变化率与导数精品PPT课件
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人教A版高中数学选修变化率与导数课件
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
思考
y
根据平均变化率的定义：
=
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x2 x1
你认为其几何意义是什么？
设A( x1, f ( x1 ))、B( x2 , f ( x2 ))
平均变化率表示直线AB的斜率
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
（2）平均速度不能准确反映该段时间的运 动状态.
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
平均变化率的定义
式子
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
称为函数f(x)从x1到
x2的平均变化率.
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
微积分的创立
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理 学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如 法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗 、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都 提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡 献。
2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 5-1-1 变化率问题与导数的概念 课件(31张)
3．在 f′(x0)＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为(
C
)
A．大于 0 B．小于 0
C．等于 0 D．大于 0 或小于 0
强研习·重点难点要突破
研习 1 函数的平均变化率
[典例 1] (1)函数 y＝1x从 x＝1 到 x＝2 的平均变化率为( B )
A．－1
B．－12
C．－2
D．2
(2)已知函数 y＝3x－x2 在 x0＝2 处的增量为 Δx＝0.1，则ΔΔxy的值为( B )
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
(1) [解析] 平均变化率为ΔΔxy＝122－ －11＝－12. (2) [解析] ∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴ΔΔyx＝－00.1.11＝－1.1.
研习 2 求瞬时速度 [典例 2] 一个做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度．
[解] (1)当 t＝0 时的速度为初速度． 在 0 时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－ΔtΔt2＝3－Δt， Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
时速度，即瞬时速度 v＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→ m0
st0＋ΔΔtt－st0.
知识点 2 函数的平均变化率 对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0 变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x 的变化量为 Δx，y 的变化量为 Δy＝___f_(x_0_＋__Δ_x_)_－__f(_x_0_) __.我们把比值ΔΔyx， 即ΔΔyx＝f__x0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0__叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)
x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
x
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
变化率与导数、导数的计算 (共31张PPT)
4. 若 f x cosx,则 f ' x sin x ;
6. 若 f x ex ,则 f ' x ex ;
1 7. 若 f x loga x, 则 f x ; x lna 1 ' 8. 若 f x ln x, 则 f x . x
3x2sin x－x3－1cos x y′ = sin2x
考点一
导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
1．基本初等函数的导数公式 (xα)′＝αxα－1，(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，(ax)′ 1 1 ＝a ln a，(e )′＝e ，(logax)′＝ ，(ln x)′＝x. xln a
'
(二)小题查验
判断正误
(1)sin
π π ′＝cos 3 3
(× ) (× )
(√ )
1 1 (2)若(ln x)′＝x，则x′＝ln x
(3)(3x)′＝3xln 3
基础盘查三
导数四则运算法则
(一)循纲忆知
能利用导数的四则运算法则求解导函数．
知识小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、
f(x0 +Δx)- f(x0 ) k = f(x0 )= lim Δx→ 0 Δx
切线方程：
y - f(x 0 ) = f (x 0 )(x - x 0 )
作用：
确定x = x 0处切线的斜率，从而确 定切线的方程.
(二)小题查验
1．判断正误
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率 ( × )
求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； 1 (2)y＝ln x＋x； (3)y＝ cos x ； ex
《变化率和导数》课件
变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度 是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率， 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学 、生物学、物理学等。例如，边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个 重要分支，将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如，在人工智能、大数据分析 等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随 着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。
《变化率与导数》课件
五、总结
• 变化率与导数的联系与区别 • 导数的应用价值 • 学习导数需要注意的问题
六、Q&A
• 提问环节 • 解答环节
七、参考资料
• 经典教材 • 推荐书目 • 相关网站
解析方式的导数是通过公式求 得的导数，几何方式的导数是 通过像图形函数的斜率来求得 的导数。
四、导数的应用
切线和割线
极值点
切线是函数曲线上点的切线，割 线是通过两点间的曲线段值的点，可以通过导数判断。
单调性与凹凸性
函数的单调性描述了函数值的变 化趋势，凹凸性描述了曲线的弯 曲程度。
《变化率与导数》PPT课 件
# 变化率与导数 PPT课件
一、引言
- 变化率的概念：变化率是指某个量在单位时间内的变化量，它反映了事物变 化的快慢和趋势。
- 导数的引入：导数是描述函数变化率的工具，它告诉我们函数在某个点上的 斜率或切线的斜率。
二、函数的变化率
1
平均变化率
平均变化率是函数在某个区间内的平均速度，可以通过两点间的纵坐标差值除以 横坐标差值来计算。
2
瞬时变化率
瞬时变化率是函数在某个点上的瞬时速度，即经过该点的切线的斜率，可以通过 极限的方法计算。
三、导数的定义
函数在一点的导数
导数是函数在某个点上的变化 率，可以通过求斜率的极限来 计算。
左导数和右导数
左导数是函数在某点左侧的变 化率，右导数是函数在某点右 侧的变化率，它们可以不相等。
解析方式的导数与几 何方式的导数
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t
23.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. △x+2x0
ks5u精品课件
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
O
x1
x2
x
思考 观察函数 f x
x
x2 x1
表示什么?
图1.1 1
直线AB的斜率
ks5u精品课件
函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率 的几何意义是什么？
Δy Δx=
f(x2) – f(x1) x2 – x1
答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率
ks5u精品课件
求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量 (2)计算平均变化率
Δy=f(x2)-f(x1);
y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
ks5u精品课件
练习
12.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为(A ) A. 6+t B. 6+t+ 9 C.3+t D.9+t
ks5u精品课件
题型一：求函数的平均变化率
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1在x=2附近的
平均变化率
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
y 4 2 x 2
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
v= h(2) – h(1) = - 8.2(m/s) 2–1
一般地,t1 t2时,
v=
h(t2) – h(t1) t2 – t1
ks5u精品课件
计算运动员在0≤t≤
65 49
这段时间
里的平均速度：v=_0_m__/s__，思考
下面的问题：
(1)运动员在这段时间里是静止
的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员
3.1.1 变化率问题
ks5u精品课件
问题: 高台跳水
在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位:m）与起跳后的
时间t(单位:s)存在函数关系：h(t)= - 4.9 t2+6.5 t+10（如图）
t:0 0.5时,
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m/s) 0.5 - 0
t:1 2时,
平均变化率
ks5u精品课件
f (x2 ) f (x1) x2 x1
f (x2 ) f (x1) x2 x1
所以，平均变化率可以表示为：
y f (x2 ) f (x1)＝f（x1＋x）－f（x1）
x
x2 x1
x
ks5u精品课件
思考
y
fx2 fx1
y fx
B
A
x2 x1
fx2 fx1
的运动状态有什么问题？
答: (1)不是。先上升，后下降。
(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态 它并不能反映ks某5u精品一课件刻的运动状态。
在问题中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在0s到0.5s内的
v
h(0.5)
h(0)
4.05(m
/
s)
平均速度
0.5 0
一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的
23.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. △x+2x0
ks5u精品课件
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
O
x1
x2
x
思考 观察函数 f x
x
x2 x1
表示什么?
图1.1 1
直线AB的斜率
ks5u精品课件
函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率 的几何意义是什么？
Δy Δx=
f(x2) – f(x1) x2 – x1
答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率
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求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量 (2)计算平均变化率
Δy=f(x2)-f(x1);
y f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
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练习
12.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为(A ) A. 6+t B. 6+t+ 9 C.3+t D.9+t
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题型一：求函数的平均变化率
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1在x=2附近的
平均变化率
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
y 4 2 x 2
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
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讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
v= h(2) – h(1) = - 8.2(m/s) 2–1
一般地,t1 t2时,
v=
h(t2) – h(t1) t2 – t1
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计算运动员在0≤t≤
65 49
这段时间
里的平均速度：v=_0_m__/s__，思考
下面的问题：
(1)运动员在这段时间里是静止
的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员
3.1.1 变化率问题
ks5u精品课件
问题: 高台跳水
在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位:m）与起跳后的
时间t(单位:s)存在函数关系：h(t)= - 4.9 t2+6.5 t+10（如图）
t:0 0.5时,
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m/s) 0.5 - 0
t:1 2时,
平均变化率
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f (x2 ) f (x1) x2 x1
f (x2 ) f (x1) x2 x1
所以，平均变化率可以表示为：
y f (x2 ) f (x1)＝f（x1＋x）－f（x1）
x
x2 x1
x
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思考
y
fx2 fx1
y fx
B
A
x2 x1
fx2 fx1
的运动状态有什么问题？
答: (1)不是。先上升，后下降。
(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态 它并不能反映ks某5u精品一课件刻的运动状态。
在问题中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在0s到0.5s内的
v
h(0.5)
h(0)
4.05(m
/
s)
平均速度
0.5 0
一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的