理论力学第7章B

B 解：1、求圆盘的角速度和角加速度
v rB
α
y’ A x’
θ&
ω
ar
a
vr O
& & = x 'O = - vr α = θ& = &&' O = a r & x θ R R R R
2、求圆盘最高点B的速度
u
vrB = 2vrO
v aB = v eB + v rB va B = ve B + 2 v r O
βA
x'
问题：如何将上述处理问题的 思想方法推广到研究刚体平面 运动的加速度问题？
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o
x
Ax’y’为平移动系，B为动点
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理论力学
动 动
§7-1 刚体平面运动的运动学
三、平面图形上各点的加速度 y
系：Ax’y’ 平移 点：刚体上的B点
ω
y'
a
t BA
α
x'
B
n a BA
牵连运动：平移 相对运动：圆周运动
A
n a AO R
ω
vO
x
y
取O为基点
t n a A = a O + a AO + a AO t aAx = aO + aAO = 2aO 2 vO n aAy = aAO = ω 2 R = R
aO
O
α
x:
y:
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
例：滑块A沿水平直线以匀速 u 运动，求BC杆铅垂时AB杆和
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P
P为加速度瞬心
由此得出平面运动刚体上点的加速度的分布规律：……
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
问题：如何确定平面运动刚体加速度瞬心的位置？
n t aB = a A + aBA + aBA
t n aBA = AB ⋅ α , aBA = AB ⋅ ω 2
问题：当平面运动刚体在某瞬时的角速度为零、角 加速度不为零时，如何确定加速度瞬心的位置？
例：已知OA以匀角速度绕O轴转动，确定图示瞬时AB杆和 BD杆角加速度的转向。
t aB
t a BA
t n a B = a A + a BA + a BA
O
y
ω
aA
A
t B
a
B
Q ω AB = 0
t a B = a A + a BA n t t a B + a B = a A + a BA
n B
θ
x
t BA
A
a a = a e + a rn + a rt
ae = a A , a = a , a = a
n r n BA t r t BA
o
aA
x
t n aBA = AB ⋅ α , aBA = AB ⋅ ω 2
n t aB = a A + aBA + aBA
n aBA // AB aBA ⊥ AB ， t
思考题：确定图示瞬时平面运动刚体的加速度瞬心。
A
Ca
aA
ω
ω
O
AB杆瞬时平移
B a B
o
CV
纯滚动
当平面运动刚体瞬时平移时，若其角加速度不为零，则其 加速度瞬心在加速度矢量的垂线上。 注：瞬时平移时刚体的角速度为零，但其角加速度不一定为零。
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
t aB = a A + aBA
t aBA = AB ⋅ α
此时加速度瞬心在：….
问题：当平面运动刚体在某瞬时的角加速度为零、 角速度不为零时，如何确定加速度瞬心的位置？
n aB = a A + aBA
n aBA = AB ⋅ ω 2
此时加速度瞬心在：….
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理论力学
ω
为 常 量
§7-1 刚体平面运动的运动学
u
A y x
aaBx = ae + arO + artBO
aaBy = − arnBO
思考题：在纯滚动的条件下，圆盘与板的接触点具有相同 的速度，这两点的加速度是否也相等？
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
例：已知图示瞬
R
时圆盘的角速度 和角加速度。
α
B
ω
A r
求该瞬时圆盘最 高点B的速度和 加速度。 R＝2r
vaB = u − 2vr
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x 'O = θ&R &
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x 'O = − vr &
x &&'O = a r
理论力学
α
a vr O
n rBO
§7-1 刚体平面运动的运动学
B
a
ar a
t rBO
3、求圆盘最高点B的加速度
ω
a rB = a rO + a rtBO + a rnBO aaB = aeB + a rB aaB = ae + a rO + a rtBO + a rnBO
AB BC杆的角加速度以及铰链B 的加速度。已知： = BC = L,θ
解：1、运动分析： AB 杆瞬时平移
v A = vB = u
ωAB = 0
t a BA t aB v
B
C
n aB
2、求加速度： 研究AB 杆 t t n n t aB = a A + aBA + aBA = aBA = aB + aB
vr
u
A
E
上式在DP轴上投影可得：
va = 0
ωDE = 0
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相对速度： vr = -ve
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
例：图示机构中，AB杆的A端以速度u匀速运动，求图示瞬时
DE杆的角加速度。已知该瞬时，AB杆与水平线的夹角为450，
套筒D位于AB杆的中点，DE杆水平。
B：逆时针
C：大小为零
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
思考题：已知图示机构中两个滑块的沿滑道匀速运动，方 向如图所示。试确定图示瞬时（ v A ⊥ AC ）铰链C的速度 方向、各杆角速度和角加速度的转向。
C vC A
vA
ω AC
ωBC
vB
ϕ
பைடு நூலகம்
B
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
注：平面矢量式，能求2个未知量。 问题：是否有加速度投影定理 ？是否有加速度瞬心？
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存在 唯一的一点P，在该瞬时P点的加速度为零。
n t aM = a P + aMP + aMP
D
n t y : − aB = aA + aBA cosθ
n t − aB − aA = aBA cosθ t aBA < 0
x : − a = −a sinθ
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a <0
t BD
顺时针
顺时针
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
例：半径为R 的圆盘在水平板A上纯滚动，若该瞬时板的速度 为u，加速度为a，轮心O相对板的速度为vr，相对加速度为ar。 求圆盘的角速度和角加速度以及圆盘最高点B的速度和加速度
解：因为圆盘纯滚动 x & v ω= O =− O R R 上式两边对时间 t 求导 aO x &&O & α =ω = = R R 问题：如何选基点？
例：已知半径为 R 圆盘在地面 上纯滚动，图示瞬时轮心的速 度为vO ，加速度为aO 。 求圆盘 的角速度、角加速度和最高点 A的加速度。
a
t AO
理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
问题：若OA匀角速顺时针转动，试确定该瞬时板C 加速度方向。
A
C
aA
ωOA
O
QvC = 2vB
Ca
vC
aC
vB
aB
B
& & QvC = 2vB
aC = 2aB
思考题：若OA逆时针匀角速转动，板C 加速度方向是否改变？
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
理论力学
上次课的主要内容
§7-1 刚体平面运动的运动学
研究刚体平面运动速度问题的几种方法： 1、基 点 法： v B = v A + v BA
y
ω
y'
vBA
B
vB β B vA vA
2、速度投影法： [v B ]AB = [v A ]AB
v 3、速度瞬心法： M = v MP = ω × rPM
A r0
理论力学
作业：7-6、7-7、7-9
刚体平面运动的加速度问题
问题： 若已知活塞移动的加速度， 如何求连杆或曲轴的角加速度。
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理论力学
问题的引出
问题：若滑块A匀速运动，如何求图示瞬时各机械臂的角加速度。 问题：若曲柄OA匀角速转 动， 如何确定图示位置时 板C 的加速度方向。
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上式在铅垂轴上投影： aBA cosθ = aB =
t n
上式在水平轴上投影： aBA sin θ = aB
t t
u L u
2
B
A
θ
α AB
t aBA u2 = = 2 AB L cosθ
α BC
t aB u 2 = = 2 tan θ BC L
u2 aB = α AB L = L cosθ
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
解：取圆盘为研究对象 （1）求B点的速度
v B = 2ω r
（2）求B点的加速度 取A为基点
a
n BA
R
vA = ω r t & & vA = aA = ω r = α r
n a A = ω 2r
α
a
t A
B
a
t BA
ω
A
a
n A
r
vA
n t n t a B = a A + a A + a BA + a BA n t a BA = ω 2 r a BA = α r t t aBx = a A + aBA = α R n n aBy = a A − aBA = 0
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演示机构运动
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
例：图示机构中，AB杆的A端以速度 u 匀速运动，求图示瞬时
DE杆的角速度。已知该瞬时，AB杆与水平线的夹角为450，套
筒D 位于AB杆的中点，DE杆水平。
B P
va ve
D
解： 动点：套筒D， 动系：AB杆
v a = ve + v r
解：动点：套筒D，动系：AB杆
B P
aa vr aC
D
aa = ae + ar + aC (1)
方向： √ √ √ √ 大小： ？ ？ ？ √ E
t n ae = aDA + aDA (2)
ve
u
A
ae ar
（2）式在AB杆上投影可得：
n ae cos450 = aDA
ae
（1）式在DP轴上投影可得：
α DE ⇐ aa
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aa cos 450 = −ae cos 450 − aC
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理论力学
§7-1 刚体平面运动的运动学
思考题：已知杆AB上的A点以匀速 u 铅垂运动，圆盘在地面上纯 滚动。确定图示瞬时，杆和圆盘的角速度、角加速度的转向。
u
A
情况1
u
A
情况2
B
B
A：顺时针
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n t aM = aMP + aMP
t aMP
= MP ⋅ α ,
n 2 MP
n aMP
= MP ⋅ ω
2
ω
aM
t a MP
α
M
n a MP
aM = ( a ) + ( a )
t 2 MP
L = MP
β
= (ω 2 L) 2 + (αL) 2
= L (ω 2 ) 2 + (α ) 2 t aMP αL α tan β = n = 2 = 2 aMP ω L ω
思考题：已知杆AB上的A点以匀速 u 铅垂运动，圆盘在地面 上纯滚动。试确定当系统运动到图示位置时，圆盘角速度的 转向和角加速度的转向。
u
A
B
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