菱形讲义(经典)

第一章特殊的平行四边形

一、菱形：

【知识梳理】

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：

①边的性质：对边平行且四边相等．

②角的性质：邻角互补，对角相等．

③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

【例题精讲】板块一、菱形的性质

例1.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm．

（1）求菱形ABCD的边长；

（2）求菱形ABCD的高DM．

例2.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE 相交于点G，连接CG与BD相交于点H．

求证：（1）求∠BGD的度数。（2）求证：DG+BG=CG

例3.将两张宽度相等的长方形纸片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD .

(1)求证：四边形ABCD 是菱形．

(2)如果两张长方形纸片的长都是8，宽都是2，那么菱形ABCD 的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

例4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．

F

E

D

C

B

A

跟踪练习：

1.如图,在菱形ABCD 中,AB=5,对角线AC=6.若过点A 作AE ⊥BC,垂足为E,则AE 的长为( ) A.4 B.

2.4 C.4.8 D.5

2.如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2，E 、

F 分别是BC 和CD

的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A.23 B.33 C.43 D.3.

3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )

A.15°或30°

B.30°或45°

C.45°或60°

D.30°或60°

4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：

图1－1－38

甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF 是菱形．

根据两人的作法可判断()

A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误

5. (1) 如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.

(2) 如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是_________．

6.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、 BC、CD、DA

的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．

7.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．

求证：DE=BE．

8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．

9.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．

（1）求证：BE=BF；

（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

10.如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．

（1）证明：∠APD=∠CBE；

（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？

11.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．

（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？

（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．

【作业】 一. 选择题：

1..在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ） A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm

2.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是____

3.已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）

A 、20

B 、14

C 、28

D 、24

4.如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ） A ．2 B ．23 C ．4

D ．43

5.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）

A 、16错误!未找到引用源。

B 、16

C 、8错误!未找到引用源。

D 、8

6. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4） C 、M （5，0），N （7，4）

D 、M （4，0），N （7，4）

二、填空题

7. 如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 错误!未找到引用源。cm 2．

8. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离

9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠

第7题

第8题

第9题