土木工程制图-点线面投影篇7教学提纲
点线面投影教案
者用于画多面正投影图。
◆直线段和平面形的投影特性
一、直线段的投影特性
线段的投影,由线段上一系列点的投影决定。
由于两平面的P与H的交线ab必定为直线,所以直线的投影一般
仍是直线。线段上其它点的投影,也必定位于由此两端点所决定的线段投影上。
线段对于一个投影面的相对位置有:平行、倾斜、垂直三种情况,其投影特性如下:
画图时,对于投影面平行线,应先画它所平行的投影面上的那个投影(反映实长的斜线)
3、投影面垂直线
垂直一个投影面的直线,称为投影面垂直线。垂直于H面的称为铅垂
线,垂直于V面的称为正垂线,垂直于W面的称为侧垂线。
P、78表3—2列举了几种投影面垂直线的投影图例及其投影特征。
三、两直线的相对位置
两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。前两种统称为共面直线,交叉位置的两直线则称为异面直线。
由前向后投射在正面(V)上所得的视图叫主视图,由上向下投射在水平面(H)面上所得的视图叫俯视图,由左向右投射在侧面(W)上所得的视图叫左视图。把这三个视图按正确的投影关系配置的视图,常称为三面视图或三视图。
3、投影面的展开
为了把三面视图画在同一张图纸上,必须把三个互相垂直相交的投影
面展开摊平成一个平面。其方法如下图所示,正面(V)保持不动,水平面(H)绕X轴向下旋转900与正面(V)成一平面,侧面(W)绕Z轴向右旋转900,也与正面(V)成一平面,展开后三个投影面就在同一图纸平面上。
点的投影规律:
点的相邻两个投影的连线,必定垂直投影轴。
点的投影到投影轴的各段投影连线长度,分别等于点到三个投影面的距离,而且两两相等。
点是最基本的几何元素,以上两点投影规律不但为画和读点的投影图所依据,也为今后各种图示、读图以及图解问题所应用。
工程图学《点线面-直线的投影》课件
第二节直线的投影在图学中一般用线段表示直线,图学中讲的直线主要是指中学定义的线段,较少指直线,很少指射线,一般混称为直线。
具体指那种,要具体问题具体分析。
ABabCDc (d)如何求出直线的投影?直线的投影一般仍为直线;当直线垂直于投影面时,其投影积聚为一点,称其在该投影面上具有积聚性。
H同面投影——不同的几何元素在同一投影面上的投影一、直线对投影面的各种相对位置1. 一般位置直线——倾斜于三个投影面的直线2. 投影面平行线——仅平行于一个投影面的直线3. 投影面垂直线——垂直于一个投影面的直线后两类统称为特殊位置直线直线与H、V和W三个投影面的夹角称为直线对投影面的倾角αβγ分别用、、表示Xa'abY HWb''Ob'a''ZY b''YZa''bb'BA Va a'XO HW αβγ1.一般位置直线的投影(1)线段在各投影面上的投影长度小于线段的实长。
(2)直线的各投影均倾斜于投影轴αcos AB ab =βcos AB b a =''γcos AB b a =''''细实线粗度:0.2~0.3mm 粗实线粗度:0.5~0.7mm2. 投影面的平行线定义:仅平行于一个投影面的直线,称为投影面平行线。
平行于H面的直线称为水平线平行于V面的直线称为正平线平行于W面的直线称为侧平线aB b'V HAbb''a''YW Oa'XHab'bY Wb''a''ZY Oa'Xγβ(1)水平线1、ab=AB2、反映β、γ实角3、a ’b’//OX 轴a’’b’’//OY W 轴保真的投影与轴的夹角反映空间直线对相应面的倾角。
另外两个投影平行于相应的投影轴。
H XWH VYββb''YZa''bb'B AH Va a'XOWγY WY HZa''bb'aa'Oαb''(2)正平线1、a’b’=AB2、反映α、γ实角3、ab//OX 轴a’’b’’//OZ 轴γY WY HZa''bb'aa'Oαb''正平线Hab'bY Wb''a''ZY Oa'X γβ水平线典型特征及对比(3)侧平线b''YZb’AHVa a'XOW B a''b Wb''Y YHZa''bb'a a'XOαβ1、a’’b’’=AB2、反映α、β实角3、a ’b’//OZ 轴ab//OY H 轴投影面平行线投影性质:投影面平行线在其所平行的投影面上的投影反映线段的实长;与投影轴的夹角反映直线对相应投影面的倾角;线段的另两个投影平行于相应的投影轴,且小于实长。
土木工程制图第三章点-直线和平面的投影PPT课件
(3)投影面垂直线的投影特点为:在它所垂直的投 影面上的投影积聚为一点,另外两个投影垂直 于相应的投影轴,如图3.15所示。
可编辑课件PPT
24
投影面垂直线
土木工程制图
ax
a●
解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
可编辑课件PPT
7
例2:已知点的两面投影,求第三 投影,如下图所示。
土木工程制图
(a) 已知
(b) 作图
分析:因为根据点的任意可编两辑面课件投PPT影可以求出第三投影。 8
四、特殊位置的点
土木工程制图
注意:A点的侧面投影a"应在OYW轴上,C点的水平投影
(b) 正平线
21
(c) 侧平线
投影面平行线投影特性
土木工程制图
水平线
a b Z a
Xa β γ b YH
实长
实长
b b α
YW X
b
正平线
a Z a
γ
b
侧平线
a
Z a
β
b
α
YW X a
a
b
YH
YH
与H面的夹角:α
实长
b
YW
与V面的夹角:β
投影特性
与W面的夹角:γ
1)在其平行的那个投影面上的投影反映实长, 并反映直线与另两投影面的真实倾角。
O b
a AB实长
△Z
△Z
A0 a′
OX
B0
a
YH
机械制图电子教案之点,线面的投影精选全文完整版
模块三点、直线、平面的投影〖相关描述〗组成物体的基本几何元素是点、线、面。
为了表达物体的结构,必须首先掌握几何元素的投影规律。
〖知识准备〗学习情境一点的投影一、点的三面投影特性如图3-1,由于投影面相互垂直,所以连影线也相互垂直,八个顶点A、a、aY、a′、a″、aX、O、aZ构成正六面体,根据正六面体的性质,可以得出点的三面投影图的投影特性如下。
(1)点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴,即aa′⊥OX;点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴,即a′a″⊥OZ;同时aaYH⊥OYH,a″aYW⊥OYW。
(2)点的投影到投影轴的距离,反映空间点到另一投影面的距离,即a′aX=a″ aYW=Aa,也即空间点A到H面的距离;aaX=a″aZ=Aa′,也即空间点A到V面的距离;a′aZ=aaYH=Aa″,也即空间点A到W面的距离。
图3-1 立体上点的投影二、点的投影与直角坐标若将三面投影体系看作直角坐标系,则投影面为坐标面,投影轴为坐标轴,这时点O即为坐标原点,如图31所示。
规定OX轴从点O向左为正,OY轴从点O向前为正,OZ轴从点O向上为正,反之为负。
从图31可得,点A(xA,yA,zA)的投影与坐标有下述关系:xA=OaX=a′aZ;yA=OaY=aaX;zA=OaZ=a′aX。
因此,若已知点的坐标(x,y,z),就可以画出点的投影图。
三、特殊位置点的投影特殊情况下,点可以属于投影面或投影轴。
1.属于投影面的点当点的某一个坐标为0时,点就从属于一个投影面。
如图3-4(a)所示,点A的Z坐标zA=0,则点A在H面上。
点A的水平投影a与空间点A重合,正面投影a′在OX轴上,侧面投影a″在OYW轴上。
所以,属于投影面的点的投影特性如下。
(1)点的一个投影与空间点本身重合。
(2)点的另外两个投影在坐标轴上。
2.在投影轴上的点当点的两个坐标为0时,点就在投影轴上。
如图3-4(b)所示,点B的X坐标xB=0,Y坐标yB=0,则点B在Z轴上。
土木工程制图-点线面投影篇1教学提纲
二,点在两投影面体系中的投影
V
1 两投影面体系(two view system)
的建立
X
ⅡⅠ Ⅲ
O
◆正面投影面(vertical projection plane) Ⅳ H
(简称正面或V面)
◆水平投影面(horizontal projection
plane) (简称水平面或H面)
两投影面体系
◆投影轴(projection axis)
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
● a W
a● H
ay Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴 ② aax= aaz =Aa(A到V面的距离)
aay= aaz =Aa(A到W面的距离) aax= aay =Aa(A到H面的距离)
例1:已知点的两个投影,求第三投影。
解法一:
a●
Z az ● a
解法二:
a●
Z az ●a
a ● b ●
Z a
●
b
●
o
Y
a●
B点在A点
之右、之前、 之下
●
b
Y
例4:已知点A(12,8,10),点B在点A的下方
5mm、左0 mm、前0 mm,试完成点B的投影。
分析:点 B 在点 A 的正下方 5 mm,
即点 B(12,8,5)。
Z
a'
az a”
5 b'
X
ax
b”
aOYW
YW
a ≡b
aYH
如何根据点的二面投影求第三面投影
三.两点间的相对位置 四.重影点及可见性
作业
T3-1,2,3,4
土木工程制图讲义点线面投影篇7
c a
ad
b 根据直线与平面垂直的
投影规律,过点S作水
s
平 线 SC , 使 其 水 平 投 影scab;再过点S作正
平 线 SD , 使 其 正 面 投
s
影s d a b ,则相 交 两 直 线 SCSD 所 确
定的平面即为所求。
c
b
3.平面与平面垂直
几何条件:
若一直线垂直于某平面,则包含 这条直线的一切平面都垂直于该平面。
m
k 2a
直则平K面G,即则为该所直求线。 必定与另一平面垂
实长
直。
△kg
4— 已知三直线AB、CD、EF,求作一
直线MN与CD、EF相交且与AB平行。
e' b'
分析:所求的直线MN
2' m' p'
d'
分ABB析,平于:EM与行所NAA求一BB的平,定直行属M线N的于一M与平N定A面平B属P行 平, 行的M平N面与P交,叉M两MN直与线交C叉D两、
综合作图举例
3、 投影作图——根据解题思路及解题步 骤,找出相应的各种基本作图原理和 作图方法进行投影作图;
4 、题解讨论——必要时,还应对题解进 行讨论,证明答案确能满足题目要求 的几何条件或解答的存在性,是唯一 解还是多解等。
二 举例
1 — 已知矩形ABCD的一边两投影和
其邻边一投影,完成矩形投影图。
的 平M行作线直与线CADB的(平或行EF线) 相 交与于C点D (N ,或即EF为)所相求交的 直线于M点N。N , 即 为 所 求 的
直线MN。
5—已知直角三角形ABC的直角边AB,其斜 边BC属于直线BM,求作此直角三角形。
2' d' m' c'
土木工程制图平面立体的投影及线面投影分析精品PPT课件
(1)水平投影∥OYH ;(2)正面投影∥OZ;(3)侧面投影反映线 段实长和对H、V的倾角。
第3章 平面立体的投影及线面投影分析
16
§3.2 立体上直线的投影分析
投影面平行线的投影特性归纳为: 平行于哪个投影面的直线,在它所平行的那个投影面上的 投影反映线段的实长和对另两投影面的倾角,另外的两投影则 平行于相应的投影轴。
不可能三投影都出现平行。
第3章 平面立体的投影及线面投影分析
35
§3.2 立体上直线的投影分析
四、两直线间的相对几何关系
3. 交错 交错直线同面投影的交点,是二交错直线上一对重影点的投影。
第3章 平面立体的投影及线面投影分析
36
§3.2 立体上直线的投影分析
四、两直线间的相对几何关系
3. 交错 交错直线同面投影的交点,是二交错直线上一对重影点的投影。 重影点投影的可见性由它们与投影面的距离判定。
来 无意,也不可能设计出来能为大家“统一”使用的电子讲稿。
由 于各校的专业实际、学时、学生水平、教学条件以及教师的教 学风格的不同,必然对演示文稿会有不同的要求,期望有不同 的风格。本套演示文稿仅仅是提供一种借鉴,做了一些基本的 准备,使用者在使用前一定要根据自己的实际情况对其做个性 化处理:删除本页的声明,调整内容结构,改进编排顺序,简 化、削减文稿中的文字份量,加强图形、图片、视频、动画的 表现效果,充实你的精彩表演方法,把它改造成符合你自己需 要的、能更好展示教学水平的、表演技艺出众的实用化作品, 以提高课堂教学效果。第祝3你章 圆平面满立成体功的投!影及线面投影分析
单击开始自动演播 的辅助投影面V1
ab∥cd , a'b'∥c'd' , a"b"∥c"d"
土木工程制图第4章 点、线、面的投影
a′ ′ b′ ′ d′ ′ c′ ′ c b d
x
a
对于一般位置直 线,只要有两个同面 投影互相平行, 投影互相平行,空间 两直线就平行。 两直线就平行。
结论: 结论:AB//CD
例2:判断图中两条直线是否平行。 :判断图中两条直线是否平行。
②
c′ ′ a′ ′ d′ ′ c b d a b′ ′ b″ ″ c″ ″ a″ ″ d″ ″
γ
B a″ b″ a′ X
α
α γ
A
a
b
a
b YH
投影特性: 1. ab || OX ; a″ b″|| OZ 2. a′ b′=AB 3. 反映α、γ角的真实大小
(3)侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a′ a′ A b′ a″ b′ X O a b″ B b b YH Z a″
β α
b″
β α
a
●
d′ ′
两直线相交吗? 为什么? 两直线相交吗? 为什么? 同名投影可能相交, ★ 同名投影可能相交, 交点” 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 交点” 交点 重影点的投影, 的一 对重影点的投影, 用其可帮助判断两直线 的空间位置。 的空间位置。
b″ Y
投影特性:1. a b、 a′b′、a″ b″均小于实长 2. a b、a′b′、a″ b″均倾斜于投影轴 3.不反映 α 、 β 、γ 实角
一般位置直线的投影特点: 一般位置直线的投影特点:
三个投影都倾斜于投影轴; 三个投影都倾斜于投影轴; 倾斜于投影轴 各投影均不反映实长。 各投影均不反映实长。 不反映实长
a a b
b YH
投影特性: 1. a″b″ 积聚 成一点 2. ab ⊥ OYH ; a′b′⊥ OZ 3. ab = a′b′ =AB
土木工程制图-点线面投影篇6教学提纲
⒈ 投影面垂直面 V 在它垂直的投影面上
的投影积聚成直线。该直 X 线与投影轴的夹角反映空 间平面与另外两投影面夹 角的大小。
Z
βγ
oW
H
Y
另外两个投影面上的投影有类似性。
一、各种位置面的投影特性
⒉ 投影面平行面
V
在它所平行的投影面上 的投影反映实形。
A
W
另两个投影面上的投影
分别积聚成与相应的投影轴
H
平行的直线。
一、各种位置面的投影特性
Z
⒊ 一般位置平面 V
三个投影都类似。
X
O
W
H Y
与投影轴平行
a b
c
a b
与投影轴 a 倾斜
c a
水平面
b c c
b
铅垂面
二、属于平面的点和线
1、面上作线的方法:
面上作线先找点
解法一
m a
m a
b n c
b nc
根据定理二
解法二
d
a'
c'
交即直s线d/,/a则b、两平
e'
面平s行e/。/ac
b
d
s´d´//a´b´,
s´e´//a´c´,
a
s
相交直线SD和SE
所确定的平面即
c
为所求。
e
例2:判别平面△ABC与四边形DEFG是否平行。
e'
d' X
d
e
f'
m'
b'
n'
g' a'
g a
n
m f
b
画法几何与土木工程制图 第2章 点、线、面的投影
平面的投影
二、平面的分类
正垂面(⊥V面)
αγ γ α
平面的投影
二、平面的分类
铅垂面(⊥H面)
β
γ
β γ
平面的投影
二、平面的分类
侧垂面(⊥W面)
β α
β α
投影面垂直面的投影特性
平面的投影
在其垂直的投影面上的投影积聚为一线段,且反映与另两 投影面的倾角的真实大小
在其余两个投影面上的投影都是其类似形。
二、平面的分类
正平面(//V面)
平面的投影
′
′
′
′
″″
″″
′
′
′
′
″″ ″″
二、平面的分类
水平面(//H面)
平面的投影
′′
′′ ″″
″″
′′
′′
″″ ″ ″
平面的投影
二、平面的分类
侧平面(//W面)
′ ′ ′′
″
″
″
″
′ ′ ′′
″ ″
″″
平面的投影
投影面平行面的投影特性
H-水平投影 a V-正面投影 a ' W-侧面投影 a''
投影面展开过程
点的投影
3.点的投影规律
点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴。
a' a⊥OX
点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴。
a' a" ⊥OZ
点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。
aax =a" az
点的投影
′
′
′
′ ′
′
一、平面的表示法
2.迹线表示法
平面的投影
土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影,试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点,在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处; (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上,则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
土木工程制图复习提纲
土木工程制图复习提纲1、点的投影重点掌握点的投影规律作图及其应用。
应用——涉及立体的截交线和相贯线上取点作图方法2、直线的投影•重点掌握特殊位置直线(投影面的平行线和投影面的垂直线)的投影特性及其运用;•了解一般位置直线的真长与倾角作图方法(直角三角形法)及其运用;•了解直线上点的从属性与定比性及其运用;•重点掌握两直线平行、相交、交叉的投影特性及其运用;•重点掌握一边平行于投影面的直角投影规律及其运用.3、平面的投影•重点掌握特殊位置平面的投影特性;•重点掌握平面上取点、取线的方法;•了解平面倾角与平面上最大倾斜线的关系及其应用;4、线面相对位置•重点掌握特殊位置元素间的平行、相交、垂直相交的作图方法。
(而对一般位置元素间平行、相交、垂直问题可结合投影变换方法予以解决)5、投影变换•掌握直线、平面变换的基本作图方法;•重点掌握投影变换的运用。
6、曲线、曲面和立体的投影•重点掌握基本几何形体投影图的阅读与画法;•重点掌握基本几何形体表面上点、线段的投影作图方法及其点、线段的可见性. 7、平面与立体相交•重点掌握平面立体、回转体的截交线投影作图。
掌握截交线的空间分析与投影分析;空间分析过程就是要分析截交线的形状,平面立体的截交线形状为平面多边形,曲面立体截交线形状通常情况下为平面曲线,特殊情况下可以含有直线段。
投影分析过程就是要明确截交线的哪个投影已知,而所要求解的是截交线的哪个投影。
掌握截交线的投影作图方法;对平面立体截交线而言,若截交线方向不明确,可用线面交点法求解作图,若截交线与立体上的某棱线或底面平行则可用面面交线法求解作图。
对曲面立体截交线而言,若截交线投影为非圆曲线时,可利用曲面立体表面取点方法,作出足够多的公有点后光滑连线获得;若截交线投影为圆、圆弧或直线段,可利用尺规作图求解。
掌握截交线投影作图的基本步骤⑴空间分析;⑵投影分析;⑶投影作图;⑷整理立体图线8、两立体相交对两平面立体的相贯线,其分析方法和投影作图与多个截平面截切平面立体类型相同,相贯线为空间多边形;对平面立体与曲面立体相贯线,其分析方法和投影作图与多个截平面截切曲面立体类型相同,相贯线为多条平面曲线组成的空间曲线;对两曲面立体相贯线,其相贯线为空间曲线,首先应作出相贯线上足够多的公有点(特殊点和一般点),然后光滑连线。
武汉理工大学土木工程制图第七章 曲面建筑形体的投影
第七章 曲面建筑形体的投影
知识点1 曲面立体的投影及表面定点 知识点2 平面与曲面立体相交 知识点3 直线与曲面立体相交 知识点4 平面立体与曲面立体相交 知识点5 曲面立体与曲面立体相交 知识点6 曲线与曲面
3)特性: 三面投影 为大小相 同的三个圆。
左右 转向线
O
V
4)表面上取点:纬圆法
作辅助水平圆
a′
Y
b′
(b″) a″ A为一般点
B为特殊点
例1:已知 a′、b″, 求另两
投影。
AO
b
Y
a
例2:已知 a′,求另外两投影。 a′
Y
a″
Y
a
作辅助正平圆
作业:P40
知识点2 平面与曲面立体相交:
平面与曲面立体相交 知识点01 1.圆柱被切: 圆柱上的截交线(三种情况)
直导线
5)单叶双曲回转面: 直母线
6)双曲抛物面(马鞍面):
A
P
Q
D
B
H C
7)圆柱螺旋面:
B
s
H
A
立体图
作业:P45、46、47
投影图
知识点1 曲面立体的投影及表面定点
曲面立体的投影及表面定点 知识点01
定义:围成立体的表面由曲面或平面与曲面组成的立 体—曲面立体 曲面立体形成、投影、特性及表面取点:
1.圆柱 1)形成:直母线绕与其平行的轴线旋转一周而形成 的圆柱面。
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a'
5' m'
3(' 4')
1'
k'
2'
c'
n'
X
b' m c O 作 图
a
( 2)5
4k
13
PH n
b
① 过mn作铅垂面 ② 求铅垂面与ABC交线 ③求交线与MN交点K ④判别可见性
利用重影点
根据重影点Ⅲ、Ⅳ可判别出正面投影的可见性;
根据重影点Ⅱ、Ⅴ可判别出水平投影的可见性。
可见性判断
a'
5' m
2)自点S作SD △ABC。
3)过点S任作一直线SE,与SD构成一平面即为所求。
例:过点S作一平面垂直于平面△ABC。
a'
c'
空间及投影分析
平面ABC是一般位置
b' s'
b
平面,过点s'作正平
线垂直于平面内一般
位置直线AC的 投影
a'c',再过点s作水平
c
线垂直于ac,则两相
交直线所示平面即为
a
s
e
O
3
f
k
m
d
b
2
c
4
作图: • 利用辅助面法求DE与△ABC的交点K • 利用辅助面法求DF与△ABC的交点M • 连接KM,即△ABC与△DEF的交线
(1)线面交点法
b'
e'
2'
PV
a'(1') 5' k' d'
X
a1
m' 6' 4' 3' 7'
e
f' RV c'
O
k 5
3 6 (7)
f
d
m
b2
c a ad
b 根据直线与平面垂直的
投影规律,过点S作水
s
平线SC,使其水平投 影scab;再过点S作正
平线SD,使其正面投
s
影s d a b ,则相 交两直线SCSD所确
定的平面即为所求。
c
b
3.平面与平面垂直
几何条件:
若一直线垂直于某平面,则包含 这条直线的一切平面都垂直于该平面。
反之,若两平面互相垂直,则由属 于第一个平面的任一点向第二个平面 作垂线,此垂线必属于第一个平面。
例:求△ABC与□ DEFG的交线。
1'
e'
g'
2'
k1'
5'
k2' f'
1
g
e
2
k1
c'
a' 3'
4' P1V
P2V
6' d' b'
c4
a
3
6
d
5
b
作图:
f
k2
• 利用辅助面法求水平面Pv1与△及□ 的交线ⅠⅡ和Ⅲ Ⅳ
• 交线ⅠⅡ和Ⅲ Ⅳ的交点K1即为共有点 • 同理求出K2,连线即可。
3—7 垂直问题
二、辅助平面法
1.一般位置直线与一般位置平面相交
Ⅱ
K
Ⅰ
• 引入辅助平面P 过已知直线作投影面
的垂直面,则转化为垂 直面与一般位置平面相 交问题。
作图步骤: ① 包含直线MN作辅助平面P。 ② 辅助平面P与平面△ABC的交线ⅠⅡ。
③ 求交线ⅠⅡ与直线MN的交点 即为直线 与平面的交点。
例1:求平面ABC与直线MN的交点。
例:过点S作直线垂直于平面△ABC。
s' l'
a'
a l
b'
1' 2' c'
b1 2 c
作图:
根据直线垂直平面
的投影规律,作属于 △ABC的正平线AⅠ、 水平线AⅡ。然后由 点S(s,s)作l a 1 ,l a2,则 直线L(l ,l)即为 所求。
s
例:过点S作平面垂直于直线AB。
d
作图:
所求。
综合作图举例
一 解题的一般步骤 1、 题意分析——主要分析题中给出的已
知条件,判断题中所给或要求的几何 元素是否处于特殊位置,明确题目要 求求解的几何元素或几何量;
2、 空间分析——分析题示已知条件与待求 几何元素、几何量之间有何几何关系, 以明确解题思路,确定解题方法及方案。
综合作图举例
面的交点,将所得交点连成直线即为所求。
b'
e'
a' d'
X
a
d
分析:视平面 f' △ D E F 的 两 边
c' DE、DF为空间
e
O一般位置直线,
分别求出它们
f 与△ABC的交
点K、M,连接
b
c
KM即为所求。
(1)线面交点法
b' 2' e'
PV
a' d'
X
a
k' 1'
1
m' 4'
f' RV
3'
c'
a'
相 交直成于9A0B。角 。 所 以
b'
2'
3'
c'
X 1'
4c
注意作:图: • 利用辅助面法求DE与△ABC的交点K ① 所做的辅• 助利面用为辅垂助直面面法求DF与△ABC的交点M ② 辅助面所• 包连含接的KM直,线即是△任AB选C与的△DEF的交线 ③ 交线在两• 平利面用图重形影的点公判有断区可内见性 ④ 若所做的• 辅完助成面△与AB交C与线△平D行EF,各交边点的在轮无廓穷远处,应重选辅助面
A
RQ
B
P
QA
KP
例:过点S作一平面垂直于平面△ABC。
有多少解?
a' 2' 1'
1 2
d' c'
b' s'
b
d
c
有无分数析解: 根 据 两
平面垂直的几
何条件,首先
e ' 过点S作△ABC
的垂线SD,再 任作一条直线
SE与SD相交, 所组成的平面 e 即为所求。
a
s
作图:1)在 △ABC内任作一条正平线ⅠC和一条水平线ⅡC。
3、 投影作图——根据解题思路及解题步 骤,找出相应的各种基本作图原理和 作图方法进行投影作图;
4 、题解讨论——必要时,还应对题解进 行讨论,证明答案确能满足题目要求 的几何条件或解答的存在性,是唯一 解还是多解等。
二 举例
1 — 已知矩形ABCD的一边两投影和
其邻边一投影,完成矩形投影图。
1分)析过:B作矩平形面相B邻ⅠⅡ两垂边
3(' 4')
1'
k'
' 2' c'
a'
n' X
b' m c O n'
a
(2)5 4k
a
13
PH n
b
n
m'
k'
c'
b' mc
5 4k
b
• 交点是线与平面投影重叠部分可见与不可见的分界点。 • 在每个投影上分别选一对重影点判断。
2.两一般位置平面相交
(1)线面交点法
在一平面内任取两条直线,作出它们与另一平
可见性判断
a' d'
X
a
d
b'
e'
m'm' 5'
n'n6'' 4'
e mm 3 6 (7)
nn b2
f' c'
O
f c
•交线是两相交平面投影重叠部分可见与不可见的分界线。
•在每个投影上分别选则一对重影点判断。 •同面的异侧,异面的同侧可见性相反。
(2)三面共点法
ⅠⅡ
Ⅳ Ⅲ
Ⅴ
Ⅵ
求两面交线时, 作一辅助平面P1,该 辅助平面与两已知平 面产生交线,两条交 线的交点即为三面共 有点。即两已知平面 共有点。
垂直问题
包 括
⒈ 直线与直线垂直
直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直
直角投影定理:
空间垂直的二直线,其中有一条 直线平行与某一个投影面时,则两直 线在该投影面上的投影仍保持垂直。
2. 直线与平面垂直
几何条件:
若一直线垂直于属于某平面的 任意两条相交直线,则此直线垂直于 该平面。反之,如果在某平面内过任 意点,均能作出两相交直线与空间已 知直线垂直,则此平面与该直线垂直。