学高中数学不等式和绝对值不等式三个正数的算术几何平均不等式学案

学高中数学不等式和绝对值不等式三个正数的算术几何平均不等式学

案

Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

3.三个正数的算术-几何平均不等式

1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程． 2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)

3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 三个正数的算术-几何平均不等式 阅读教材P 8～P 9定理3，完成下列问题．

1．如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a 3

＋b 3

＋c 3

≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．

2．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋a ＝b ＝c 时，等号成

立．

即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． 已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋c a

有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为2

D.最大值为2

【解析】 a b ＋b c ＋c

a ≥33a

b ×b

c ×c a ＝3，

当且仅当a b ＝b c ＝c a

，即a ＝b ＝c 时，取等号． 【答案】 A

教材整理2 基本不等式的推广

阅读教材P 9～P 9“例5”以上部分，完成下列问题．

对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即

a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．

教材整理3 利用基本不等式求最值

阅读教材P 9～P 9“习题1.1”以上部分，完成下列问题．

若a ，b ，c 均为正数，①如果a ＋b ＋c 是定值S ，那么a ＝b ＝c 时，积abc 有最大值；②如果积abc 是定值P ，那么当a ＝b ＝c 时，和a ＋b ＋c 有最小值．

设x ＞0，则y ＝x ＋4

x

2的最小值为( )

A ．2

B ．2 2

C ．3 2

D.3

【解析】 y ＝x ＋4

x 2＝x 2＋x 2＋4

x 2≥3·3x 2·x 2·4

x

2＝3，

当且仅当x 2＝4

x

2时取“＝”号．

【答案】 D

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

证明简单的不等式

设a ，b ，c 为正数，求证：⎝ ⎛⎭

⎪⎫a

2＋b

2＋c 2(a ＋b ＋c )2

≥27.

【精彩点拨】 根据不等式的结构特点，运用a ＋b ＋c ≥33

abc ，结合不等式的性质证明．

【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ＋c ≥33

abc >0， 从而(a ＋b ＋c )2

≥93a 2b 2c 2>0. 又1

a 2＋1

b 2＋1

c 2≥33

1a 2b 2c

2

>0，

∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a

2＋1b

2＋1c 2(a ＋b ＋c )2 ≥3

31

a 2

b 2c

2

·93a 2b 2c 2

＝27，

当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．

1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0.

(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．

2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．

[再练一题]

1．设a ，b ，c 为正数，求证：⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a

3＋1b

3＋1c 3(a ＋b ＋c )3

≥81.

【证明】 因为a ，b ，c 为正数， 所以有1

a 3＋1

b 3＋1

c 3≥3

31

a

3

·1b 3·1c 3＝3

abc

＞0.

又(a ＋b ＋c )3≥(33abc )3

＝27abc ＞0，

∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a

3＋1b

3＋1c 3(a ＋b ＋c )3

≥81， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．

用平均不等式求解实际问题

如图1-1-2所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家

知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角

θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k

sin θ

r

2

.这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？

图1-1-2

【精彩点拨】 根据题设条件建立r 与θ的关系式，将它代入E ＝k sin θ

r

2

，得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．

【自主解答】 ∵r ＝2cos θ

，

∴E ＝k ·sin θcos 2

θ4⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0<θ<π2. ∴E 2

＝k 2

16·sin 2θ·cos 4

θ

＝k 2

32(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2

θ ≤k 232⎝

⎛⎭

⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2

θ3

3

＝k 2

108， 当且仅当2sin 2

θ＝cos 2

θ时取等号， 即tan 2

θ＝12，tan θ＝22时，等号成立．

∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大．

因此选择灯的高度为2米时，才能使桌子边缘处最亮．