第三章第四节 解析函数与调和函数

根据解析函数高阶导数定理, u 与 v 具有任意阶的连续偏导数,从而
2v 2v , yx xy
2v 2v 同理 2 0, 2 x y
u u 故 2 0, 2 x y
2 2
1. Laplace算子与共轭调和函数
① Laplace算子
2 H 2 H 偏微分方程 H 2 2 0 称为Laplace方程 x y
则由定理3.12（复变函数的平均值定理）得
u( z0 ) iv( z0 ) f ( z0 )
1 2

2
0
f ( z0 R1 ei )d
1 2

2
0
1 u ( z0 R1 e )d i 2
i

2
0
v( z0 R1 ei )d
比较两端的实部和虚部，且令R1 R, 则
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18

定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
2 2 其中 2 2 称为Laplace算子 x y
从以上分析知: 若f ( z ) u iv在区域 D 内解析,
则u与v在D内满足Laplace方程: u 0, v 0.
② 调和函数
定义3.5 如果二元实变函数H ( x, y )在区域 D内具 有二阶连续偏导数, 且满足拉普拉斯方程H 0, 则称H ( x, y ) 为区域D内的调和函数. 注1 若f ( z ) u iv在区域 D 内解析, 则u与v为
函数, 在闭圆 z - z0 R上连续,则
1 2π u ( z0 ) u ( z0 R ei )d. 2π 0 即u(z) 在圆心处的值等于它在圆周上值的算术平均值.
证明 由定理3.19，存在u( z)的共轭调和函数v( z)使得
u( z) iv( z) f ( z)在圆 z - z0 R内解析，设0 R1 R ，
v v u ( x, y ) dx dy c ( x0 , y0 ) y x
( x, y )
若D非单连通, 则积分(3.22)可能为多值函数.
2. 解析函数的等价刻划
①定理3.19
设u( x, y)是在单连通区域D内的调
( x, y )
和函数, 则存在由(3.22)式
u u v ( x, y ) dx dy c, (3.22) ( x0 , y0 ) y x 所确定的函数v( x, y), 使f ( z) u iv是D内的解析函数.
(3x 3 y )dy c 0
y
o
x
X
3x 2 y y 3 c
故w f ( z) u iv ( x3 3xy 2 ) i(3x2 y y3 c) z 3 ic,
由 f (0) i,
得 c 1,
故f ( z) z3 i.
解法二 同方法一可证u( x, y)为z平面上的调和函数. 由C R方程中一个vy ux得
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
因此v( x, y) 3x 2 y y 3 c, 故w f ( z) u iv ( x3 3xy 2 ) i(3x2 y y3 ) z 3 ic,
如法一可求c 1, 故f ( z) z3 i.
y 例4 已知v( x, y ) arctan ( x 0), 求右半平面 x 的解析函数f ( z ) u iv. 解 在右半z平面上
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程

u u dx dy y x
1 y 2 y x v v x x 2 , , 2 2 2 2 2 x y y x y y y x 1 2 1 2 x x
2 2 2v 2 xy 2v 2 xy v v 2 , 2 2 2 0, 2 2 2 2 2 2 x ( x y ) y (x y ) x y
故在右半z平面上, v( x, y) 为调和函数.
由C - -R方程中的一个u v 得 x y u v x 2 , 2 x y x y
故
v u u ( x, y ) dx ( y ) dx ( y ) y x x 2 dx ( y ) 1 ln( x 2 y 2 ) ( y ) 2 x y 2
析, 则在D内v( x, y)必为u( x, y)的共轭调和函数.
注3 如果没有条件“共轭”定理3.18的逆未必成立。 也就是说即使u, v均是D内的调和函数,u iv在区域 D 内也不一定解析。
④ 解析函数的构造 假设D是单连通区域 (1) 已知u ( x, y)是D内的调和函数, 找v( x, y),
2u u u u 2 2 6 x, 6 xy, 6 x, 3x 3 y , 2 2 y y x x 2 2
2
解法一
因为在z平面上,
u u 于是 2 0, 2 x y
故u( x, y)为z平面上的调和函数. v v u u 由dv( x, y) dx dy dx dy, x y y x
v( x, y ) u x dy ( x) (3x 2 3 y 2 )dy ( x)
3x y y ( x)
2 3
再由C R方程中另一个vx uy得 vx 6 xy ( x) 6 xy, 故 ( x) 0, 即 ( x) c,
有 v ( x, y )

( x, y )
(0,0)
6xydx(3x 2 3 y 2 )dy c,

( x ,0)
(0,0)
6 xydx (3x 3 y )dy
2 2
Y y
(x,y)

( x, y )
( x ,0)
6 xydx (3x 2 3 y 2 )dy c
2 2
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
从而在C {0}上u与v不满足C - -R方程,
故v不是u的共轭调和函数.
即f ( z) u( x, y) v( x, y)不是解析函数.
例3
验证u( x, y) x 3xy 是z平面上的调和函数,
3 2
并求以u( x, y)为实部的解析函数f ( z), 使f (0) i.
2v 6 x 2 y 2 y3 , 2 2 2 3 y (x y )
2 2
从而
u u v v 2 0, 2 0; 2 2 x y x y
2 2
即u( x, y)是z平面上的调和函数,
v( x, y)是C {0}上的调和函数,
u v 但 , x y
第三章 复变函数的积分
第十二讲
Leabharlann Baidu
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
设 w f ( z) u iv在区域 D 内解析,
u v u v 那末 , . x y y x 2 u 2v 2u 2v 从而 , . 2 2 yx y xy x
例1 证明 xy 不能作为解析函数的实部. 2 2u u 证明 设u( x, y) xy , 由于 y 2 , 0,
2
2 2 2 x u 2 xy, u 2 x, u u 2 x, y y 2 x 2 y 2
x 2
故当x 0, u( x, y)不是调和函数,
再由C - -R方程中的另一个
u v 得 y x
1 u ( x, y ) ln( x 2 y 2 ) ( y ) 2
1 2y u v y ( y ) 2 2 2 2 2x y y x x y
从而 ( y) 0, 故 ( y) c,
方法二: 应用不定积分
u v u 由C - - R方程 , 有 v( x, y ) dy ( x), x y x
v u 再由C - - R方程另一条件 x y
有
u v( x, y ) u dy ( x) , y x x x
u 2u u 2u 证明 由于 2 x, 2, 2 y, 2, 2 2 x x y y v 2 xy v x2 y 2 2 , 2 , 2 2 2 2 x ( x y ) y ( x y )
2v 6 x2 y 2 y3 2 , 2 2 3 x (x y )
1 于是 u ln( x 2 y 2 ) c, 2 故所求的解析函数为 1 y 2 2 f ( z ) u iv ln( x y ) c i arg tan 2 x
ln z c,
定理9.1 如果函数u ( z )在圆 z - z0 R内是一个调和
3 ①平均值公式
1 u ( z0 ) 2

2
0
1 u ( z0 Re )d , v( z0 ) 2
D内的调和函数 ③ 共轭调和函数 定义3.6 在区域D内满足C - R方程
u v u v , x y y x
的两个调和函数u, v中, v称为u在区域D内的 共轭调和函数. 注2 由于C-R. 方程 ux vy ,uy -vx中，u与v
不能交换顺序， v称为u的共轭调和函数”中的 “ u, v不能交换. 定理3.18 若f ( z ) u( x, y) iv( x, y)在区域 D 内解
找 ( x).
(2) 已知v( x, y)是D内的调和函数, 找u ( x, y), 使u iv在D内解析.
u u C R方程 v v 类似有 du ( x, y ) dx dy dx dy x y y x
故
注6
若(0,0) D, 则定点( x0 , y0 )可取(0,0),
由数学分析中格林公式的等价命题知,
u u dx dy Pdx Qdy y x
令
是全微分,
u u dx dy dv( x, y ), (3.21) y x
u u 则 v ( x, y ) dx dy c, (3.22) ( x0 , y0 ) y x