2010——2017年考研数学三真题及答案解析(精心整理)

2010年考研数学三真题与解析

一.选择题

1.若1])1(1[lim =--→x

o

x e a x

x 则a =

A0 B1 C2 D3

2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使

21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则

A 21,21==

μλ B 21

,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3

2,32==μλ

3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是

A 0)(<'a f

B 0)(>'a f

C 0)(<''a f

D 0)(>''a f 4设10

10)(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x)

5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>s C 若向量组II 线性无关，则s r ≤ D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02

=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于

A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111

B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111

C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111

D ⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1

,110,21

,0)(x e x x x F x

，则P （X=1)=

A0 B

2

1 C 121--e D 1

1--e

8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若

⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0

),()(2

1b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：

A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2

二.填空题

9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰

=+-x

y

x t dt t x dt e 0

20

sin 2

确定，则

____________0

==x dx

dy

10.设位于曲线)()

ln 1(12

+∞<≤+=

x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x

轴旋转一周所得空间区域的体积为____________

11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为3

1p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________

12.若曲线12

3+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________

13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31

=+==-B A B A ，则_________1=+-B A

14.设

_

__________ET ,

1T )0)(,(N ,,1

2

2

321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。记统是来自总体n i i X n X X X σσμ 三.解答题

15.求极限x

x

x x ln 11

)

1(lim -+∞

→

16.计算二重积分

⎰⎰

+D

dxdy y x 3

)(，其中D 由曲线21y x +=与直线围成及0202=-=+y x y x 。

17.求函数u=xy+2yz 在约束条件102

2

2

=++z y x 下的最大值和最小值。 18. （1）比较

[]⎰⎰

⋯=+1

1

),2,1(ln )1ln(ln n dt t t dt t t n n

与的大小，说明理由。

（2）记[]⎰

⋯=+=1

),2,1()1ln(ln n dt t t u n

n ,求极限.lim n n u ∞

→

19.设

f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

)3()2()()0(22

f f dx x f f +==⎰

（1）证明：存在);0()(),2,0(f f =∈ηη使 （2）证明：存在0)(),3,0(=''∈ξξf 使 20

.的通解。

求方程组、）求（个不同的解。

存在已知线性方程组设b Ax a b Ax a b A ==⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2(.12.11,1101011λλλλ 21.设⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=0431410a a A ，正交矩阵Q 使得AQ Q T

为对角矩阵，若Q 的第一列为

T )1,2,1(6

1

，求a 、Q. 22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为+∞

<<-∞+∞<<-∞=-+-y x Ae y x f y xy x ,,),(2

2

22求常数A 及条件概率密度).(x y f X Y

23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2个球，记X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数。 （1）求随机变量（X,Y ）的概率分布； （2）求Cov （X,Y ）.