类等差(比)数列性质及其应用

类等差（比）数列性质及其应用

范广法（浙江省桐乡第二中学314511）sdhzmdq@

一 类等差数列性质及其应用

若{}n a 从第二项起，每一项与它的前一项的差小于（或大于）同一个常数d ，则{}n a 叫做类等差数列，d 叫类等差数列的公差. 设12n n S a a a =+++ ，则类等差数列{}n a 具有性质：若1n n a a d +<+，则1(1)n a a n d +-≤，1(1)

2

n n n S na d -+

≤；若1n n a a d +>+，则1(1)n a a n d +-≥，1(1)

2

n n n S na d -+

≤.此性质常用于一些不等式的证明，而此类不等式多以压轴题的形式出现，是高考中的难点，既考查基础知识又考查能力，对考生有很好的甄别与选拔功能.下面来探讨其应用.

例1（2014年广西高考理科第22题）函数()ln(1)(1)ax

f x x a x a

=+->+． （Ⅱ）设11a =，1ln(1)n n a a +=+，证明:

23

22n a n n <++≤． （笔者注：本文证明更强的结论：2312

n a n n ++≤≤） 简析：考虑到不等式

2312n a n n ++≤≤等价于211

32

n n n a ++≤≤，此式两边都是等差数列的通项．根据类等差数列的性质，仅需证不等式组111

112

1113n n n n a

a a a ++⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤+≤成立，又0n a >（可证）

与1ln(1)n n a a +=+，即需证112233n n n

n n n a a a a a a ++⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤即2ln(1)23ln(1)3n n n n n n a a a a a a ⎧

+⎪+⎪⎨⎪+⎪+⎩

≥≤成立，所以首先要研究当

2a =，3a =时()f x 的单调性并找到()n f a 的正负（即()n f a 与(0)f 的大小）．

简解：用数学归纳法易证03n a <<，不赘．

当2a =时，()f x 在(0,3)上递增，()(0)0f x f >=即2ln(1)(03)2x

x x x

+><<+，从而2ln(1)2n n n a a a +>

+，122n n n a a a +>+，

11112n n a a +<+，1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是类等差数列，公差为为12，

11(1)12n n a -+≤即21

n

a n +≤①．

当3a =时，()f x 在(0,3)上递减，()(0)0f x f <=即3ln(1)(03)3x

x x x

+<<<+，从而3ln(1)3n n n a a a +<

+，133n n n a a a +<+，11113n n a a +<+，1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是类等差数列，公差为为13，

11(1)13n n a -+≤即32n a n +≤②，从而2312

n

a n n ++≤≤．

点评：由

21132n n n a ++≤≤

看出1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

与类等差数列有关，是解题的关键． 例2（2014年宁波二模理科第22题）在函数ln y x =的图像上取点(,ln )n P n n (N )*∈n ，记线段P n P n +1的斜率为k n ，记12111

n n

S k k k =

+++ ．对任意正整数n ，试证明：(35)(2)

62

n n n n n S ++<<

． 简析：考虑到(35)6n n +、(2)

2

n n +分别是等差数列{}13n +与{}

12n +的前n 项和，根据类

等差数列的性质，仅需证111

32

n n n k +

<<+成立，即证

213ln(1)2131n n n <+<++，亦即证明23ln(1)23x x

x x x

<+<++在(0,1]x ∈上成立，此不等式用导数不难证明，不赘． 点评：由11132n n n k +

<<+看出1n k ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

与类等差数列有关． 二 类等比数列性质及其应用

类似地，若{}n a 从第二项起，每一项与它的前一项的比都小于（或大于）同一个非零常数

q ，则{}n a 叫做类等比数列，q 叫类等比数列的公比.类等比数列{}n a 具有以下性质：若0

n a >且0q >,则当2n ≥时，111n n n n a q a a q a +-<⇒<，111n n n n

a

q a a q a +->⇒>.下面探讨类等比数列性质的应用.

例3（2014年全国新课程卷Ⅱ理科第17题）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：1231112

n

a a a ++<…+.

简析：当n =1时，所证不等式成立；当2n ≥时，易知0n a >，13+>n n a a ，11113n n

a a +<⋅，

所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的类等比数列， 111()3n n a -<，11211()331111

21n n a a a --++<

<-…+. 点评：舍弃递推式131n n a a +=+中的尾巴“1”，比较容易发现1n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

是类等比数列.

例4（2012年广东高考理科第19题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足

11221n n n S a ++=-+，N*∈n ，且1a ，25a +，3a 成等差数列．

（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1231112

n

a a a ++<…+.

简析：（Ⅲ）当n =1时，11a =，所证不等式成立；当2n ≥时，11221n n n S a ++=-+，1221n n n S a -=-+，

两式相减得132n n n a a +=+．再由前问知121,5a a ==知，对一切正整数n 都有132,0n n n n a a a +=+>成立.从而

11111323n

n n n a a a +=<⋅+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是以13为公比的类等比数列，111()3n n a -<，从而1

1211()331111

213

n n a a a --++<

<-…+. 点评：同样，舍弃递推式132n n n a a +=+中的尾巴“2n

”，容易发现1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是类等比数列.

例5（2013年华约自主招生压轴题）已知()(1)1x f x x e =--. （Ⅰ）求证：当0x >时，()0f x <； （Ⅱ）数列{}n x 满足1

1n n x x n x e

e +=-，11x =，求证：{}n x 递减且1

2n n

x >

. 简析：（Ⅱ）可用数学归纳法证明0n x >.先证{}n x 递减：由上问知()(1)10n x

n n f x x e =--<即1n n x

x

n e x e -<，又1

1n n x x n x e

e +=-，

从而1n n x x

n n x e x e +<，1n n x x +<即{}n x 递减.再证1

2n n

x >：当n =1时所证结论成立；当2n ≥时，要证1

2

n n

x >，只要证{}n x 是以12为公比的类等比数列，即证1

2n n x x +>．考虑到1

020

n

n n x x x n e e e e x +-=>-，所以12n n x x +>，从而1

1122+>>=n n n n x x x ，