7.假设检验方法----方差齐性检验、方差分析
方差齐性检验的重要性及方法
方差齐性检验的重要性及方法方差齐性检验是统计学中一项重要的检验方法，用于检验不同总体方差是否相等。
在进行方差分析等统计方法时，方差齐性是一个基本的假设条件。
如果样本数据的方差不齐性较大，将会影响到统计分析的结果，导致结果的不准确性。
因此，方差齐性检验在实际应用中具有重要的意义。
一、方差齐性检验的重要性1. 确保统计分析结果的准确性在进行方差分析等统计方法时，如果样本数据的方差不齐性较大，将导致统计分析结果的不准确性。
因此，通过方差齐性检验可以确保统计分析结果的准确性，提高数据分析的可靠性。
2. 避免错误的结论如果在进行统计分析时忽略了方差齐性的检验，直接进行分析，可能会得出错误的结论。
方差不齐性会影响到统计量的计算，导致结论的偏差。
因此，进行方差齐性检验可以避免由于方差不齐性而得出错误的结论。
3. 提高数据分析的科学性方差齐性检验是统计学中的一项基本原则，符合科学的数据分析方法。
通过进行方差齐性检验，可以提高数据分析的科学性，确保数据分析的严谨性和可靠性。
二、方差齐性检验的方法1. Levene检验Levene检验是一种常用的方差齐性检验方法，通过比较各组数据的方差来判断总体方差是否相等。
Levene检验不依赖于数据的正态性，适用于不符合正态分布的数据。
在Levene检验中，如果计算得到的p值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝原假设，认为总体方差不相等。
2. Bartlett检验Bartlett检验也是一种常用的方差齐性检验方法，适用于数据符合正态分布的情况。
Bartlett检验通过比较各组数据的方差来判断总体方差是否相等。
在Bartlett检验中，如果计算得到的p值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝原假设，认为总体方差不相等。
3. Fligner-Killeen检验Fligner-Killeen检验是一种对称性检验方法，适用于数据不符合正态分布的情况。
Fligner-Killeen检验通过比较各组数据的中位数来判断总体方差是否相等。
方差齐性检验
关于为单因素方差分析为何要做方差齐性检验LXK的结论：齐性检验时F越小（p越大），就证明没有差异，就说明齐，比如F=1.27，p>0.05则齐，这与方差分析均数时F越大约好相反。
LXK注：方差(MS或s2)=离均差平方和/自由度（即离均差平方和的均数）标准差=方差的平方根（s)F=MS组间/MS误差=（处理因素的影响+个体差异带来的误差）/个体差异带来的误差=================F检验为什么要求各比较组的方差齐性？之所以需要这些前提条件，是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布，而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。
在方差分析的F检验中，是以各个实验组内总体方差齐性为前提的，因此，按理应该在方差分析之前，要对各个实验组内的总体方差先进行齐性检验。
如果各个实验组内总体方差为齐性，而且经过F检验所得多个样本所属总体平均数差异显著，这时才可以将多个样本所属总体平均数的差异归因于各种实验处理的不同所致；如果各个总体方差不齐，那么经过F检验所得多个样本所属总体平均数差异显著的结果，可能有一部分归因于各个实验组内总体方差不同所致。
简单地说就是在进行两组或多组数据进行比较时，先要使各组数据符合正态分布，另外就是要使各组数据的方差相等（齐性）。
=================在SPSS中，如果进行方差齐性检验呢？命令是什么？方差分析(Anaylsis of Variance, ANOVA)要求各组方差整齐，不过一般认为，如果各组人数相若，就算未能通过方差整齐检验，问题也不大。
One-Way ANOVA对话方块中，点击Options…(选项…)按扭，勾Homogeneity-of-variance即可。
它会产生Levene、Cochran C、Bartlett-Box F等检验值及其显著性水平P值，若P值<于0.05，便拒绝方差整齐的假设。
顺带一提，Cochran和Bartlett检定对非正态性相当敏感，若出现「拒绝方差整齐」的检测结果，或因这原因而做成。
医学统计考试资料2
医学统计学名词解释：1.标准差：方差开方，是描述数据分布离散程度（或变量变化的变异程度）的指标。
2.相对数：为了使计数资料具有可比性，取原始的两个资料（绝对数）之比所得指标统称为相对数。
3.相对比：是两个有关联指标之比，用以描述两者的对比水平，常用R表示。
4.标准化率法：为了在比较两个不同人群的患病率、发病率、死亡率等资料时，消除其内部构成（如年龄、性别、工龄、病程长短等）的影响。
5.x方检验：是英国统计学家Pearson提出的一种用途广泛的假设检验方法。
该检验以X2分布为理论依据，可以推断两个（或多个）总体率以及构成比之间有无差别。
6.参数统计：指在总体分布类型已知（如正态分布）的条件下对其未知参数进行检验称为参数统计。
7.非参数统计：一种不依赖总体分布的具体形式的统计方法即在应用中可以不考虑被研究对象为何种分布以及分布是否已知，检验假设中没有包括总体参数的一类统计方法。
8.回归系数：X每变化1个单位Y所平均变化的单位数9.相关系数：说明具有直线关系的两个变量间相关密切成都和相关方向的统计量。
10.小概率事件：在一次实践中几乎不会发生的事件（P≤0.05或P≤0.01的事件）11.百分位数：把一组测定值按大小的顺序排好，位臵百分之一位的观察值或是一种位臵指标，用Px表示，一个百分位数按大小顺序排列的变量值分为100份，理论上有x%的变量值比它小，有（100—x）%的变量值比它大，对应x%位次的数值。
12.可比性：N个样本比较，除处理目标不同外，其他对结果有影响的主要非外理因素要求基本相同。
13.发病率：某一时期内特定人群中患某病新病例的频率14.患病率：某一时点人群中患某病的频率（检查时发现的新老病例）15.臵信区间：一个范围指包涵总体指标可信度来计算的范围16.变量：对某项变异特征进行测量和观察，得到的指标称为变量。
17.计数资料：将观察单位按某种属性或类别分组，所得的观察单位数称为计数资料。
方差齐性检验
53.42
8
这是一个重复次数相等的单因子试验．我们考虑用方差分析方法对
之进行比较分析，为此，首先要进行方差齐性检验．
选取检验统计量
H
max min
S12 , S12 ,
S22 , S22 ,
, ,
Sr2 Sr2
检验的拒绝域为
W1 H H1 r, f ．
由于 r 4 ， f m 1 9 ， 0.05，
于附表 10 上．
方差齐性检验
5
直观上看，当 H0 成立，即诸方差相等
12
2 2
2 r
时，H 的值应当接近于 1，当 H 的值较大时，诸方差间的 差异就大， H 愈大，诸方差间的差异就愈大，这时应当
拒绝（8.3.1）中的原假设 H0 ．由此可知，对于给定的显
著性水平 ，检验 H0 的拒绝域为
W1 H H1 r, f ，
3
5317.82
误差 e
221.03
36
6.14
总和 T
16174.50
39
若给定显著性水平 0.05，查表可得
F1 fA, fe F0.95 3, 36 2.87 ，
F比 866.09
由观测值所得的 F 866.09 2.87 ，故拒绝原假设 H0 ，认为四种防锈 剂的防锈能力有显著性差异．
1.0856 0.970 ．
方差齐性检验
23
对给定的显著性水平 0.05，查表得
2 1
r
1
2 0.95
4
1
7.815
．
由于 B 0.970 7.815 ，所以不拒绝原假设 H0 ， 可以认为诸水平下的方差间无显著性差异．
方差齐性检验
方差分析中的方差齐性检验
⽅差分析中的⽅差齐性检验⽅差分析中的⽅差齐性检验_⽅差齐性检验结果分析_⽅差分析齐性检验⽅差分析时的⽅差齐性检验是⽅差分析的前提条件，还是只是后⾯进⾏均值的多重⽐较时选择分析⽅法的依据？看过⼏本书，这两种观点都有。
我看⽅差分析的假设中就有⼀条是要求⽅差齐性的，所以⽐较倾向第⼀种观点。
讨论下观点》》⽅差分析时的⽅差齐性检验观点1⽅差分析的条件之⼀为各总体⽅差相等。
因此在⽅差分析之前，应⾸先检验各样本的⽅差是否具有齐性。
常⽤⽅差齐性检验（test for homogeneity of variance）推断各总体⽅差是否相等。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点2⽅差分析可以对若⼲平均值是否相等同时进⾏检验，看它们之间是否存在显著的区别。
如果检验结果拒绝原假设，仅仅表明接受检验的这⼏个均值不全相等。
⾄于是哪个或哪⼏个与其他不等，就需要采⽤多重⽐较⽅法了。
⽅差分析时的⽅差齐性检验是⽅差分析的前提条件，若⾮齐性，可⽤异⽅差，否则，⽤等⽅差假设。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点3我觉得应该是说我们希望达到的⽬的是各个⼩总体是来⾃同⼀个总体的，那么⾃然考虑的是这些总体是同⼀个分布，我们遇到最多的是正态分布，那么正态分布的特征值期望和⽅差就很关键，我们希望检验期望是否相等，那么就要假设⽅差是相等的，这就是⽅差齐性检验。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点4⽅差分析的前提条件是正态分布和⽅差齐性，其中对正态性要求不⾼，但对⽅差齐性要求较⾼。
若⽅差不齐，不能⽤⽅差分析，可⽤⾮常数⽅法检验均值或中位数是否相等。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点5实际上，⽅差奇性检验并⾮进⾏⽅差分析的前提条件，只是选择⽬前所⽤的⼀般的⽅差分析⽅法（也就是进⾏均值⽐较⽅法）的前提条件。
⽅差分析时的⽅差齐性检验观点6⽅差分析的⽬的是要⽐较组间误差是否具有统计意义，具体是⽐较各单元格的均值是否存在差异，因此⽅差齐性检验就是针对各单元格的⽅差进⾏检验，如果单元格的⽅差不齐，则单元格的均值⽐较就不能⽤简单的加减法运算得出，⽽应该⽤其他⽅差不齐情况的算法。
方差分析简介
方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。
因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。
如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。
只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。
常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。
2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。
它类似于数学中的因变量或目标函数。
试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。
不能直接用数量表示的指标称为定性指标。
如颜色，人的性别等。
定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。
（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。
方差分析
其中 i , 2 未知，并假定不同水平 Ai 下的样本之间相互独立。 为了便于讨论，引入下述记号：
1 r ni i ，称为理论总平均； n i 1 i i (i 1, 2, , r ) ，称为在水平 Ai 下的效应。
又因为 Xij ～N( i , 2 )，所以 Xij－ i ～N(0， )，
2
记 Xij－ i = ij ，则 ij ~ N (0, )
2
且
X ij i ij i ij 。
如果所考虑的因素 A 对试验没有显著影响，则试验的全部结果 Xij 应来自同一正态总体 N( , 2 )。因此，从假设检验的角度看， 单因素方差分析的任务就是检验 r 个总体 N( i , 2 )(i=1，2，…，r) 的均值是否相等，即检验假设： H 0 ： 1 2 r ， H 1 ： 1 , 2 , , r 不全相等。 或 H 0 ： 1 2 r 0 。 如果 H0 成立，那么可以认为 r 个总体间无差异，而样本观察值 xij(j=1，2，…，ni，i=1，2，…，r)可视为来自同一正态总体 N( , 2 )，各个 xij 的差异是由于随机因素引起的；若 H0 不成立， 那么 xij 间的差异除了随机波动引起差异之外，还应包含由于因素 A 水平改变所产生的差异。因此，首先要把这两种差异区分开，然后 再进行比较讨论。 (1.4)
上述 Se 的各项 ( X ij X i )2 表示在水平 Ai 下，样本观察值与样本均 值的差异，这是由随机误差引起的，通常称为误差平方和。 而 SA 的各项 ni ( X i X )2 表示在水平 Ai 下的样本均值与数据总平均 的差异，这是由于水平 Ai 以及随机误差引起的，通常称为因素 A 的效 应平方和。这样，初步达到了分辨两类误差的目的。
假设检验-方差分析
置信上限： x + uα / 2 σ = 1.96 + 1.96 × 0.028 = 1.98
n 6
置信区间：（1.94，1.98） (3)作出判断结论：因为在H0成立的条件下 作出判断结论：因为在 成立的条件下95%的置信区间 作出判断结论 的置信区间 不包含µ ，故在显著水平α 下拒绝H 不包含µ0=2，故在显著水平α=0.05下拒绝 0。 下拒绝
u=
x − µ0 σ/ n
=
1 . 96 − 2 0 . 028 / 6
= − 3 . 4993
(3)给定α求临界值：取α=0.05，查表得u0.05/2=1.96， 由于|u|>1.96，故在显著性水平α=0.05下拒绝H0。
2、置信区间法 (1)提出原假设H0：µ=2，备择假设H1： µ≠2 (2)给定α求置信区间：取α=0.05，查表得u0.05/2=1.96， σ=0.028， =1.96，则: x 置信下限： x − uα / 2 σ = 1.96 − 1.96 × 0.028 = 1.94
t =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x − µ0 s/ n
=
0 . 47 − 0 . 5 0 . 05 / 25
= −3
(3) 由α=0.01及df=25-1=24，查表得 及 ，查表得P(|t|>3)=p<0.01, 拒绝 H0(0.001<p<0.01)。即该厂生产的这批药片不符合规定。 。即该厂生产的这批药片不符合规定。
（二）两个正态总体的检验 1、配对比较与成组比较
小概率事件在一次试验中不会发生。 二、假设检验步骤 １、提出原假设Ｈ0和备择假设H1 ２、在原假设成立的条件下，构造一个分布已知的 统计量 用于检验原假设的合理性的统计量称为检验统 计量，简称检验。如S=f(X1,X2,…,Xn)使得 P(S∈S0)=α,即S∈S0是一个小概率事件。称S0为拒 绝域或临界域。
7假设检验方法方差齐性检验方差分析
•
一般我们会采用公式
（拒绝区在右测）。
进行单侧检验
• 决策如下：
•
若
，则拒绝原假设，即两总体方差
差异显著；
•
若
，则接受原假设，即两总体方差
差异不显著（方差具有齐性）
•
•
7假设检验方法方差齐性检验方差分析
4
两个独立样本方差间差异的显著性检验
• 例 某次教改后，从施行两种不同教学方法的班级 中随机各抽出10份和9份试卷，得到如下的成绩数 据：
14
单因素完全随机设计方差分析的过程
• 实验中的自变量称为因素，只有一个自变
量的实验称为单因素实验；有两个或两个以上 自变量的实验称为多因素实验。
统计假设检验方法(二)
统计假设检验是统计推断的重要方法, 一般需要对平均数的差异 显著性进行检验,分单总体和双总体两种情况(用Z检验或t检验).若 比较三个或三个以上均数差异用方差分析.若对方差(统计量)差异进 行检验,用F检验;对分类计数变量的统计推断用卡方检验.本章主要 研究:
1、F检验—方差齐性检验（即检验总体方差是否相等）； 2、方差分析—三个或三个以上均数差异分析；
7假设检验方法方差齐性检验方差分析
7
二、单因素完全随机设计方差分析
•
检验两个总体之间平均数差异
显著性用Z检验或t检验;检验两个总
体方差差异显著性用F检验;检验三
个或三个以上均数之间的差异性用
方差分析.这部分主要介绍:
1、方差分析的基本原理 2、方差分析的一般步骤 3、单因素完全随机设计方差分析过程
方差分析的基本原理:
方差分析就是将总体变异分解为组间变异( ) 和由抽样误差等其他原因产生的组内变异( ), 然后分析组间变异与组内变异的关系.若样本组 间变异比组内变异显著地大,则认为组间有本质 性差异,否则不认为组间有显著性差异.
假设检验方差分析
方差分析是通过比较不同组别之间的差异来检验假设
的一种统计方法。
02
它通过将总变异性分解为组间变异性和组内变异性，
来评估组间差异是否显著。
03
方差分析的基本思想是，如果各组之间存在显著差异
，那么组间变异性应该大于组内变异性。
方差分析的应用场景
01 比较不同组别之间的平均值是否存在显著差异。 02 检验一个或多个分类变量对连续变量的影响。 03 在实验设计中，用于评估不同处理或条件下的结
进行统计检验
根据样本数据和选择的统计量， 计算相应的值并进行统计检验。
提出假设
根据研究问题和数据情况，提 出原假设和备择假设。
确定显著性水平
确定一个合适的显著性水平， 用于判断假设是否成立。
做出推断
根据统计检验的结果，做出拒 绝或接受原假设的推断。
03 方差分析的原理及应用
方差分析的基本思想
01
提高数据分析的全面性和准确性。
04
加强假设检验和方差分析的理论研究，深入探讨其数 学原理和理论基础，为方法的改进和创新提供理论支 持。
THANKS FOR WATC
多因素方差分析用于比较多个分类变量与一个连续变量的关系。
详细描述
例如，比较不同品牌、不同型号、不同生产年份手机的使用寿命，通过多因素方差分析可以判断这些 因素对手机使用寿命的影响是否有显著差异。
05 结论
假设检验和方差分析的重要性
假设检验是统计学中一种重要的统计推断方法，通过检验假设是否成立，可以判断样本数据是否支持 或拒绝原假设，从而得出科学可靠的结论。
04 实际应用案例
单因素方差分析
总结词
单因素方差分析用于比较一个分类变 量与一个连续变量的关系。
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中常用的一种假设检验方法，用于比较两个或更多个样本均值是否存在差异。
它通过分析不同组之间的方差来评估组内和组间的变异情况，进而得出结论。
一、方差分析的基本思想方差分析基于以下两个基本假设：1. 原假设（H0）：各总体均值相等，即样本所来自的总体没有差异；2. 备择假设（H1）：各总体均值不相等，即至少存在一个样本来自于与其他样本不同的总体。
二、一元方差分析（One-way ANOVA）一元方差分析适用于只有一个自变量的情况，它将样本根据自变量分为两个或多个组，然后比较这些组之间的均值差异。
下面以一个简单的案例来说明一元方差分析。
假设我们要研究三种不同肥料对植物生长的影响，我们将随机选取三个试验区，分别施用A、B和C三种不同的肥料，每个试验区都观察到了相应植物的生长情况（例如植物的高度）。
我们的目标是通过方差分析来判断这些不同肥料是否对植物的生长有显著的影响。
在执行一元方差分析之前，我们首先需要验证方差齐性的假设。
如果各组样本的方差相等，我们就可以继续使用方差分析进行比较。
常用的方差齐性检验方法有Bartlett检验和Levene检验。
在通过方差齐性检验后，我们可以进行一元方差分析。
分析结果将提供两个重要的统计量：F值和P值。
F值表示组间均方与组内均方的比值，P值则表示了接受原假设的概率。
如果P值较小，则说明组间的差异是显著的，我们可以拒绝原假设，接受备择假设，即不同肥料对植物生长有显著影响。
三、多元方差分析（Two-way ANOVA）多元方差分析适用于有两个以上自变量的情况，分析对象的均值差异可以归因于两个或多个自变量的相互作用。
这种分析方法常用于研究两个或多个因素对实验结果的影响情况。
以品牌和价格对手机销量的影响为例，我们假设品牌和价格是两个自变量，手机销量是因变量。
我们可以将样本分成不同的组合，比如将不同品牌的手机按不同的价格段进行分类。
方差齐性检验
LXK的结论：齐性检验时F越小（p越大），就证明没有差异，就说明齐，比如F=1.27，p>0.05则齐，这与方差分析均数时F越大约好相反。
LXK注：方差(MS或s2)=离均差平方和/自由度（即离均差平方和的均数）标准差=方差的平方根（s)F=MS组间/MS误差=（处理因素的影响+个体差异带来的误差）/个体差异带来的误差=================F检验为什么要求各比较组的方差齐性？——之所以需要这些前提条件，是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布，而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。
在方差分析的F检验中，是以各个实验组内总体方差齐性为前提的，因此，按理应该在方差分析之前，要对各个实验组内的总体方差先进行齐性检验。
如果各个实验组内总体方差为齐性，而且经过F检验所得多个样本所属总体平均数差异显著，这时才可以将多个样本所属总体平均数的差异归因于各种实验处理的不同所致；如果各个总体方差不齐，那么经过F检验所得多个样本所属总体平均数差异显著的结果，可能有一部分归因于各个实验组内总体方差不同所致。
简单地说就是在进行两组或多组数据进行比较时，先要使各组数据符合正态分布，另外就是要使各组数据的方差相等（齐性）。
-----------------在SPSS中，如果进行方差齐性检验呢？命令是什么？方差分析(Anaylsis of Variance, ANOVA)要求各组方差整齐，不过一般认为，如果各组人数相若，就算未能通过方差整齐检验，问题也不大。
One-Way ANOVA对话方块中，点击Options…(选项…)按扭，勾Homogeneity-of-variance即可。
它会产生Levene、Cochran C、Bartlett-Box F等检验值及其显著性水平P值，若P值<于0.05，便拒绝方差整齐的假设。
顺带一提，Cochran和Bartlett检定对非正态性相当敏感，若出现「拒绝方差整齐」的检测结果，或因这原因而做成。
假设检验
1
假设检验
概念
在总体X的分布完全未知，或只知其分布但不知其参 数的情况下，我们对X的分布或分布中的参数作出某 种假设，然后根据样本，用统计分析方法检验这一假 设是否合理，从而作出接受或拒绝这一假设的决定。
2
假设检验
基本概念
对总体 X 的分布或分布中的参数提出假设，就称为统计 假设。所提出的假设叫做原假设 ( 或零假设 )，记为 H0， 对立于原假设的假设称为备择假设 ( 或对立假设 )，记为 H1。 假设检验就是根据样本，适当构造一个统计量，按照某 种规则，决定是接受 H0( 拒绝H1 )还是拒绝H0( 接受 H1 )，所使用的统计量称为检验统计量。 只对总体分布中的参数提出假设进行检验的问题，称为 参数检验。
18
方差分析
Hale Waihona Puke 正态性检验例：验证温度对抗折力影响
19
方差分析
正态性检验
采用minitab检 验每组样本是 否符合正态分 布
20
方差分析
正态性检验
21
方差分析
正态性检验
P>0.05 符合正态分布
22
方差分析
方差齐性检验
1、对两个独立样本所属总体的总体方差的差异进行显著 性检验，统计学上称为方差齐性（相等）检验； 2、对方差齐性检验 ，原假设为H0：两个总体方差没有 差异；备择假设H1：两个总体方差有显著差异；
2、原理：分析实验数据中不同来源的变异对总变异 的贡献大小，从而确定试验中的自变量是否对因变量 有重要影响。
16
方差分析
方差分析中的基本条件
1、相互独立的随机样本；
方差分析
• 区组间
∑
j
b-1
υ区组
SS误差
SS误差
• =SS总—SS处理 --SS 区组
(K −1)(b−1)
N = ∑ni
υ误差
k为处理组数
(∑ X )2 C=
N
例9-20
在抗癌药物筛选试验中，拟用 只小白鼠按体重相近者为一 在抗癌药物筛选试验中，拟用20只小白鼠按体重相近者为一 个区组，一共五个区组，每个区组各有四只小白鼠。 个区组，一共五个区组，每个区组各有四只小白鼠。分别观察四种药 物对小白鼠移植性肉瘤（ 的抑瘤效果，结果见表9-17。问四种 物对小白鼠移植性肉瘤（S180）的抑瘤效果，结果见表 。 药物的抑瘤效果有无差别？ 药物的抑瘤效果有无差别？
M 区组 = S
•
SS区组
υ区组
0.11233 = = 0.02808 4
方差分析
钟崇洲 zcz5460@
方差分析也是统计 检验的一种。由英 国著名统计学家： R.A.FISHER推导出 来的，也叫F检验。
• 一、方差分析的基本思想
组内变异 反映随机误差(E)大小。 反映随机误差(E)大小。 (E)大小 MS组内或MSe
总变异
全部观察值之间的变异 MS总或MST
• 二.应用 的条件是： 的条件是：
），即要求各观察值之 （1）独立性（independence），即要求各观察值之 ）独立性（ ）， 间相互独立； 间相互独立； ），即要求样 （2）正态性（normality），即要求样 本来 ）正态性（ ）， 自正态分布的总体； 自正态分布的总体； （3）方差齐性（ homogeneity）， 即要 ）方差齐性（ ）， 体方差相等。 求两样本所对应的总 体方差相等。 • •
方差分析
计算统计量F
F=MS组间/MS组内 公式是在H0成立的条件下进行的，即MS组间与 MS组内差别应该很小， F值应该接近于1。那么 要接近到什么程度呢？（Fisher计算出了F的分 布规律，即标准的F値） 通过这个公式计算出统计量F，查表求出对应的 P值，以确定是否为小概率事件。
数据 Id x1 x2 d 1 5 6 -1 2 76 1 3 88 0
……… 15 6 9 -3
成组双样本比较
统计假设: H0：μ1=μ2 vs H1：μ1≠μ2
公式:
假设条件: 1) 每组数据服从正态分布; 2) 两组数据的方差一致。
回忆
数据 Id A B 1 56 2 76 3 88
……… 15 6 9
组内变异
E 组内均方MS组内
方差分析是先将总变异分解，然后计算变异间的比值。若比值接近 1，认为处理因素无作用；若比值远大于1，且大于F界值 [F0.05(1,2)]时，认为处理因素有作用。
方差分析的步骤
1.建立假设 H0 ：1 = 2 = 3 =…. H1 ： 1 、 2 、 3 ….各总体均数不全相等
方差分析的概念
方差是描述变异的一种指标，方差分析也就是 对变异的分析。
对总变异进行分析。看总变异是由哪些 部分组成的，这些部分间的关系如何。
列举存在的变异及意义
1、全部的19个实验数据之间大小不等， 存在变异（总变异）。
2、各个组间存在变异：反映处理因素之 间的作用，以及随机误差。
3、各个组内个体间数据不同：反映了观 察值的随机误差。
二）多选题（选一个或多个正确答案；共5题）
假设检验方差分析
• 假设检验概述 • 方差分析概述 • 独立样本T检验 • 配对样本T检验 • 单因素方差分析 • 多因素方差分析
目录
Part
01
假设检验概述
定义与原理
定义
假设检验是一种统计方法，用于根据 样本数据对总体参数做出推断。
原理
基于样本数据和适当的统计量，对总 体参数做出接受或拒绝的决策。
适用条件
数据正态分布
两个样本的数据应符合正 态分布，这是配对样本T 检验的前提条件。
独立性
两个样本之间应相互独立， 不存在相互影响的关系。
方差齐性
两个样本的方差应具有齐 性，即方差相等。
实例分析
数据收集
收集两个相关样本的数据，例如 比较两种不同类型运动对心率的 影响。
结果解释
若P值小于显著性水平（如0.05），则 认为两个样本的均值存在显著差异； 若P值大于显著性水平，则认为两个样 本的均值无显著差异。
数据处理
计算两个样本的差值，并计算差 值的均值和标准差。
数据分析
利用T检验公式计算T值和自由度， 并查表得到对应的P值。根据P值 判断两个样本的均值是否存在显 著差异。
Part
05
单因素方差分析
定义与原理
定义
单因素方差分析（One-way ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多 独立样本组的均值是否存在显著差异。
THANKS
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计算样本数据
收集样本数据并计算统计 量值。
确定显著性水平
确定一个合适的显著性水 平，用于判断原假设是否 被拒绝。
Part
02
方差分析概述
方差分析的定义
方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间的平均值差异，以确 定这些差异是否由随机误差引起，还是由于处理因素或自变量引起的。
统计学中的方差分析与假设检验
统计学中的方差分析与假设检验方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是统计学中一种常用的假设检验方法，用于比较两个或多个样本的均值是否存在显著差异。
方差分析通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值是否有统计学上的差异。
本文将介绍方差分析的基本原理和假设检验的步骤。
一、方差分析的基本原理方差分析是一种多个总体均值比较的方法，它通过计算组间离散度与组内离散度的比值来判断样本均值是否有显著差异。
方差分析的基本原理可以用以下公式表示：$$F=\frac{MS_{\text{between}}}{MS_{\text{within}}}$$其中，F为方差比值，$MS_{\text{between}}$为组间均方，$MS_{\text{within}}$为组内均方。
方差比值F的值越大，说明组间差异相对于组内差异的贡献越大，即样本均值之间的差异越显著。
通过查找F分布表，可以确定F值对应的显著性水平，从而判断样本均值是否有显著差异。
二、假设检验的步骤方差分析的假设检验可以分为以下几个步骤：1. 建立假设- 零假设（H0）：各组样本的均值相等，即$\mu_1=\mu_2=...=\mu_k$- 备择假设（H1）：至少有两个组样本的均值不相等，即$\mu_i\neq\mu_j$2. 计算组间均方- 组间均方$MS_{\text{between}}$的计算公式为：$MS_{\text{between}}=\frac{SS_{\text{between}}}{df_{\text{between}}}$ - 其中，$SS_{\text{between}}$为组间平方和，$df_{\text{between}}$为组间自由度。
3. 计算组内均方- 组内均方$MS_{\text{within}}$的计算公式为：$MS_{\text{within}}=\frac{SS_{\text{within}}}{df_{\text{within}}}$ - 其中，$SS_{\text{within}}$为组内平方和，$df_{\text{within}}$为组内自由度。
方差分析及方差齐性检验的若干问答~
LXK 的结论： 齐性检验时 F 越小（p 越大），就证明没有差异，就说明齐，比如 F=1.27，p>0.05 则齐，这与方差分 析均数时 F 越大约好相反。 LXK 注： 方差(MS 或 s2)=离均差平方和/自由度（即离均差平方和的均数） 标准差=方差的平方根（s) F=MS 组间/MS 误差=（处理因素的影响+个体差异带来的误差）/个体差异带来的误差 ================= F 检验为什么要求各比较组的方差齐性？ 之所以需要这些前提条件，是因为必须在这样的前提下所计算出的 t 统计量才服从 t 分布，而 t 检验正 是以 t 分布作为其理论依据的检验方法。 在方差分析的 F 检验中，是以各个实验组内总体方差齐性为前提的，因此，按理应该在方差分析之前， 要对各个实验组内的总体方差先进行齐性检验。如果各个实验组内总体方差为齐性，而且经过 F 检验所得 多个样本所属总体平均数差异显著，这时才可以将多个样本所属总体平均数的差异归因于各种实验处理的 不同所致；如果各个总体方差不齐，那么经过 F 检验所得多个样本所属总体平均数差异显著的结果，可能 有一部分归因于各个实验组内总体方差不同所致。 简单地说就是在进行两组或多组数据进行比较时，先要使各组数据符合正态分布，另外就是要使各组 数据的方差相等（齐性）。 ================= 在 SPSS 中，如果进行方差齐性检验呢？命令是什么？ 方差分析(Anaylsis of Variance, ANOVA)要求各组方差整齐，不过一般认为，如果各组人数相若，就算未 能通过方差整齐检验，问题也不大。 One-Way ANOVA 对话方块中，点击 Options„(选项„)按扭， 勾 Homogeneity-of-variance 即可。它会 产生 Levene、Cochran C、Bartlett-Box F 等检验值及其显著性水平 P 值，若 P 值<于 0.05，便拒绝方差整齐 的假设。 顺带一提，Cochran 和 Bartlett 检定对非正态性相当敏感，若出现「拒绝方差整齐」的检测结果，或因 这原因而做成。 ================= 用 spss 处理完数据的显示结果中，F 值，t 值及其显著性（sig）都分别是解释什么的？ 一般而言，为了确定从样本(sample)统计结果推论至总体时所犯错的概率，我们会利用统计学家所开发 的一些统计方法，进行统计检定。 通过把所得到的统计检定值，与统计学家建立了一些随机变量的概率分布(probability distribution)进行 比较，我们可以知道在多少%的机会下会得到目前的结果。倘若经比较后发现，出现这结果的机率很少， 亦即是说，是在机会很少、很罕有的情况下才出现；那我们便可以有信心的说，这不是巧合，是具有统计 学上的意义的(用统计学的话讲，就是能够拒绝虚无假设 null hypothesis,Ho)。相反，若比较后发现，出现的 机率很高，并不罕见；那我们便不能很有信心的直指这不是巧合，也许是巧合，也许不是，但我们没能确 定。 F 值和 t 值就是这些统计检定值，与它们相对应的概率分布，就是 F 分布和 t 分布。统计显著性（sig） 就是出现目前样本这结果的机率。 至於具体要检定的内容，须看你是在做哪一个统计程序。 【举一个例子】
假设检验与方差分析
决策:
拒绝H0
拒绝 H0
.025
结论:
有证据表明新机床加工的零件 的椭圆度与以前有显著差异
-1.96
0
1.96
Z
总体均值的检验
(2未知小样本)
• 1. 假定条件
– 总体为正态分布 2未知，且小样本
• 2. 使用t 统计量
t
X 0 S n
~ t (n 1)
2 未知小样本均值的检验
t 检验
（单尾和双尾）
Z 检验
（单尾和双尾）
2检验
（单尾和双尾）
总体均值检验
总体均值的检验
(检验统计量)
是
总体 是否已知 ？
否
小 样本容量 n
用样本标 准差S代替
大
z 检验
z 检验
t 检验
Z
X 0
Z
X 0 S n
t
X 0 S n
n
总体均值的检验
(2 已知或2未知大样本)
独立样本 配对样本
比例
方差
Z 检验
(大样本)
t 检验
(小样本)
t 检验
(小样本)
Z 检验
F 检验
两个独立样本的均值检验
两个独立样本之差的抽样分布
总体1
1
1
2 2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算X1
计算每一对样本 的X1-X2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
所有可能样本 的X1-X2
决策:
拒绝 H0
. 205
在 = 0.05的水平上不能拒绝H0
结论:
不能否定研究者的估计
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• 总体方差相等是进行平均数间差异的显著性检 验的重要条件。 • F检验就是利用公式 计算得F值与理论 推算的F值进行比较，判断方差差异大小。
•
一般我们会采用公式 进行单侧检验 （拒绝区在右测）。 • 决策如下： • 若 ，则拒绝原假设，即两总体方差 差异显著； • 若 ，则接受原假设，即两总体方差 差异不显著（方差具有齐性） • •
单因素完全随机设计方差分析的过程
• 例3 某小学语文教研组为研究学习环境对小 学生学习成绩的影响，从三年级中随机抽取20 名学生，随机分成四组，在四种环境下进行学 习，其效果如表8-5，四种不同的学习环境对 学习成绩的影响是否有显著差异？
方差分析概要表
离差平方和其它求法
• 方差分析中关键步骤:求离差平方和. 为计算方便,往往用原始观测值直接求平 方和,公式如下:
单因素随机区组设计方差分析的过程
被试的分配分三种情况： (1) 一个被试作为一个区组,不同的被试(区组)均需接受全 部ｋ个实验处理; (2) 每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍; (3) 区组内的基本单元不是个别被试,而是以一个团体为 单元。
随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理，试 实验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内 设计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时， 总平方和＝组间平方和＋区组平方和＋误差项平方和
• 1、方差分析：通过组间和组内的方差之比（F） 值来实现对多个平均数间差异的显著性检验。 • 2、基本理论依据：方差的可加性。 • 3、基本公式： 其中，
• 4、自由度：总体自由度可分解为组间自由 度和组内自由度。 总体自由度 组间自由度 组内自由度
（比较组间差异与组内差异，不能直接比较各自的离差平 方和，因为离差平方和的大小与求离差平方和的项数有关。 为消去项数的影响，分别求其均方，即将离差平方和除以 各自的自由度，并以MS表示。均方即样本方差，为总体方 差的无偏估计。）
处理 区组 A B C D Xi.
I II III X.j Xi
91 92.5 91.5 275 91.67
64.5 59 54 177.5 59.17
83.5 91.5 83.5 258.5 86.17
75.5 74 71 220.5 73.5
314.5 317 300.0 931.5
单因素随机区组设计方差分析的过程
• 5、组内均方和组间均方
方差分析的一般步骤
• 检验公式：由于组间均方与组内均方是互为独立的， 可用F值检验组间均方与组内均方是否差异显著，公式 为
• •
因此，多个平均数之间差异显著性检验的原假设 为：各样本所来自的总体平均数相等。备择假设为： 其中至少有一对平均数不等。检验时，按组间自由度 和组内自由度查F分布表，查出临界值，然后将计算的 F值与临界值进行比较，进而作出决断。
平均数间的多重比较
单因素随机区组设计方差分析的过程
在完全随机设计中,SST=SSB+SSw,即总变异=组间 变异+组内变异。实际上，这时，组内变异不仅反 映了实验的随机误差，而且还反映了实验组内被 试间 个体差异。单因素的完全随机化实验设计把 可以控制的个体差异作为随机误差而不加以控制， 从而增大了实验误差，使F检验不敏感。 随机区组设计就是要从实验误差中将被试的个 体差异区分开来，从而增加实验数据的有效信息， 降低实验误差。
单因素随机区组设计方差分析的过程
例 1、 有四种小学语文实验教材,分别代号为A、B、C、D。 为比较其教学效果，按随机区组实验(设计)原则,将小学分 为城镇重点小学、城镇一般小学和乡村小学三个区组，分 别代号为I、II、III，并分别在每个区组中随机地抽取4所 小学，它们分别被随机地指派实验一种教材。经一年教学 后通过统一考试得到各校的平均成绩如下表。问四种教材 的教学效果是否一致？
区组
实验中不同管制员之间的差异是很大的，每个管制员作为 一个区组。组内方差＝随机误差＋管制员个人差异导致的误差。 需要将个人差异从误差项中分离出来，以提高F检验的效率。
单因素随机区组设计方差分析的过程
解： SSt X ij X t
i 1 j 1 k a k
2
70, dft 18 1, 21, dfb 3 1 2,
• （附表8为哈特莱临界值表，k为所求方差总个数，n为样本 容量，若各样本容量不同，取最大值-1为自由度）
哈特莱最大F值法应用举例
例2 某地区文测验成绩的离散程度是否一致？
二、单因素完全随机设计方差分析
•
检验两个总体之间平均数差异 显著性用Z检验或t检验;检验两个总 体方差差异显著性用F检验;检验三 个或三个以上均数之间的差异性用 方差分析.这部分主要介绍:
统计假设检验方法(二)
统计假设检验是统计推断的重要方法, 一般需要对平均数的 差异显著性进行检验,分单总体和双总体两种情况(用Z检验或t检 验).若比较三个或三个以上均数差异用方差分析.若对方差(统计 量)差异进行检验,用F检验;对分类计数变量的统计推断用卡方检 验.本章主要研究: 1、F检验—方差齐性检验（即检验总体方差是否相等）；
多个独立样本方差差异的显著性检验
方差齐性是进行方差分析的前提条件。方差分析常要比 较多个方差之间是否齐性，对于三个以上方差的显著性检验， 常用哈特莱最大F值法。公式为：
• • 若 • 若
即以各样本方差中最大者和最小者之比求得最大F值。 ，则拒绝原假设。即至少有一对方差不相等； ，则接受原假设，即方差相等。
空中交通管制员测试的ANOVA表 方差来源 处理 区组 误差 总计 平方和 21 30 19 70 自由度 2 5 10 17 均方 10.5 6.0 1.9 F值 5.53 3.16 F0.05 4.1 3.33
单因素随机区组设计方差分析的过程
•
单因素随机区组设计方差分析过程与单因素完全 随机设计方差分析过程一致，分为：提出假设、计算 有关统计量、计算F值、确定显著性水平及临界值、 统计决策（列方差分析表）。不同之处在于：组内平 方和分解为区组平方和、误差平方和两部分，计算公 式如下：
•
离差平方和其它求法
• 在无法直接得到原始数据,仅知道 统计资料的情况下,也可对多组数据进行 方差分析.其组间平方和与组内平方和计 算公式如下:
§3 单因素随机区组设计方差分析
• 一、单因素随机区组设计的含义 • 在完全随机化实验设计（单因素）的方差分析 中，将实验数据的总变异分解为由处理不同造成的组 间变异和由误差因素造成的组内变异。组内差异不仅 反映实验的随机误差，而且反映实验组内被试间个别 差异。 • 区组：将从同一总体中抽取的被试按条件相同的 原则分成各个组，使各组内被试尽量保持同质，这些 组称为区组。 • 随机区组实验设计最早应用于农业实验。在农业 实验中，为研究不同品种（处理）的差异，而将土地 按土质、水分、肥性等因素划分为不同块（区组）， 使得每一块内土质大体一致，再将区组划分为小块 （小区），每一小区种一种品种的作物。“区组”的 概念就被沿用。 • 设计原则：同一区组内的被试尽量同质。 •
2、方差分析—三个或三个以上均数差异分析；
一、 F检验
F分布是一种小样本分布，计算公式为 1、F分布的形成 从两正态总体中随机抽取两独立样本，容量分 别为 ，求出两个样本的方差及比值—F值； 然后将两样本数据放回，再随机抽取同样容量两样 本，计算两个样本的方差及比值—F值；若干次便 可求出若干个F值，所有F值形成的分布是自由度为 （ ， ）的F分布。 2、F分布的图象 F分布是一簇单峰偏态分布曲线，形状随分子 和分母的自由度变化而变化。 3、双侧检验、单侧检验
• •
方差分析的一般步骤
• 1、提出假设 • 原假设：各样本所来自总体平均数相等；
• 备择假设：其中至少有一对平均数不相等。
• 2、计算平方和、自由度
• 3、计算F值 • • 4、确定临界值：由 • 5、列方差分析总表 、 查表确定临界值。
单因素完全随机设计方差分析的过程
•
•
实验中的自变量称为因素，只有一个自变 量的实验称为单因素实验；有两个或两个以上 自变量的实验称为多因素实验。
•
方差分析的基本原理
• 分析: 可以看出,数据各不相同,这种差异可能 是由研究的变量(态度不同)造成的,称为组间 差异( );也可能是由随机抽样或其他原因造 成的,称为组内差异( ).
方差分析的基本原理:
方差分析就是将总体变异分解为组间变异 ( )和由抽样误差等其他原因产生的组内变异 ( ),然后分析组间变异与组内变异的关系.若 样本组间变异比组内变异显著地大,则认为组 间有本质性差异,否则不认为组间有显著性差 异.
•
单因素随机区组设计方差分析的过程
• 2、自由度：
• 3、求组间平方和、误差平方和以及组间自 由度和误差自由度，就可求组间均方、误差 均方： • •
§4 平均数间的多重比较
方差分析是对多个平均数间差异的显著性 进行检验.通过F检验,综合判断各总体平均数间 是否有差异. 若 ,则接受原假设.即各组平均数相等, 检验分析工作结束; 若 ,则拒绝原假设.即至少有两组平均数 不相等.但究竟哪两对平均数不等,并不完全清 楚,需对平均数作进一步逐对比较----平均数间 的多重比较.本节主要讨论: 1、平均数间多重比较的方法 2、平均数间多重比较方法的应用
例为比较三种复习方法对小学生学习效果产生的 影响是否有显著性差异，将40名学生分成三组，让A组 学生用集中复习法，B组学生采用间隔复习法，C组学 生用回忆法。此处，复习方法是实验中惟一自变量， 此因素为单因素实验，三种复习方法是复习方法的三 种不同水平——单因素方差分析。 • 若要研究两种教学方法在理解力不同的三个小组 中的实验效果是否有显著性差异，用双因素实验设计， 教学方法和理解力是两个因素前者有两种水平，后者 有三种水平，对以上实验效果进行显著性检验——多 因素方差分析。