《解析几何》(第四版)吕林根 许子道 编第2章轨迹与方程2.1平面曲线的方程

F (x, y) 0.
例1 一个圆在一直线是上无 滑动地滚动，求圆
圆周上的一点的轨迹.
解 取直角坐标系,设半径为a的圆在x轴上滚动,
开始时点P恰在原点O
y
(如图),经一段时间的
滚动, 与直线的切点移
P r

Ca
到A点,圆心移到C的位 o A
x
置,这时有 r OP OA AC CP.
方程不等价 .
若令x t, 则可得与原方程等价的 参数方程
x t,

y

2t
2
1,
( t ).
再如
x t4,

y

t
2.
因x 0, y 0,故方程表示的曲线只是 第一象限
的部分.
而消去t后得普通方程 y2 x表示整条抛物线 .因 此两方程不等价.此时应直接对两方程比较分析，
P(ct1, t1 ), Q(ct2 , t2 ) R(ct3, t3 ),
若PQR的垂心H的坐标H (x0, y0 ), 则
PH QR，
( x0

ct1 )( ct3

ct2 ) ( y0

c t1
)( c t3

c t2
)

0
即
y0t1 c t1t2t3 (x0 ct1),
x R(cos sin ),

y

R(sin

cos
).
(2.1-13)
由(2.1 12 )或(2.1 13)表示的曲线 ,叫圆的渐伸线
或切展线,这种曲线,在工业上常被采用为齿 廓曲线. 曲线的参数方程与普通方程的互化
曲线的参数方程 ,是解析几何联系实际的 一个重 要工具.
设 (CP, CA),于是CP对x轴所成的有向角
为
(i , CP)

(
),
2
则
CP

ia
cos(

)
ja
sin(

)
2
2
(a sin )i (a cos ) j,
又
OA AP a ,
所以


OA ai , AC aj ,
所以取为参数且 ,则椭圆的参数方程
x

y

a cos， (
b sin .

).
解2 若令 y tx b，代入原方程得
x 0，
x


2a2bt b2 a2t 2
,
因第二式已包含第一式 (t 0时, x 0), 取
x


2a2bt b2 a2t
第二章 轨迹与方程
取定相应坐标系后
平面上的点 一一对应 空间上的点 一一对应
二元有序数组 (x, y). 三元有序数组(x, y, z).
将图形看作点的轨迹，本章将建立轨迹与方程的 对应。
2.1平面曲线的方程
曲线上点的特性，在坐标面上，反映为曲线上
点的坐标 x与y 应满足的制约条件，一般用方程表
示为
r

a(

sin )i
a(1
cos
) j , (2.1-6)
(2.1-6) 是P点轨迹的向量式参数方程,参数
( ).
设P点坐标(x, y),由(2.1 6)得P点的坐标式参 数方程
x a( sin ),

y

a(1
cos
),
(
后向反方向旋转,以把线从圆周上解放出来, 使
放出来的部分成为圆的切线,求线头的轨 迹.
解 适当选择坐标系与
y

参数可得P点轨迹的向量
式参数方程
r

R(cos

sin
)i

R(sin cos ) j,

o
R
B rAP
x
(2.1-12)
其中为参数.
设P点的坐标为 (x, y), 则可得该轨迹的坐标式 参 数方程为
反过来, 在这曲线上的任意点, 总对应着以它为终
点的向径,而这向径可由t的某一值t0 (a t0 b)通 过(2.1 4)完全确定,则称表达式(2.1 4)为曲线的
向量式参数方程.
即 (2.1 4)叫做一条曲线的向量式参数方程 ,若t
在[a,b]内变动时, r(t)的
y
A
终点P(x(t), y(t))就描出
特殊地,当a 4b时,可简化为
x a cos3 ,

y

a
sin
3

.
(2.1-10) (2.1-11)
x a cos3 ,

y

a
sin
3

.
此曲线称为四尖点星形 线(如图).
y
o
x
(2.1-11)
熟记四 尖点星 形线的 方程及 其图形
例3 把线绕在一个固定圆周上, 将线头拉紧
x y

ct, c, t
(t 0).
练习题
P77 2； 5 ; 7(3). P78 8(2)(3)； 10 .
①
同理,根据QH PR，得
y0t2 c t1t2t3 (x0 ct2 ),
②
① ÷ ② ,得
y0t1 c x0 ct1 , y0t2 c x0 ct2
即
y0 c ,
y0t2 c x0 ct2
从而得 x0 y0 c2. 即PQR的垂心H (x0, y0 )在双曲线xy c2上,此双曲 线即已知的等轴双曲线
这条曲线来 (如右图).
因曲线上点的向径
r (t)
r(ar)(rt)(bP)(x(Bt), y(t))
o
x
的坐标为x(t), y(t), 所以
有曲线的坐标式参数方程
x x(t),

y

y(t
),
(a t
b).
(2.1-5)
从 (2.1 5)中消去t(若可能)即可得普通方程
பைடு நூலகம்
可得所求普通方程
y2 x y 0.
例7 设P,Q, R是等轴双曲线上任意三点,求证
PQR的垂心H必在同一等轴双曲线上.
证 如图,设已知等轴双曲线的参 数方程为
x

y

ct, c, t
(t 0)
则其上任意三点P, Q,
R的坐标可以分别取
y
•Q
•
H •R
P•
o
x
为
c
c
c

).
(2.1-7)
取0 时,消去 ,得P点轨迹在0 时
的一段的普通方程 x a arccosa y 2ay y2 . a
(2.1-8)
此方程要比参数方程 (2.1 7)复杂得多. 当圆在直线上每转动一 周时,点P在一周前后 的运动情况是相同的 ,因此曲线是由一系列完 全相 同的拱形组成 (如图),曲线叫旋轮线或摆线 .
的参数(参数不是唯一的 ), 而且还要给出参数与 x, y
二者之一之间的函数关系.
例4
化椭圆 x2 a2

y2 b2
1为参数方程 .
解1 设 x a cos，代入原方程得
y bsin， 若取 y bsin，令 t,则
x a cos，y bsin，
可变形为 x a cost，y b sin t，
设平面上取定的坐标系 为O; e1, e2,则(2.1 3)可
写成



r (t) x(t)e1 y(t)e2 (a t b).
x(t )，y(t )是r(t )的坐标, 分别是 t的函数.
(2.1-4)
定义2.1.2 若取 t (a t b)的一切允许值,由 (2.1 4)表示的向径r(t)的终点总在一条曲线上;
(1)化参数方程为普通方程 时,关键在于消去参 数t.
此时,还应注意 ①同一条曲线可以有多种不 同形式的参数方程,如
x 1t,

y

2

t.
与
x 1 3t, y 2 3t.
在消去t后都表示同一直线 x y 3.
②并不是所有参数方程都能化成普通方程.
(2) 化普通方程为参数方程 时,不仅要选择适当
2
,
从而得
y

b(b2 a2t 2 b2 a2t 2
)
,
在以上二式中以 t 换 t可得椭圆另一形式的 参数方程

y
x

2a2bt b2 a2t 2
,
b(b2 a2t 2 ) b2 a2t 2
.
( t ).
(3) 在曲线的参数方程与普 通方程互化时 ,必须
“点的坐标满足方程” 也说成“点满足方程”. 由定义 2.1.1, 有 1) 点M1(x1, y1)在曲线F(x, y) 0上 F(x1, y1) 0, 2) 两个同解方程表示同一 条曲线.
给定曲线,要求其方程 :即是在给定的坐标系
下，将曲线上点的特性 用关于其坐标 x, y的方 程来表示.
圆的方程
x2 y2 R2. 圆心(0，0), 半径R.
(x a)2 ( y b)2 R2. 圆心(a，b), 半径R.
注 同一轨迹在不同坐标系下，一般有不同的方程.
曲线的参数方程
在解几中,曲线常表现为一动点运动的轨迹,但运动
的规律往往不是直接反映为动点坐标x与y 间的关 而系是表现为动点位置随时间 t 变化的规律.
y
熟记摆线的方程及其图 形
o
x
例2 已知大圆半径为a,小圆半径为b,设大圆
不动, 而小圆在大圆内无滑动的滚动, 动圆周上
某一定点P的轨迹叫内旋轮线(或内摆线),求内
旋轮线的方程.
解 适当选择坐标系与参数 可得内旋轮线的向量
式参数方程
r

[(a

b)
c
os

b
cos
a

b

]i
b

[(a

b)
当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也将随
时间 t 的不同而改变, 这样的向径称为变向量, 记作
r(t),若变数 t (a t b)的每一个值对应于变向 量r的一个完全确定的值r(t),则称r是变数t的
向量函数, 记作 r r(t), a t b.
(2.1-3)
显然当t变化时，r的模与方向一般也随之改变.
F (x, y) 0, 或 y f (x).
定义2.1.1 当平面上取定了坐标系之后,若 F(x, y) 0与曲线有关系:
1) 满足方程的(x, y)必是曲线上某一点的 坐标;
2) 曲线上任一点的坐标 (x, y)满足这个方程， 则F (x, y) 0叫做这条曲线的方程 ,而这条曲线 叫这方程的图形 .
注意两种不同形式的方 程应该等价 .
在两者互化时, 往往由于变数允许值可能发生变
化,因而导致两者表示的曲线不完全一样.
如
y 2x2 1, x R, y 1,
若令x cos , 则参数方程为
x cos ,

y

2

cos2
,
(0 2 ).
由上式知, 1 x 1, 1 y 3,故参数方程与原
sin

b
sin
a

b

]j
b
(2.1-9)
式中 ( )为参数.
设P点的坐标为(x, y), 则内旋论线的坐标式参 数方程为
x y
(a b) cos (a b) sin

b b
cos a b ,
b
sin a b ,

b
( ).