勾股定理综合性难题习题

勾股定理复习

1、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）

（A ）22d S d ++ （B ）2d S d -- （C ）222d S d ++ （D ）22d S d ++

2．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。

3.△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则222c b a =+，若

△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证

明你的结论.

4．如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．

（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；

（2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

课堂练习：

1、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）．

A ．h ≤17cm

B ．h ≥8cm

C ．15cm ≤h ≤16cm

D ．7cm ≤h ≤16cm

2 如图，已知：，，于P. 求证：.

3 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

4．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．

解：OC＝1米(大门宽度一半)，

OD＝0.8米（卡车宽度一半）

在Rt△OCD中，由勾股定理得：

CD＝＝＝０.６米，

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．

5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是

否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

解析：作AB⊥MN，垂足为B。

在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，

∴ AB＝AP＝80。（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）

∵点 A到直线MN的距离小于100m,

∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)，

由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),

∴CD＝120(m)。

拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s

t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

6、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．

解：连接AD．

因为∠BAC=90°，AB=AC．又因为AD为△ABC的中线，

所以AD=DC=DB．AD⊥BC．

且∠BAD=∠C=45°．

因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．

所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．

所以AE=FC=5．

同理：AF=BE=12．

在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

，所以EF=13。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

7 如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°。

求证：DE2=AD2+BE2。

分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。

8 如图，长方形ABCD 中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，则重叠部分△AFC 的面积是 。

设EF=x ，那么AF=CF=8-x ，AE^2+EF^2=AF^2,所以

4^2+x^2=(8-x)^2,解得x=3，

S=4*8/2-3*4/2=10

答案：10

9. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点

C1处，如图，已知长方形长6cm ，宽5 cm ，高3 cm 。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形

的表面向上爬，它要从A 点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着

怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？

10. 已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？

答案： 是直角三角形。（平方差公式的灵活运用）ab b a b a 2)(222-+=+ =2216960217c ==⨯-。

家庭作业：

一、选择题

1.下列说法正确的有( )

①△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2. ②△ABC 中，a 2+b 2≠c 2

，则△ABC 不是直角三角形. ③若

△ABC 中，a 2-b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形. ④若△ABC 是直角三角形，则(a+b)(a-b)=c 2. A.4个 B.3个

C.2个

D.1个 C B

D