8 均匀设计法

2
充分体现其均衡性，即让实验点在实验范围内充分
地均匀分散，则可从全面实验中挑选比正交实验设
计更少的实验点作为代表进行实验。这种着眼于实 验点充分地均匀分散的实验设计方法，称为均匀实 验设计法。 均匀设计法已在我国飞航式导弹的设计中取得
了有效的应用，使试验、设计周期大大缩短，并节
省了大量的费用。
3
8.1
11
影响，每个因子取6个水平，可选用 U13 (1312 ) 表安排实验。
子 A , B , C , D , E分别安排在均匀设计表相应的列
（1,6,8,9,10列）内，再将该表第13号实验划去，并
将各因子6个水平的每一水平在均匀设计表中重复安
排一次，如将因子A的水平1安排为第1与2号实验，水
平2安排为第3与4号实验，水平3安排为第5与6号实验， 水平4安排为第7与第8号实验，水平5安排为第9与第 10号实验，水平6安排为第11与12号实验。其它几个 因子也作同样安排，则得如表8.2所示的具体实验安
10
安排在第1与第7列。图8.1也正是由此而作出的。 (3) 由于均匀实验设计的特点，实验数据失去了整
齐可比性，因此，不能象正交实验设计那样，用方差分
析法来处理数据，而要用回归分析法处理实验数据。
(4) 用均匀设计安排实验，实验次数较少，为了提
高实验精度和可靠性，可采用实验次数较多的均匀设计 表来重复安排因子各水平的实验。例如考察5个因子的 根据该均匀设计表的使用表（参见附表8），将因
4
表8.1
U５(54)均匀设计表及使用表
5
类似于正交表，均匀设计表也有一个代号 Un (t q ), 其各符号的意义是
6
从附表8可看出，每一张均匀设计表后都附有一张 该表的使用表（如表8.1右表所示），与之配合使用； 每一张表安排的实验次数与因子水平数相等，且因子水 平数皆为奇数。当水平数为偶数时，则可用水平数比多 它1的奇数均匀设计表划去最后一行来安排偶数水平数 的实验。例如，因子水平数为4时，可利用 U 5 (54 ) 表安排 实验，仅划去 U 5 (54 ) 表中最后一行，即实验5。当然，划 去最后一行后，相应的实验次数也少一次， U 5 (54 )表就变 为U 4 (54 )均匀设计表了，而使用表不变。与正交实验相 似，因子数较少时，也可用因子数较多的均匀设计表安 排实验。如以2因子11水平的实验为例，可选用表来安 排实验，其实验的布点情况见图8.1中黑点所示。
9
(2) 正交表中各列的地位是相等的，因此，因子
的安排具有随意性。均匀设计表则不一样，表中各列
的地位是不平等的。因此，因子安排在均匀设计表中
的哪一列是不能随便改动的，需根据实验中欲考察的 因子数，按均匀设计表后的使用表来确定因子所处的
列号。如在利用 U 5 (54 ) 进行均匀实验设计时，若只有2
的交互作用项与高次项应尽量不要安排在实验中,
以减少实验工作量和对实验数据的回归分析的工作
量。
16
８.3
实验结果分析
８.3.1 直观分析 由于均匀设计允许的因子水平数较多，水平间隔 较小，研究因子的范围宽，实验点在整个实验区域内 分布均匀，实验结果具有较好的代表性，因此，指标 值最佳的实验点所对应的实验条件，即使不是全面实 验中最优的条件，但相对来说，也是接近于全面实验 中的最优条件的，因此，可以直接采用它作为相对较 优的实验条件来使用。这个分析方法看起来粗糙，但 在正交实验中当有混杂时常采用此法，大量实验证明 这种方法是有效的。
24
QT L yy ( y j y ) 2
j 1
n 1 2 y2 ( y ) j j n j 1 j 1 n
n
(8―11)
自由度
fT n 1 。
ˆ j y) U (y
j 1 n 2
(8 － 12)
自由度为
fu m。
Qe QT U
22
需指出的是，在进行如式（8―1)所示的二次回归 分析时，由于待定系数较多，最好采用逐步回归的方 法。例如有 x1 , x 2 , x 3 , x 4 四个因子，作二次回归时共 2 有 2 4 C4 14 项，即
x1 , x2 , x3 , x4 , x , x , x , x , x1 x2 , x1 x3 , x1 x4 , x2 x3 , x2 x4 , x3 x4
26

与多元线性回归分析一样，也可由计算相关系数R 予以检验回归方程的显著性。 （3）标准回归系数 回归系数 b i 表示因子 x i 在其他因子不变的情况 下， xi 变化一个单位引起 y 值变化的大小，它的绝对 值越大，表明该因子对 y 值的影响越大,在回归方程 中的重要性亦越大。但回归系数的绝对值的大小与因 子所用单位有关。因此，不同单位的回归系数的绝对 值不能直接进行比较，必须将各回归系数标准化，按 式（8-15）求出标准回归系数 b' i ，然后才能通过比较 b' i 的绝对值来判断各因子影响的大小。
ˆ b0 bi xi bik xi xk y
i 1 i 1 k i
(8―1)
18
式中， x i x k 反映了两因子之间的交互效应；xi2 反映了 因子二次项的影响。若令
2 t 2m Cm
(8―2)
jm xi , (8―3) Xj m jt xi x k , , m 。 , m; k i, i 1, 式（8—3）中，i 1,2,
(8―5)
b0 y bi X i
i 1
t
(8―6)
20
式中
1 n X i X ji n j 1
（8―7） （8―8）
（8―9）
1 n y yj n j 1
Lik ( X ji X i )( X jk X k )
j 1 n n
X ji X jk
均匀设计原理与均匀设计表
在多维数值积分中，目前最好的是数论方法， 其出发点是让点子在积分范围内散布得十分均匀， 使布的点离被积函数的各种值充分地近，因而用的 点不多却能使积分值得到很好的近似。我国数学家 方开泰先生将这一思想应用于实验设计，开发出均 匀实验设计的方法，并构造出如附表8所示的一套均 匀设计表，表8.1是其中之一。
排。
12
表8.2
重复水平实验的具体安排表
13
由于均匀实验设计只要进行少数实验即可找到基 本上适用的分析条件，因此它在零星样品的快速分析， 确定待考察因子的实验范围，实验条件的初选方面都 大有好处。
8.2
实验安排
当研究个因子对实验指标值 y 的影响时，在不考 虑因子高次项与因子之间交互作用的条件下，只需选 用实验次数等于因子数的均匀设计表来安排实验就可 以的。而当要考虑因子高次项与因子之间的交互作用 时，需用多项式回归来描述指标函数。若研究的因子 数因子数为 m ，在回归方程中，一次项与二次项各
j 1
n 1 n ( X ji )( X jk ) n j 1 j 1
Liy ( X ji X i )( y j y )
j 1 n n 1 n X ji y j ( X ji )( y j ) n j 1 j 1 j 1
n
（8―10）
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其中， i, k
8 均匀设计法
8.1 均匀设计原理与均匀设计表 8.2 实验安排 ８.3 实验结果分析

1
8
均匀设计法
我们知道，正交表具有“均衡分散性”和“整齐 可比性”，因而，利用正交表进行正交实验设计，可 以通过较少的实验，获得全面实验的信息，是一种优 异的实验设计方法。为了保证整齐可比的特点，简化 数据处理，实验点不能在实验条件范围内充分地均衡 分散，因此实验点不能过少。显然，在正交实验中， 均匀性受到一定的限制，使实验点的代表性还不够强。 由于这一原因， 当需考察的因子数较多，特别是因子 水平数较多时， 由正交实验设计安排的实验次数仍然 较多 。 如果不考虑实验数据的整齐可比性，而
因子之间的交互作用时，则回归方程的一次项与二次
2 项各有3项，因子之间的交互作用项有 C m 3 项，除
常数项不计之外，在回归方程中至少有9个待定系数， 因此至少应选用表 U 9 (96 )来安排实验。
15
在安排实验之前,应根据专业知识和实践经验
来判断与选择在回归方程式中的交互作用项与高次
项,对于那些对指标值 y没有显著影响或影响较少

j 1,2, , n 表示均匀实验号； X i 表示第 i 个变量的 n 次实验的平均值；
1,2, , t ，表示线性变换后由式(8―3) 重新定义的变量 X 的序号；
yi
表示
y
的第 i 次实验结果。
以上是前面已介绍过的多元线性回归数学模型 的第二种形式，当然，也可写出其第一种形式。有 关第一种形式与第二形式的求解方法，请参阅教材 中的多元线性回归分析部分。
个因子，则按 U 5 (54 ) 的使用所指示的，将因子安排在 U 5 (54 )表的第1列和第2列；若有3个因子，则将因子安 排在第 1,2,4 列；若有 4 个因子，则正好每列安排一个
因子。又如前面提到的 U11 (1110表，如果只安排 2 因子， )
则可由
10 的使用表查得应将这 2个因子分别 U11 (11 )
通过变量代换 , 可将式 (8―1) 化为如式 (8―4) 所示的 多元线性方程：
ˆ b0 bi X i y
i 1
t
(8―4)
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式（8―4)中回归系数
b i 与 b 0 可由如式（8―5)所示
的正规方程组与式（8―6)求得:
L11b1 L12 b2 L1t bt L1 y L21b1 L22 b2 L2t bt L2 y Lt1b1 Lt 2 b2 Ltt bt Lty
7
图8.1
2因子11水平实验的实验点分布
8
从实验点的分布可以看到，实验点是均匀 地分散 在整个区域内。若是多因子时，实验点同样是在实验 范围构成的多维空间中均衡分布的。 与正交实验设计相比，均匀实验设计具有下述特 点： (1) 每个因子的每一水平只做一次实验，因而实 验工作量少，这是均匀实验设计的一个突出的优点。 例如，要考察5因子对实验指标的影响，每个因子取5 水平，用正交表安排实验至少要进行25次实验；而用 均匀设计表来安排这一实验，只需进行5次实验。虽然 后一方法实验点减少了很多，但其实验结果仍能反映 实验体系的主要特征。
14
2 项，共有( 2 )项，因 有 m 项,交互效应项有 C m 2m Cm 2 ) 次实验的均匀设计表来安 此至少要选用有 ( 2m Cm
排实验。例如要研究3因子的影响，如果因子与指标函
数之间的关系为线性，选用 U 5 (5 4 ) 表安排实验；当各
因子与指标值之间的关系为二次多项式，而又要考虑
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８.3.2
回归分析
(1) 回归方程的建立 由于用均匀设计表安排实验,未考虑实验数据的整 齐可比性,故实验结果不能用一般的方差分析方法来处
理,而要用多元回归分析来处理数据。在一般的实验中，
为简化数据处理过程，往往可不考虑因子的三次项与
三因子之间的交互作用，因此，指标函数
如下的形百度文库：
m m m
可设计为 y
则待求系数也有 14 个。如果 14 项全部进入回归方程不 仅计算工作量大，而且效果也不好，这时用逐步回归 就比较合适。
23
2 1
2 2
2 3
2 4
对需在回归方程中引入多因子交互作用项与高次 项时，可在式（8-1)中再加入相应项，按照上述原理， 求出非线性回归方程。当然，其回归分析过程就更复 杂了。如前所述，应在安排实验前，根据经验判断， 将那些对实验指标影响不大的交互作用项和高次项， 尽量不要安排在实验中，以减少实验和回归分析工作 量。 （2）回归方程的显著性检验 为了确定所建立的回归方程是否有意义，需进行 显著性检验。前面已指出，的总偏差平方和可分解为 回归平方和与剩余平方和，且
(8－13)
25
自由度 f e n m 1 从而统计量
U /m F Qe /(n m 1)
给定显著性水平 ，从附表２查出 界值 F ，若 ( f , f ) u e
（8－14）

F 检验临
F F ( f u , f e )
我们可以在显著性水平下 ，认为所建立的回归方 程是有显著意义的。反之，则认为回归方程没有显 著意义。