第二章 二次函数新教案word版

第二章 二次函数

2.1 二次函数

1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.(重点)

2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.(重难点)

阅读教材P29～30，完成预习内容.

(一)知识探究

一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a ≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数

和常数项分别为a 、b 、c.

(二)自学反馈

1.下列函数中，不是二次函数的是(D)

A.y ＝1－2x 2

B.y ＝(x －1)2

－1

C.y ＝12(x ＋1)(x －1)

D.y ＝(x －2)2－x 2

判断二次函数要紧扣二次函数的定义.

2.一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积S与半径r之间的关系式是S表＝4πr2.

活动1 小组讨论

例1 若y＝(b－1)x2＋3是二次函数，则b的取值范围是b≠1.

二次项系数不为0.

例2 一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.

(1)写出y 与x 之间的关系表达式，并指出y 是x 的什么函数？

(2)当小长方形中x 的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是什么？

解：(1)y ＝122－2x(x ＋1)，即y ＝－2x 2－2x ＋144.∴y 是x 的二次函数.

(2)当x ＝2和4时，相应的y 的值分别为132和104.

∴相应的剩余部分的面积分别是132和104.

几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x 的代

数式表示出来.

活动2 跟踪训练

1.如果函数y ＝(k ＋2)xk 2－2是y 关于x 的二次函数，则k 的值为多少？

解：k ＝2

不要忽视k ＋2≠0.

2.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜

园的面积y(m 2)与x(m)的函数关系式为y ＝－12

x 2＋15x(不要求写出自变量x 的取值范围).

3.已知，函数y ＝(m ＋1)xm 2

－3m －2＋(m －1)x(m 是常数).

(1)m 为何值时，它是二次函数？

(2)m 为何值时，它是一次函数？ 注意②要分情况讨论.

解：(1)m ＝4.

(2)m ＝－1或m ＝3±172或m ＝3±212

. 活动3 课堂小结

学生试述：这节课你学到了些什么？

2.2 二次函数的图象与性质

第1课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质

1.能够用描点法作出函数y ＝ax 2

的图象，并能根据图象认识和理解其性质.(重难点)

2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化.

阅读教材P32～35，完成预习内容.

(一)知识探究

一般地，抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低

点，a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.

(二)自学反馈

在同一坐标系中画出函数y ＝x 2、y ＝12

x 2和y ＝2x 2的图象，并根据函数图象回答下列问题. 解：略.

(1)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y 轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点).

(2)找出上述三条抛物线的异同：开口向上，关于y 轴对称，顶点坐标为(0，0).

可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律.

活动1 小组讨论

例1 函数y ＝2x 2的图象是抛物线，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y 轴，开口方向是向上.

例2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数.

(1)求满足条件的m 的值；

(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？

(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？

解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2

＋m －4＝2，m ＋2≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2. ∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数.

(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，

∴m ＋2>0，即m>－2.∴只能取m ＝2.

∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，

∴当x>0时，y 随x 的增大而增大.

(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，

∴m ＋2<0，即m<－2.∴只能取m ＝－3.

∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴当m ＝－3时，函数有最大值为0. ∴当x>0时，y 随x 的增大而减小.

要结合图象来分析完成此题.

活动2 跟踪训练

1.二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是y1

2.

要结合图象分析解题.

2.当m＝－2时，抛物线y＝(m－1)xm2＋m开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.

二次项系数a是决定开口方向和开口大小的，同时根据开口