1 第一章_张量初步及应力、应变基本方程

+δ31δ31 +δ32δ32 +δ33δ33 = (δ11)2 + (δ22 )2 + (δ33 )2 = 3
(3) δijδ jk = δi1δ1k +δi2δ2k +δi3δ3k = δik (4) aijδij = a11δ11 + a22δ22 + a33δ33 = aii (5) aiδij = a1δ1 j + a2δ2 j + a3δ3 j = aj (6) σij nj −σ ni = σij nj −σδij nj = (σij −σδij )nj
2

3
3

2
i=1
σijεij = ∑∑σijεij = σ11ε11 +σ12ε12 +σ13ε13
i=1 j =1
3
+σ21ε21 +σ22ε22 +σ23ε23 +σ31ε31 +σ32ε32 +σ33ε33
δij 的应用与计算示例如下：
(1) δ ii = δ11 + δ 22 + δ 33 = 3 (2) δijδij = δ11δ11 +δ12δ12 +δ13δ13 +δ21δ21 +δ22δ22 +δ23δ23
σ y τ yz σ x τ xz σ x τ xy ⇒ −σ + (σ x + σ y + σ z ) σ − + + τ zy σ z τ zx σ z τ yx σ y
3 2
σ
σ x τ xy τ xz + τ yx σ y τ yz = 0 ⇒ −σ 3 + I1σ 2 + I 2σ + I 3 = 0 τ zx τ zy σ z
z n
同理，可以得到张量方程：
pi = σ ij n j
τyx γ
px x
σx β
y
(1-7)
α
如果作用在这个倾斜 面上只有正应力，而没有
τzx
剪应力，则倾斜面上的总应力就是主应力 主应力，倾斜面的方 主应力 向就是主应力方向 主应力方向，用σ表示，它在各坐标轴上的投影 主应力方向 为：
pi = σ ni
3
u = u x ex + u y e y + u z ez = u1e1 + u2 e2 + u3e3 = ∑ ui ei
i =1
(1-1)
指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不 指标 同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示， 这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉 丁字母i，j，k，···均表示三维指标，取值1，2，3，例如， 采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的 记法称为指标符号 指标符号。 指标符号 指标符号的正确用法： 指标符号的正确用法： (1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。 指标符号可缩写成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。
(3) 对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为：
E µ e + ε x = λ ( ε x + ε y + ε z ) + 2Gε x σ x = 1 + µ 1 − 2µ E µ σ y = e + ε y = λ ( ε x + ε y + ε z ) + 2Gε y 1 + µ 1 − 2µ σ = E µ e + ε = λ ( ε + ε + ε ) + 2Gε y x y z y z 1 + µ 1 − 2µ E τ = γ = Gγ xy = 2Gε xy xy 2 (1 + µ ) xy E τ yz = 2 (1 + µ ) γ yz = Gγ yz = 2Gε yz E γ zx = Gγ zx = 2Gε zx τ zx = 2 (1 + µ )
对于不计体力的平衡微分方程， 则可表示成：
∂σ ij ∂x j =0
(1-4)
更进一步可表示为：σ ij , j = 0 ，这 里下标“ , j ”表示对xj求偏导。
∂u εx = x ∂x ∂u y ε y = ∂y ∂u εz = z ∂z ∂u x ∂u y ε xy = ε yx = + 2 ∂x ∂y ε = ε = ∂u y + ∂u z 2 zy yz ∂z ∂y ∂u ∂u ε xz = ε zx = x + z 2 ∂x ∂z
1.1 张量初步
力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性 的物理量称为标量 标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、 标量 密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量 矢量， 矢量 常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r( ) ( ) r( r r 和力F( )等。具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为 r F 张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应 张量 力状态可以用应力张量σ( )表示，它具有二重方向性，是 σ 二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。
或：
σ 11 τ 12 τ 13 τ σ = σ ij = 21 σ 22 τ 23 τ 31 τ 32 σ 33
倾斜面上沿x方向的力为
px = σ x cos α + τ yx cos β + τ zx cos γ = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz
在几何方程中，为了表示方便， 在这里及以后的讨论中，统统 采用ux、uy和uz来分别表示u、 v和w。 则几何方程可表示成：
1 ∂ui ∂u j ε ij = + ∂x j ∂xi 2
(1-5)
更进一步得可表示成：
1 ε ij = ( ui , j + u j ,i ) 2
(1-11)
I1 = σ x + σ y + σ z = σ ii σ y τ yz σ x τ xz σ x τ xy − − I2 = − τ σ z τ zx σ z τ yx σ y zy 1 2 2 2 = − (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) + (τ xy + τ yz + τ zx ) = (σ ijσ ij − σ iiσ jj ) 2 (1-12) σ x τ xy τ xz I 3 = τ yx σ y τ yz = σ 或 σ ij τ zx τ zy σ z
x3=z u3(uz)
矢量可以在参考直 角坐标系下分解，以位 移矢量u为例，它可以 表示成位移分量ux、 uy 、 u uz与基矢ex、 ey 、 ez的 乘积之和的形式：
e3( k )பைடு நூலகம்u (u ) 1 x e1 ( i ) o e ( j ) 2 x1=x
u u2(uy) x2=y
图1.1 位移矢量的分解
(2) 矢量a和b的分量可分别记为ai 和bi ，它们的点积 点积为： 点积
a b = axbx + a y by + az bz = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ∑ ai bi
i =1 3
(1-2)
引入爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中， 求和约定： 求和约定 某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值 范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标 哑指标，或简称哑标 哑标。 哑指标 哑标 用哑标代替求和符号∑，则位移矢量u和点积a·b可表 示成：u=uiei，a·b=aibi。显然，aibi =biai，即矢量点积的 顺序可以交换：a·b= b·a；由于哑标 哑标仅表示遍历求和，因 哑标 此可以成对地任意换标，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。
采用张量，则物理方程可表示：
σ ij = 2Gε ij + λε kk δ ij
(1-3)
i和j为自由指标 自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系 自由指标 式将始终成立，式中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：
σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ z σ 12 = τ xy , σ 23 = τ yz , σ 31 = τ zx σ 21 = τ yx , σ 32 = τ zy , σ 13 = τ xz
i=1 j =1
j =1 3
3
+ a21b2c1 + a22b2c2 + a33b2c3 + a31b3c1 + a32b3c2 + a33b3c3
2 2 2 2 a = ∑aii = a11 + a22 + a33 2 ii j =1 3
σii ) = ∑σii = (σ11 +σ22 +σ33 )2 (
ε11 = ε x , ε 22 = ε y , ε 33 = ε z ε12 = ε xy , ε 23 = ε yz , ε 31 = ε zx ε 21 = ε yx , ε 32 = ε zy , ε13 = ε xz
k为哑标， ε kk = ε11 + ε 22 + ε 33 = ε x + ε y + ε z δij为Kronecher符号：δij =1(i=j)， δij =0(i≠j)，根据场论，δij可 以表示两个基矢的点积：δij =ei· ej 注意： aibj 表示9个数，而 aibi则只是一个数。