【经典例题】二次函数根的分布

二次函数根的分布

令狐采学

一、知识点

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

一元二次方程

根的分布情况

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分布

情况 两个负根即两根都小于0

两个正根即两根都大于0

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0

大致图象（）

得出的结论

大致图象（）

得出的结论

综合结论

（不讨论

）

的大小比较）

表二：（两根与 表三：（根在区间上的分布）

分布

情况 两根都小于即

两根都大于即

一个根小于，一个大于即

大致图象（）

得出的结论

大致图象（）

得出的结论

综合结论

（不讨论

）

分布情况

两根都在

内

两根有且仅有一根在

内

（图象有两种情况，只画了

一种）

一根在

内，另一根在

内，

二、经典例题

是方程

：（实根与分布条件）已知

1例的取值范围。，求实数的两个根，且

，

0的两个根，一个小于的方程

变式：关于的取值范围。

，求1一个大于

上是单调

在区间

轴定区间）函数

：（动2例大致图象（）

得出的结论

或

大致图象（）

得出的结论

或

综合结论

（不讨论

）

——————

的取值范围是？

函数，则

2

：函数

变式

在

的

上是增函数，求实数

取值范围。

3

列

在

：（定轴动区间）求函数

上的值域。

3

变式

在区间

：已知函数

上有最小值

3

，求实数

的取值范围。

4

例

：（定轴动区间）已知二次函数

，若

在

上的最小值为

，求

的表达式。

4

变式

：已知二次函数

满足

，且

在区间

上的值域是

，若

的

，求

值。

5

例

已知函数

：（恒成立问题）

，若对于任意

成立，求实数

，都有

的取值范围。

5

变式

：已知函数

上恒大于

，求实数

在

的取值范围。

三、课后练习

1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。

2、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。

3、讨论函数的最小值。

4、已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m

的取值范围。

5、已知函数，当时，恒成立，求的取值范围。