确定圆的条件 教案

个性化教学辅导教案

要作经过A、B两个点的圆，就必须以与点A、B距离相等的点为圆心。所以只要以线段AB 为垂直平分线上任意一点为圆心，以这点与A或B的距离为半径长，就可以作出要求作的圆，这样的圆也有无数个。

探索3：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点。

作圆的关键是圆心和半径，要求圆心到三点的距离相等。因此符合这样条件的点是唯一的，而半径也是唯一的。所以这样的圆是唯一的。

【结论】不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同一直线上三点不能作圆。

知识点2：三角形外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念。

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这圆的内接三角形。

如图，⊙O为△ABC的外接圆，O为△ABC的外心，△ABC是⊙O的内接三角形。

说明：

1、锐角三角形的外心在三角形的内部

2、“接”说明三角形的顶点与圆的位置关系，“内”“外”是相对的位置关系。

以三角形为准，那么圆在其外，并且三个顶点都在圆上，就说圆是三角形的外接圆。

【典型例题】

例1. 下列命题中，真命题的个数是（）

①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形。

③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

例2. 如图，直角坐标系中一条圆孤经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），则该圆孤所在的圆的圆心的坐标。

例3. 图中△ABC外接圆的圆心坐标是

例4. 如图，方格纸上一圆经过（2，5），（2，－3）两点，则该圆圆心的坐标为

例5. 一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在地方，才能最省力地顾及到三个洞口。

例6 已知，锐角△ABC用直尺和圆规，作△ABC的外接圆，写出作法，

并保留作图痕迹。

作法：

例7. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边长a ， b 是方程0242

=+-x x 的两个根。 求Rt △ABC 的外接圆的半径。

例8. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12求其外接圆的半径。

例9. 已知直线a ：y ＝x －3和点A （0，－3），B （3，0）设P 为a 上一点，试判断P 、A 、B 是否在同一个圆上。

分析：P 、A 、B 三点能否确定圆的关键是判断P 、A 、B 是否在同一直线上，已知点P 在直线a 上，应判断A 、B 两点是否在直线a 上。

例10. 大家知道：四个点不能确定一个圆，但是有些特殊的四边形的四个顶点在同一个圆上请说出这些特殊的四边形，并研究这些四边形的四个内角之间有什么特殊的大小关系。

例11. 如图，已知圆的内接三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD的延长线与△ABC外接圆的交点。

（1）求证：AB2＝AD·AE

（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）问的结论成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

【课堂练习】

1. 判断题（正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”）

（1）经过三个点一定可以作圆（）

（2）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等（）

（3）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆 （ ）

（4）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形 （ ）

2. 三角形的外心是（ ）

（A ） 三条边中线的交点 （B ） 三条边高的交点

（C ） 三条边垂直平分线的交点（D ）三条角平分线的交点

3. 在同一个圆中画两条直径，依次连接四个端点得到的四边形是（ ）

（A ） 菱形 （B ） 等腰梯形 （C ） 正方形 （D ）矩形

4. 如图，P 为正三角形ABC 外接圆上一点，则∠APB 等于（ ）

（A ）150° （B ）135° （C ）115° （D ）120°

5. 若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的外部，则△ABC 是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定

6. 下列命题中，正确的是（ ） A. 三点可确定一个圆

B. 三角形的外心是三角形三边中线的交点

C. 一个三角形有且只有一个外接圆

D. 三角形的外心必在三角形的内部或外部

7. 等腰直角三角形的外接圆的半径为 （ ） A. 腰长

B. 腰长的22

倍 C. 底边长的22

倍

D. 腰上的高

8. Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 ，AC ＝12 则其外接圆半径为

9. 若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是

10. 等腰三角形ABC 内接于半径为5cm 的⊙O 中，若底边BC ＝8cm ，则△ABC 的面积是

11. 在Rt △ABC 中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt △ABC 的外接圆的面积为

12. 等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为

13. 如图，是一块残破的圆轮片，A 、B 、C 是圆弧上的三点 （1）作出弧ACB 所在的⊙O （不写作法，保留作图痕迹）

（2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，

求该残破圆轮片的半径。

【题组训练】

1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.

如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.