§4—2运动副中摩擦力的确定

图4-8
现来讨论摩擦力对轴颈所产生的摩擦力矩Mf，以及确 定总反力的作用线。 由于轴颈1受有径向载荷G及驱动
力矩Md的作用，则轴承2对轴颈1产
生：法向反力N21、摩擦力F21。 并且有：F21 = f N21= fv G。 式中fv——当量摩擦系数，其大小为： fv=（1~π/2）f 对于有较大间隙的转动副，fv取较小值。
二、螺旋副中的摩擦 当组成螺旋副的两构件（螺母、螺杆）作相对运动时， 如两者的螺纹间受有载荷，则在螺纹接触面间将产生摩擦 力。 螺纹可分：矩形螺纹、三角形 （普通）螺纹。
1、矩形螺纹螺旋副中的摩擦 如图4-5a) 所示为矩形螺纹螺旋副， 其中1为螺母、2为螺杆。由于螺杆2的 螺纹可以设想是由一斜面卷绕在圆柱 体上形成的，所以可将螺母1与螺杆2 螺旋副中的摩擦简化为滑块1沿斜面2 滑动（图b）的斜面摩擦来研究。
2、三角形（普通）螺纹螺旋副中的摩擦
如图4-6所示为三角形（普通）螺纹，其螺旋副中的 摩擦可简化为一槽形滑块沿槽形斜面滑动的摩擦问题。 在研究三角形（普通）螺纹螺旋副中的摩擦时，只要 用当量摩擦角ψv代入矩形螺纹公式中的摩擦角ψ即可。 fv = f / sin(90°-β)= f / cosβ ψv= arctan fv 其中：90°-β为三角形螺纹的楔形 半角，β为螺纹工作面的牙形斜角。
两接触面间摩擦系数f 相同时，摩擦力F21的大小取决 于接触面的几何形状： 1）两构件沿单一平面接触（图a）
∵ N21 =G ∴ F21 = f G
2）两构件沿单一槽形角为2θ的槽 面接触（图b） ∵ N21 =G / sinθ ∴ F21 = f G / sinθ b） c）
图4-2
3）两构件沿单一半圆柱面接触（图c） ∵其接触面各点处的法向反力均沿径向 ∴法向反力的数量总和可表示为kG，则F21 = f kG。 接触面为点、线接触时：k≈1 系数k 接触面为整个半圆柱面均匀接触时： k=π/ 2 其余情况下：k=1~π/ 2
tanα= l /πd2= zp /πd2。
图4-5 b）
F =G· tan(α+ψ) F相当于拧紧螺母时必须在螺纹中 径处施加的圆周力，故拧紧螺母时 所需的力矩M为： M= F d2 /2= Gd2 tan(α+ψ) /2
图4-5 b）
同理，放松螺母（相当于滑块等速下滑）时所需的 力矩M′为：
M′= F′d2/2 = G d2 tan(α-ψ) /2 注意：当α>ψ时，M′为正值，其方向与螺母运动方向相反， 它是一阻抗力矩，其作用是阻止螺母的加速松退。 当α<ψ时，M′为负值，其方向与预先假定的方向相 反，即与螺母运动方向相同，这时它是放松螺母 时所需外力的驱动力矩。
为了简化计算，将摩擦力F21的计算式统一表示为： F21= f · 21= fv· N G fv——称为当量摩擦系数，它相当于把其它接触视为平面 接触时的摩擦系数。 fv 运动副两元素为平面接触时：f v= f 运动副两元素为槽面接触时：f v= f / sinθ 运动副两元素为半圆柱面接触时： f v= kf ∵ 一般θ≤90°、 k≥1 ∴ fv>f，即其它接触比平面接触的摩擦力大。 ∴ 常利用其它接触的移动副来增大摩擦力，如三角带传
如图所示的平面高副两元素在K 点接触，如构件1相对于构件2 的相 对速度V12 的方向如箭头所示。 则： R21与构件1相对于构件2的相对 速度V12的方向成90°+ψ，其中ψ为摩 擦角。
（ρ—轴颈中心O 到R21作用线的距离）
图4-8
对于一个具体的轴颈， 由于r 、fv均为定值，故ρ为定 值。以轴颈中心O为圆心，以ρ为半径作的圆，称为摩擦 圆，ρ称为摩擦圆半径。
由此可见，轴承2对轴颈1的总反力R21将始终切于摩擦圆。
▲ 总反力R21作用线的方位可根据以下三点来确定：
1）R21恒切于摩擦圆；
图4-5a）
图4-5 b）
设螺母1上受有轴向载荷G，在
螺母上加一力矩M，使螺母旋转并逆
着G力等速向上运动（对螺纹联接来
说，这时为拧紧螺母），则在图b中，
就相当于在滑块2上加一水平力F，使 滑块2沿着斜面等速上升。 则： F =G· tan(α+ψ) α为螺杆在中径d2上的螺纹导
图4-5 a）
程角，即：
图4-8
对于配合紧密且未经跑合的转动副，fv取较大值；
摩擦力F21对轴颈形成的摩擦力矩Mf为： Mf = F21· = fvG r r 将N21、F21用总反力R21表示，则根据力的平衡条件： R21= -G Md= -R21ρ= -Mf 故：Mf = fvG r = fv R21 r = R21ρ ∴ ρ= fv r
则拧紧螺母所需的力矩为： M = G d2 tan(α+ψv) /2
放松螺母所需的力矩为：
M′= G d2 tan(α-ψv) /2
图4-6
三、转动副中的摩擦 转动副在各种机械中应用很广，常见的有轴和轴承以 及各种铰链。 转动副中的摩擦按载荷作用的不同分为两种：轴颈的 摩擦和轴端摩擦。 1、轴颈的摩擦 轴颈是指轴放在轴承中的部分。 轴颈和轴承构成转动副。 如图4-8所示，轴颈1受有径向 载荷G（包括自重），在驱动力矩 Md的作用下以ω12方向在轴承2中等 速转动。轴颈半径为 r，轴颈与轴 承之间的摩擦系数为f。
在确定运动副（包括转动副、高副）的反力时，常 注意： 用总反力R21来表示，而不分法向反力N21与摩擦力 F21。
例：如图4-3、4-4所示的斜面机构中，将滑块1置于升角 为α的斜面2上，G为作用在滑块1上的铅垂载荷（包括 滑块自重）。试求： 1）使滑块1沿斜面2等速上升（通常称此行程为正行程） 时所需的水平驱动力F； 2）保持滑块1沿斜面2等速下滑（称此行程为反行程）时
动、三角螺纹联接。
摩擦角： 总反力R21与法向反力N21所夹的锐 角ψ，称为摩擦角。 tgψ=
F21 f N 21 N 21 = N 21 =f
∴ψ= arctan f
与 fv 相对应的摩擦角ψv 称为当量摩擦角，ψv= arctan fv 。
总反力R21方向的确定：
R21与构件1相对于构件2的相对速度V12的方向成 90°+ψ，其中ψ为摩擦角。
2）R21应与其它所有外力满足力的平衡条件； 3）R21对轴颈中心之矩应与1相对于2 的角速度ω12方向
பைடு நூலகம்相反。
2、轴端的摩擦（不要求掌握）
四、平面高副中的摩擦 平面高副两元素间的相对运动通常是滚动兼滑动，所 以产生滚动摩擦力和滑动摩擦力。
而不过，由于滚动摩擦力一般较滑动摩擦力小得多， 所以在对机械受力分析时只考虑滑动摩擦力，可用移动副 的方法来确定平面高副的总反力。
所需的水平力F ′。
图4-3
图4-4
解： 1）滑块等速上升：如图4-3a) 斜面2对滑块1的总反力为R21。 根据力的平衡条件：
G + F + R21=0 方向：√ √ √v12 大小： √ ？ ？
作力多边形，如图4-3 b)。 ∴ F = G· tan(α+ψ)
图4-3 a）
图4-3 b）
2）滑块等速下滑：如图4-4a) 斜面2对滑块1的总反力为R21′。 根据力的平衡条件： G + F ′ + R21′=0 方向：√ √ √v12 大小：√ ？ ？ 作力多边形，如图4-4 b)。 ∴ F ′= G·tan(α-ψ)
§4—2 运动副中摩擦力的确定
在机械运动时运动副两元素间将产生摩擦力。下面分 析移动副、螺旋副、转动副和平面高副中的摩擦。 一、移动副中的摩擦 如图4-2，a所示为滑块1与水 平平台2构成的移动副，G为作用 在滑块1上的铅垂载荷，设滑块1 在水平力F的作用下等速向右移动。
图4-2 a）
平台2对滑块1产生的反力有：法向反力N21、摩擦力F21。 它们的合力称为总反力，以R21表示。 即： R21= N21+F21 其中： F21 大小 ： F21=f N21 f——摩擦系数；（N21 =G） 方向：与1相对于2的相对速度V12的方向相反。
图4-4 a)
由以上分析可知，当已经列出 了正行程的力关系式后，反行程的 力关系式可以直接用 -ψ代替ψ即可， 而不必再作力多边形来求解。
图4-4 b)
F ′= G·tan(α-ψ) 注意： 在反行程中G为驱动力，当α>ψ时， F ′为正值，是阻 止滑块沿斜面加速下滑的阻抗力；当α<ψ时， F ′为负值， 其方向与图示方向相反， F ′为驱动力，其作用是促使滑 块沿斜面等速下滑。