第四章 矩阵
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第四章 矩阵·行列式·线性方程组
式中 k1 , k2 , , kn 是将序列 1, 2, , n 的元素次序交换 k 次所得到的一个序列， 号表示对 k1 , k2 , , kn 取遍
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）
2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
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第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
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第四章
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）
2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
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第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
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第四章
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
第四章 矩阵分析及矩阵函数
第四章 矩阵分析及矩阵函数
4.1 矩阵分析 4.2 矩阵函数 4.3 线性常系数微分方程 4.4 变系数微分方程组
4.1 矩阵分析
4.1.1基本概念 4.1.1基本概念 定义4 定义 4.1.1 令 A 1 , A 2 , L 是 m× n的矩阵序 × 列 ， 假 如 存 在 一 个 ×n m×
k →∞
令 A 1 , A 2 , L是 m× n 矩阵序列 ， × 矩阵序列，
构造部分和序列 A 1 , A1 + A 2 , A 1 + A 2 + A 3 ,L 假如其收敛到 A , 记
∞
∑A
∞
k
= A
k =1
则级数∑ A k ,收敛到 A .
k =1
定理4 (Cauchy收敛准则 收敛准则) 定理4.1.3 (Cauchy收敛准则) 收敛， ∑ A 收敛，当且仅当矩阵序列
∞
Ak
收敛， 收敛，则矩
k =1
特别地，对于方阵 A ，如果级数 ∑ 特别地， 收敛， 收敛，则矩阵幂级数 收敛. ∑ A 收敛.
k
∞
Ak
∞
k =1
k =1
定理4 定理 4.1.5
设幂级数
∑
∞
a k λk
的收敛半径 时 ， 矩阵
k =0
是 R ， 则当方阵 A 的范数 幂级数 ∑ a k A k 收敛。 收敛。
于是矩阵幂级数
1 1 2 1 3 I + A + A + A + LL 1! 2! 3!
1 2 1 4 I − A + A − LL 2! 4! 1 3 1 5 A − A + A − LL 3! 5!
4.1 矩阵分析 4.2 矩阵函数 4.3 线性常系数微分方程 4.4 变系数微分方程组
4.1 矩阵分析
4.1.1基本概念 4.1.1基本概念 定义4 定义 4.1.1 令 A 1 , A 2 , L 是 m× n的矩阵序 × 列 ， 假 如 存 在 一 个 ×n m×
k →∞
令 A 1 , A 2 , L是 m× n 矩阵序列 ， × 矩阵序列，
构造部分和序列 A 1 , A1 + A 2 , A 1 + A 2 + A 3 ,L 假如其收敛到 A , 记
∞
∑A
∞
k
= A
k =1
则级数∑ A k ,收敛到 A .
k =1
定理4 (Cauchy收敛准则 收敛准则) 定理4.1.3 (Cauchy收敛准则) 收敛， ∑ A 收敛，当且仅当矩阵序列
∞
Ak
收敛， 收敛，则矩
k =1
特别地，对于方阵 A ，如果级数 ∑ 特别地， 收敛， 收敛，则矩阵幂级数 收敛. ∑ A 收敛.
k
∞
Ak
∞
k =1
k =1
定理4 定理 4.1.5
设幂级数
∑
∞
a k λk
的收敛半径 时 ， 矩阵
k =0
是 R ， 则当方阵 A 的范数 幂级数 ∑ a k A k 收敛。 收敛。
于是矩阵幂级数
1 1 2 1 3 I + A + A + A + LL 1! 2! 3!
1 2 1 4 I − A + A − LL 2! 4! 1 3 1 5 A − A + A − LL 3! 5!
第四章矩阵的特征值和特征向量
即，0不是A的特征值，或者，A的任一特征值不等于零
充分性：设A的任一特征值不等于零，假设A不可逆 则 det A 0, 于是det(0E-A)=det(-A)=(-1)n det A 0 所以＝0是A的一个特征值，矛盾
m 是A的m个不同 的特征值，1， m分别是A的属于1，2 m的特征向量， 则1， m线性无关
T
特征值1的全部特征向量为c11 (c1 0, 常数)
对于3＝2，解对应的齐次线性方程组(2E A) X 0,
1 1 －1 x1 0 0 0 3 x2 0 0 0 1 x 0 3
定义4.2 A (aij )为n阶矩阵，含有未知数的矩阵 E A称为 A的特征矩阵，其行列式
E A
a11 a12 a21 a22
an1 an 2
a1n a2 n
ann
称为A的特征多项式。 det( E A) 0称为A的特征方程。
定理4.1：设A (aij )为n阶矩阵，则0是A的特征值， 是 A的属于0的特征向量的充要条件是，0为特征方程 det( E A) 0的根， 是齐次线性方程组(0 E A) X 0 的非零解。
（2）由（4.1)式知：向量 是齐次线性方程组(0 E A) 0 ( 0)的非零解。而该方程组有非零解的充分必要条件是 其系数行列式 0 E A 0.
(3) 矩阵A的特征值0，即以为变量的一元n次方程
E A 0的根。
(4) 如果已经求出方程 E A 0的根，则齐次线 性方程组(0 E A) X 0的任意非零解，都是A的 属于0的特征向量。
对于1 2, 解齐次线性方程组(2 E A) X＝0，即解 －5 －4 x1 0 x －5 －4 2 0
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
高等数学第四章课件-初等矩阵
类似地, 类似地, ⎛ A ⎞ P −1 ⋯ P −1 P −1 ⎜E ⎟ l 2 1 ⎝ n⎠ ⎛ APl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎞ =⎜ E n Pl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ En ⎞ = ⎜ −1 ⎟ ⎝A ⎠
A 施 行 初 等列 变 换 ， 即 对 2n × n 矩 阵 E −1 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A .
R( A) = R( B ).
⎛ 1 0 −1 ⎞ 例2 将可逆矩阵 A = ⎜ −2 1 3 ⎟ 表成若干初等 ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 矩阵的乘积. 矩阵的乘积. ⎛ 1 0 −1 ⎞ 左乘P (2,1(2)) ⎛ 1 0 −1 ⎞ → 解: A = ⎜ −2 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 −1 ⎞ 右乘P (1,3(1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,1( −3)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ → → ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0 ⎞ 右乘P (2,3( −1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,2(1)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 0 ⎟ → → ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 0 0⎞ 左乘P (3( )) 6 ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⋱ ⎟ 1 ⎜ ⎟ P ( i ( c )) = ⎜ ⎟ c ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
←第i 行
第i列
倍法矩阵 (倍法矩阵 倍法矩阵)
( 3 )以 数 k 乘 某 行 ( 列 )加 到 另 一 行 ( 列 )上 去 以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( krj + ri ) 以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( kci + c j )，
矩阵分析第四章.
B1(θ1θ2)C1 = B1C1
因此有:
B1HB1(θ1θ2)C1C1H = B1HB1C1C1H
其中B1HB1, C1C1H都是可逆矩阵, 因此
θ1θ2 = E ⇒ θ2 = θ1−1
(2) 将(1)的结果代入CH(CCH)−1(BHB)−1BH即可得到.
第二节 矩阵的正交三角分解(UR, QR分解)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 3 0 −1/ 3 10 / 3
r1←r1 −2r2 → 0 0 1 2 / 3 1/ 3
0 0 0 0
0
取第1列和第3列构成E2, 则B由A的第1列和第3列构成, 即
1 2 B = 2 1,
3 3
而C就是变换后的前2行，即
C
=
1 0
3 0
β1 k β 21 1
+
β
2
Lα3L=Lk31β1 + k32β2 + β3
α r = kr1β1 + kr2 β2 + L + kr,r−1βr−1 + βr
并设 ν1 =|| β1 ||−1 β1,ν 2 =|| β2 ||−1 β2 , L,ν r =|| βr ||−1 βr , 则:
α1 = k1′1ν1 α 2 = k2′1ν1 + k2′2ν 2 α3 = k3′1ν1 + k3′2ν 2 + k3′3ν 3
A = U1RLU2.
证明: 自己练习
− 2 1 − 2
例1：求矩阵A的UR分解, 其中
1 1 1
A=
1 1
−1 −1
0 1
解：设A = (α1, α2, α3), 用Schmidt方法将α1, α2, α3标准正交
高等代数课件北大版第四章矩阵
高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。
在数学和应用领域有着重要的应用价值。
1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。
例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。
1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。
例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。
矩阵理论第四章
1. Hermite 矩阵的谱分解
设 A 为 Hermite 矩阵，则存在酉矩阵 U ，使
1
O
U H AU
2
.
O
n
将U 写成列向量形式，即U u1 u2 ... un ，则
2. 非奇异矩阵的酉对角分解
定理 5.5.1 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 则存在 n 阶酉矩阵U 及V ，使得
A( 2 )
L-21A(1 )
0
a( 0 ) 12
a( 1 ) 22
0
a( 0 ) 13
a( 1 ) 23
a( 2 ) 33
a( 2 ) n3
a( 0 1n
a(1 2n
) )
a( 2 3n
)
a( 2 nn
)
即 A(1) L2 A( 2 )
依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
则
A
的
r
阶顺序主子式 r
于是
A
P1
E 0
mr
E
0 Q1. rn
记
P
1
E 0
F
,E
0Q1 G.
则 F 为列满秩矩阵， G 为行满秩矩阵,得
A FG .
证毕
显然,满秩分解是不唯一的.
事实上 D Crrr （ r 阶可逆方阵），
则 A FG F (DD-1)G (FD)(D-1G) F1G1，
且 F1 Crmr ,G1 Crrn .
第四章 矩阵分解
所谓矩阵分解，就是将一个矩阵写 成结构比较简单的或性质比较熟悉 的另一些矩阵的乘积．
即可将 A0 第 1 列上从第 2 到第 n 个元素全化为零．
得
a(0) 11
第04章 矩阵
⎧(9)(AB)C=A(BC) ⎪ ⎪(10)左分配律A(B+C)=AB+AC 。 乘法 ⎨ ⎪(11)右分配律(B+C)A=BA+BC ⎪ ⎩(12)k(AB)=(kA)B=A(kB)
证明： （9） ( AB )C = A( BC )
n
Am ×n ， Bn ×s ， Cs× r
AB 的 i 行第 t 列 ∑ aikbkt
i =1 k =1 i =1 k =1 n n n n
定义(基本矩阵):
⎛ ⋯ ⋯ ⋯⎞ ⎜ ⎟ 除第 i 行第 j 列交点处为 1，其余处全为 0。 Eij = ⎜⋯ 1 ⋯⎟ ⎜ ⋯ ⋯ ⋯⎟ ⎝ ⎠
2 3⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ 例 ⎛ ⎜ 4 5 ⎟ = 2 ⎜ 0 0 ⎟ + 3 ⎜ 0 0 ⎟ + 4 ⎜1 0 ⎟ + 5 ⎜0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 基本矩阵的性质： （1） Eij Am×n ：将 A 的第 j 行搬到第 i 行，其余行全部为 0。
的列向量组用 B j ( j = 1,⋯ , s )表示。
⎛ b1i ⎞ ，则 ⎟ Ci = (α1 ,⋯,α n ) ⎜ ⎜ ⋮ ⎟ = ABi ⎜b ⎟ ⎝ ni ⎠
ABi = Ci 即 C 的每个列向量组
均可以由
A 的列向量组线性表示； Aj B = C j （ Aj ， C j 分别是 A 与 C 的行向量组）即 C 的
c11 = 1 × 4 + ( −2) ×6 = −8 ， ⋯， c32 = (−1) × 5 + 2 × 7 = 9
x1α1 + ⋯ + xn αn = β
⎧ a11 x1 + ⋯ + a1n xn = b1 ⎪ ⎨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪a x + ⋯ + a x = b mn n n ⎩ m1 1 ⎛ a11 … a1 n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟， ⎟ A=⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ X =⎜ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ m1 ⋯ amn ⎠ n ⎝ ⎠
证明： （9） ( AB )C = A( BC )
n
Am ×n ， Bn ×s ， Cs× r
AB 的 i 行第 t 列 ∑ aikbkt
i =1 k =1 i =1 k =1 n n n n
定义(基本矩阵):
⎛ ⋯ ⋯ ⋯⎞ ⎜ ⎟ 除第 i 行第 j 列交点处为 1，其余处全为 0。 Eij = ⎜⋯ 1 ⋯⎟ ⎜ ⋯ ⋯ ⋯⎟ ⎝ ⎠
2 3⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ 例 ⎛ ⎜ 4 5 ⎟ = 2 ⎜ 0 0 ⎟ + 3 ⎜ 0 0 ⎟ + 4 ⎜1 0 ⎟ + 5 ⎜0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 基本矩阵的性质： （1） Eij Am×n ：将 A 的第 j 行搬到第 i 行，其余行全部为 0。
的列向量组用 B j ( j = 1,⋯ , s )表示。
⎛ b1i ⎞ ，则 ⎟ Ci = (α1 ,⋯,α n ) ⎜ ⎜ ⋮ ⎟ = ABi ⎜b ⎟ ⎝ ni ⎠
ABi = Ci 即 C 的每个列向量组
均可以由
A 的列向量组线性表示； Aj B = C j （ Aj ， C j 分别是 A 与 C 的行向量组）即 C 的
c11 = 1 × 4 + ( −2) ×6 = −8 ， ⋯， c32 = (−1) × 5 + 2 × 7 = 9
x1α1 + ⋯ + xn αn = β
⎧ a11 x1 + ⋯ + a1n xn = b1 ⎪ ⎨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪a x + ⋯ + a x = b mn n n ⎩ m1 1 ⎛ a11 … a1 n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟， ⎟ A=⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ X =⎜ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ m1 ⋯ amn ⎠ n ⎝ ⎠
矩阵理论第四章 矩阵的标准形
β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
第四章-矩阵的特征值与特征向量问题讲解
Ax 2 x
1 2 x 0,
则x 0, 与定义矛盾.
12
注记
4. 若λ是矩阵A的r重特征值，对应λ有s个线性 无关的特征向量，则1≤s≤r； 若A为实对称矩阵，则对应特征值λ 恰有r 个线性无 关的特征向量。
5. 实对称矩阵的特征值是实数，属于不同特 征值的特征向量正交。
13
注记
6. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,, n ,记：
定义：设A是n阶方阵, 是一复数，如果方程 Ax x
存在非零解向量,则称 为方阵A的特征值, 相应的非零解向量x 称为与特征值 对应的特征向量, 此特征值与特征向量x称为一特征对, P（A ）＝det(I A)称为矩阵A的特征多项式。
4
注记
1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而 言的. 2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
0.2 0.3 0.1 4
G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。
G4
G1
G2
G3
注：定理推断A的n个特征值全落在n个盖氏圆
上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。
20
对应的特征值1，2，…，n，满足
|1| > |2| … |n|
(4.1.1)
26
1.基本思想
因为{v1，v2，…，vn}为Cn的一组基，故：
任给x(0) 0，
n
x (0) aivi
所以有:
i 1
n
n
Ak x(0) Ak ( aivi ) ai Akvi
高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
4. 设 A ∈ P n×n, 且 A2 = 2A, 证明 E − A, E + A 都可逆，并求 (E − A)−1, (E + A)−1. 5. 设 A2 = A, 但 A ̸= E, 证明 A 不可逆.
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
6. 证明关于秩的不等式： 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明：r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1．设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s，则 r(AB) ≤
。
2
2．对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3．设 A ∈ P n×n，写出 A 可逆的充要条件：
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵， A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,
且
r(A) = 3，则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵，若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵，若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明：若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵，则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.
高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算
A, B为反对称矩阵,则AB不一定反对称； ⑥ A为方阵, 则A+AT为对称矩阵, AAT
为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。
例4 A反对称，B对称．证明： 1）A2对称．2）ABBA对称； AB+BA反对 称． 3）AB反对称的充要条件为 AB=BA． 例5 A为n级实对称矩阵,且A2＝0,证明:A=0。
§4.2 矩阵的运算
一、加法
1. 定义
设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵
C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B．
2．性质
1）交换律 2）结合律 3） A+0=A 4） A+(A)=0 A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C )
3．减法：A B= A+(B)
1. 定义
设A=(aij)sn, kP, 记矩阵
B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积，记作 B=kA．
2．性质：
1) (k+l)A=kA + lA 2) k (A+B)= kA + kB 3) k(lA)=(kl)A 4) 1A=A
5) k (AB)= (kA)B= A(kB)
6) 若A是n级方阵，则|kA|=
(AB)k与AkBk 是否相等？如果不等，
又需要添加什么条件？
7) 对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时， R(A) + R(B) n 8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时，
R(A+E) + R(AE) = n
9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时， R(A) + R(AE) = n三、数量乘法（数乘） Nhomakorabea 性质：
为反对称矩阵；A可表示为一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。
例4 A反对称，B对称．证明： 1）A2对称．2）ABBA对称； AB+BA反对 称． 3）AB反对称的充要条件为 AB=BA． 例5 A为n级实对称矩阵,且A2＝0,证明:A=0。
§4.2 矩阵的运算
一、加法
1. 定义
设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵
C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B．
2．性质
1）交换律 2）结合律 3） A+0=A 4） A+(A)=0 A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C )
3．减法：A B= A+(B)
1. 定义
设A=(aij)sn, kP, 记矩阵
B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积，记作 B=kA．
2．性质：
1) (k+l)A=kA + lA 2) k (A+B)= kA + kB 3) k(lA)=(kl)A 4) 1A=A
5) k (AB)= (kA)B= A(kB)
6) 若A是n级方阵，则|kA|=
(AB)k与AkBk 是否相等？如果不等，
又需要添加什么条件？
7) 对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时， R(A) + R(B) n 8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时，
R(A+E) + R(AE) = n
9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时， R(A) + R(AE) = n三、数量乘法（数乘） Nhomakorabea 性质：
第4章矩阵的特征值
山财大数学与数量经济学院杨素香
12
例4.求三阶方阵
a A a a
的特征值及特征向量.
解
(1)先求特征根
a a a
( a )3 0
A
得A的特征根
1 2 3 a.
13
山财大数学与数量经济学院杨素香
1 2 3 a.
21
山财大数学与数量经济学院杨素香
推论： 设1 , 2 ,
i 1 , i 2 ,
特征向量，则向量组 11 ,12 , ,1t1 ,21 ,22 , 线性无关.
结论： 1） k 为 kA 的特征值. 2）
k
为
A k的特征值
3） ＋1 为 A＋ I 的特征值.
4) tr ( A) a11 a22
ann 1 2
n
5)
1
A ＝12
n
, n为其特征值，则
6) 若A可逆，1 , 2 ,
1 1 ， ， ， 1 2 n
为 A 1 的特征值，
A
1 ， 2 ， ， n
A
A
为
A
的特征值。
22
山财大数学与数量经济学院杨素香 第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量
( n ) ( 1)n 12
n ) n 1
n
所以有tr ( A) a11 a22
令＝0，即有 A ＝(1)n 12
ann 1 2
n，即 A ＝12
n
n
24
山财大数学与数量经济学院杨素香
例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求
1 1 1 1 1 A1 1 , 4 1 2 2 2
12
例4.求三阶方阵
a A a a
的特征值及特征向量.
解
(1)先求特征根
a a a
( a )3 0
A
得A的特征根
1 2 3 a.
13
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1 2 3 a.
21
山财大数学与数量经济学院杨素香
推论： 设1 , 2 ,
i 1 , i 2 ,
特征向量，则向量组 11 ,12 , ,1t1 ,21 ,22 , 线性无关.
结论： 1） k 为 kA 的特征值. 2）
k
为
A k的特征值
3） ＋1 为 A＋ I 的特征值.
4) tr ( A) a11 a22
ann 1 2
n
5)
1
A ＝12
n
, n为其特征值，则
6) 若A可逆，1 , 2 ,
1 1 ， ， ， 1 2 n
为 A 1 的特征值，
A
1 ， 2 ， ， n
A
A
为
A
的特征值。
22
山财大数学与数量经济学院杨素香 第五 章 第 一节 矩阵的特征值与特征向量
( n ) ( 1)n 12
n ) n 1
n
所以有tr ( A) a11 a22
令＝0，即有 A ＝(1)n 12
ann 1 2
n，即 A ＝12
n
n
24
山财大数学与数量经济学院杨素香
例1.三阶方阵A的特征值为-1,2,3,求
1 1 1 1 1 A1 1 , 4 1 2 2 2
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8）A为反对称矩阵 对n维向量，有ZAZ 0
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
L
b1 b0
bn1 trA
4）设 1,L , n, 是A的全部特征值，那么
相似矩阵有相同的特征多项式，特征值，行列式,迹。
11.对称矩阵 1）对称矩阵合同于一对角矩阵 (ch5,th2) (P213)
即 CAC 为对角阵，其中，C可逆。
2)设 A是复对称矩阵，则存在复矩阵 C，使得
CAC
Er 0
0
0
C可逆,秩A=r,(P221,th3)
3)设 A是实对称矩阵，则存在实矩阵 C，使得
14.准对角矩阵
1）A=diag(A1,A2,L
,A )为准对角阵，则 S
A
A1
A2 L
AS
2）A=diag(A1,A2,L ,AS )为准对角阵，则A可逆当且仅当
Ai (i 1, 2,L
,
s)都可逆，且有A
1
=diag(A 1 1
,A
21,L
,A 1 ) S
3）
A=diag(A ,A 1
2
,L
第四章 矩阵 矩阵是研究其余各章的一种重要工具，贯穿高等代数 的始终，内容繁多而零散。
一、内容复习 1.矩阵运算： 加、减、乘、方幂、数乘、转置、共轭、矩阵多项式 交换矩阵等及运算性质。 加法：（P165） 减法（P166）
1）交换律： A B B A
2）结合律： (A B) C A (B C) 3）零元： O A A O A 4）负元： (A) A A (A) O
2）AB=BA
1 2 1
3）当A=
3
4
2 时，求B。
1 2 2
例7.
设A、B分别为n
n和m
m可逆矩阵，求
A 0
0 B
和
0 B
A
0
.
例8. 若A、B可逆，A B是否可逆？
例9. 设A、B、C都是nn矩阵，ABC=E.
1) A; B;C; AB; BC;CA中哪些可逆？求其逆； 2）BCA E.ACB E.CAB E.BAC ECBA E中哪些式子成立？
7）半正定矩阵
实对称矩阵A半正定
存在可逆阵C，使CAC=
Er 0
0 0
；
有可逆阵B,使A=BB；
A的一切主子式都不小于零；
A的一切主子阵都半正定；
对任意n m实矩阵C，都有CAC为半正定矩阵；
A的特征值i 0,i 1, 2,L , n.
12.反对称矩阵 (P200 ,习题12)
4）P,Q可逆，则秩A=秩PA=秩AQ=秩PAQ,(th4)
5）雪尔佛斯特（Sylvester）不等式
设A, B分别为s n,n m矩阵，则秩AB 秩A+秩B-n；
Ch4 补充题10
6）佛罗别尼斯(Frobenius)不等式
秩（ABC） 秩AB 秩BC 秩B
7) 设A为n m实矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
1）初等矩阵都可逆：
P
i,
j 1
P
i,
j,
P i(c)1
P
i(
1 c
)
,
P
i,
j
k
1
P
i,
j
k
2）初等变换不改变矩阵的秩；
7.矩阵的等价（第一种等价关系）
定义11：P189
定理5：利用等价化矩阵为标准形
PAQ
Er 0
0
0
,
或者
A
P
Er 0
0 0
Q
8.分块矩阵（注意分法）
1）分块矩阵的运算；加法，乘法，数乘
trA 1 L n A 12 L n
15.关于矩阵的秩的结论
1）秩A=秩A=秩A=秩（kA）,k 0;
2）秩（kA+lB） 秩A 秩B, k,l为任意常数
特别的：秩（A B） 秩A 秩B,
3）秩AB min{秩A,秩B}，
秩（A A 1
2
L
As） min{秩A1，秩A2，L
，秩A }； s
2）混乘结合律1：(kl) A k(lA)
混乘结合律2： k(AB) (kA)B A(kB)
3）因子1 1A A
方幂：（P172） 1） An Am Anm 2） ( An )m Anm 3） An A n
转置：（P173） 1）线性性：(kA lB) kA lB
2）对合性： ( A) A
1 0 0
例2.设
A
1
1
0
0 1 1
求所有3阶方阵B，使得AB
和BA的逆矩阵相等。 即 (AB)1 (BA)1
1 2 1
例3.矩阵
A
3
4
2
1 2 2
已知B与A满足关系式：AB A B.求B
例4.
1）把矩阵
a
0
0
a1
表成形为
1 0
x
1
和
1
x
0
1
的矩阵的乘积； P204补充题8
2）方阵A为幂零矩阵 A的特征值全为0.
3)若 Ak 0 那么
① aE A, aE A 都可逆，其中 a 0
② (E A)1 E A L Ak1 Ch4 习题19
4）n级矩阵A为幂零矩阵 对任意自然数 k都有 trAk 0
17.矩阵的迹 定义：P297 ch7
trA a11 a22 L ann ,
16.分块矩阵的秩
1) 秩（A,B）=秩（B,A）
2)
秩（A,B）=秩（ A） B
3)
秩（ A 0
0 ）=秩A+秩B B
4) 秩（0 A ）=秩AB+n
B En
5) 秩（ B BC）=秩B+秩ABC
AB 0
17.矩阵的分解
P 204
.11,12,
P394
.14
二.典型例题 例1.求出满足 A2 E 的一切二阶方阵A.
6）正定矩阵
定义5：P227CH5
实对称矩阵A正定
有可逆阵C，使CAC=E； 有可逆阵C,使A=CC；
A的一切主子式都大于零； A的一切顺序主子式都大于零； A的一切主子阵都是正定矩阵；
对任意n m实矩阵，且秩C=m,都有CAC是正定的；
存在正定矩阵B，使A=B2 ;
对任意实可逆阵T,TAT正定； A的特征值都大于0
哪些不一定成立？
例10. 设Ak =0,E为单位阵：
1）证明：(E A)1 E A A2 L Ak1;
2)问E A可逆吗？ 注：幂零矩阵的特征值为零 例11. 设A3 E，B A2 2A 2E，求B1。
例12. 设方阵A满足：aA2 bA cE 0，c 0,
证明：A是可逆方阵，并求其逆。
2）分块（广义）初等矩阵：
0
Em
En 0
,
P 0
0 Em
,
Em 0
0 P
,
Em 0
0 En
,
Em P
0
En
3）分块矩阵的应用。
参看CH4，第七节
9.矩阵的合同（第二种等价关系） 定义2：P209 CH5
10.矩阵的相似（第三种等价关系） 定义3：P288 CH7
例18. 设A是对合矩阵，则A也是对合矩阵。
例19. 设A是幂等矩阵（A2=A），B也是幂等矩阵，
则A+B是幂等矩阵 AB+BA=0
3°(kA)1
1 k
A1
4° ( A1)1 A
3) 定理4：P.Q 为可逆矩阵 那么，秩B 秩PB 秩BQ
4）逆矩阵的求法 1°公式法： A1 1 A
A
行初等变换
2°初等变换法；（P192 例）（A | E） （E | A-1）
3°分块矩阵求逆 （P194 例1）
5.伴随矩阵
定义9：P178
1）AA AA A E; 2） A A n1 n 2; （P202 习题26）
3）( A) A n2 A; n 2 （P203 补充题5）
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
L
b1 b0
bn1 trA
4）设 1,L , n, 是A的全部特征值，那么
相似矩阵有相同的特征多项式，特征值，行列式,迹。
11.对称矩阵 1）对称矩阵合同于一对角矩阵 (ch5,th2) (P213)
即 CAC 为对角阵，其中，C可逆。
2)设 A是复对称矩阵，则存在复矩阵 C，使得
CAC
Er 0
0
0
C可逆,秩A=r,(P221,th3)
3)设 A是实对称矩阵，则存在实矩阵 C，使得
14.准对角矩阵
1）A=diag(A1,A2,L
,A )为准对角阵，则 S
A
A1
A2 L
AS
2）A=diag(A1,A2,L ,AS )为准对角阵，则A可逆当且仅当
Ai (i 1, 2,L
,
s)都可逆，且有A
1
=diag(A 1 1
,A
21,L
,A 1 ) S
3）
A=diag(A ,A 1
2
,L
第四章 矩阵 矩阵是研究其余各章的一种重要工具，贯穿高等代数 的始终，内容繁多而零散。
一、内容复习 1.矩阵运算： 加、减、乘、方幂、数乘、转置、共轭、矩阵多项式 交换矩阵等及运算性质。 加法：（P165） 减法（P166）
1）交换律： A B B A
2）结合律： (A B) C A (B C) 3）零元： O A A O A 4）负元： (A) A A (A) O
2）AB=BA
1 2 1
3）当A=
3
4
2 时，求B。
1 2 2
例7.
设A、B分别为n
n和m
m可逆矩阵，求
A 0
0 B
和
0 B
A
0
.
例8. 若A、B可逆，A B是否可逆？
例9. 设A、B、C都是nn矩阵，ABC=E.
1) A; B;C; AB; BC;CA中哪些可逆？求其逆； 2）BCA E.ACB E.CAB E.BAC ECBA E中哪些式子成立？
7）半正定矩阵
实对称矩阵A半正定
存在可逆阵C，使CAC=
Er 0
0 0
；
有可逆阵B,使A=BB；
A的一切主子式都不小于零；
A的一切主子阵都半正定；
对任意n m实矩阵C，都有CAC为半正定矩阵；
A的特征值i 0,i 1, 2,L , n.
12.反对称矩阵 (P200 ,习题12)
4）P,Q可逆，则秩A=秩PA=秩AQ=秩PAQ,(th4)
5）雪尔佛斯特（Sylvester）不等式
设A, B分别为s n,n m矩阵，则秩AB 秩A+秩B-n；
Ch4 补充题10
6）佛罗别尼斯(Frobenius)不等式
秩（ABC） 秩AB 秩BC 秩B
7) 设A为n m实矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
1）初等矩阵都可逆：
P
i,
j 1
P
i,
j,
P i(c)1
P
i(
1 c
)
,
P
i,
j
k
1
P
i,
j
k
2）初等变换不改变矩阵的秩；
7.矩阵的等价（第一种等价关系）
定义11：P189
定理5：利用等价化矩阵为标准形
PAQ
Er 0
0
0
,
或者
A
P
Er 0
0 0
Q
8.分块矩阵（注意分法）
1）分块矩阵的运算；加法，乘法，数乘
trA 1 L n A 12 L n
15.关于矩阵的秩的结论
1）秩A=秩A=秩A=秩（kA）,k 0;
2）秩（kA+lB） 秩A 秩B, k,l为任意常数
特别的：秩（A B） 秩A 秩B,
3）秩AB min{秩A,秩B}，
秩（A A 1
2
L
As） min{秩A1，秩A2，L
，秩A }； s
2）混乘结合律1：(kl) A k(lA)
混乘结合律2： k(AB) (kA)B A(kB)
3）因子1 1A A
方幂：（P172） 1） An Am Anm 2） ( An )m Anm 3） An A n
转置：（P173） 1）线性性：(kA lB) kA lB
2）对合性： ( A) A
1 0 0
例2.设
A
1
1
0
0 1 1
求所有3阶方阵B，使得AB
和BA的逆矩阵相等。 即 (AB)1 (BA)1
1 2 1
例3.矩阵
A
3
4
2
1 2 2
已知B与A满足关系式：AB A B.求B
例4.
1）把矩阵
a
0
0
a1
表成形为
1 0
x
1
和
1
x
0
1
的矩阵的乘积； P204补充题8
2）方阵A为幂零矩阵 A的特征值全为0.
3)若 Ak 0 那么
① aE A, aE A 都可逆，其中 a 0
② (E A)1 E A L Ak1 Ch4 习题19
4）n级矩阵A为幂零矩阵 对任意自然数 k都有 trAk 0
17.矩阵的迹 定义：P297 ch7
trA a11 a22 L ann ,
16.分块矩阵的秩
1) 秩（A,B）=秩（B,A）
2)
秩（A,B）=秩（ A） B
3)
秩（ A 0
0 ）=秩A+秩B B
4) 秩（0 A ）=秩AB+n
B En
5) 秩（ B BC）=秩B+秩ABC
AB 0
17.矩阵的分解
P 204
.11,12,
P394
.14
二.典型例题 例1.求出满足 A2 E 的一切二阶方阵A.
6）正定矩阵
定义5：P227CH5
实对称矩阵A正定
有可逆阵C，使CAC=E； 有可逆阵C,使A=CC；
A的一切主子式都大于零； A的一切顺序主子式都大于零； A的一切主子阵都是正定矩阵；
对任意n m实矩阵，且秩C=m,都有CAC是正定的；
存在正定矩阵B，使A=B2 ;
对任意实可逆阵T,TAT正定； A的特征值都大于0
哪些不一定成立？
例10. 设Ak =0,E为单位阵：
1）证明：(E A)1 E A A2 L Ak1;
2)问E A可逆吗？ 注：幂零矩阵的特征值为零 例11. 设A3 E，B A2 2A 2E，求B1。
例12. 设方阵A满足：aA2 bA cE 0，c 0,
证明：A是可逆方阵，并求其逆。
2）分块（广义）初等矩阵：
0
Em
En 0
,
P 0
0 Em
,
Em 0
0 P
,
Em 0
0 En
,
Em P
0
En
3）分块矩阵的应用。
参看CH4，第七节
9.矩阵的合同（第二种等价关系） 定义2：P209 CH5
10.矩阵的相似（第三种等价关系） 定义3：P288 CH7
例18. 设A是对合矩阵，则A也是对合矩阵。
例19. 设A是幂等矩阵（A2=A），B也是幂等矩阵，
则A+B是幂等矩阵 AB+BA=0
3°(kA)1
1 k
A1
4° ( A1)1 A
3) 定理4：P.Q 为可逆矩阵 那么，秩B 秩PB 秩BQ
4）逆矩阵的求法 1°公式法： A1 1 A
A
行初等变换
2°初等变换法；（P192 例）（A | E） （E | A-1）
3°分块矩阵求逆 （P194 例1）
5.伴随矩阵
定义9：P178
1）AA AA A E; 2） A A n1 n 2; （P202 习题26）
3）( A) A n2 A; n 2 （P203 补充题5）