(Mκ + FQγ 0 + FNε )ds − ∑FRKCK 3. 小结 1） 、Q、N、 RK ——单位载荷 FP1 =1在结构中产 MF F F 生的内力和支座反力， ds、γ 0ds、εds、C1、C2及 κ ∆CV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
i K
微段ds的内虚功dV： dV = Mdθ + FQdη + FN dλ = Mκ ds + FQγ 0ds + FNε ds
第四章 位移计算11
dWi FN d FQ d Md
Wi
B
A
F d F d Md
N Q
对于多个杆件体系：
Wi FN d FQ d Md
根据变形体虚功原理
F F
Pi i
AK K
c FN d FQ d Md
r r
B
FP FQP r FNP MP dθ θ
解
BV
FP r 2 sin 2 kFP cos 2 FP sin 2 ( )d s 0 EI GA EA
s
FP r 2 sin 2 kFP cos 2 FP sin 2 ( )r d EI GA EA FP r FP r FP r 3 k 4 EI GA EA
步骤： (1) 撤除与 FX 相应的约束，代以相应的约束力； (2) 使机构发生一刚体体系的可能位移，沿 正方向相应的位移为单位位移，即 这时，与荷载相应的位移为 ，得到一虚 位移状态； (3) 在平衡力系和虚位移之间建立虚功方程 (4) 求出单位位移 与 之间的几何关系，
代入虚功方程，得：
2）虚设力，求位移 例：图示一伸臂梁，支座 A
两者的比值： 若高跨比为： 则： 剪切变形：
§4-3 荷载作用下的位移计算
结论： 在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长 度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。
例：计算图示刚架C点的水平位移 CH 和C点的转角 C ，各杆的EI为常数。 q
解：（1）求 CH 写出杆件的 M M P方程 BC杆：
d ds
d 0 ds, d ds
F
Pi
静定结构的位移计算
第四章静定结构的位移计算［结构的位移］（1）结构在荷载作用下产生应力和应变，以致结构的形状发生变化，即产生变形，由于这种变形，使结构上各点的位置产生位移，截面发生转动，这种移动和转动统称为位移。
（2）位移有水平位移，竖向位移，即线位移；有角位移；又有相对位移和绝对位移；统称为广义位移。
（3）除了荷载作用将引起位移外，温度改变，支座位移，材料收缩，制造误差等因素，虽不一定都产生应力和应变，但都将使结构产生位移。
［计算位移的假设］（1）材料线性假设：结构的材料服从虎克定律，应力与应变成线性关系；（2）几何线性假设：即小变形假设，结构的变形很小，应变与位移成线性关系；（3）弹性假设：结构在力的作用下发生变形，在力卸载之后，结构完全恢复原来的形状；（4）理想约束假设：结构的约束都为理想约束，不考虑摩擦的影响。
满足上述条件的变形体系，称之为线弹性变形体系。
它们的位移与荷载之间为线性关系，位移计算满足叠加原理。
［虚功的概念］作功的力与位移彼此独立无关，这种功称为虚功；在虚功中，力与位移分别属于同一体系的两种彼此独立无关的状态。
力所属的状态，称为力状态和第一状态；位移所属的状态，称为位移状态和第二状态。
力状态位移状态表示力状态的外力在位移状态相应位移上所作的虚功。
［静力可能的力状态和位移可能的力状态］静力可能的力状态——满足静力平衡条件和力的边界条件；位移可能的位移状态——满足变形协调条件和位移边界条件。
［虚功原理］如果变形体上的力状态为静力可能的力状态，位移状态为位移可能的位移状态，它们彼此独立无关，则外力虚功等于内力虚功。
［结构位移计算的一般公式］位移状态虚力状态结构在荷载、支座移动和温度变化等作用下而发生变形，为求某点的位移，在点沿所求位移方向加一单位力。
力状态为虚单位力状态，位移状态为实际位移状态。
由虚功原理，求得结构位移计算的一般公式为：其中，、和分别为实际位移状态的轴向应变、剪切角和曲率；、和分别为虚单位力状态的轴力、剪力和弯矩；为实际位移状态的支座位移，为对应支座位移虚力状态的反力。
土木工程力学——第四章 静定结的位移计算22页PPT
1
பைடு நூலகம்
P2
2
B
△12
△22
虚功强调位移与力无关
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
虚功的两种状态
力状态
A
1P1
△11
位移状态
A
1
△12
2
B
△ 21
P2
2
△22
B
9
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
变形体的虚功原理： 设变形体在力系作用下处于平衡状态，
又设变形体由于其它原因产生符合约束条 件的微小的连续变形，则外力在相应位移
4.1 概述
第四章 静定结构的位移计算
4.2 变形体系的虚功原理
1 功：
常力作的功
P A
P B
TPΔCOS △
力偶作的功
TPdM
P P
d P
P
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
2 虚功：
位移的双脚标符号
Δk
j
产生位移的原因 位移发生的位置 位移的大小
A
P1 1
2 P2
B
△11
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
T W N d s Q γ d s M d s
虚位移原理：虚设位移状态，求未知 力——影响线机动法 虚力原理：虚设力状态，求位移
4.2 虚功原理
第四章 静定结构的位移计算
4.3 一般公式及单位荷载法
一般公式
设平面杆系结构由于荷 载、温度变化及支座移动 等因素引起位移如图。
一般公式适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。
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二、 虚单位荷载的设置
1. 若欲求的位移是结构上某一点沿某一方向的线位 移，则虚单位荷载应该是作用于该点沿该方向的单 位集中力(a)。 2. 若欲求的位移是结构上某两点沿指定方向的相对 线位移，则虚单位荷载应该是作用于该两点沿指定
方向的一对反向共线的单位集中力(b)。 F 1
F 1
F 1
(b)
W e= 0
2. 虚功方程的两种应用
（1）虚拟位移状态，求未知力
F
A
F
FA
a
b
l
We＝FB B FδF =0
B
FB
F
F B
B
FB
根据几何关 系有:
F a B l
FB
a l
F
可令δB =1，这种沿未知力方向虚设单位位移的方法称 为单位位移法 上述计算是在虚拟位移状态与给定的实际力状态之间应 用虚功方程，这种形式的虚功原理又称为虚位移原理。 1. 用虚位移原理建立的虚功方程形式上是功的方程，
3.若欲求的位移是结构上某一截面的角位移，则虚单 位荷载应该是作用于此截面上的单位集中力偶(c)。 4.若欲求的位移是结构上某两个截面的相对角位移， 则虚单位荷载应该是作用于这两个截面上的一对反 向单位集中力偶(d)。
Me 1
(c)
Me 1
Me 1
(e)
(d)
5.若欲求的位移是结构（如桁架）中某一杆件的角 位移，则应在该杆件的两端沿垂直于杆件方向施加 一个由一对大小相等、方向相反的集中力所构成的 虚单位力偶，每一集中力的大小等于杆件长度的倒 数。
FN、FS、M——原结构由实际荷载引起的内力。 式（4.6）即为静定结构在荷载作用下位移计算的一般公式。
二、 几种典型结构的位移计算公式
1. 梁和刚架 2. 桁架 3. 组合结构
K
l
MM EI
ds
K
FN FNl EA
K
MM ds FNFNl
l EI
EAபைடு நூலகம்
【例4.3】 求图4.11(a)所示简支梁的中点C的竖向位 移ΔCV。已知梁的弯曲刚度EI为常数。
三、 变形体的虚功原理
对于变形体系，如果力状态中的力系满足平衡条件， 位移状态中的位移和变形彼此协调、并与约束几何相 容，则体系的外力虚功等于体系的内力虚功，即
We= Wi We——外力虚功，即力状态的外力在位移状态的相 应位 移上所作的虚功总和； Wi——内力虚功，即力状态的内力在位移状态的相 应变形上所作的虚功总和。
第四章 静定结构的位移
学习要求
5. 熟练掌握用图乘法计算静定梁和静定平面刚架在荷载 作用下的位移。
6. 掌握静定结构由于支座移动、温度改变引起的位移计 算。
7. 了解功的互等定理、位移互等定理和反力互等定理。
第四章 静定结构的位移
4.1 概述 4.2 变形体的虚功原理 4.3 结构位移计算的一般公式 4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算 4.5 图乘法 4.6 静定结构由于支座移动、温度改变
8GA
设梁的截面为矩形， =1.2，I h2 泊松比v = 1
则 E 2(1 ) 8 。于是有 A 12
3
G
3
CV 2.56( h )2
CV
l
当梁的高度为跨度的 1 时，CV 10 CV
2.56%
因此对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。 但对深梁（h>l/5）则不能忽略。
FKK Rc l FNds l FSds lMkds
K lFNds lFSds lMkds Rc （4.3）
注意：式（4.3）为平面杆件结构位移计算的一般公式。 它既适用于静定结构，也适用于超静定结构； 既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；既 适用于荷载作用下的位移计算，也适用于由支 座移动、温度改变等因素影响下的位移计算。
图4.9
【解】静定结构在支座移动时只产生刚体位移。欲求C
点的竖向位移
Δ
，可虚拟一力状态如图所示。
CV
应用虚力原理建立虚功方程为 FΔCV FBy c=0
F
A
FAy
b l
F
CV
a
b
l
FBy
a l
F
B
c
令F=1。得 ΔCV=
a c l
沿所求位移方向虚设单位荷载F=1的方法称为单位 荷载法，或称为单位力法。
相对角位移
A1 AH A
F
B BH B1
F
C
图4.2
D
二、位移计算的目的
1. 验算结构的刚度 2. 为分析超静定结构打下基础 补充变形协调方程 3. 施工方面的需要 如图4.3所示
图4.3 建筑起拱
三、 位移计算的假定
在计算结构位移时，通常采用以下几个假定： 1. 结构的材料在弹性范围内工作，且符合胡克定律，
c1
c2
k s ds
R2 R1
ds εds
FN
FN
实际状态
γds dφ=κds
图4.10
FS
FS
M
M
虚拟状态
外力虚功为: We FKK R1c1 R2c2 FKK Rc
内力虚功为: Wi l FNds l FSds lMkds
外力虚功等于内力虚功:
当支座有给定位移时，静定结构的位移可用单位荷 载法来求解，其计算步骤如下：
1. 沿欲求位移的方向虚设相应的单位荷载，并求出 在单位荷载作用下给定位移的支座处的反力
2. 令虚拟力系在相应实际位移上作功，写出虚功方 程
3. 由虚功方程解出欲求位移。如果求得的位移为正 值，表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向 一致；如果求得的位移为负值，表明位移的实际 方向与所设单位荷载的方向相反。
2）求截面C的转角 C 。虚拟力状态如图4.12(c)所示。
两种状态的内力分别为
竖柱AB： M 1， 横梁BC： M 1，
M 1 ql2 2
M 1 qx2 2
B
x
C Mc 1
x
A
（c）
图4.12
代入式
K
l
MM EI
ds得截面C的转角为
C
1 EI
l
1
第四章 静定结构的位移
内容提要
本章在虚功原理的基础上建立了结构位移 计算的一般公式，着重介绍静定结构在荷载作 用、支座移动和温度改变时所引起的位移计算。 静定结构的位移计算是超静定结构的内力、位 移计算以及结构刚度计算的基础。
第四章 静定结构的位移
学习要求
1. 了解结构位移的概念。了解结构位移计算的目的。 2. 了解刚体和变形体的虚功原理。 3. 了解结构在荷载作用下位移计算的公式。 4. 掌握用单位荷载法计算静定结构在荷载作用下的位移。
杆件
杆长l(mm)
表4.2 例4.5计算表
截面积
FN
A(mm2)
引起的位移 4.7 互等定理
第一节 概述
一、位移的概念
｛线位移（挠度） 指截面形心所移动的距离 结构的位移：结构位置的变化 水平位移 竖向位移
角位移（转角） 截面转动的角度
m
MC
C c
m
C’
c
（a）
B t oC ME
t oC
C
CH
cC
C2
C1 c
c
cv
C1
A （b）
｛ 相对位移
相对线位移 △ =△AH+ △BH
q
【例4.4】 求图4.12(a)所示刚架
上点C的水平位移ΔCH和截面C
的转角C。已知各杆的弯曲刚
度EI为常数。
l
B
C
x
x
A l
图4.12（a）
【解】1）求点C的水平位移ΔCH。虚拟力状态如图4.12(b) 所示。两种状态的内力分别为
竖柱AB：M x ， M 1 ql2
2
B
x
C
x F 1
K l FNds l FSds lMkds (4.4)
FN ，
EA
FS ，
GA
k
M EI
（4.5）
将式（4.5）代入式（4.4），得
K
FNFN ds l EA
FSFS ds
l GA
MM ds l EI
FN 、 FS 、 M——在虚拟状态中由广义虚单位荷载引起的虚内力，
示多跨静定梁的支座B处的反力。
FB
3
1 2
2
1 3
1
1
2
B
1 2
δB=1
2
1 2
C
2
3
B
2 3
图4.8
F1 1 FB B F2 2 F3 3 0 (a)
1
2
1
FB 2 F1 3 F2 3 F3
(2)虚拟力状态，求未知位移 在虚拟力状态和给定的实际位移状态之间应用虚 功原理，这种形式的虚功原理又称为虚力原理 。 【例4.2】 已知图4.9(a)所示静定梁的支座B向下 移动距离c，试用虚力原理求梁上点C的竖向位移。
l
MM EI
ds得
CV
2
l 2 0
1 EI
x 2
q 2
(lx
x2 )dx
5ql 4
（↓）
384EI
现在考察剪切变形对位移的影响。由图4.11(b)可得，
FS
1 2
，