二面角(空间向量求二面角)
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9.7 直线和平面所成的角与二面角(4) 利用空间向量求二面角
法向量在求二面角中的应用： 一个二面角的平面角α 与这个二面角的两个半平面 的法向量所成的角β 的关系是 相等或互补 。
cos cos 或 cos cos
l
n1
n 2
l
nΒιβλιοθήκη Baidu
n2
例1.如图，正方体中，点M、N、P分别为各所在棱的中点， 求平面MNP和AA1D1D所成的锐角二面角的大小。
D1 A1 B1 C1
m
N D M P B C
A
分析： n (1,1,3), n 面MNP,
AB 面AA1D1D , AB (0, a,0)
11 cos AB, n 11 11 ∴平面MNP和AA1D1D所成的锐角二面角 arccos
11
练习：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB的 中点，求面A1CE与面A1AD所成的二面角的大小。
D1 B1 C1
A1
n 面A1EC, 且n (1,2,1) DC 面A1 AD, 且DC (0, a,0)
D
C
A
E
B
6 cos DC , n 3
面A1CE与面A1AD所成的二面角 arccos
6 3
求二面角的平面可转化为“两平面的法向量所夹的角”
来计算；
法向量在求二面角中的应用： 一个二面角的平面角α 与这个二面角的两个半平面 的法向量所成的角β 的关系是 相等或互补 。
cos cos 或 cos cos
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例1.如图，正方体中，点M、N、P分别为各所在棱的中点， 求平面MNP和AA1D1D所成的锐角二面角的大小。
D1 A1 B1 C1
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N D M P B C
A
分析： n (1,1,3), n 面MNP,
AB 面AA1D1D , AB (0, a,0)
11 cos AB, n 11 11 ∴平面MNP和AA1D1D所成的锐角二面角 arccos
11
练习：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB的 中点，求面A1CE与面A1AD所成的二面角的大小。
D1 B1 C1
A1
n 面A1EC, 且n (1,2,1) DC 面A1 AD, 且DC (0, a,0)
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C
A
E
B
6 cos DC , n 3
面A1CE与面A1AD所成的二面角 arccos
6 3
求二面角的平面可转化为“两平面的法向量所夹的角”
来计算；