第12讲行程问题

第12讲行程问题

【知识导学】

行程问题是小学数学应用题种内容最为丰富多彩，最富有趣味性的一类重点题，行程问题是根据速度、时间、路程之间的关系，研究物体相向、相背和同向运动问题，其中涉及比例知识的行程应用题称为比例行程应用题。在解答较复杂的形成问题时，我们可用图示法、代数法、比例法等。

行程问题的基本公式有：

速度（v）×时间（t）=路程（s）

行程问题一般分为相遇问题、追及问题、车长问题、流水问题，其相应的数量关系式有：

速度和×相遇时间=路程

速度差×追及时间=追及路程

车过桥（隧道）时间×车速=桥长（隧道长）+车长

（船）静水速度+流水速度=（船）顺水速度

（船）静水速度-流水速度=（船）逆水速度

典型例解

【例1】一只船从甲地到乙地，正常速度为60米/分钟。现正好碰上顺风，结果每分钟多行了15米，最后提前8分钟到达了乙地。问甲、乙两地相距多远？

【分析】可假设有另一只船也到达乙地，以每分钟60米的速度早8分钟出发，那么这只船每分钟比另一只船快15米。根据两只船的路程差除以速度差就可得到追及时间，也就是这只船每分钟走（60+15）米所需要的时间。

【解答】

60×8÷15×（60+15）

=32×75

=2400（米）

答：甲、乙两地相距2400千米

【举一反三1】

1.小王和小明都从同一个地方赶去学校上学，小王骑自行车速度为200米/分钟，小明坐汽车速度为400米/分钟，结果小明比小王先到10分钟。问出发地离学校有多远？

2.小文家到学校，原本打算每分钟走80米，为了提早6分钟到达，她把速度加快到100米/分钟。问小文家离学校有多远？

3.小孙和小李约在图书馆见面，小孙从家里出发，原打算每分钟走80米，但不巧碰上下雨，路上不好走。结果每分钟少走了20米，迟到了4分钟。问小孙家离图书馆有多远？

【例2】小明骑自行车以不变的速度前进。一辆货车以每小时60千米的速度追赶小明，要1.2h 小时追上；一辆轿车以每小时68千米的速度追赶小明，要1小时追上。求小明骑自行车每小时行多少千米。

【分析】轿车用1小时追上小明，行了68千米，货车1.2小时追上小明行了1.2×60=72（千米）。而货车追上小明比轿车追上小明多用了0.2小时，在0.2小时的时间内，小明走了72-68=4（千米）。

（60×1.2-68×1）÷（1.2-1）

=4÷0.2

=20（千米）

答：小明骑自行车每小时行20千米。

【举一反三2】

1.甲、乙两人，乙步行的速度是甲的5

3

，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，若相向而行，

则1小时可相遇，若同向而行，甲多长时间才能追上乙？

2.甲、乙、丙三人同时从同一地点出发，沿同一路线追赶前面的张华，三人分别用了9分钟，15分钟，18分钟追上张华，已知甲每小时行24千米，乙每小时行20千米，丙每小时行多少千米？

3.一辆汽车用3小时行驶242千米，其中第一段路程时速84千米，第一段路程时速76千米，第一段路程时速80千米，已知第三段路程40千米，求第一段路程的长。

【例3】一辆车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，那么可以提前1小时到达，如果以原速行驶100千米后，再将车速提高30%，则可提前1小时到达。甲、乙两地相距多少千米？ 【分析】行相同的路程，车速提高后，时间的比应该与速度比成反比，这样我们可以求出车速提高后，原速行驶所用的时间。同样的道理也可求出车速提高30%后所用的时间。

【解答】车速提高20%，所用的时间是原来的1÷（1+20%）=65，则原来需要的时间是1÷（1-6

5

）

=6（小时）

假设一开始就提速30%，那么额所用的时间是原来的1÷（1+30%）=13

10

，那么提前的时间应为6×（1-

1310）=13

18

（小时），而实际只提前1小时，这是因为按原速行驶了100千米。那么提速的一段路程应占全程德的1÷1318=1813，那么按原速行驶的100千米就占全程的1-1813=18

5

，

所以甲、乙两地的全程是100÷（1-1÷1318）=100÷18

5

=360（千米）

答：甲、乙两地相距360千米。 【举一反三3】

1.某人从甲地到乙地，如果每小时多走1千米，所用的时间只有原定时间的5

4

，如果他半小时慢1千米，要比原定时间多用2小时5分钟，求甲、乙相距多少千米？

2.一辆车从甲地开往乙地，如果将车速提高

4

1

，那么可以比原定时间提前24分钟到达；如果按原速行驶80千米后，再将速度提高3

1

，那么可以提前10分钟到达乙地。甲、乙两地相距多

少千米？

3.甲、乙两人从A 地到B 地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/时，中间三分之一路程的行走速度是

4.5千米/时。最后三分之一的路程的行走速度是4千米/时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/时，后二分之一路程的行走速度是4千米/时，已知甲比乙早到30秒，A 地道B 地的路程是多少千米？

【例4】甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相对开出，经过2小时相遇后继续前行，又经过1.5小时；甲车到达B 地，乙车离A 地还有35千米。A 、B 两地的距离是多少千米？

从画图中很容易看出：甲、乙前后都走了2+1.5=3.5小时，甲比乙多走了35千米，因此甲每小时比乙多走35÷3.5=10（千米）；而且乙行2小时的路程甲只需1.5小时，因此乙的速度为甲的1.5÷2=0.75倍，所以甲的速度为10÷（1-0.75）=40（千米/时），乙的速速为40-10=30（千米/时），知道甲、乙两车的速度就可很容易求出A 、B 两地的距离。 【解答】甲车的速度：35÷（2+1.5）÷（1-1.5÷2）