函数极值的概念.ppt
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2.3 函数的极值
第 2.3.1 函数极值的概念
2
章 2.3.2 函数极值的求法
极 限
2.3.3 函数最值的求法
2.3.3 函数最值应用举例
观察图像：
函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值
f(x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各
点处的函数值，相比有什么特点?
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4) 用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。
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例 求 y = x3 3 x2 18x 24 的单调区间和极值.
y Oa
y
y=f(x )
y=f(x )
f(x0)
x0
b xO a
f(x0)
x0
bx
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求函数在区间内的最值的步骤
(1) 求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值；
(2) 求出区间端点处的函数值； (3) 比较以上各函数值，其中最大的就是函数
的最大值，最小的就是函数的最小值。
y f(x)=x3
O
x
值点。
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函数极值的判定定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0 (1) 若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正；
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f ´( x0 ) (2)若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负；
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例 求函数 y = x³+ 3 x²－9x在上［－4 , 4 ］ 的最大值和最小值。
解 (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9, 得驻点为 x1=－3，x2=1 驻点处的函数值为f (－3)=－27, f (1)=－4
(2) 区间端点［－4 , 4 ］处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
y
y
y=f(x )
y=f(x )
Oa
b xO a
bx
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函数的最值一般分为两种情况：
（2） 如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一 个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大 (小)值就是函数在区间[a, b]上的最大(小)值。
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值， 点 x0 是 f ( x )的一个极大点；
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) < f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值， 点 x0 是 f ( x )的一个极小点；
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2
解：(1) f (x) 的定义域为(－∞,＋∞)；
(2) f´(x) =－3x²+ 3x + 18
(3) 令 f ´(x) = 0得驻点 x1 =－2, x2 =3 (4) 列表讨论，如下：
x (－∞,－2) －2 (－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间 ( a , b )内只有一个驻点 x0 ，而且从实际问题 本身又可以知道函数在 ( a , b ) 内必有最大值 或最小值，那么 f ( x0 )就是所求的最大值或最 小值.
y f (x1)
y=f(x) f(x3)
f(x2)
f(x4)
O a x1
x2 x3 x4
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bx
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2.3.1 函数极值的概念
设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) < f ( x0 )，
(3) 比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的 最大值为 f (4) =76，最小值为 f (－3)=－27
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练习
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。
(1)
f (x)
= sin 2x x
,
2
,
2
最大值 f (－π/2)=π/2，最小值 f (π/2)= －π/2
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在， 则必有 f (x0)=0。 驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。
说明： 可导函数 f(x)的极值点必定 是函数的驻点。但函数 f(x)的驻 点却不一定是极值点。
对于函数 f(x)=x3可知，x=0是 函数的驻点，不是函数的极
(2) f (x) = x 1 x , 5,1
最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (－5)= －5+ 6
(3) f (x) = 2x3 6x2 18x 7 , 1, 4
最大值 f (1)=－29，最小值 f (3)= －61 答 案
பைடு நூலகம்
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2.3.4 函数最值应用举例
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
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y y=f(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
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2.3.2 函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。 观察与思考：极值与导数有何关系？
y y=f(x)
O a x1
x2
x3 x4 x5 b x
f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0
f (x5)=0
在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。
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取得极值的必要条件：
函数在 x = －2处取得极小值－62
在 x = 3处取得极大值16.5
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2.3.3 函数最值的求法
观察极值与最值的关系：
y
y=f(x)
M
m
O a x1
x2
x3 x4 x5 b x
问：最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？
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函数的最值一般分为两种情况：
第 2.3.1 函数极值的概念
2
章 2.3.2 函数极值的求法
极 限
2.3.3 函数最值的求法
2.3.3 函数最值应用举例
观察图像：
函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值
f(x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各
点处的函数值，相比有什么特点?
(2) 求出导数f´(x)； (3) 令f ´(x)=0，求出 f (x)的全部驻点；
(4) 用驻点把定义域划分为部分区间，
考察每个部分区间内 f ´(x) 的符号，
以确定每个驻点是否是极值点， 若是极值点，确定是极大点还是极小点。
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例 求 y = x3 3 x2 18x 24 的单调区间和极值.
y Oa
y
y=f(x )
y=f(x )
f(x0)
x0
b xO a
f(x0)
x0
bx
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求函数在区间内的最值的步骤
(1) 求出函数 y = f (x)在(a , b)内的全部驻点和 驻点处的函数值；
(2) 求出区间端点处的函数值； (3) 比较以上各函数值，其中最大的就是函数
的最大值，最小的就是函数的最小值。
y f(x)=x3
O
x
值点。
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函数极值的判定定理
设函数 f (x)在点 x0 的近旁可导且 f ´(x0) = 0 (1) 若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为正；
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为负， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极大值 f ´( x0 ) (2)若在点 x0 的左侧近旁 f ´(x) 恒为负；
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例 求函数 y = x³+ 3 x²－9x在上［－4 , 4 ］ 的最大值和最小值。
解 (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9, 得驻点为 x1=－3，x2=1 驻点处的函数值为f (－3)=－27, f (1)=－4
(2) 区间端点［－4 , 4 ］处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
y
y
y=f(x )
y=f(x )
Oa
b xO a
bx
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函数的最值一般分为两种情况：
（2） 如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一 个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大 (小)值就是函数在区间[a, b]上的最大(小)值。
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值， 点 x0 是 f ( x )的一个极大点；
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) < f ( x0 )，
则就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值， 点 x0 是 f ( x )的一个极小点；
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2
解：(1) f (x) 的定义域为(－∞,＋∞)；
(2) f´(x) =－3x²+ 3x + 18
(3) 令 f ´(x) = 0得驻点 x1 =－2, x2 =3 (4) 列表讨论，如下：
x (－∞,－2) －2 (－2 , 3)
3 (3 , + ∞)
f ´(x) －
0
+
0
－
f (x) 单调减少 极小值－62 单调增加 极大值16.5单调减少
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间 ( a , b )内只有一个驻点 x0 ，而且从实际问题 本身又可以知道函数在 ( a , b ) 内必有最大值 或最小值，那么 f ( x0 )就是所求的最大值或最 小值.
y f (x1)
y=f(x) f(x3)
f(x2)
f(x4)
O a x1
x2 x3 x4
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bx
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2.3.1 函数极值的概念
设函数 y = f ( x )在(a , b)内连续 , x0 是(a , b)内一点
如果对于点 x0近旁的任意一点 x ， 均有 f ( x ) < f ( x0 )，
(3) 比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的 最大值为 f (4) =76，最小值为 f (－3)=－27
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练习
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。
(1)
f (x)
= sin 2x x
,
2
,
2
最大值 f (－π/2)=π/2，最小值 f (π/2)= －π/2
如果函数 f (x) 在点 x0 处有极值，且 f (x0)存在， 则必有 f (x0)=0。 驻点：使导数 f (x)为零的点叫函数 f(x)的驻点。
说明： 可导函数 f(x)的极值点必定 是函数的驻点。但函数 f(x)的驻 点却不一定是极值点。
对于函数 f(x)=x3可知，x=0是 函数的驻点，不是函数的极
(2) f (x) = x 1 x , 5,1
最大值 f (3/4)=5/4，最小值 f (－5)= －5+ 6
(3) f (x) = 2x3 6x2 18x 7 , 1, 4
最大值 f (1)=－29，最小值 f (3)= －61 答 案
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2.3.4 函数最值应用举例
在点 x0 的右侧近旁 f ´(x)恒为正， 则函数 f (x)在点 x0 处取得极小值 f ´( x0 )
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y y=f(x)
在极大值点附近
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
x2
bx
在极小值点附近
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2.3.2 函数极值的求法
求可导函数 f (x) 的极值点和极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点。 观察与思考：极值与导数有何关系？
y y=f(x)
O a x1
x2
x3 x4 x5 b x
f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0
f (x5)=0
在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。
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取得极值的必要条件：
函数在 x = －2处取得极小值－62
在 x = 3处取得极大值16.5
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2.3.3 函数最值的求法
观察极值与最值的关系：
y
y=f(x)
M
m
O a x1
x2
x3 x4 x5 b x
问：最大值与最小值可能在何处取得？ 怎样求最大值与最小值？
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函数的最值一般分为两种情况：