初中数学竞赛专题：函数
八年级数学竞赛题：函数的基本性质
八年级数学竞赛题：函数的基本性质现实世界中的量与量之间常常存在着一定的联系，函数就是反映、刻画这种变量之间的对应关系的重要而有效的数学模型之一．函数概念的产生预示着数学进入了一个新阶段，即从研究常量数学转变为研究变量数学．函数的基本知识主要是指：与平面直角坐标系相关的概念（如点的坐标、象限等）、函数的概念、表示函数的方法及函数图象的画法．点的坐标是数形结合的桥梁，是解决函数问题的基础；探寻两个变量间的函数关系式是函数研究的重要课题，也是解函数问题的关键．例1 （1）如果所在位置的坐标为（-1，-2），所在的位置的坐标为（2，-2），那么，所在位置的坐标为____________．（2）已知点P的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为____________．例2 已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动。
运动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm）2关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）．（图1）（图2）①图1中的BC长是8cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2；③图1中的CD长是4cm；④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2．A．1个B．2个C．3个D．4个例3 某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x ，装运乙种土特产韵车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式．（2）如果装运每辆土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．例4 有一根直尺的短边长为2cm ，长边长为10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为12cm ．如图①，将直尺的短边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合．将直尺沿AB 方向平移，如图②，设平移的长为x cm （0≤x ≤10），直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积为S cm 2． ·（1）当x =0时，S =__________；当x =10时，S= ______________．（2）当0<x ≤4时，求S 关于x 的函数关系式．（3）当4<x <10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值．例5 某仓储系统有20条输入传送带，20条输出传送带．某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带进库的货物流量如图（a ），每条输出传送带出库的货物流量如图（b ），而该日仓库中原有货物8t ，在0：00—5：00之间，仓库中货物存量变化情况如图（c ）．则在0：00—2：00有多少条输入传送带和输出传送带在工作？在4：00一5：00有多少条输入传送带和输出传送带在工作？1．函数1-=x x y 的自变量x 的取值范围是_____________． 2．平面直角坐标系中的点)21,2(m m P -关于x 轴的对称点在第四象限，则m 的取值范围是_____________．3．两个变量y 与x 之间的函数图象如图所示，则y 的取值范围是_____________．4．如图，已知点A 、B 的坐标分别为（-2，0）和（2，0），月牙①绕点B 顺时针旋转到月牙②，则点A 的对应点A ′的坐标为_____________．5．下列函数中，自变量x 的取值范围是x >2的函数是（ ）． 2-=⋅x y A 12-=⋅x y B21.-=x y C 121-=⋅x y D6．已知点P （x ，y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA －AB －BO 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）． ．8．如图，边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）．9．宏志中学九年级300名同学毕业前夕给灾区90名同学捐赠了一批学习用品（书包和文具盒），由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒每个同学都只参加一件学习用品的购买），书包和文具盒的单价分别是54元和12元．（1）若有x名同学参加购买书包，试求出购买学习用品的总件数y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若捐赠学习用品总金额超过了2300元，且灾区90名同学每人至少得到了一件学习用品，请问同学们如何安排购买书包和文具盒的人数？此时选择其中哪种方案，使购买学习用品的总件数最多？10．有一个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图，若20分钟后只出水不进水，求这时（即x≥20时）y与x之间的函数关系．11．已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度．在平面直角坐标系内，现有动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4，…依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是_______________．12．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2， 1），则△ABC的面积为____________平方单位．13．如图，已知边长为1的正方形OABC 在平面直角坐标系中，A 、B 两点在第一象限内，OA 与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标为____________．14．若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=-=+93323my x y mx 的解为坐标的点（x ，y ）在第二象限，则符合条件的实数优的范围为（ ）． 91.>m A 2.-<m B 912.<<-m C 921.<<-m D 15．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．给出以下三个判断：①0点到3点只进水，不出水；②3点到4点，不进水，只出水；③4点到6点不进水，不出水．则上述判断中一定正确的是（ ）．A ．① 8．② C ．②③ D ．①②③16．若用（1）、（2）、（3）、（4）四幅图象分别表示变量之间的关系，将下面的（a ）、（b ） （c ）、（d ）对应的图象排序：（a ）面积为定值的矩形（矩形的相邻两边长的关系）（b ）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）（c ）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物质量的关系）（d ）某人从A 地到B 地后，停留一段时间，然后按原速返回（离开A ．地的距离与时间的关系），其中正确的是（ ）A ．（3）（4）（1）（2）B ．（3）（2）（1）（4）C．（4）（3）（1）（2）D．（3）（4）（2）（1）．17．在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y 与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．（1）s与t之间的函数关系式是：_________________；（2）与图③相对应的P点的运动路径是：_____________；P点出发_____________秒首次到达点B；（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图像．18．如图（单位：m），等腰三角形ABC以2m／s的速度沿直线1向正方形移动，直到AB 与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当x=2，3.5时，y的值分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？19．阅读下列材料：“父亲和儿子同时去晨练，如图1，实线表示父亲离家的路程y（单位：m）与时间x （单位：min）的函数图象；虚线表示儿子离家的路程y（单位：m）与时间x（单位：min）的函数图象．由图象可知，他们在出发10min时第一次相遇，此时离家400m；晨练30min 后，他们同时回到家．”根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系（如图2）或其他方法解答问题：一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100km／h和20km／h．巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计）．（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？（2）出发多长时间后巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？。
初中数学竞赛专题复习一次函数的图象与性质(无答案)
一次函数的图象与性质考点·方法·破译1．一次函数及图象：⑴形如y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，且k ≠0），则y 叫做x 的一次函数，当b ＝0，k ≠０时，y 叫做x 的正比例函数．⑵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是经过（0,0），（1，k ）两点的直线，一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）是经过（0，b ）、（－k b，0）两点的直线．2．一次函数的性质：当k ＞0时，y 随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．3．函数y ＝kx ＋b 中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．经典·考题·赏析【例１】（山东）函数y ＝ax ＋b ①和y ＝bx ＋a ②（ab ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）【解法指导】A 中①a ＞0，b ＞0，②b ＜0，a ＜0矛盾．B 中①a ＜0，b ＜0，矛盾．C 中①a ＞0，b ＞0②b ＞0，a ＝0矛盾．D 中①a ＞0，b ＜0②b ＜0，a ＞0，故选D ．【变式题组】01．（河北）如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（）02．（安徽）已知函数y ＝kx ＋b 的图象如左图，则y ＝2kx ＋b 的图象可能是（）03．下列图象中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，则mn ≠0）的图象是（）【例２】（绍兴）如图，一次函数y ＝x ＋5的图象经过点P(a ，b)和Q （c ，d ）则a （c －d ）－b （c －d ）的值为_______．【解法指导】因为点P(a ，b),Q （c ，d ）在一次函数图象上，∴b ＝a ＋5，d ＝c ＋5∴a －b ＝－5，c －d ＝－5，a （c －d ）－b （c －d ）＝（c －d ）（a －b ）＝（－5）×（－5）＝25【变式题组】01．如图一条直线l 经过不同三点A （a ，b ）,B （b ，a ）C （a －b ，b －a ）则直线l 经过（）A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B （5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（）A ．构成等边三角形B ．构成直角三角形C ．构成锐角三角形D ．三点在同一条直线上03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a 的值为_______．【例３】如图，已知正方形ABCD 的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y ＝2x ＋b 交AB 于点E ，交CD 于点F ．直线与y 轴的交点为（0，b ），则b 的变化范围是_____.【解法指导】直线y ＝2x ＋b 是平行于直线y ＝2x 的直线，当直线经过B 点时，b 最小，当x ＝3时，y ＝1∴1＝2×3＋b ， b ＝－5当直线经过D 点时，b 最大，所以当x ＝1时，y ＝3∴3＝2×1＋b ， b ＝1∴－5≤b ≤１【变式题组】01．线段y ＝－21x ＋a （1≤b ≤3），当a 的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）A ．6B ．8C ．9D ．1002．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P （－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx －1的图象与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是_________.03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y ＝k1x ＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y ＝k2x ＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：⑴求过点P （1,4）且与已知直线y ＝－2x －1平行的直线l 的函数表达式，并画出直线l 的图象；⑵设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：y ＝kx ＋t （t ＞0）与直线平行且交于x 轴于点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数关系式．【例４】已知一次函数y ＝kx ＋b ，当自变量取值范围是2≤x ≤６时，函数值的取值范围5≤y ≤9.求此函数的解析式．【解法指导】⑴当k ＞0，y 随x 的增大而增大，∴y ＝kx ＋b 经过（2,5），（6,9）两点∴9652b kb k∴31b k ，∴y ＝x ＋3 ⑵当k ＜0，y 随x 的增大而减小，∴y ＝kx ＋b 经过（2,9），（6,5）两点∴5692b k b k∴111bk ，∴y ＝－x ＋11 ∴所求解析式为y ＝x ＋3或y ＝－x ＋11【变式题组】01．已知一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤１时，对应y 的值为1≤y ≤9，则kb的值为（）A ．4B ．－6C ．－4或21D ．－6或1402．（遂宁）已知整数x 满足－5≤x ≤5，y1＝x ＋1，y2＝2x ＋4，对任意一个x ，m 都取y1,、y2中的最小值，则m 的最大值是（）A ．1B ．2C ．24D ．－9【例５】如图，直线y ＝－5x －5与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于C ，与y 轴交于B 点，CD ⊥AB 交y 轴于E ．若CE ＝AB,求直线BC 的解析式．【解法指导】由CE ＝AB ，CD ⊥AB 可得△AOB ≌△EOC,因而OB＝OC 而y ＝－5x －5与y 轴交于B∴B(0，－5)∴C(5,0),而直线BC 经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y ＝x －5【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）是直线y ＝－x ＋6第一象限上的点，点A(5,0),O 是坐标原点，△PAO 的面积S ．⑴求S 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；⑵探究：当P 点运动到什么位置时△PAO 的面积为10.02．如图，直线l ：y ＝－21x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0,4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．⑴求A 、B 两点的坐标；⑵求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；⑶当t 为何值时，△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．03．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝kx ＋b 经过A （0,2）、B(4,2)两点．⑴求直线AB 的解析式；⑵点C 的坐标为（0,1），过点C 作CD ⊥AO 交AB 于D. x 轴上的点P 和A 、B 、C 、D 、O 中的两个点所构成的三角形与△ACD 全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．【例６】如图，已知直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B.另一条直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为1:5,求k 和b 的值．【解法指导】欲求k 和b 的值，需知道直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过两已知点，而点C （1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴Ｃ为OA 的中点，因而直线y ＝kx ＋b 过OA 中点且平分△AOB 的面积时只可能韦中线BC ．∴y ＝kx ＋b 经过C （1，0），（0，2）∴b b kx 20∴k ＝2 b ＝2⑵①设y ＝kx ＋b 与OB 交于M （0，t ）则有S △OMC ＝S △CAN,∴MN ∥ｘ轴，∴N(34,32)∴直线y ＝kx ＋b 经过34,32)，（1，0）∴03234b kb k∴22b k 【变式题组】01．如图，在平面直角坐标系xOy ，已知直线AC 的解析式为y ＝－21x ＋2，直线AC 交x 轴于点C ，交于y 轴于点A ．⑴若一个等腰直角三角形OBD 的顶点D 与点C 重合，直角顶点B 在第一象限内，请直接写出点B 的坐标；⑵过点B 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存一点P ，使得△AOP 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶试在直线AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．02．（浙江杭州）已知，直线y ＝－133x 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边的第一象限内作等腰Rt △ABC,90BAC°，且点P （1,a ）为坐标系中的一个动点．⑴求三角形ABC 的面积S △ABC;⑵证明不论a 取任何实数，三角形BOP 的面积是一个常数；⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，求实数a 的值．演练巩固·反馈提高01．（芜湖）关于x 的一次函数y ＝kx ＋k2＋1的图象可能正确的是（）02．一次函数y ＝kx －b 和正比例函数y ＝kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）03．一次函数y ＝（m －1）x ＋m2＋2的图象与y 轴的交点的纵坐标是3，则m 的值是（）A ．5B ．1C ．－1D ．－204．直线y1＝kx ＋b 过第一、二、四象限，则直线y2＝bx －k 不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限05．已知一次函数y ＝（1－2m ）x ＋m －2，函数y 随着x 的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）A ．m ＞21 B.m ≤2 C ．21＜m ＜2 D.21＜m ≤２06．如图，点A 、B 、C 、D 在一次函数y ＝－2x ＋m 的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A ．1B ．3C ．3(m －1)D ．23（m －2）07．（绍兴）如图，在x 轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线y ＝ax ，y ＝（a ＋1）x ，y ＝（a ＋2）x 相交，其中a ＞0，则图中阴影部分的面积是（）A ．12.5B ．25C ．12.5aD ．25a08．（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →Ｄ作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）09．（日照）如图，点A 的坐标为（－1,0）,点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（22，－22）C ．（－21，－21）D ．（－22，－22）10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.11．观察下列各直角坐标系中的直线AB ，点P （x ，y ）是线段AB 上的点，且x 、y 都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：⑴第5个图中满足条件的点P 个数是_______;⑵第n 个图中满足条件的点P 个数m 与n 之间的关系是________.12．（十堰）直线y ＝kx ＋b 经过点A(－2,0)和y 轴上的一点B ，如果△ABO （O为坐标原点）的面积为2，则b 的值为________.13．如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝－x ＋b 恰好平分长方形的面积，则b ＝_______.14．如图，点B 、C 分别在两条直线y ＝2x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k ＝______.15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x 轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn 的坐标是________.16．点P 为直线y ＝－3x ＋6上的一点，且点P 到两坐标轴距离相等，则P 点坐标为_____.17．已知直线y1＝x ，y2＝31x ＋1，y3＝－54x ＋5的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y1、y2、y3中最小的值，则y 的最大值为_______.18．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P(0,－3),且与函数y ＝21x ＋1的图象相交于点A （a ,38）.⑴求a 的值；⑵若函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点是B,函数y ＝21x ＋1的图象与y 轴的交点是C,求四边形ABOC 的面积(其中O 为坐标原点).19．定义q p,为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．⑴求一次函数y ＝－2（x －1）的特征数；⑵若特征数是2,2k 的一次函数为正比例函数，求k 的值．20．已知：三点A(a ，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A 在正比例函数y ＝21x 的图象上．⑴求a 的值；⑵点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时，求点P 的坐标；21.已知直线ln ：y ＝－n n 1x ＋n 1（n 是正整数）.当n ＝1时，直线l1:y ＝－2x＋1与x 轴和y 轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n ＝2时，直线l2：y ＝－2123x 与x 轴和y 轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依次类推，直线ln 与x 轴和y 轴分别交于点An 和Bn ，设△AnOBn 的面积为Sn.求△A1OB1的面积s1；⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2019的值.22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A（－1，1），B （－1，－1），C （1，－1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分．⑴ｓ与t 之间的函数关系式是：_________；(2）与图③相对应的P 点的运动路径是：________；P 点出发 _______秒首次到达点B ；⑶写出当3≤s ≤８时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．培优升级·奥赛检测01．已知abc ≠0，且b a c a c b c ba ＝t ，则直线y ＝tx ＋t 一定通过（）A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三、四象限D ．第一、四象限02．一个一次函数的图象与直线y ＝x45＋495平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1,－25),则在线段AB 上（包括端点A 、B ）横坐标、纵坐标都是整数的点有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个03．在一次函数y ＝－x ＋3的图象上取点P ，作PA ⊥ｘ轴，PB ⊥ｙ轴，垂足分别为A 、B ，长方形OAPB 的面积为2，则这样的点P 共有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个04．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，若MP ＋MQ 取最小值，则点M 的坐标为________. 05．已知点A （0，2）、B(4,0)，点C 、D 分别在直线x ＝1与x ＝2上运动，且CD ∥ｘ轴，当AC ＋CD ＋DB 的值最小值，点C 的坐标为_____________.06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B （－4，5）以及动点C （0，n ）、D（m ，0）.当四边形ABCD 的周长最短时，n m的值为_________.07．已知函数y ＝（a －2）x －3a －1，当自变量x 的值范围为3≤x ≤５时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a 的取值范围．08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y ＝ax ＋b （a 为整数）的图象过（98，19），它与x 轴的交点为（p ，0），与y 轴的交点为（0，q ），若P 为质数，q 是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．09．若直线y ＝mx －3，y ＝－1，y ＝3和x ＝1所围成的四边形面积为12，求m.10．设f （x ）＝kx ＋1是x 的函数，若m （k ）表示函数f （x ）＝kx ＋1在1≤x ≤３条件下的最大值，求函数m （k ）的解析式，并作出图象．。
初三数学竞赛专题--函数的图象
初中数学竞赛专题选讲（初三.17）函数的图象一、内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l.① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx 0+b ；② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上.2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如：二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y=xk(k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如：① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值；② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)；③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解.④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解读式)的公共解.等等4. 画函数图象一般是：①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解读式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解读式. 二、例题例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0.∵对称轴在原点右边，∴x=－ab2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0.例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5.试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：P(x,y)l o x y（1） x 的值什么范围，曲线f 1和f 2都是下降的；（2） x 的值在什么范围，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形；（3） 求在f 1和f 2围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值.（1980年福建省中招试卷）解：f 1 ：y=－x 2+5 (由顶点横坐标变化确定的)， f 2 ：y=(x －2)2－5 (由开口方向相反确定的). （1）当x ≥0时，f 1下降，当x ≤2时，f 2下降，∴当0≤x ≤2时，曲线f 1和f 2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=.5)2(522x y x y ，x 2－2x －3=0 . ∴x=－1；或x=3.∴当－1≤x ≤3时，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度， 就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点 的纵坐标的差.在区间 –1≤x ≤3内，设f 1 上的点P 1(x,y 1), f 2 上的点P 2(x,y 2)， 求y 1－y 2的最大值，可用配方法： y 1－y 2 ＝(－x 2+5)－[ (x －2)2－5]＝－2x 2+4x+6 ＝－2(x －1)2+8.∵－2<0， ∴y 1－y 2有最大值.当x=1 时，y 1－y 2的值最大是8. 即线段长度的最大值是8. 例3. 画函数y=21-++x x 的图象.解： 自变量x 的取值范围是全体实数，下面分区讨论： 当x<－1 时， y=－(x+1)－(x －2)=－2x+1； 当－1 ≤x<2时， y=x+1－(x －2)=3 ； 当x ≥2时， y=x+1+x －2=2x －1.即y=21-++x x =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-).2(12)21(3)1(12x x x x x ；；x … －2 －1 2 3 …y=－2x+1(x<－1) (5)3y=3(－1≤x<2) 3 3y=2x －1(x ≥2)3 5 …∴ 画函数y=21-++x x 的图象如下图：例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解：∵[x]2≥0， 且 [y]2=1－[x]2≥0，∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1.∵[m] 表示不超过m 的最大整数， ∴当[x]2=0⇔[x]=0⇔0≤x ≤1 .当[x]2=1⇔[x]=⎩⎨⎧<≤<≤--).21(1)01(1x x ，自变量x 的取值范围是：－1≤x<2.如图阴影部分的四个正方形， 就是所求方程的图象.只包括各正方形左、下边界， 不包括各正方形右、上边界.x －1≤x<0 0 ≤x<1 1≤x<2 [x] －1 0 1 [x]21 0 1 [y]2=1－[x]2 010 [y] 0 －1 1y0≤y<1－1≤y<0 1≤y<2 0≤y<1例5. 直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限相交点A ，S Rt △AOB =3. ① 求m的值；②设直线与x 轴交于点C ，求点C 的坐标； ③求S △ABC .解： ①设A 坐标为 (x, x+m).∵ S △AOB =21OB ×BA. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=x m m x m x x )(213整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+mmx x mx x 226∴m=6②∵直线与x 轴交于点C.把y=0 代入y=x+6 得x=－6, ∴点C 的坐标是(－6，0) ③∵直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限相交点A ， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 66 得⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=153153y x 即点A 的坐标是 (－3+15，3+15).∴BC=1536+-+-=3+15 ∴S △ABC =21(3+15)(3+15)=12+315. 例6.选择题(只有一个正大确的答案).①函数y=kx+k 与y=xk在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( )② 函数 y=1－2x x - 的图象是( )解：①常数k 是同一个值，.双曲线y=xk在一、三象限，k>0, 那么y=kx+k 中， 当k>0时，直线上升且在y 轴上的截距为正. 所以应选 (D)；②注意到y=1－2x x -中， 当x=0和x=1时 y 有最大值1，故选 (A).三、练习 1. 填空：① 横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿， 横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿， 经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.② 点P （x, y ）关于横轴的对称点P 1的坐标是（ ），点P 关于原点的对称 点P 2的坐标是（ ）.③ f ：y=3(x －2)2+5,关于横轴对称的抛物线f 1记作＿＿＿＿＿＿＿ f 关于原点对称的抛物线f 2记作＿＿＿＿＿＿＿.④ A （1，3）关于直线y=x 的对称点A ，的坐标是（ ）.点B （－2，3）关于直线y=－x 的对称点B ，的坐标是（ ）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号① 直线y=kx+b 经过二、一、四象限，则k,b 的符号是＿＿＿＿＿＿ ② 抛物线y=ax 2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a__, －ab2______,b______,c_______, b 2－4ac______,a b ac 442-______ aacb b 242---_____3. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（ ）. （A ）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1. （2）下图（2）是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（ ） （A ）a+b+c=0. （B ）a+b+c<0. （C ）a+b+c>0. （D ）a+b+c 值不定.(1)（3）二次函数y=a(x+m)2+n 中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（ ）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（ ）（D ）（5）在同一坐标系内，y=ax+b 与y=ax 2+b 的图象大体位置是（ ）(6)已知函数y+ax+b 和y=ax 2+bx+c 那么它们的图象是（ ）（1983年福建省初中数学竞赛题）4. 画下列函数的图象①y=xx 2； ②y=2x ； ③y=(x )2； ④ y=－x .5. 有m 部同样的机器，同时开始工作，需要m 小时完成某项任务.设由x 部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x 为小于m 的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6. 画如下方程、函数的图象.①2=+y x ；②y=x 2－2|x|－3.7. 这是一张追及图看图回答： ① 谁追及谁？② 谁早出发，早几小时？③ 甲、乙在这段路程速度各多少？④ 追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？ ⑤ 分别列出甲、乙两人的路程y 甲，y 乙和时间x 的函数关系的解读式.-55105201510152025234甲乙S 公里t 小时8. 如图，抛物线L 1：y=ax 2+2bx+c 和抛物线L 2：y=(a+1)x 2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A 、B 、C 三点，说明理由； ②.求出点B 和点C 的横坐标；③.若AB ＝BC ，OC ＝OD ，求a, b, c 的值 .9. 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=5910102+-x x.年全国初中数学联赛题) （8）练习题参考答案1. ①x=－2, x=0, y=0, y=－x, y=x ； ②(x,y),(－x,－y)；③y=－3(x －2)2－5, y=－3(x+2)2－5 ④(3，1)，(－3，2) 2. ①k<0, b>0. ②正，负，正，负，负，正，负.3. ①(A)， ②(B)， ③(B)， ④(C)， ⑤(D)， ⑥(C)4. ①∵x ≠0，∴图象不以过原点；② y ≥0；③x ≥0；④ y ≤0.5. y=xm 2(x 是正整数x ≤m=5).6. （如图）7. ①乙追及甲； ②甲先1小时； ③时速甲4、乙5千M ；④乙用4小时追上甲先走的4千M ⑤y 甲=4x, y 乙=5x 8. ①∵由图象a,a+1异号，∴L 2过A ，B ，C 三点. ②－3，－1. ③－31，0，31. 9. (2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).由x 2－x+18≤10x .当x ≥0时，x 2－x+18≤10x, x 2－11x+18≤0, (x －2)(x －9)≤0，2≤x ≤9, 这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)； 当x<0时，x 2－x+18≤－10x, x 2＋9x+18≤0， （x+6）(x+3)≤0，－6≤x ≤－3, 这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).。
初二数学函数奥赛试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = k/x (k ≠ 0)D. y = x + 12. 已知函数y = kx + b的图像经过点（1，2），则下列选项中，可能为k和b的值是（）A. k = 2, b = 1B. k = -2, b = 3C. k = 1, b = 2D. k = 3, b = 13. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2 + 2x + 1C. y = x^2 - 2x - 3D. y = 2x^2 + 3x - 54. 已知函数y = 2x^2 - 4x + 1的图像的对称轴是（）A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 35. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为（h，k），则下列结论正确的是（）A. a > 0, b > 0B. a < 0, b < 0C. a > 0, b < 0D. a < 0, b > 06. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = 1/xD. y = x^37. 已知函数y = -x^2 + 4x + 3的图像与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），则下列选项中，可能为函数的零点是（）A. x = 0B. x = 2C. x = 4D. x = -28. 下列函数中，是指数函数的是（）A. y = 2xB. y = 2^xC. y = 2x + 3D. y = 2x^29. 已知函数y = a^x（a > 0，a ≠ 1）的图像过点（0，1），则a的值为（）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/410. 下列函数中，是根式函数的是（）A. y = √xB. y = x^2C. y = 1/xD. y = x^3二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数y = -3x + 5中，当x = 0时，y的值为______。
初三数学竞赛专题--函数的图象(doc 10页)
初三数学竞赛专题--函数的图象(doc 10页)初中数学竞赛专题选讲（初三.17）函数的图象一、内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l.① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx 0+b ；② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.P(x,y)lox y义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)，试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0.∵对称轴在原点右边，∴x=－a b 2>0且a<0, ∴b>0.∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上，∴截距c>0.∵抛物线与横轴有两个交点，∴b 2－4ac>0.例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5.试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：（1） x 的值什么范围，曲线f 1和f 2都是下降的；（2） x 的值在什么范围，曲线f 1和f 2围成一个封闭图形；（3） 求在f 1和f 2围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值.（1980年福建省中招试题）解：f 1 ：y=－x 2+5 (由顶点横坐标变化确定的)，f 2 ：y=(x －2)2－5 (由开口方向相反确定的). （1）当x ≥0时，f 1下降，当x ≤2时，f 2下降，∴当0≤x ≤2时，曲线f 1和f 2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=.5)2(522x y x y ，x 2－2x －3=0 .∴x=－1；或x=3.∴当－1≤x ≤3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间–1≤x ≤3内，设f1上的点P1(x,y1), f2上的点P2(x,y2)，求y1－y2的最大值，可用配方法：y1－y2＝(－x2+5)－[ (x－2)2－5]＝－2x2+4x+6＝－2(x－1)2+8.∵－2<0，∴y1－y2有最大值.当x=1 时，y1－y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3.画函数y=2x的图象.1-+x+解：自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当x<－1 时， y=－(x+1)－(x －2)=－2x+1；当－1 ≤x<2时， y=x+1－(x －2)=3 ； 当x ≥2时， y=x+1+x －2=2x －1.即y=21-++xx =⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-).2(12)21(3)1(12x x x x x ；；x … －2 －1 2 3 …y=－2x+1(x<－1) (5)3 y=3(－1≤x<2) 3 3 y=2x －1(x ≥2)3 5 …∴ 画函数y=21-++x x 的图象如下图：例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解：∵[x]2≥0， 且 [y]2=1－[x]2≥0，∴[x]2≤1 . ∴ 0≤[x]2≤1.∵[m] 表示不超过m 的最大整数， ∴当[x]2=0⇔[x]=0⇔0≤x ≤1 .当[x]2=1⇔[x]=⎩⎨⎧<≤<≤--).21(1)01(1x x ，自变量x 的取值范围是：－1≤x<2.如图x－1≤x<0 0 ≤x<11≤x<2[x] －1 0 1 [x]2 10 1 [y]2=1－[x]2 0 1 0 [y] 0 －1 1 0 y 0≤y<1－1≤y<01≤y<2 0≤y<1阴影部分的四个正方形，就是所求方程的图象. 只包括各正方形左、下边界， 不包括各正方形右、上边界.例5. 直线y=x+m 与双曲线y=x m 在第一象限相交点A ，S Rt △AOB =3. ① 求m 的值 ；②设直线与x 轴交于点C ，求点C 的坐标； ③求S △ABC .解： ①设A 坐标为 (x, x+m). ∵ S △AOB =21OB ×BA.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=x m m x m x x )(213 整理得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+mmx x mx x 2206∴m=6② ∵直线与x 轴交于点C. 把y=0 代入y=x+6 得x=－6, ∴点C 的坐标是(－6，0)③∵直线y=x+m 与双曲线y=xm 在第一象限相交点A ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 66得⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=153153y x 即点A 的坐标是 (－3+15，3+15).∴BC=1536+-+-=3+15∴S△ABC =21(3+15)(3+15)=12+315.例6. 选择题(只有一个正大确的答案).①函数y=kx+k 与y=xk 在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( )②函数y=1－2xx 的图象是( )k在一、解：①常数k是同一个值，.双曲线y=x三象限，k>0,那么y=kx+k中，当k>0时，直线上升且在y轴上的截距为正.所以应选(D)；②注意到y=1－2xx 中，当x=0和x=1时y有最大值1，故选(A).三、练习1.填空：①横坐标为－2的点的集合，记作直线＿＿＿＿＿，纵轴记作直线＿＿＿＿＿＿，横轴记作直线＿＿＿＿＿，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线＿＿＿＿＿＿，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程＿＿＿＿＿＿＿.②点P（x,y）关于横轴的对称点P1的坐标是（），点P关于原点的对称点P2的坐标是（）.③f：y=3(x－2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作＿＿＿＿＿＿＿f关于原点对称的抛物线f2记作＿＿＿＿＿＿＿.④A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（ ）.点B （－2，3）关于直线y=－x 的对称点B ，的坐标是（ ）. 2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 ① 直线y=kx+b 经过二、一、四象限，则k,b 的符号是＿＿＿＿＿＿② 抛物线y=ax 2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a__, －a b 2______,b______,c_______, b 2－4ac______,ab ac 442-______aacb b 242---_____3. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（ ）.（A ）p=q, r=0 . (B) p=－q, r=0. (C)p=q, r=1. (D) p=－q, r=1.（2）下图（2）是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（ ）（A）a+b+c=0.（B）a+b+c<0.（C）a+b+c>0.（D）a+b+c值不定.(1)（3）二次函数y=a(x+m)2+n中，a>0 , m>0, n>0 它的图象（）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn<0,那么它们在同一坐标系内的图象大致为（ ） D ）（5）在同一坐标系内，y=ax+b 与y=ax 2+b 的图象大体位置是（ ）(6)已知函数y+ax+b 和y=ax 2+bx+c 那么它们的图象是（ ）（1983年福建省初中数学竞赛题）4. 画下列函数的图象①y=xx 2；②y=2x ； ③y=(x)2；④ y=－x .5.有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象. ①2=x；②y=x2+y－2|x|－3.7.这是一张追及图看图回答：①谁追及谁？②谁早出发，早几小时？③甲、乙在这段路程速度各多少？④追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？⑤分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.8.如图，抛物线L1：y=ax2+2bx+c和抛物线L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.①.判断哪条抛物线经过A、B、C三点，说明理由；②.求出点B和点C的横坐标；③.若AB＝BC，OC＝OD，求a,b,c的值.9. 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=5910102+-x x的图象上找出满足y x ≤的所有整点(x,y), 并说明理由.(1995年全国初中数学联赛题)（8）-1CBDA1练习题参考答案1. ①x=－2,x=0,y=0,y=－x,y=x；②(x,y),(－x,－y)；③y=－3(x－2)2－5, y=－3(x+2)2－5④(3，1)，(－3，2)2.①k<0,b>0.②正，负，正，负，负，正，负.3.①(A)，②(B)，③(B)，④(C)，⑤(D)，⑥(C)4.①∵x≠0，∴图象不以过原点；②y≥0；③x≥0；④y≤0.m2(x 是正整数x≤m=5).5.y=x6.（如图）7. ①乙追及甲； ②甲先1小时； ③时速甲4、乙5千米； ④乙用4小时追上甲先走的4千米 ⑤y 甲=4x, y 乙=5x8. ①∵由图象a,a+1异号，∴L 2过A ，B ，C三点. ②－3，－1. ③－31，0，31. 9. (2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6).由x 2－x+18≤10x .当x ≥0时，x 2－x+18≤10x, x 2－11x+18≤0, (x －2)(x －9)≤0，2≤x ≤9, 这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；当x<0时，x2－x+18≤－10x,x2＋9x+18≤0，（x+6）(x+3)≤0，－6≤x≤－3, 这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).。
初中数学竞赛高斯函数[x]（含答案）
![初中数学竞赛高斯函数[x]（含答案）](https://img.taocdn.com/s3/m/1b69bc0511661ed9ad51f01dc281e53a5802512b.png)
初中数学竞赛高斯函数[x]（含答案）11．高斯函数[x]A 卷1．如果x 为任意实数，用[x]表示不大于x 的最大整数，例如：[-7] = 7，[-3.1] = -4，[3]=1，则满足等式[x]-3=0的x 的范围是____________。
2．若[x]=5，[y]= -3，[z]=-1,mj [x –y –z ]可以取值的个数是（）A ．3;B ．4;C ．5;D ．63．设[x]表示不超过x 的最大整数，若M=][,][x N x =，其中x ≥1，则一定有（）A ．M>N; B ．M=N;C ．M<="">4．给出下面三个命题：（1）[x + 1] = [x] + 1;（2）[x + y] = [x] + [y]（3）[x ·y] = [x] · [y]其中正确命题的个数是（）A ．0;B ．3;C ．1;D ．25．[x]表示取数x 的整数部分，若)4][4][(u x u x y +-+= 且当x = 1,8,11,14时，y = 1；x = 2,5,12,15时，y=2；x = 3,5,9,16时，y=3；x = 4,7,10,13时，y=0，则表达式中u 等于（）A ．42+xB ．41+xC ．4xD ．41-x 6．实数a,b 满足关系式b =[a] + [a-2] – 1和b = [a] + 1的值一定是（）A ．大于9而小于10;B ．大于或等于9而小于10C ．大于9而小于或等于10;D ．整数7．设x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（）A ．[x] = |x|;B ．[x]≥2x ;C ．[x]>-x;D ．[x] > x – 18．记号[x]表示不超过x 的最大整数，设n 是自然数，且222]1)1([)1(+++-++n n n n IA ．I>0B ．I<0C ．I=0D ．当n 取不同的值时，以上三种情况都可能出现。
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题
2023全国初中生数学竞赛(初二)决赛试题第一试一、填空题（每题8分，共64分）1．函数()cos f x x =的图象与直线(0)y kx k =>恰有四个不同交点，设四个交点中横坐标的最大值为α，则tan αα⋅=________.2．已知正三棱锥P -ABC ，M 是侧棱PC 的中点，PB ⊥AM ．若N 是AM 的中点，则异面直线BN 与PA 所成角的余弦值为________.3．已知数列{}n a 满足则11a =，1(2)1n n na n a +=++，则n a =________.4．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒．P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且BPA DPC ∠=∠，AQB DQC ∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=________.5．在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=________.6．14cos124cos36tan 78+︒+︒=︒________.7．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b+->>的焦点，P 是M 上一点，△12PF F 的周长是6，且41a c+的最小值是3，过(4,0)Q -的直线交M 于不同两点A 、B ，则||||QA QB ⋅的取值范围是________.8．已知复数a 、b 、c 满足22222211i a ab b b bc c c ca a ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩，则ab bc ca ++=________.二、解答题（共56分）9．（16分）已知实数122018,,,x x x 满足201810i i x ==∑，2018212018i i x ==∑，求122018x x x 的最大值．10．（20分）已知直线y x =与曲线2:2()(0)M y p x a a =->相切．（1）若F 是曲线M 的焦点，P 是M 上任意一点，求||||PF PO 的最小值；（2）已知直线y kx =分别与曲线M 及曲线2:2()N y p x a =-+分别交于H 、I ．若Q 是圆22(4)1x y +-=上任意一点，且2a p =，求QH QI ⋅ 的最大值．其中H 、I 关于原点O 对称．11．已知x ，y ，0z >，且1xy yz zx ++=，求222115111x y z +++++的最大值。
初中数学竞赛代数专题讲义之高斯函数例题习题及详解
初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。
符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。
一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。
一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。
记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。
2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。
【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。
若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。
【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。
例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。
【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。
初三数学竞赛：一次函数
第 4讲 一次函数知识总结归纳一 . 正比例函数的一般形式是y kx (k 0) ，一次函数的一般形式是 y kx b (k0) ．二 . 三 .一次函数ykxb的图象是经过b，0和 (0，b) 两点的一条直线．k一次函数 ykx b 的图象与性质k 、b 的符k ＞0，b ＞ 0 k ＞ 0， b ＜ 0 k ＜0，b ＞ 0k ＜0， b ＜ 0号图像的大 致位置经过象限第一二三象限第一三四象限第一二四象限第二三四象限性质y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大 y 随 x 的增大而 y 随 x 增大而增大而增大减小减小一次函数与一元一次方程的关系直线 ykx b （ k 0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx b 0（k0）的解．求直线 y kx b 与 x 轴交点时，可令 y0 ，得到方程 kxb 0 ，解方程得 xb ，k直线 y kxb 交 x 轴于 ( b，0) ， b就是直线 y kx b 与 x 轴交点的横坐标．kk四 .五 . 一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为 ax b 0 或 ax b 0 ( a 、b 为常数， a 0 ) 的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围．一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式 y kx （bk 0）本身就是一个二元一次方程， 直线 y kx （bk 0）y kx（b k0），因此二元一次上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程方程的解也就有无数个．典型例题一. 基础训练【例 1】已知函数y(m 10)x 12m ，（1）m为何值时，这个函数是一次函数；（2）m为何值时，这个函数是正比例函数．【例 2】已知正比例函数y kx （ k0 ），点 (2 ， 3) 在函数上，则 y 随着x的增长而_______（增长或减少）．【例 3】求直线y2x 3与x轴和 y 轴的交点，并画出这条直线．【例 4】若一次函数y 3x b 的图像经过点 P(1，4) ，求该函数图象的解析式．【例 5】已知一次函数的图像经过点(3 ，5) 与 ( 4， 9) ．求这个一次函数的解析式．【例 6】一次函数y( m1)x 5 ，y 值随x 增大而减小，则 m 的取值范围是（）A．m1B．m1C．m1D．m 1【例 7】一次函数y2x 3 的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例 8】正比例函数 y( m 2) x m 1的图象一定通过（）A．原点和（2 ,1）B．第一、三象限C．第二、四象限D．第一、三或第二、四象限二 . 巩固提高【例 9】（1）已知直线y ax4a 5不经过第二象限，求 a 的取值范围．（2）已知一次函数y(2m1)x ( m 1) 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围．【例 10】若直线y kx b 与直线 y3x 2 平行，且在 y 轴上的交点坐标为 (0 ，5) ，求 k 和 b 的值．【例 11】（1）将直线y2x 4 向上平移 5 个单位后，所得直线的表达式是多少？（ 2）将直线y2x 4 向右平移 3 个单位后，所得直线的表达式是多少？【例 12】已知函数y kx b 的图象如图，则y 2kx b 的图象可能是（）【例 13】已知一次函数y (3a 2)x (4b) ，求字母a、 b 为何值时：（ 1）y随x的增大而增大；（ 2）图象不经过第一象限；（ 3）图象经过原点；（4）图象平行于直线y －x；= 4+3（ 5）图象与 y 轴交点在 x 轴下方．【例 14】已知整数 x 满足 5 x 5 ，y x1，y22x4对任意一个x，m都取y，y2中的11较小值，则 m 的最大值是（）A．1 B ．2 C ．24 D ．9【例 15】根据下列要求分别写出相应的函数关系式：（1）y与x正比例，其图象过点P( 3，1) ;（2）函数y kx (2k1) 的图象过原点．【例 16】对于一次函数y (2k 5)x (k 4)．（1）若其图象经过经过第一、三、四象限，化简k 2 4 k 4k28k 16 ；（2）若函数为正比例函数，且与y mx的图象关于x轴对称，求m的值．【例 17】一次函数y kx 3 的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值是多少？【例 18】已知一次函数的图象经过点2 ，2 ，它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的解析式 .【例 19】已知四条直线y kx 3 ， y 1 ， y 3 和 x1所围成的四边形的面积是12 ，求 k 的值．【例 20】一个一次函数的图像与直线 y 5 x 95平行，与 x 轴、y轴的交点分别44为 A 、 B ，并且过点 ( 1， 25) ，则在线段 AB 上（包括端点 A 、 B ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？。
初中数学竞赛代数讲义函数的最大值、最小值
函数的最大、最小值一般地，设函数()y f x =在0x 处的函数值是0()f x ，如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≥都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作min 0()y f x =；如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≤都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作max 0()y f x =。
一、专题知识1.基本公式（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠当0a >时，当2b x a =-时，2min 44ac b y a-=；当0a <时，当2b x a =-时，2max 44ac b y a-=。
（2）若0,0a b >>，则2a b +≥（当且仅当a b =时，等号成立）当a b +为定值时，2max()2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭；当ab 为定值时，min ()a b +=2.基本结论一次函数12()(0)()f x kx b k x x x =+≠≤≤当0k >时，min 1max 2()(),()()f x f x f x f x ==；当0k <时，min 2max 1()(),()()f x f x f x f x ==。
二、经典例题例题1若0x >，求函数21y x x x=-+的最小值。
【解】将21y x x x =-+配方得，2221(1)1(1)1y x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭=-++由于2(1)0x -≥（当且仅当1x =时，等号成立），20≥（当且仅当1x =时，等号成立）所以当1x =时，函数21y x x x=-+的最小值为1例题2已知函数()1515f x x p x x p =-+-+--（其中15,015p x p ≤≤<<），求函数()f x 的最小值。
【解】由于015p x <≤≤，所以,1515,1515x p x p x x x p p x -=--=---=+-，于是()151530f x x p x x p x=-+-+--=-所以min ()(15)15f x f ==。
初中数学竞赛函数知识点讲解
初中数学竞赛函数知识点讲解函数是数学中非常重要的概念，它是数学建模和问题求解的基础。
在初中数学竞赛中，函数也是一个常见的考点。
下面将对函数的基本概念、性质、图像和应用等知识点进行讲解。
一、函数的基本概念函数可以理解为一种输入和输出之间的对应关系。
如果对于集合A的每个元素x，都存在一个唯一的元素y与之对应，那么我们称y是x的函数值，记作y=f(x)，而x是y的自变量，f是函数的符号，A称为定义域。
二、函数的表示方式1.显式表示法：当我们可以用一个公式或规律直接表示出函数值时，我们称之为显式表示法。
例如，y=2x+1就是一个显式表示的函数。
2.分段函数表示法：当函数的定义域可以划分为几个子区间，在每个子区间上的函数值由不同的公式来表示时，我们称之为分段函数表示法。
3.隐函数表示法：当函数的表达式不易直接给出，但可以通过方程来暗示其函数关系时，我们称之为隐函数表示法。
三、函数的性质1.奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数；如果有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
例如，y=x^2是一个偶函数，y=x^3是一个奇函数。
2.单调性与增减性：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么称函数f(x)在该定义域上是单调递增的。
如果有f(x1)>f(x2)，那么称函数f(x)在该定义域上是单调递减的。
3.周期性：如果对于函数f(x)存在一个正实数T，使得对于任意实数x有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)称为周期函数，T称为函数的周期。
四、函数的图像函数的图像是函数的重要表现形式之一，可以帮助我们更好地理解函数的性质。
在平面直角坐标系上，函数的图像是指由函数的所有关联点组成的图形。
通过观察图像可以得到函数的单调性、奇偶性、极值点等信息。
五、函数的应用函数的应用非常广泛1.函数的最值问题：求函数在定义域上的最大值或最小值，可以通过绘制函数的图像或使用导数等方法求解。
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-锐角三角函数
初中数学竞赛辅导讲义---锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R CcB b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3D ．23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+οο= ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )A ．3B ．32C ．23 D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．参考答案。
全国各地初中(九年级)数学竞赛《函数》真题大全 (附答案)
全国各地初中（9年级）数学竞赛专题大全竞赛专题6 函数一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）2420x x y -+，则x y -的值为（ ）． A ．2B ．6C ．2或2-D ．6或6-2．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数1k y x=和2ky x =在第一象限内的图象分别是1l 和2l ，设点P 在1l 上，PC x ⊥轴于点C ，交2l 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2l 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）．A ．12k k +B ．12k k -C ．12k kD ．21k k -3．（2021·全国·九年级竞赛）如右图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1y x=于点Q ，连接OQ ，当点P 向右运动时，Rt QOP 的面积（ ）．A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．无法确定4．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 是ABC 三边的长，二次函数2()22b b y a x cx a =----在1x =取最小值83b -，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形5．（2021·全国·九年级竞赛）若函数22(1)32y k x x k k =++++-的图象与x 轴交点的纵坐标为4-，则k 的值是（ ） A ．1-B ．2-C ．1-或2D ．1-或2-6．（2021·全国·九年级竞赛）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-，则200983201083401783200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）． A ．249075 B ．250958 C ．174696 D ．2510007．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内，设1988(2)(1)(2)(1)511111a a a a a x a a ⎡⎤--+--⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦，则x 的个位数字是（ ）． A ．1B ．2C ．4D ．68．（2021·全国·九年级竞赛）设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同交点()()12,0,,0x x ，则下列结论中一定成立的是（ ）．A ．221217x x += B ．22128x x +=C ．221217x x +< D ．22128x x +>9．（2021·全国·九年级竞赛）设Rt ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x 上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（ ） A ．1h <B ．1h =C ．12h <<D ．2h >10．（2021·全国·九年级竞赛）设,n k 为正整数，12132(3)(1)4,(5)4,(7)4A n n A n A A n A +-+=++=++431(9)4,,(21)4,k k A n A A n k A -++=+++，已知1002005A =，则n 的值为（ ）．A ．1806B ．2005C ．3612D ．4100二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是_________． 12．（2021·全国·九年级竞赛）若0abc ≠，则||||||||a b c abca b c abc +++的最大值是________，最小值是__________． 13．（2021·全国·九年级竞赛）若0x >，则24411x x x y ++-+=的最大值是________．14．（2021·全国·九年级竞赛）设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是______．15．（2021·全国·九年级竞赛）已知,a b 为抛物线()()2y x c x c d =----与x 轴交点的横坐标，a b <，则||||a c c b -+-的值为______．16．（2021·全国·九年级竞赛）设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA PM 十的最大值和最小值分别记为s 和t ，则22s t -=_______． 17．（2021·全国·九年级竞赛）若2008个数122008,,,a a a 满足：12a =，2n a -1112008n n n a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭102008+=，其中，2n =，3，…，2008．那么2008a 可能达到的最大值是_________．18．（2021·全国·九年级竞赛）设333199519961997,0x y z xyz ==>，且2223333199519961997199519961997x y z ++111x y z++=_______． 19．（2021·全国·九年级竞赛）如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7，那么当2x =时，该式的值是_________．20．（2021·全国·九年级竞赛）函数23||7y x x =-+的图象与函数22336y x x x x =-+-+的图象的交点个数是_______．21．（2021·全国·九年级竞赛）不论m 取任何实数，抛物线2221y x mx m m =+++-的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式是______．22．（2021·全国·九年级竞赛）如果一次函数y mx n =+与反比例函数3n x y x -=的图象相交于点1,22⎛⎫⎪⎝⎭，那么该直线与双曲线的另一个交点为________．23．（2021·全国·九年级竞赛）函数|1||2||3|y x x x =+++++，当x =_______时，y 有最小值，最小值等于_______．24．（2021·全国·九年级竞赛）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_______．25．（2021·全国·九年级竞赛）代数式21133110x x +的最小值是_______．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知a ，b 是正数，并且二次函数22y x ax b =++和22y x bx a =++的图象都与x 轴相交，则22a b +的最小值是________． 三、解答题27．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 28．（2021·全国·九年级竞赛）试求1231997x x x x -+-+-++-的最小值．29．（2021·全国·九年级竞赛）当12x ≤≤2121x x x x +---30．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对每个人来讲，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小值？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯直接从楼梯上楼） 31．（2021·全国·九年级竞赛）求函数22233x y x x +=++的最大值和最小值．32．（2021·全国·九年级竞赛）已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2y ax bx c =++与x 轴有2个不同的交点A 和B ，若,A B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值．33．（2021·全国·九年级竞赛）求2221026249T x y z xy yz z =++---+的最小值．34．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数x ，如果[]7x =，那么1610x ⎡=⎣的概率是多少?这是[]a 表示不超过a 的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）．35．（2021·全国·九年级竞赛）如图，D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、上任意一点，证明：,,AEF BFD CDE △△△中至少有一个三角形的面积不大于ABC 的面积的四分之一．36．（2021·全国·九年级竞赛）某林场安排了7天的植树工作，从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵？植树最少的那天，有多少人在植树？37．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使32人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼）． 38．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m ，n 17434m m n -+=，求n 的最大值． 39．（2021·全国·九年级竞赛）对于1,2,3,,i n =，有|| 1 i x <且有12||||||n x x x +++=122009||n x x x ++++．求正整数n 的最小值．40．（2021·全国·九年级竞赛）整数012010,,,x x x 满足条件：00x =，10|||1|x x =+，21|||1|x x =+，…，201020091x x =+，求122010x x x +++的最小值．41．（2021·全国·九年级竞赛）平面内给定一个方向l 和一个凸图形F ，其面积为()S F ，内接于F 且有一边平行于l 的所有三角形中面积最大的记为，其面积记()S ．求最大正实数c ，使对平面内任意给定的凸图形F ，都有()()S c S F ≥⋅．42．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 是正数且1x y z ++=，比较149A x y z=++与36B =的大小，并问A 能否等于B ?43．（2021·全国·九年级竞赛）（1）证明：若x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值，那么2,,a a b c -都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论．44．（2021·全国·九年级竞赛）已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数23y ax bx c =++，其图象经过点(5,2)-，且对任意实数，这三个函数对应的函数值123,,y y y ，都有132y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由．45．（2021·全国·九年级竞赛）点(4,0),(0,3)A B 与点C 构成边长是3,4,5的直角三角形．如果点C 在反比例函数ky x=的图象上，求k 可能取到的一切值． 46．（2021·全国·九年级竞赛）已知一次函数y ax b =+的图象经过点(3,32),(3),(,2)A B C c c --，求222a b c ab bc ca ++---的值．47．（2021·全国·九年级竞赛）如图，在直角梯形OABC 中，//OA BC ，A ，B 两点的坐标分别是(13,0)A ，(11,12)B ，动点P ，Q 分别从O ，B 两点同时出发，点P 以每秒3个单位长的速度沿OA 方向运动，点Q 以每秒1个单位长的速度沿线段BC 运动，线段OB 与PQ 的交点为D ，过D 作//DE OA 交AB 于E ，射线QE 交x 轴于点F ，设P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，以P A B Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请写出推理过程．（2）设以P A E Q 、、、为顶点的图形面积为y ，求y 关于运动时间t 的函数关系式，并求出y 的最大值． （3）当t 为何值时，PQF △为等腰三角形？请写出推理过程．48．（2021·全国·九年级竞赛）已知抛物线21:34c y x x =--+和抛物线22:34c y x x =--相交于A ，B 两点，点P 在抛物线1c 上，且位于点A 与点B 之间；点Q 在抛物线2c 上，也位于点A 与点B 之间． （1）求线段AB 的长；（2）当//PQ y 轴时，求PQ 长度的最大值．49．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 为实数，且满足2023x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，求222x y z ++的最小值．50．（2021·全国·九年级竞赛）函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧，若是，请说明理由；若不一定，请求出两个交点在直线1x =的右侧时，k 的取值范围．竞赛专题6 函数答案解析一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）2420x x y -+，则x y -的值为（ ）． A ．2 B ．6C ．2或2-D ．6或6-【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：2420x x y -+，2420x x y -+=，240x -，20x y +=，即2,2x y x =±=-，于是()236x y x x x -=--==或6-． 故选：D ．2．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数1k y x=和2ky x =在第一象限内的图象分别是1l 和2l ，设点P 在1l 上，PC x ⊥轴于点C ，交2l 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2l 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）．A ．12k k +B ．12k k -C ．12k kD ．21k k -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】OACOBDPOOD PAOB S S SS=--长方形四边形．设(,),(,),(,)P a b A c d B e f ，则122,,ab k cd k ef k ===，所以12212111111222222PAOB S PC PD AC OC BD OD ab cd ef k k k k k =⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=--=-四边形．故选：B ．3．（2021·全国·九年级竞赛）如右图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1y x=于点Q ，连接OQ ，当点P 向右运动时，Rt QOP 的面积（ ）．A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．无法确定【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设(,)Q a b ，则,OP a PQ b ==，且1b a=，所以111222OPQS OP PQ ab =⨯⨯=⨯=． 故选：C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 是ABC 三边的长，二次函数2()22b by a x cx a =----在1x =取最小值83b -，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解 依题意可得2220,,42,231,2,52()52338()223ba b a a b c b c a a b c ABC b a c b c b b b a c a b⎧⎪->⎧⎪>⎧⎪⎪=⎪⎪-⎪⎪=⇒+=⇒⇒+=⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-=⎪⎪⎪=⎩⎩⎪----=-⎪⎩是直角三角形．故应选D ．注：从前面的例题可以看出，解有关二次函数的最值问题，不仅要熟悉有关二次函数的性质，还要灵活运用相关的不等式知识、几何知识等，才能使问题得到顺利解决．5．（2021·全国·九年级竞赛）若函数22(1)32y k x x k k =++++-的图象与x 轴交点的纵坐标为4-，则k 的值是（ ） A ．1- B ．2-C ．1-或2D ．1-或2-【答案】B【分析】 【详解】解 因0x =时，4y =-代入函数关系得2432k k -=+-，即(1)(2)0k k ++=，所以1k =-或2k =-．故应选D ．注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数．不能一开始就默认它是二次函数，约定10k +≠，从而错误地选择了B ．6．（2021·全国·九年级竞赛）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，{}[]x x x =-，则200983201083401783200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）． A ．249075 B ．250958 C ．174696 D ．251000【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】原式(20090)83(20091)83(20092008)83200920092009+⨯+⨯+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦083183200883838383200920092009⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦083183200883083183200883832009200920092009200920092009⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⨯++++----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭83083183200883200983(122008)2009200920092009⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⨯++++----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭083183200883200983831004200920092009⨯⨯⨯⎧⎫⎧⎫⎧⎫=⨯+⨯----⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭．显然，2009与83互质，083,183,,200883⨯⨯⨯除以2009有2009个不同的余数．所以，08318320088301200810042009200920092009⨯⨯⨯+++⎧⎧⎫⎧⎫+++==⎨⎨⎬⎨⎬⎩⎩⎭⎩⎭． 故原式200983831004100416674782328249075=⨯+⨯-=+=．7．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内，设1988(2)(1)(2)(1)511111a a a a a x a a ⎡⎤--+--⎢⎥+=⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦，则x 的个位数字是（ ）． A ．1 B ．2C ．4D ．6【答案】D【分析】 【详解】解：要使x 有意义，必须且只需(2)(1)0,(2)(1)0,(2)(1)0,1,110,21101a a a a a a a a a a a⎧--≥⎪⎧--=--≥⎪⎪⎪⇒≠⇒=-⎨⎨-≠⎪⎪≠⎩⎪+≠⎪-⎩． 所以1988198********05(1)1()(2)(2)1611(1)12x ⨯⨯-+=+=-=-=--+， 故x 的个位数字为6， 故选：D ．8．（2021·全国·九年级竞赛）设抛物线24y x kx =++与x 轴有两个不同交点()()12,0,,0x x ，则下列结论中一定成立的是（ ）．A ．221217x x += B ．22128x x += C ．221217x x +< D ．22128x x +> 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由2244016k k =-⨯>⇒>．又因1212,4x x k x x +=-=，所以()2222121212281688x x x x x x k +=+-=->-=． 故选：D ．9．（2021·全国·九年级竞赛）设Rt ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x 上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（ ） A ．1h < B ．1h = C ．12h << D ．2h >【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 设A 的坐标为()2,a a ，点C 的坐标为()2,(|||| )c c c a <，则B 点的坐标为()2,a a -．由勾股定理可得()22222()AC a c a c =-+-，()22222()BC c a a c =++-，则22222(2)4AC BC AB a a +===， 于是()()222222224a c a c a ++-=，即()22222a c a c -=-．由于22a c >，所以221a c -=，即斜边上的高h =（A 的纵坐标）-（C 的纵坐标）221a c =-=． 注：（1）如图仅画出了0c a <<的情形，在其他情形下，计算是完全相同的．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，利用勾股定理可得计算A 与B 的距离的公式为()()2222121AB x x y y =-+-．10．（2021·全国·九年级竞赛）设,n k 为正整数，12132(3)(1)4,(5)4,(7)4A n n A n A A n A +-+=++=++431(9)4,,(21)4,k k A n A A n k A -++=+++，已知1002005A =，则n 的值为（ ）．A ．1806B ．2005C ．3612D ．4100【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】2221[(1)2][(1)2]4(1)24(1)1A n n n n n +++-+=+-++=+， 2222[(3)2][(3)2]4(3)24(3)3A n n n n n +++-+=+-+=+=+， 2223[(5)2][(5)2]4(5)24(5)5A n n n n n +++-++-+++，同理451007,9,,21001199200520051991806A n A n A n n n =+=+=+⨯-=+=⇒=-=．故选：A ． 二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1:2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是_________． 37【解析】 【分析】设等腰三角形的腰为x ，底为y ，周长被分为的两部分的长分别为n 和2n ，则222x x n x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或222x x n x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得25(,),33n n x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭或4,33n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为25233n n ⨯<（此时不能够成三角形，舍去），所以4(,),33n n x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中n 是3的倍数．则三角形面积2221472336n n n S ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当0n ≥时，S 随着n 的增大而增大．所以3n =时．S 37 12．（2021·全国·九年级竞赛）若0abc ≠，则||||||||a b c abca b c abc +++的最大值是________，最小值是__________． 【答案】 4 -4 【解析】 【分析】 【详解】 因为1||a a =±，1||b b =±，1||c c =±，1||abc abc =±，所以44||||||a b ca b c -≤++≤． 当a ，b ，c 全为正时等于4，当a ，b ，c 全为负时等于4-，故其最大值是4，最小值是4-． 13．（2021·全国·九年级竞赛）若0x >，则24411x x x y ++-+=的最大值是________．32 【解析】 【分析】 【详解】因0x >，244222441111111x x x x y xx x x ++++==++++-+22222211121232x x x x x x+⋅+⋅等号成立当且仅当221(0)x x x =>，即1x =，所以0x >时，1y 32y 3232=+ 故答案为：0x >时，1y 32y 3232=+ 14．（2021·全国·九年级竞赛）设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是______．【答案】1【分析】 【详解】 211(1)10211(0)y x x x x x x=-++-≥+⋅=>，等号当且仅当1x =且1x x =，即1x =时成立，故y 的最小值为1， 故答案为：1．15．（2021·全国·九年级竞赛）已知,a b 为抛物线()()2y x c x c d =----与x 轴交点的横坐标，a b <，则||||a c c b -+-的值为______． 【答案】b a - 【解析】 【分析】 【详解】依题意，该抛物线开口向上，又当x a =或b 时，0y =．当x c =时，20y =-<，所以a c b <<，故||||a c c b c a b c b a -+-=-+-=-．故答案为：b a -．16．（2021·全国·九年级竞赛）设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA PM 十的最大值和最小值分别记为s 和t ，则22s t -=_______． 【答案】43 【解析】 【分析】 【详解】因为PA CA ≤，PM CM ≤，故当P 处于BC 边顶点C 这一极端位置时，PM PA 十取最大值，最大值为32s CM CA =+=．如图4-1，作正'A BC ，设'M 为'A B 的中点，则由'PBM PBM ≌得'PM PM ，于是''PA PM PA PM AM +=+≥．连'CM ，则'ACM ∠='ACB BCM ∠+∠=603090︒+︒=︒，所以'AM =22'AC CM +=222(3)7+'7PA AM PM +≥=A 、P 、'M 共线时等号成立，即PA AM +的最小值为7t =22s t -=22(32)(7)3-=4317．（2021·全国·九年级竞赛）若2008个数122008,,,a a a 满足：12a =，2n a -1112008n n n a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭102008+=，其中，2n =，3，…，2008．那么2008a 可能达到的最大值是_________．【答案】200620082 【解析】 【分析】 【详解】依题意11102008n n nn a a a a --⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12008n n a a -= ①或11n n a a -=② 于是连续两次第②类变换互相抵消，保持原数不变，并且当连续三次变换依次是“第①类变换，第②类变换，第①类变换”时，其效果相当为进行一次第②类变换，故从12a =出发变到2008a ，一共要经过2007次变换，相当于进行若干次第①类变换和至多2次第②类变换，并且第②类变换只有第一次、最后一次进行才可能使2008a 最大．其中以前2006次进行第①类变换，最后一次进行第②类变换时，2008a 达到最大值200620082．18．（2021·全国·九年级竞赛）设333199519961997,0x y z xyz ==>，且2223333199519961997199519961997x y z ++111x y z++=_______． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】解：因0xyz >，故3331995199619970x y z k ===>，则3331995,1996,1997k k k x y z ===， 3333333k k k k k kx y z x y z++， 两端三次方得3111111()x y z x y z++=++．又0,0,0x y z >>>，所以1111x y z++=．故答案为：1．19．（2021·全国·九年级竞赛）如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7，那么当2x =时，该式的值是_________． 【答案】17- 【解析】 【分析】 【详解】解：因为当2x =-时，535328257ax bx cx a b c ++-=----=， 所以328212a b c +=-＋，于是当2x =时，5353282512517ax bx cx a b c ++-=++-=--=-． 故答案为：17-．20．（2021·全国·九年级竞赛）函数23||7y x x =-+的图象与函数22336y x x x x =-+-+的图象的交点个数是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】第一个函数化为2237(0),37(0),x x x y x x x ⎧++<=⎨-+≥⎩第二个函数化为26(03),266(03).x y x x x x ≤≤⎧=⎨-+⎩或 分别作它们的图象知，它们共有4个交点．或者分别解方程组(22237,37,(0),00)2666y x x y x x x x y x x y ⎧=++=-+<≤≤⎨=-+=⎩及2237,(3)266y x x x y x x ⎧=-+>⎨=-+⎩，可得4个交点为(1111(985,6285,(35),6,(35),6,(313),82222A B C D ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：4．21．（2021·全国·九年级竞赛）不论m 取任何实数，抛物线2221y x mx m m =+++-的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式是______． 【答案】1y x =-- 【解析】 【分析】 【详解】二次函数化为2()1y x m m =++-，得顶点坐标为,1,x m y m =-⎧⎨=-⎩消去m 得1y x =--．故答案为：1y x =--．22．（2021·全国·九年级竞赛）如果一次函数y mx n =+与反比例函数3n x y x -=的图象相交于点1,22⎛⎫⎪⎝⎭，那么该直线与双曲线的另一个交点为________． 【答案】51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】将1,22x y ==代入,31y mx n ny x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得12,2261,m n n ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩于是1,23.n m ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 解方程13,2312y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得1,22x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1,5.2x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩故另一交点为51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故答案为：51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．23．（2021·全国·九年级竞赛）函数|1||2||3|y x x x =+++++，当x =_______时，y 有最小值，最小值等于_______．【答案】 2- 2 【解析】 【分析】 【详解】解 当3x ≤-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =-+-+-+=-+； 当32x -<≤-时，(1)(2)(3)y x x x x =-+-+++=-；当21x -<≤-时，(1)(2)(3)4y x x x x =-+++++=+； 当1x >-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =+++++=+．故|1||2||3|y x x x =+++++在(,2]-∞-上递减，在[2,)-+∞上递增，当2x =-时，y 取最小值2．故应填2,2-（如图）．注：①一般说来，对于含绝对值的一次函数，应分区间将绝对值符号去掉变成折线函数，再根据函数的增减性（一次项系数为正时递增，为负时递减）就不难得出所求函数的最大（或最小）值．如果作出其图象，那么其结果是一目了然的．②本题的一种简单解法是利用差的绝对值的几何意义来求解：因为||x a -表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标为a 的点A 的距离，故|1||2||3|y x x x =+++++表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标分别为1,2,3---的点,,A B C 的距离之和．显然当P 与B 重合时，即2x =-时，这个距离之和为最小，其最小值为线段AC 的长度|(1)(3)|2---=．又如，若要求|9||8||3||1||5||6|y x x x x x x =-+-+-++++++的最小值，则它等价于求数轴上坐标为x 的点P ，分别到坐标为9,8,3,1,5,6---的各点,,,,,A B C D E F 的距离之和的最小值． 显然当P 在线段CD 上，即当13x -≤≤时，这个距离之和取最小值，并且最小值|9(6)||8(5)||3(1)|32AF BE CD =++=--+--+--=．24．（2021·全国·九年级竞赛）当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_______．【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】解 令22365112x x y x x ++=++，去分母整理得 2(6)(212)2100y x y x y -+-+-=．若6y =，则①化为20=，矛盾．故6y ≠． 因为作为x 的方程①有实根x ，故()22(212)4(6)(210)410244(4)(6)0y y y y y y y =----=--+=---≥，即(4)(6)0y y --≤，解得46y ≤≤． 而6y ≠，所以46y ≤<．4y =代入①可得1x =-，故当1x =-时，y 取最小值4．故应填4．注：例5~7中求最值的方法叫做判别式法．这是求函数最值的重要方法之一．但应该注意的是，化简整理为一个关于x 的二次方程后（其余数是变量y 的函数），对其二次项系数是否为零应进行讨论，只有在二次项系数不等于零的情形才能应用判别式法（若使二次项系数等于0的y 的值存在，则这个值也是函数y 可取到的值，在求最值时，应将这个值考虑在内进行讨论）．25．（2021·全国·九年级竞赛）代数式21133110x x +的最小值是_______． 【答案】3223【解析】 【分析】 【详解】解 设21133110y x x =+，则()222(110)1133y x x +=+，即22222032233113y xy x +=⨯+⨯．关于x 的方程222322322031130x yx y ⨯-+⨯-=有实根，所以 ()()222222(220)432233113411332230y y y =--⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯≥（因为22220432234113+⨯⨯=⨯），所以3223y ≥． 当且仅当223x =y 取最小值3223 故应填322326．（2021·全国·九年级竞赛）已知a ，b 是正数，并且二次函数22y x ax b =++和22y x bx a =++的图象都与x 轴相交，则22a b +的最小值是________． 【答案】20 【解析】 【分析】 【详解】解 因两条抛物线都与x 轴相交，故其判别式218a b =-及22(2)4b a =-都不小于零，即22222280,8,8440a b a b a b a b b a b a⎧⎧-≥≥⎪⇒⇒+≥+⎨⎨-≥≥⎪⎩⎩． 因,a b 都是正数，所以423(8)64644a b a a a ≥≥⇒≥⇒≥，及242b a b ≥≥⇒≥，所以22224220a b +≥+=，即22a b +的最小值为20．故应填20．注：本题中求最值的方法叫做放缩法，即根据题目条件，将各变量的值适当放缩为一个常数，从而求出其最值． 三、解答题27．（2021·全国·九年级竞赛）在直径为5的圆内放入10个点，证明其中必有两点的距离小于2． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】分析 把圆等分为9个扇形显然不行（虽然必有一扇形内至少有2点，但不保证它们的距离小于2），因此，我们先作一个与已知圆同心的小圆（其直径必须小于2，但不能太小），然后将余下的圆环部分8等分． 证明 设O 是已知圆心，如图，以O 为圆心作半径为0.9的圆，再将余下的圆环8等分，于是将已知圆面分成了9个部分，由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的101129-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦点,M N ，若,M N 在小圆内，则220.9 1.82MN OC ≤=⨯=<． 若,M N 同在一个扇面形内，则由余弦定理，有222cos45MN AC OC OA OC OA ≤+-⋅︒0.81 6.2520.9 2.50.7 3.912+-⨯⨯⨯<．从例2可以看出，分割图形制造“抽屉”时，可能不是将图形等分为几部分，而是要求分割的每一部分图形都具有所需要的性质（例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2），读者应用这种方法解题时，应该注意到这一点．28．（2021·全国·九年级竞赛）试求1231997x x x x -+-+-++-的最小值．【答案】997002． 【解析】 【分析】 【详解】解：要求1219961997x x x x -+-+⋯+-+-的最小值，只要在数轴上找出x 所对应的点，使这点到1，2，3，…，1997所对应的点的距离之和最小即可． 如图1-1所示，当999x =时，原式的值最小，最小值为999199929999989999999991000999100199919969991997-+-+⋯+--+-+-+⋯+-+-＋99899721012997998=++⋯++++++⋯++(9981)99822+⨯=⨯997002=．29．（2021·全国·九年级竞赛）当12x ≤≤2121x x x x +--- 【答案】21x -． 【解析】 【分析】 【详解】解：令2121(12)A x x x x x +---≤≤，则 222212(21)21A x x x x x x =+-----22224422(2)x x x x x =--+=--()()22222241x x x x x =--=--=-，又0,12A x >≤≤，所以1A x =-30．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对每个人来讲，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层感到3分不满意．现有32个人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小值？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯直接从楼梯上楼） 【答案】当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分 【解析】 【分析】 【详解】解易知这32人恰好是从第2层到第33层各住1人．对于每个乘电梯上下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数（事实上，设住s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接上楼，s t <，则这2人不满意分数之和为3t ；若两人交换上楼方式，则2人不满意分数之和为33s t <，即不满意总分减小． 设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为3[12(33)]3(12)[12(2)]S x y x y =+++-++++++++--，其中3[12(33)]x +++-是住在第1x +层至第33层的人（共33x -人）的不满意总分之和，3(12)y +++是直接从楼梯上楼的人（共y 人）的不满意总分之和，12(2)x y +++--是从第2y +层至第1x -层的人（共2x y --人）的不满意总分之和，于是331(33)(34)(1)(2)(1)222S x x y y x y x y =--+++----222102231684x xy x y y =--+++ 222(102)231684x y x y y =-++++()221021215180308648y x y y +⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭22102152(6)31631648y x y +⎛⎫=-+-+≥ ⎪⎝⎭，且当27,6x y ==时，316S =．答：当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分．注：求含2个或2个以上变量的代数式的最大（小）值时，配方法是其中有效方法之一；另一种方法则是利用已有不等式将含有变量的代数式化为一个不大于（或不小于）一个常数c 的不等式，并能确定等号可以成立，则常数c 便是所求的最大值（或最小值）；第三种方法就是化为一元二次方程用判别式法（参看§5例4~7），等等．31．（2021·全国·九年级竞赛）求函数22233x y x x +=++的最大值和最小值．【答案】当2x =-时，y 取最小值2-；当0x =时，y 取最大值23，理由见解析． 【解析】 【分析】 【详解】将原式整理为关于x 的方程：2(32)(32)0yx y x y +-+-=．若0y =，则1x =-，即0y =是函数的一个值；若0y ≠，则因关于x 的方程有实根，所以2(32)4(32)(32)(324)0y y y y y y =---=---≥，即(32)(2)0y y -+≤，解得223y -≤≤．由此可看出0y =即不是最大值也不是最小值． 当2y =-时，由222233x x x +-=++，解得2x =-；当23y =时，由2222333x x x +=++，解得0x =．所以当2x =-时，y 取最小值2-；当0x =时，y 取最大值23．32．（2021·全国·九年级竞赛）已知,,a b c 都是正整数，且抛物线2y ax bx c =++与x 轴有2个不同的交点A 和B ，若,A B 到原点的距离都小于1，求a b c ++的最小值． 【答案】11，见解析． 【解析】 【分析】【详解】设()()()1212,0,,0A x B x x x <，则1212120,0,00b x x ax x c x x a ⎧+=-<⎪⎪⇒<<⎨⎪⋅=>⎪⎩． 又2402b ac b ac =->⇒>① 又因为121,1OA x OB x =<=<， 故121210,101cx x x x c a a-<<-<<⇒=<⇒<．② 因0a >，抛物线开口向上，故1x =-时，0y a b c =-+>，得b a c <+．而,b a c +均为正整数，故1a c b +≥+，于是由①得21()1a c ac a c +>⇒>，由②1a c >，即1a c >，于是22(1)(11)4a c >≥+=，所以5a ≥．又22514b ac >⨯，所以5b ≥．取5,5,1a b c ===时，2551y x x =++满足题目条件，故a b c ++的最小值为55111++=． 33．（2021·全国·九年级竞赛）求2221026249T x y z xy yz z =++---+的最小值． 【答案】5 【解析】 【分析】 【详解】解 ()()()22222692445T x xy y y yz z z z =-++-++-++222(3)()(2)55x y y z z =-+-+-+≥．当6,2x y z ===时，T 取最小值5．注：例2~3中求最值的方法是常用的配方法．34．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数x ，如果[]7x =，那么1610x ⎡=⎣的概率是多少?这是[]a 表示不超过a 的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）． 【答案】780【解析】 【分析】 【详解】因[]7x =，故2278,78x x <≤≤≤．而要使[16]10x =，即22101611,2.5 2. 75,2.5 2.75x x x ≤≤≤，故所求概率22222.75 2.25 1.31257871580p -===-． 35．（2021·全国·九年级竞赛）如图，D E F 、、分别是ABC 的三边BC CA AB 、、上任意一点，证明：,,AEF BFD CDE △△△中至少有一个三角形的面积不大于ABC 的面积的四分之一．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】证明 记123,,,ABC AEF BFD CDE S S S S S S S S ====，于是11sin 21sin 2AE AF A S AE AFS AB ACAB AC A ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅．同理32,S S BF BD CD CE S BA BC S CA CB⋅⋅==⋅⋅， 所以1233222()()()S S S AF FB BD DC CE EA S AB BC CA ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ 222222122264AF FB BD DC CE EA AB BC CA +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤=⋅⋅． 31234S S S S ． 由平均值原理得123,,S S S 中必有一个不大于S4．即证． 36．（2021·全国·九年级竞赛）某林场安排了7天的植树工作，从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵？植树最少的那天，有多少人在植树？ 【答案】植树最少的那天有54人或24人植树． 【解析】 【分析】 【详解】设第4天有m 人植树，每人植树n 棵，则第4天共植树mn 棵；第3天有5m -人植树，每人植5n +棵，则第3天共植树(5)(5)m n -+棵．同理，第2天共植树(10)(10)m n -+棵；第1天共植树(15)(15)m n -+棵；第5天共植树(5)(5)m n +-棵；第6天共植树(10)(10)m n +-棵；第7天共植树(15)(15)m n +-棵．由七天共植树9947棵得(15)(15)(10)(10)m n m n -++-++(5)(5)(5)(5)m n mn m n -++++-(10)(10)m n ++-(15)(15)9947m n ++-=．化简得77009947mn -=，1521mn =．因221521313=⨯．又每天都有人植树，所以15m >，15n >，故39m n ==．因为第4天植树棵数为39391521⨯=，其他各天植树棵数为(39)(39)a a -+=21521a -（5a =，10或15），所以第4天植树最多，这一天共植树1521棵． 当15a =时，2239a -的植树棵数最少．又当15a =时，植树人数为391554+=或391524-=，所以植树最少的那天有54人或24人植树． 37．（2021·全国·九年级竞赛）一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使32人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不坐电梯而直接从楼梯上楼）． 【答案】当电梯停在第27层时，这32人不满意的总分达到最小，最小值为316分． 【解析】 【分析】 【详解】易知，这32人恰好是第2至第33层各住一人，对于每个乘电梯上、下梯的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数．事实上，设住s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，且s t <，交换两人上楼方式，其余人不变，则不满意总分不增．现分别证明如下：设电梯停在第x 层，①当x s t ≤<时，若住在第s 层的坐电梯，住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3(1)3()t s x -+-=3333t s x +--；交换两人上楼方式，则两者不满意总分为3(1)3()s t x -+-=3333t s x +--，两者相等；②当s x t <<时，若住s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两人不满意总分为3(1)()t x s -+-=33t x s +--；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为3(1)3()s t x -+-=3333t x s -+-，前者比后者多4()0x s ->；③当s t x <≤时，若住s 层的人乘电梯，住t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为3(1)()t x s -+-=33t x s +--；交换两人上楼方式，则这两者的不满意总分为3(1)()s x t -+-=33s x t +--，前者比后者多4()0t s ->．今设电梯停在第x 层，设有y 人直接走楼梯上楼，则11y x +≤-，那么不满意总分为3(12)s y =+++3[12(33)]x ++++-[12(11)]x y ++++---3(1)3(33)(34)22y y x x +--=++(2)(1)2x y x y ----222102231684x xy x y y =--+++222(102)231684x y x y y =-++++=210224y x +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()211518030688y y +-+210224y x +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭215(6)3163168y +-+≥． 当27x =，6y =时，316s =，所以，当电梯停在第27层时，这32人不满意的总分达到最小，最小值为316分．38．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m ，n 17434m m n -+=，求n 的最大值． 【答案】104 【解析】 【分析】 【详解】设70a m =-，104104a a n -+=，两边平方得22222104a a n +-=．令222104a b -=（b 为正整数），则2()()104a b a b -+=．由于-a b 与a b +同奇偶，即同为偶数，所以当2a b -=时，a b +取最大值52104⨯．这时，222()104n a b =+=为最大，所以n 的最大值为104． 39．（2021·全国·九年级竞赛）对于1,2,3,,i n =，有|| 1 i x <且有12||||||n x x x +++=122009||n x x x ++++．求正整数n 的最小值．【答案】正整数n 的最小值为2010． 【解析】 【分析】 【详解】 作整体估计如下：2009=1212||||||||n n x x x x x x +++-+++12||||||n x x x n ≤+++<，所以2010n ≥．当2010n =时，取121005x x x ===20092010=，10061007x x ===201020092010x =-，则||1i x <(1,2,,2010) i =且122010|||||x x x +++2009=+122010||x x x +++，满足题目条件，故所求n 的最小值为2010．40．（2021·全国·九年级竞赛）整数012010,,,x x x 满足条件：00x =，10|||1|x x =+，21|||1|x x =+，…，201020091x x =+，求122010x x x +++的最小值．【答案】122010x x x +++的最小值为7．【解析】 【分析】 【详解】由已知条件可得：2210021x x x =++，2221121x x x =++，…，2220102009200921x x x =++，各式相加整理后得22010x =()2001200922010x x x x +++++．又00x =，故有122010x x x +++=2201020101220102x x +-()220101120112x =+-． 因122010x x x +++为整数，故()220101x +为奇数，又2243201045<<且2432011-=16214>=2452011-，所以122010x x x +++2145201172≥-=．。
初中数学竞赛函数知识点讲解
初中数学竞赛函数知识点讲解函数是数学中一个非常重要的概念，它在初中数学竞赛中也是一个经常出现的知识点。
下面，我将为您讲解一下初中数学竞赛中关于函数的知识点。
1.函数的定义：函数是一个有特定关系的数集，也可以理解为一个数集和另一个数集之间的对应关系。
通常我们用字母表示函数，如f、g、h等。
在函数中，通常有自变量和因变量两个变量，自变量的取值决定了因变量的值，可以用对应关系式表示：y=f(x)。
其中，x是自变量，y是因变量，y=f(x)表示y是x的函数。
2.函数的性质：(1) 定义域：函数中自变量的取值范围称为定义域，常用符号表示为D(f)。
例如，在一元一次函数y = ax + b中，定义域为全体实数（即D(f) = R）。
(2) 值域：函数中因变量的取值范围称为值域，常用符号表示为R(f)。
例如，在一元一次函数y = ax + b中，值域是全体实数（即R(f) = R）。
(3)奇偶性：若对于函数中的每一个x值，都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若对于函数中的每一个x值，都有f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若奇函数和偶函数的性质都不具备，则函数为非奇非偶函数。
(4)单调性：函数的单调性表示函数在定义域内的递增或递减趋势。
若对于函数中的每一对不等的x1和x2，有x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则函数为严格递增函数；若对于函数中的每一对不等的x1和x2，有x1<x2时，f(x1)>f(x2)，则函数为严格递减函数。
3.常见函数类型：(1) 一元一次函数：一元一次函数的一般表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，a≠0。
一元一次函数的图象是一条直线，斜率为a，截距为b。
(2) 二次函数：二次函数的一般表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a≠0。
二次函数的图象是一条开口向上或向下的抛物线。
(3)绝对值函数：绝对值函数的一般表达式为y=，x，即y等于x的绝对值。
初中数学竞赛函数专题(详解)
所以 ，…………………（10分）
故 ，
当 ，b=0，c=1时，等号成立.
所以， 的最小值为4.………………………（15分）
26.
27.
28.解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为（－a，a2），由勾股定理，得 ，
，
所以 ．
由于 ，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1
14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，y
记p＝|a－b＋c|＋|2a、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
0 1 x
15．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）
27.在直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B的两点。若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足 ，则m=_____.
28.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线 上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）
（A）h<1（B）h=1（C）1<h<2（D）h>2
29.设0＜k＜1，关于x的一次函数 ，当1≤x≤2时的最大值是（）
4．一个一次函数图象与直线 平行，与 轴、 轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（ ）。 （A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
5．11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么 ＝________。
（－a，a2），由勾股定理，得 ，
，
所以 ．
初中数学竞赛高斯函数[x](含答案)
](https://img.taocdn.com/s3/m/c7de53e481eb6294dd88d0d233d4b14e84243e52.png)
初中数学竞赛高斯函数[x](含答案)1.如果$x$为任意实数，用$[x]$表示不大于$x$的最大整数，例如：$[-7] = 7$，$[-3.1] = -4$，$[3]=3$，则满足等式$[x]-3=0$的$x$的范围是$x\in [3,4)$。
2.若$[x]=5$，$[y]=-3$，$[z]=-1$，$[x-y-z]$可以取值的个数是$4$。
3.设$[x]$表示不超过$x$的最大整数，若$M=[x]$，$N=[x-0.5]$，则$M>N$。
4.给出下面三个命题：1）$[x + 1] = [x] + 1$;2）$[x + y] = [x] + [y]$；3）$[x\cdot y] = [x]\cdot[y]$。
其中正确命题的个数是$2$。
5.$[x]$表示取数$x$的整数部分，若$y=\left\lfloor\frac{x}{\sqrt{x}}\right\rfloor$，其中$x\geq 1$，则表达式中$u$等于$\frac{x+2}{x+1}$。
6.实数$a,b$满足关系式$b=[a]+[a-2]-1$和$b=[a]+1$，则$b$的值一定是整数。
7.设$[x]$表示不超过$x$的最大整数，对任意实数$x$，下面式子正确的是$[x]>-x$。
8.记号$[x]$表示不超过$x$的最大整数，设$n$是自然数，且$I=(n+1)+n-[(n+1)+n+1]$，则$I<0$。
9.设$x\geq 0$，求证：$[[x]]=\XXX。
10.记$[a]$为不大于$a$的最大整数，$\{a\}=a-[a]$，求证：如果$\{x\}+\{y\}=1$，则$[x+y]=[x]+[y]+1$。
初中数学竞赛练习第07讲 二次函数(含解析)
第7讲二次函数。
022·广东，九年级统考觉赛〉如图，在四边形ABCD中，ADI/BC, LA=45°, LC=90。
，AD=4cm, 一、单选题CD=3cm.动点M,N同时从点A出发，点M以.ficm怜的速度？的AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿拆线AD－即向终点C运动．设点N的运动时间为ts,AMN的面积为Scm2，则下列图象自巨大致反映S与t之间函数关系的是（BS/cm2 S/cm2A. B。
S/cm2 S/cm2c. D.。
7s2.(2021·全国九年级党赛）一条抛物线y= ax2 +hx+c的顶点为（4,-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则。
，b, c中为正数的（A. 只有aB.只有b c.只有c D.只有。
和b3.(2021·全国九年级党赛）己知二次i1E1数y=ax2+bx＋己的图象如图所示，则下列代数式：ab,ac, a+b+c, a-b+c, 2a吨，2a-b中，其值为正的代数式的个数为（}\1A.2个B.3个 c.4个 D.4个以上4.(2021·全国九年级党赛〉在平面直角坐标系z句中，作抛物线A关于x轴对称的抛物线B，再将抛物线B向在平移2个单位，向上半移1个单位，得到的抛物线C的两数负析式是y=2（λ＋1)2-1，贝！｜抛物线A所对应的的函数解析式是（A. y=-2(x+3)2-2B.y=-2(x+3)2 +2C. y=-2(x-1)1-2D.y=-2(x-1)1+25.(2021 ·全国丸年级竞赛〉己知α－b=4,ab+c2÷4=0，则α＋b=( ) .A.4B.0C.2D.-26.(2021·全国九年级党赛）在平丽直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次27函数y=-x1+6x-4的图象与X车rb所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的孩点的个数是（〉A.5B.6 c.7 D.87.(2023春·浙江宁波九年级校联考竞赛〉二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（码，0). B（句，o），且λ｝〈毛，点P(m,n）是囱象上一点，那么下列判断正确的是〈〉A.当n>O时，川〈λlB.当n>O时，m＞λ；2c.当n.<0时，m<O D.当n<O时，x1<m<x18.(2017秋·江苏镇江·九年级党赛）函数y=ax1+bx+c图像的大致位置如｜到所示，则忡，bc,2α忡，（a+c)2-b2,“＋ b)2 -c1, l l-a2等代数式的值中，正数有（〉xA. 2个B.3个 c.4个 D. 5个9.(2022·福建·九年级统考竞赛）已知二次函数y=ax气的＋c的图象交x轴于A（刀，0），β（λz,0）两点，交y轴于点C(O，匀，若X1+ X2 = 4，且b.ABC的丽积为3，则。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛专题：函数 初中数学竞赛专题：函数（1）6.1函数及其图像6.1.1 ★已知2(1)195544f x x x -=+-,求()f x ．解析1 令1y x =-,则1x y =+,带入原式有2()19(1)55(1)44f y y y =+++-2199330y y =++,所以 2()199330f x x x =++．解析2 2(1)19(1)93(1)30f x x x -=-+-+,所以2()199330f x x x =++6.1.2 ★★若函数2()1g x x =-,[]221()x f g x x -=,求3()4f ．解析 只要将满足3()4g x =的x 值求出来,然后代入[]()f g x 即可．23()14g x x =-=, 所以214x =,12x =±．因此2211()312()()3142()2f fg -±⎡⎤=±==⎢⎥⎣⎦± 6.1.3 ★ 已知函数53()5f x ax bx x =-++,其中a 、b 为常数．若()7f x =,求(5)f -． 解析 由题设53()5f x ax bx x -=-+-+ 53(5)10ax bx x =--+++()10f x =-+所以(5)(5)103f f -=-+=．6.1.4 ★★ 函数()f x 的定义域是全体实数,并且对任意实数x 、y ,有()()f x y f xy +=．若(19)99f =,求(2008)f ．解析 设(0)f k =,令0y =代入已知条件得()(0)(0)(0)f x f x f x f k +=⋅==, 即对任意实数x ,恒有()f x k =,所以()(19)99f x f ==,所以 (2008)99f =． 6.1.5 ★★ 若对任意实数x ,221()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+总有意义,求实数a 的取值范围． 解析 欲使221()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+总有意义,令22()(2)(2)1f x a a x a x =--+-+则()0g x >或()0g x <,对任意实数x 均成立,于是问题等价于（1）22220,(2)4(2)0.a a a a a ⎧-->⎪⎨=----<⎪⎩△ （2）22220(2)4(2)0.a a a a a ⎧--<⎪⎨=----<⎪⎩△ （3）220,20.a a a ⎧--=⎨-=⎩由（1）解得：2a >,或2a <-； 由（2）解得：a 不存在； 由（3）解得：2a =．于是实数a 的取值范围为2a ≥,或2a <-．6.1.6 ★★ 若y =,求m 的取值范围．解析 由题意y =,即对任意实数x ,恒有2430mx x m -+-≥．若0m =,则43x -≥,34x ≤-,与题意不符；当0m ≠时,二次函数2()430f x mx x m =-+-≥的充要条件是20,(4)4(3)0.m m m >⎧⎨=---≤⎩△ 得4m ≥．因此,m 的取值范围是4m ≥． 6.1.7 ★★反比例函数1k y x-=与一次函数(1)(0,1)y k x k k =+≠≠在同一坐标系中的图像只能是（ ）．(A)(B)(C)(D)解析 通过分析函数图像的特征,例如(1)y k x =+的图像过一定点（1-,0）,或者通过函数图像讨论常数k 的正负逐步淘汰三个选择项,得出结论．函数(1)y k x =+的图像过顶点(1,0)-,而在（A ）中直线不过点(1,0)-,故淘汰（A ）中直线不过点(1,0)-,故淘汰（A ）． 在（D ）中,直线左高右低,因此0k <；双曲线在Ⅰ,Ⅲ象限,则10k ->,1k >,导致矛盾．故淘汰（D ）． 在（C ）中,仿前,从直线看,01k <<；从双曲线看,1k >,也导致矛盾．故淘汰（C ）． 故选（B ）．6.1.8 ★★ 函数220062008y x x =-+的图像与x 轴交点的横坐标之和等于_________． 解析 原问题可转化为求方程2200620080x x -+=①的所有实根之和．若实数0x 为方程①的根,则其相反数0x -也为方程①的根．所以,方程的所有实根之和为0,即函数的图像与x 轴交点的横坐标之和等于0．6.1.9 ★★ 直线1l 过点(0,2)A 、(2,0)B ,直线2l y mx b =+∶过点(1,0)C ,且把AOB △分成两部分,其中靠近原点的那部分是一个三角形,如图．设此三角形的面积为S ,求S 关于m 的函数解析式,并画出图像.解析 因为2l 过点(1,0)C ,所以0m b +=,即b m =-．设2l 与y 轴交于点D ,则点D 的坐标为(0,)m -,且02m <-≤（这是因为点D 在线段OA 上,且不能与O 点重合）,即20m -≤<．12S OC OD =⋅⋅ 11122m m =⋅⋅-=-, 故S 的函数解析式为1(20)2S m m ---≤<．6.1.10 ★★ 已知矩形的长大于宽的2倍,周长为12．从它的顶点作一条射线,将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于12．设梯形的面积为S ,梯形中较短的底的长为x ,试写出梯形面积S 关于x 的函数关系式．解析 设矩形ABCD 的长BC 大于宽AB 的2倍．由于周长为12,故长与宽满足46BC <<,02AB <<．由题意,有如下两种情形：E 2E 1DCBA（1）如图11tan 2BAE ∠=,这时1CE x =,1BE BC x =-,2()AB CD BC x ==-,所以2()6BC x BC -+=,623xBC +=,111()2AE CD S CE AD CD =+⋅16262()2()233x x x x ++=+⋅- =26565843393x x x x +-⋅=-++, 其中36x <<（这由62463x+<<得出）． （2）当21tan 2DAE ∠=时,由于22AE B DAE ∠=∠,故21tan 2AE B ∠=,这时2CE x =,22BE AB =．由(2)6AB x AB ++=,得 63xAB -=, 所以221()2AE CD S CE AD CD =+⋅166(2)233x xx x --=+⋅+⋅66()33x xx --=+⋅=222493x x -++, 其中06x <<（这由6023x-<<得出）． 6.1.11 ★★ 已知二次函数2()f x x px q =++,且方程()0f x =与(2)0f x =有相同的非零实根． （1）求2qp 的值； （2）若(1)28f =,解方程()0f x =．解析 （1）设()0f x =的两根为1x 、2x ,且12x x ≤,则12()()()f x x x x x =--, 12(2)(2)(2)f x x x x x =--124()()22x xx x =--． 于是,(2)0f x =的两根为12x 、22x ,且1222x x ≤．所以,212xx =,即212x x =．因此,12212212211()(1)(1)x x q x x p x x x x ==+++ 1219(1)(21)2==++ （2）由（1）得11()()(2)f x x x x x =--． 又(1)28f =,则11(1)(12)28x x --=, 解之得13x =-或92, 于是,()0f x =的两组解为123,6x x =-⎧⎨=-⎩或129,29.x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 6.1.12 ★★ 如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t ,都有(2)(2)f t f t +=-,求(1)f ,(2)f ,(4)f 之间的大小关系．解析 (2)(2)f t f t +=-对任意实数t 成立,因此()y f x =的图像的对称轴是2x =．()y f x =的图像是开口向上的抛物线,因此当2x ≥时,y 随着x 的增大而增大．于是有 (2)(3)(4)f f f <<．但由对称性知(3)(1)f f =,故 (2)(1)(4)f f f <<．6.1.13 ★ 如图所示,1l 、2l 分别表示一种白炽灯和一种节能灯费用y （费用=灯的售价+电费,单位：元）与照明时间()x h 的函数图像．假设两种灯的使用寿命都是2000h ,照明效果一样．（1）根据图像分别求出1l 、2l 的函数关系式； （2）当照明时间为多少时,两种灯的费用相等？（3）小亮房间计划照明1500h ,他是买白炽灯省钱还是买节能灯省钱？解析 （1）设直线1l 的解析式为112y k x =+．由图像得1175002k =+,解得10.03k =．所以,1l 的解析式为10.032(02000)y x x =+≤≤．设直线2l 的解析式为2220y k x =+．由图像得22650020k =+,解得20.012k =．所以,2l 的解析式为20.01220(02000)y x x =+≤≤．（2）当12y y =时,两种灯的费用相等,这时有0.0320.01220x x +=+,解得1000x =,所以,当照明时间为1000h 时,两种灯的费用相等． （3）当1000x >时,21y y <,所以他买节能灯省钱．6.1.14 ★★ 通过实验研究,专家们发现：初中学生听课的注意例指标数是随着老师讲课施加你的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣渐增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分赛．学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图像如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）．当010x ≤≤时,图像是抛物线的一部分,当1020x ≤≤和2040x ≤≤时,图像是线段．（1）当010x ≤≤时,求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；:分)（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟．问老师能否讲过适当安排。
使学生在 听这道题时,注意力的指标数都不低于36．解析 （1）当010x ≤≤时,设抛物线的函数关系式为2y ax bx c =++,由于它的图像经过点(0,20)、(5,39)、(10,48),所以20,25539,1001048.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得,15a =-,245b =,20c =． 所以21242055y x x =-++,010x ≤≤．（2）当2040x ≤≤时,7765y x =-+ 所以,当010x ≤≤时,令36y =,得2124362055x x =-++,解得4x =,20x =（舍去）；当2040x ≤≤时,令36y =,得736765x =-+,解得20042877x ==． 因为44284242477-=>,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标数不低于36时,讲授完这道竞赛题． 6.2 一次函数6.2.1 ★★ ()f x 四一次函数,（1）若[](1)47f f x x +=+,求函数()f x 的表达式； （2）若(1)1f =,且[]4(2)2bf f k-=⋅,求函数()f x 的表达式． 解析（1）设()(0)f x kx b k =+≠．因为(1)(1)f x k x b kx k b +=++=++,又因为[](1)()f f x k kx k b b +=+++2247k x k kb b x =+++=+．所以224,7.k k kb b ⎧=⎪⎨++=⎪⎩解得2,2,1,3,k k b b ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩所以()21f x x =+或()23f x x =--． （2）设()(0)f x kx b k =+≠．因为(1)1f =,所以1k b += ①因为(2)2f k b =+,[]2(2)2f f k bk b =++,所以2422bk bk b k-++=⋅． ②由①得1b k =-,代入②得360k k --=326(2)(23)0k k k k k --=-++=．得2k =,则1b =-．所以()21f x x =-． 6.2.2 ★★ 求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点,并求这个定点．解析 由一次函数得(2)(21)(10)k y k x k +=---, (21)2100x y k x y ----+=．因为等式对一切有意义的k 成立,所以得210,2100.x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得12,519.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当125x =,195y =时,一次函数解析式变为恒等式,所以函数图像过定点1219(,)55． 6.2.3 ★★ 已知m 、n 、c 为常数。