2010——2017年考研数学三真题及答案解析(精心整理)

合集下载

2010年考研数学三试题及全面解析

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若011lim 1x x a e x x →⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a 等于（）（A ） 0. （B ） 1. （C ） 2. （D ） 3.【答案】C【考点】极限的四则运算【难易度】★★★ 【详解】解析：()()()000011111lim lim 11lim 1lim x x x x x xx x x x e axe a e e ax e axe x x x x x x →→→→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫--=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭001lim lim 11x x x x e axe a x x→→-=+=-+= 所以2a =.（2）设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,u λ使 12y uy λ+是该方程的解，12y uy λ-是该方程对应的齐次方程的解，则（）（A ） 11,22u λ==. （B ） 11,22u λ=-=-. （C ） 21,33u λ==. （D ） 22,33u λ==.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质【难易度】★★ 【详解】解析：因12y y λμ-是()0y p x y '+=的解；故()()()12120y y p x y y λμλμ'-+-= 所以()()()()11220y p x y y p x y λμ''+-+= 而由已知()()1122(),()y p x y q x y p x y q x ''+=+= 所以()()0q x λμ-=又12y y λμ+是非齐次()()y p x y q x '+=的解；故()()()()1212y y p x y y q x λμλμ'+++= 所以()()()q x q x λμ+=所以01λμλμ-=⎧⇒⎨+=⎩12λμ==.（3）设函数()(),f x g x 具有二阶导数，且()0g x ''<，()0g x a =是()g x 的极值，则()()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是（）（A ）()0f a '<. （B ） ()0f a '>. （C ）()0f a ''<. （D ）()0f a ''>. 【答案】B【考点】函数的极值【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二阶可导函数()F x 在点0x x =处取得极大值的一个充分条件是'()0F x =且"()0F x <. 在本题中，[]{}[]()()()f g x f g x g x '''=⋅[]{}[]{}[][][]2()()()()()()()f g x f g x g x f g x g x f g x g x '''''''''''=⋅=⋅+⋅ 由于0()g x a =是()g x 的极值，所以0()0g x '=. 所以[]{}[]()0000()()()()f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅由于0()0g x ''<，要使[]{}()0f g x ''<，必须有()'0f a >（4）设()()()1010ln ,,x f x x g x x h x e ===，则当x 充分大时有（）（A ） ()()()g x h x f x <<. （B ） ()()()h x g x f x <<. （C ） ()()()f x g x h x <<. （D ） ()()()g x f x h x <<. 【答案】C【考点】极限的四则运算【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：极限的四则运算、等价无穷小、洛必达法则的运用. 设lim (),lim ()x ax af x Ag x B →→==，则()lim,(0)()x af x AB g x B→=≠.在本题中，因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞所以，当x 充分大时，()()h x g x >又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x xx x g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim10!lim 01x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅==所以当x 充分大时，()()f x g x < 所以当x 充分大，()()()f x g x h x <<. （5）设向量组12:,,r I ααα可由向量组12:,,s II βββ线性表示，下列命题正确的是（）（A ）若向量组I 线性无关，则r s ≤. （B ）若向量组I 线性相关，则r s >. （C ）若向量组II 线性无关，则r s ≤. （D ）若向量组II 线性相关，则r s >. 【答案】A【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】★★ 【详解】解析：由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以()()r I r II ≤，即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关，则1(,,)r r r αα=，所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤，即r s ≤，选A.（6）设A 为4阶实对称矩阵，且20A A +=，若A 的秩为3，则A 相似于（）（A ） 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ） 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.（C ） 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （D ） 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】D【考点】实对称矩阵的特征值，实对称矩阵的特性【难易度】★★★ 【详解】解析：设λ为A 的特征值，由于20A A +=，所以20λλ+=，即(1)0λλ+=，这样A 的特征值为-1或0.由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即AΛ，()()3r A r =Λ=，因此，1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭，即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. （7）设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1xx F x x e x - <⎧⎪⎪= ≤<⎨⎪⎪- ≥⎩，则{}1P x == （）（A ） .0 （B ）12. （C ） 112e --. （D ） 11e --. 【答案】C【考点】随机变量的分布函数的性质【难易度】★★ 【详解】解析：{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-.选C. （8）设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度，若12()0()(0,0)()af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度，则,a b 应满足（）（A ） 234a b +=. （B ）324a b +=. （C ）1a b +=. （D ）2a b +=. 【答案】A【考点】均匀分布、标准正态分布、连续型随机变量的概率密度的性质【难易度】★★★ 【详解】解析：由题意知 ()221x f x -=，()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞==+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰所以234a b +=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定，则x dydx== .【答案】-1【考点】积分上限的函数及其导数【难易度】★★ 【详解】解析：220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰，令0x =，得0y =等式两端对x 求导，得 2()220(1)s i n s i nx x y dy e t dt x x dx-++=+⎰ 将0x =，0y =代入上式，得10dydx+= 所以1x dydx ==-. （10）设位于曲线)y e x =≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积是 .【答案】24π【考点】定积分的换元法；旋转体的体积【难易度】★★★ 【详解】解析：()221ln eedxV y dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰ ()22ln arctan ln 1ln 244eed x x x ππππππ+∞+∞⎛⎫==⋅=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰. （11）设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则()R p = .【答案】()3113p pe-【考点】导数的经济意义【难易度】★★★ 【详解】解析：由收益弹性的定义，得31dR pp dp R⋅=+ 21dR p dp R p ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭两端积分，得 21ln ln 3R p p C =++ 又()11R =，所以13C =-11ln ln 33R p p ∴=+-即()3113p R pe -=（12）若曲线321y x ax bx =+++有拐点(1,0)-，则b = . 【答案】3【考点】函数图形的拐点【难易度】★★ 【详解】解析：321y x ax bx =+++232y x ax b '=++62y x a ''=+因曲线有拐点(1,0)-，所以，当1x =-时，0y ''=13ax ⇒=-=-3a ⇒= 曲线过点()1,0-，代入曲线方程，得3b =.（13）设A ，B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B -+=，则1A B -+= .【答案】3【考点】行列式的计算【难易度】★★ 【详解】解析：由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+，所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =，所以1112BB--==，因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.（14）设1,,n X X 是来自总体2(,)N μσ(0)σ>的简单随机样本，记统计量211n i i T X n ==∑，则ET = .【答案】22σμ+【考点】单个正态总体的抽样分布【难易度】★★ 【详解】解析：()()22222211111()()n n i i i i E T E X E X nE X D X E X n n nσμ==⎛⎫⎛⎫====+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答．题纸．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10 分）求极限11ln lim (1)xxx x →+∞-【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】★★ 【详解】解析：11ln 1ln 111ln lim ln ln lim 1lim x x x x x xxxxx x x ee→+∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫-== ⎪⎝⎭1111ln 1ln lim1lim 11x xx x x x x xx x x x xe e→+∞→+∞⎛⎫- ⎪⋅- ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭==1ln 1ln lim1ln lim11ln x x x x xxx e x x xee→+∞→+∞--⎛⎫ ⎪-⋅ ⎪⎝⎭==（x →+∞时，1ln 0x x→1ln 11ln x x e x x⇒-） 1.e -=（16）（本题满分10分）计算二重积分3()Dxy dxdy +⎰⎰，其中D 由曲线x =0x =及0x =围成.【考点】二重积分的性质、利用直角坐标计算二重积分【难易度】★★★ 【详解】解析：设12D D D =，其中(){1,0D x y y x =≤≤≤≤ (){2,10,D x y y x =-≤≤≤≤()()3322333DDx y dxdy x x y xy y dxdy +=+++⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于x 轴对称，被积函数233x y y +是y 的奇函数，所以()2330Dx y y dxdy +=⎰⎰()()())113323232032323D D D x y dxdy x xy dxdy x xy dxdy dy xxy dx ⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1422013242x x y ⎛=+ ⎝⎰1420912244y y dy ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰1415=（17）（本题满分10 分）求函数2u xy yz =+在约束条件22210x y z ++=下的最大值和最小值. 【考点】拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值【难易度】★★★ 【详解】解析：令()()222,,,210F x y z xy yz x y z λλ=++++-22220220220100x yzF y x F x z y F y z F x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪∴⎨'=+=⎪⎪'=++-=⎩解得1,21,2x y z x y z ⎧===⎪⎨=-==-⎪⎩()()21,2M M ∴=--=()()1,2M M =--=-.（18）（本题满分10 分）（I ）比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =的大小，说明理由；（II ）记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =，求极限lim n n u →∞. 【考点】夹逼准则、定积分的基本性质【难易度】★★★★ 【详解】解析：当0t →时，[]ln ln(1)0,ln 0nnt t t t +→→，所以()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与1ln n t t dt ⎰均为定积分，故（I ）当01t <<时0ln(1)t t <+<，故[]ln(1)nn t t +<，所以[]ln ln(1)ln nnt t t t +<[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt ∴+<⎰⎰()1,2,n =（II ）()1111001ln ln ln 1nnn t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+ 故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰，根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+故lim 0n n u →∞=.（19）（本题满分10 分）设函数()f x 在[]0,3上连续，在()0,3内存在二阶导数，且22(0)()(2)(3)f f x dx f f ==+⎰，（I ）证明：存在(0,2)η∈使()(0);f f η= （II ）证明存在(0,3)ξ∈，使()0f ξ''= 【考点】罗尔定理、介值定理、定积分中值定理【难易度】★★★ 【详解】证明：（I ）22(0)()f f x dx =⎰，又()f x 在[]0,2上连续∴由积分中值定理得，至少有一点(0,2)η∈，使得()()()2020f x dx f η=⋅-⎰()()202f f η∴=，∴存在()0,2η∈使得()()0f f η=.（II ）()()()2320f f f +=，即()()()2302f f f += 又()f x 在[]2,3上连续，由介值定理知，至少存在一点[]12,3η∈使得[]()10f f η= ()f x 在[]0,2上连续，在()0,2上可导，且()()02f f =∴由罗尔定理知，()10,2ξ∃∈，有()10f ξ'=又()f x 在[]12,η上连续，在()12,η上可导，且()()()120f f f η==∴由罗尔定理知，()212,ξη∃∈，有()20f ξ'=又()f x 在[]12,ξξ上二阶可导，且()()120f f ξξ''==∴由罗尔定理，至少有一点12(,)(0,3)ξξξ∈⊂，使得()0f ξ''=.（20）（本题满分11分）设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解（I ）求λ,a ;（II ）求方程组Ax b =的通解.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：（I ）已知Ax b =有2个不同的解()(,)3r A r A b ∴=<，对增广矩阵进行初等行变换，得2211111(,)0101010111111111111010101010110011a A b a a a λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时，11111111(,)000100010000000A b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时，()1(,)2r A r A b =≠=，Ax b =无解，所以1λ≠.当1λ=-，1111(,)02010002A b a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭由于()(,)3r A r A b =<，所以2a =-.因此，1λ=-，2a =-. 方法二：（I ）已知Ax b =有2个不同的解()(,)3r A r A b ∴=<∴0A =，即21110(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=，知1λ=或-1. 当1λ=时，()1(,)2r A r A b =≠=，此时，Ax b =无解，1λ∴=-.代入由()(,)r A r A b ∴=得2a =-.（II ）310111112111111(,)020101001022000000000000A b ⎛⎫- ⎪-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ 原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即132333212x x x x x ⎧=+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.Ax b ∴=的通解为31(1,0,1)(,,0)22T T x k =+- ，k 为任意常数.（21）（本题满分11 分）设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，正交矩阵Q 使得TQ AQ 为对角矩阵，若Q 的第1列为T，求a，Q.【考点】实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵【难易度】★★★【详解】解析：由于0141340A aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，存在正交矩阵Q，使得TQ AQ为对角阵，且Q的第一列为T，故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=，故1Aλ=，即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭，由14131041E Aλλλλ--=-=-，可得14144141311312314140400441(4)(4)(2)(5)023λλλλλλλλλλλλλλλλ-----=-=----++-=+=+--=-故A的特征值为1232,4,5λλλ==-=，且对应于12λ=的特征向量为12,1)Tξ=.由2()0E A xλ-=，即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4141711011710270010414000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-→-→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得对应于24λ=-的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.由3()0E A x λ-=，即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭514121121101121099011011415099000000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵，123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量，所以123,,ξξξ相互正交，只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-，取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭，则245TQ AQ ⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭. （22）（本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=，x -∞<<+∞，y -∞<<+∞，求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x【考点】连续型随机变量的概率密度的性质，二维连续型随机变量的边缘密度，二维连续型随机变量的条件密度【难易度】★★★ 【详解】解析：()()222222,y x x xy y x f x y AeAe e---+--==()2222221111y x x A e eπ---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎥⎥⎥⎥⎦⎦ 利用概率密度的性质得到()()2222111,[]y x x f x y dxdy A ee dy dx π---⨯⨯+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰因为，()222221)1y x t e dy y x te dt --⨯+∞+∞--∞-∞-==⎰；同理，22111x e dx -⨯+∞-∞=⎰，所以()()222222111,[]y x x f x y dxdy A ee dy dx A ππ---⨯⨯+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰（利用正态分布的概率密度为1，即()221x dx μσ--+∞-∞=⎰），得到1A π-=即()()22222211,y x x f x y e e---⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎥⎥⎥⎥⎦⎦ X 的边缘概率密度为()()()222221,y x xx X f x f x y dy e dy --⨯+∞+∞---∞-∞===⎰⎰条件概率密度()()()222,,,x xy y Y X X f x y f y x x y f x -+-==-∞<<+∞-∞<<+∞（23）（本题满分11分）箱内有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1、2、3个，现从箱中随机的取出2个球，记X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数. （I ）求随机变量(,)X Y 的概率分布；（II ）求cov(,)X Y 【考点】二维离散型随机变量的概率分布、协方差的计算公式【难易度】★★ 【详解】解析：（I ）X 的所有可能取值为0,1，Y 的所有可能取值为0,1,2{}2326310,0155C P X Y C =====（取到的两个球都是黑球）{}112326620,1155C C P X Y C =====（取到的一个是白球，一个是黑球）{}222610,215C P X Y C ====（取到的两个球都是黑球）{}111326311,0155C C P X Y C =====（取到的一个是红球，一个是黑球）{}11122621,115C C P X Y C ====（取到的一个是红球，一个是白球）{}261,20P X Y C ==== (),X Y 的联合分布律为（II ）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =-()21101333E X =⨯+⨯=，()2812012515153E Y =⨯+⨯+⨯=()22111515E XY =⨯⨯=，∴()()()()2124,153345Cov X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-。

2010年考研数学三真题答案解析(pdf)

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题参考答案一、选择题(1)【答案】(C).【解析】()()()000011111lim lim 11lim 1lim x x x x x xx x x x e axe a e e ax e axe x x x x x x →→→→⎛⎫⎛⎫-⎛⎫--=--=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭001lim lim 11xx x x e axe a x x→→-=+=-+=所以2a =.(2)【答案】(A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=,①又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=,②由①②求解得12λμ==,故应选(A)．(3)【答案】(B).【解析】[]{}[]()()()f g x f g x g x '''=⋅,[]{}[]{}[][][]2()()()()()()()f g x f g x g x f g x g x f g x g x '''''''''''=⋅=⋅+⋅由于0()g x a =是()g x 的极值,所以0()0g x '=.所以[]{}[]()0()()()()f g x f g x g x f a g x ''''''''=⋅=⋅由于0()0g x ''<,要使[]{}()0f g x ''<,必须有()0f a '>,故答案为B.(4)【答案】(C).【解析】因为1010()1lim lim lim ()10xxx x x h x e e g x x →+∞→+∞→+∞===+∞,所以,当x 充分大时,()()h x g x >.又因为91091ln ()ln ln limlim lim 1010lim ()1x x x x x f x xxx g x xx→+∞→+∞→+∞→+∞⋅===81ln ln 1109lim1092lim 10!lim 01x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⋅=⋅==⋅== .所以当x 充分大时,()()f x g x <,故当x 充分大,()()()f x g x h x <<.(5)【答案】(A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r sααββ≤≤ 若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα= ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤ ,即r s ≤,选(A).(6)【答案】(D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭.(7)【答案】(C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】(A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题(9)【答案】1-.【解析】220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰,令0x =,得0y =,等式两端对x 求导：2()220(1sin sin x x y dyet dt x x dx-++=+⎰．将0x =,0y =代入上式,得010x dy dx=+=.所以1x dy dx==-.(10)【答案】24π.【解析】根据绕x 轴旋转公式,有()221ln eedx V y dx x x ππ+∞+∞==+⎰⎰()22ln arctan ln 1ln 244e ed xx x ππππππ+∞+∞⎛⎫==⋅=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎰.(11)【答案】()3113P p e-⋅.【解析】由弹性的定义,得31dR pp dp R ⋅=+,所以21dR p dp R p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即21ln ln 3R p p C =++,又()11R =,所以13C =-.故11ln ln 33R p p =+-,因此()3113p R p e -=⋅.(12)【答案】3b =.【解析】函数为321y x ax bx =+++,它的一阶导数为232;y x ax b '=++二阶导数为62y x a ''=+,又因为()1,0-是拐点,所以10x y =-''=,得13a-=-,所以3a =,又因为曲线过点()1,0-,所以将1,0x y =-=代入曲线方程,得3b =.(13)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.(14)【答案】22σμ+.【解析】()()()22222211111n n i i i i E T E X E X X E X n n nσμ==⎛⎫⎛⎫=====+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.三、解答题(15)【解析】11ln ln 1ln 11ln 11ln lim lim ln ln ln lim 1lim x x x x x x x x e xx xxxx x x ee e→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭其中ln ln ln 12ln(1)(1)1ln limlim1ln xx x xxxx x e eex x x x-→+∞→+∞---=⋅ln ln 1ln 1lim lim (1)1ln ln x xx xx x e x e x xx x→+∞→+∞-=⋅=-=-.故原式1e -=.(16)【解析】积分区域12D D D = ,其中(){1,01,D x y y x =≤≤≤≤(){2,10,D x y y x =-≤≤≤≤()()3322333DDx y dxdy x x y xy y dxdy+=+++⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于x 轴对称,被积函数233x y y +是y 的奇函数,所以()2330Dxy y dxdy +=⎰⎰．()()())11332323232323D D D x y dxdy x xy dxdy x xy dxdy dy x xy dx ⎡⎤+=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1422013242x x y dy ⎛=+ ⎝⎰14209114224415y y dy ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰.(17)【解析】令()()222,,,210F x y z xy yz x y z λλ=++++-,用拉格朗日乘数法得22220,220,220,100,x y z F y x F x z y F y z F x y z λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=+=⎪⎪'=++-=⎩求解得六个点：()()2,1,2,A B --()()1,2,1,2,C D --((,.E F -由于在点A 与B点处,u =C 与D处,u =-；在点E 与F 处,0u =．又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以max u =min u =-(18)【解析】(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(19)【解析】(I)因为22(0)()f f x dx =⎰,又因为()f x 在[]0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点[]0,2η∈,使得()()()220f x dx f η=⋅-⎰即()()202f f η=,所以存在[]0,2η∈,使得()()0f f η=.(Ⅱ)因为()()()2320f f f +=,即()()()2302f f f +=,又因为()f x 在[]2,3上连续,由介值定理知,至少存在一点[]12,3η∈使得()()10f f η=.因为()f x 在[]0,2上连续,在[]0,2上可导,且()()02f f =,所以由罗尔中值定理知,Ｃ存在()10,2ξ∈,有()10f ξ'=.又因为()f x 在[]12,η上连续,在()12,η上可导,且()()()120f f f η==,所以由罗尔中值定理知,存在()212,ξη∈,有()20f ξ=.又因为()f x 在[]12,ξξ上二阶可导,且()()120f f ξξ''==,所以由罗尔中值定理,至少有一点()0,3Ax b =⊂,使得()0f ξ''=.(20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=-,2a =-.方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.(II )对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎭,即10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy+∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---=-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】(I)X 的所有可能取值为0,1,Y 的所有可能取值为0,1,2．{}2326310,0155C P X Y C =====,其中0,0X Y ==表示取到的两个球都是黑球；{}112326620,1155C C P X Y C =====,其中0,1X Y ==表示取到的一个是白球,一个是黑球；{}222610,215C P X Y C ====,其中0,2X Y ==表示取到的两个球都是白球；{}111326311,0155C C P X Y C =====,其中1,0X Y ==表示取到的一个是红球,一个是黑球；{}11122621,115C C P X Y C ====,其中1,1X Y ==表示取到的一个是红球,一个是白球；{}261,20P X Y C ====,因此二维离散型随机变量,X Y 的概率分布为(II)(Cov。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（） )(A 21=ab 。

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（）)(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。

（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（）)(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。

考研数学三_历年真题_答案

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。

(1)若11lim 1x x a e x x →∞⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a 等于(A)0 (B)1 (C)2 (D)3详解:()1111lim lim 1lim lim 11x x x x x x x x x e a e e ae a e a x x x x →∞→∞→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎡⎤--=--+=+=-+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因此2a =，选C(2)设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,λμ使11y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则( )(A)11,22λμ==(B)11,22λμ=-=-(C)21,33λμ==(D)22,33λμ==根据已知有11()()y y p x q x λ''+=，22()()y y p x q x λ''+=。

于是将12y y λμ+和12y y λμ-分别代入方程左边得1212()()()()()y y p x y y q x λμλμλμ''+++=+ 1212()()()()()y y p x y y q x λμλμλμ''-+-=-12y y λμ+为方程解1λμ⇒+=，12y y λμ-为其次方程解0λμ⇒-=，解得12λμ==，选A(3)设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()g x '小于零，0()g x a =是()g x 的极值，则()()f g x 在0x 的极大值的一个充分条件是( )(A)()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)()0f a ''>根据已知得0()0g x '=，0()0g x ''<。

2017考研数学三真题及答案解析

ln 2
ln 2
2
．
5
19．（本题满分 10 分）
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
，
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
（1）证明 an xn 的收敛半径不小于1． n0
（2）证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ，并求出和函数的表达式．
0
2
10．差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
．
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ；
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
，代入方程，得 a
1 2
；
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11．设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ，其中产量为 Q ，则边际成本为
8．设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本，若
X
1 n
n i 1
Xi
，则下列结论中不
正确的是（）
n
（A） ( X i )2 服从 2 分布 i 1
（B） 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
（C） ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时， g(x) g(0) 0 ，进一步得到当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少．

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc

)(B 21-=ab 。

)(C 0=ab 。

D (2=ab 。

【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。

（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（）)(A )0,0(。

)(B )3,0(。

)(C )0,3(。

)(D )1,1(。

（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（）)(A )1()1(->f f 。

)(B )1()1(-<f f 。

)(C |)1(||)1(|->f f 。

)(D |)1(||)1(|-<f f 。

【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。

2010——2017年考研数学三真题及参考答案解析(精心整理)

2010年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a = A0B1C2D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f4设1010)(,)(,ln )(xe x h x x g x xf ===则当x 充分大时有 Ag(x)<h(x)<f(x)Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x)Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0111 C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---01117.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0B 21C 121--e D 11--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xy x t dtt x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________ 12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。

2017【考研数学三】真题及答案解析

2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4．若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆（B ）TE αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1L ；2,1,1,,1L ；1,1,1,,1-L ；3,1,1,,1L ．显然只有TE αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似（B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似（D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与C 相互独立的充分必要条件是（）（A ）,A B 相互独立（B ）,A B 互不相容（C ）,AB C 相互独立（D ）,AB C 互不相容【详解】()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-U显然，A B U 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（）（A ）21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布（B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=L 且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sinx dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =；设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e-+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0limt x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33t x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→==== 16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域．【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)111141128Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-= ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分）已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+L ，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+L1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+L也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+L111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑Llim1n n n ρ→∞=≤≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑，由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z L 的观测值为12,,,n z z z L ．当0,1,2,i z i n >=L 时似然函数为221121()(,)ni i n nz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。

2017年考研数学三真题与解析

【详解】设 g(x) ( f (x))2 ，则 g(x) 2 f (x) f (x) 0 ，也就是 f (x)2 是单调增加函数．也就得到
2
2
f (1) f (1) f (1) f (1) ，所以应该选（C）
1
1
4．
若级数 n2 sin
k ln(1 n
n) 收敛，则 k
（
）
（A）1
2017 年考研数学三真题
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1 cos x
,x 0
1．若函数 f (x) ax
在 x 0 处连续，则
b,
x0
1
1
（A） ab （B） ab （C） ab 0 （D） ab 2
2
2
1
x
1 cos 【详解】 lim f (x) lim
．
解：由对称性知 (sin3 x
2 x2 )dx 2
2 x2 dx 3 ．
i 1
2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；
（2）
n i 1
(Xi
X )2
(n 1)S 2
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1) ，所以（C）结论也是正确的；
1 （3）注意 X ~ N (, )
n ( X ) ~ N (0,1) n( X )2 ~ 2 (1) ，所以（D）结论也是正确的；
x lim 2
1 ， lim f (x) b f (0) ，要使函数在 x 0 处连续，
x0
x0
ax
x0 ax 2a x0
1
1
必须满足 b ab ．所以应该选（A）
2a
2
2．二元函数 z xy(3 x y) 的极值点是（）

2017年考研数学三真题及答案解析

2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =，处连续，则（）（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =（2）二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0)（B ）(0,3)（C ）(3,0)（D ）(1,1)（3）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（）（A ）(1)(1)f f >- （B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)f f <-（4）设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则k =（）（A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆（B ）TE αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（A ）A 与C 相似，B 与C 相似（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似（C ）A 与C 不相似，B 与C 相似（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,,A B C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是（A ）A 与B 相互独立（B ）A 与B 互不相容（C ）AB 与C 相互独立（D ）AB 与C 互不相容（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布（B ）212()n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）3(sin x dx ππ-=⎰_______。

2010——2017年考研数学三真题及答案解析(精心整理)

2010年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(xe x h x x g x xf ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111C ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111 D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,210,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。

2010年考研数学三真题及答案解析

2010年考研数学三真题及答案解析2010年考研数学三真题⼀.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是⼀阶线性⾮齐次微分⽅程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数µλ,使21y y µλ+是该⽅程的解，21y y µλ-是该⽅程对应的齐次⽅程的解，则A 21,21==µλ B 21,21-=-=µλ C 31,32==µλ D 32,32==µλ3.设函数f(x),g(x)具有⼆阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极⼤值的⼀个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(x e x h x x g x x f ===则当x 充分⼤时有Ag(x)Cf(x)5设向量组线性表⽰，，，：，可由向量组s I βββααα??21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性⽆关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性⽆关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ??????? ??0111B-0111 For personal use only in study and research; not for commercial useC ??????? ??--0111D---0111 7.设随机变量X 的分布函数≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.For personal use only in study and research; not for commercial use9.10.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满⾜：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 ⼆.填空题11.For personal use only in study and research; not for commercial use 12. 13.设可导函数y=y(x),由⽅程??=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy14.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下⽅，x 轴上⽅的⽆界区域为G ，则G 绕x轴旋转⼀周所得空间区域的体积为____________15.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________16.For personal use only in study and research; not for commercial use 17.18.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________ 19.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31 =+==-B A B A ，则_________1=+-B A20.For personal use only in study and research; not for commercial use 21. 22.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>?∑=则计量的简单随机样本。

2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)

2017年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．若函数f(x)=在x=0处连续，则( )A．ab=1／2B．ab=-C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：=1／2a，∵f(x)在x=0处连续，1／2a=bab=1／2，选A．2．二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：=-1，从而AC-B2＞0，从而(1，1)为极值点．3．设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)＞0，则( )A．f(1)＞f(-1)B．f(1)＜f(-1)C．|f(1)|＞f(-1)|D．|f(1)|＜|f(-1)|正确答案：C解析：举特例，设f(x)=ex，可排除BD；设f(x)=-ex，可排除A，故选C．4．若函数收敛，则k=( )A．1B．2C．-1D．-2正确答案：C解析：因为原级数收敛，所以1+k=0k=-1．选C．5．设α为n维单位向量，E为n阶单位矩阵，则( )A．E-ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E-2ααT不可逆正确答案：A解析：选项A，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，故|E-ααT|=0．即E-ααT不可逆，选项B，由r(ααT)=1得ααT的特征值为n-1个0，1故E-ααT的特征值为n-1个1，2，故可逆．6．已知矩阵A=，则( )A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：由(λE-A)=0可知A的特征值为2，2，1因为2E-A=得r(2E-A)=1，∴A可相似对角化。

且A～由|λE-B|=0可知B特征值为2，2，1因为2E-B=得r(2E-B)=2，∴B不可能相似对角化，显然C可相似对角化，∴A～C，且B不相似于C．7．设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )A．A与B相互独立B．A与B互不相容C．AB与C相互独立D．AB与C互不相容正确答案：C解析：由题设知，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，由A∪B与C相互独立知，P(A∪B)C=P(A∪B)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)而P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)P(ABC)=P(AB)P(C)，即AB与C相互独立．8．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记Xi，则下列结论不正确的是( )A．(X1-μ)2服从χ2分布B．2(Xn-x1)2服从χ2分布C．)2服从χ2分布D．n(-μ)2服从χ2分布正确答案：B二、填空题9．∫-ππ(sin3x+)dx=_______．正确答案：π3／2解析：∫-ππ(sin3x+)dx=2∫0π(2∫0π／2πcost．πcostdt=2π2∫0π／2πcos2tdt=2π22．=π3／2．10．差分方程yt+1-2yt=2t通解为yt=_______．正确答案：φt=C．2t+t．2t解析：由yt+1-2y1=2tλ=2，∴=C2t设y1*=C1t21，则y1+1*=C1(t+1)2i+1=2tt2i(C∈R)．11．设生产某产品的平均成本(Q)=1+e-Q，其中产量为Q，则边际成本为_______．正确答案：1+(1-Q)e-Q解析：C=Q=Q(1+e-Q)C’(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q．12．设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______．正确答案：xyey解析：f’k=yey，f’y=x(1+y)ey，f(x，y)=∫yeydx=xyey+c(y)，故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey，故c’(y)=0，由f(0，0)=0，即f(x，y)=xyey．13．设矩阵A=，α1、α2、α3为线性无关的三维向量组，则向量组Aα1、Aα2、Aα3的秩为_______．正确答案：2解析：由a1，a2，a3，线性无关，可知矩阵a1，a2，a3，可逆，故r(Aa1，Aa2，Aa3)=r(A(a1，a2，a3))=r(A)再由r(A)=2得r(Aa1，Aa2，Aa3)=2．14．设随机变量X的概率分布为P{X=-2}=1／2，P={X=1}=a，P{X=3}=b，若EX=0，则DX=_______．正确答案：9／2解析：由归一性得+a+b=1，再由EX=0得-1+a+3b=0故a=b=1／4，故EX2=(-2)2×=9／2，DX=EX2-(EX)2=9／2．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2017年数三真题与解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数在处连续，则（）【答案】A【解析】在处连续(2)二元函数的极值点（）(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】(3)设函数可导，且则（）(A)(B)(C) (D)【答案】C【解析】或，只有C选项满足且满足，所以选C。

(4)若级数收敛，则(A) 1 (B) 2 (C) -1 (D) -2【解析】(5) 设是维单位列向量，为阶单位矩阵，则（）(A) 不可逆(B) 不可逆(C) 不可逆(D)不可逆【答案】A【解析】选项A,由得有非零解，故.即不可逆.选项B,由得的特征值为n-1个0，1.故的特征值为n-1个1，2.故可逆.其它选项类似理解.(6)已知矩阵，则(A) A与C相似，B与C相似(B) A与C相似，B与C不相似(C) A与C不相似，B与C相似(D) A与C不相似，B与C不相似【答案】B【解析】由可知A的特征值为2,2,1.因为，∴A可相似对角化，且.由可知B特征值为2,2,1.因为，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴，且B不相似于C.(7)设为三个随机事件，且与相互独立，与相互独立，则与相互独立的充要条件是(A) 与相互独立(B) 与互不相容(C) 与相互独立(D) 与互不相容【答案】C【解析】(8)设来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是：(A) 服从分布(B) 服从分布(C) 服从分布(D) 服从分布【答案】B【解析】由于找不正确的结论，故B符合题意.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。

(9)_________.【解析】(10) 差分方程的通解【解析】代入原方程得.(11) 设生产某产品的平均成本，其中为产量，则边际成本为_________. 【解析】.(12)设函数具有一阶连续偏导数，且，则_________.【解析】(13) 设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为_________.【解析】由线性无关，可知矩阵可逆，故再由得(14) 设随机变量的概率分布为，，若则.【解析】三、解答题：15~23小题，共94分。

2017年考研数学真题(数三)试题+解析

4!+%,"4!-"
$ &4!+"%4!,""4!+,"’4!-"
$ 4!+"4!,"%4!,"4!-""4!+,"4!-"
+ , , U- VW#/ 4&!+ %,"-’$ 4!+ % ,"4!-"&XYZ[\]>
4!+"4!-"%4!,"4!-""4!+,-"
$ 4!+"4!,"%4!,"4!-""4!+,"4!-"
!"#$!"#$%&’()*+,-./*0.1
,!231"#!%41#541&6#7’!6!8951:;<=>2?@#AB,>2?
CD1E<FG#HIJ2?K<LMNOP1QRSTUV!$ !!!
!#")*""!#"$$%#%&(#)*槡### ""#+# $",-.#/
!!!"
&’#
# #"
!+"&’
###!!"’#!"!"’0’
//#!!"/(/#!"!"/#01!&"’
!’"6"3.6
! 0
$
! 0
")0!% %1!!!%"#

2010年考研数学三真题及答案解析

2010年考研数学三真题一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a =A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则For personal use only in study and research; not for commercial useA 21,21==μλ B 21,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 32,32==μλ3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是For personal use only in study and research; not for commercial useA 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f 4设1010)(,)(,ln)(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有Ag(x)<h(x)<f(x) Bh(x)<g(x)<f(x)For personal use only in study and research; not for commercial useCf(x)<g(x)<h(x) Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是： A 若向量组I 线性无关，则s r ≤ B 若向量组I 线性相关，则r>sFor personal use only in study and research; not for commercial useC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111 For personal use only in study and research; not for commercial useC ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0111 7.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0 B 21 C 121--e D 11--e8.For personal use only in study and research; not for commercial use9.10.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二.填空题11.For personal use only in study and research; not for commercial use 12.13.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xyx t dt t x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy14.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________15.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________16.For personal use only in study and research; not for commercial use 17.18.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________ 19.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A20.For personal use only in study and research; not for commercial use 21. 22.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。