8 均匀设计法
第八章 均匀设计
例8.3.2 为了研究环境污染对人体的危害，考察镉(Cd)、铜(Cu)、 锌(Zn)、镍(Ni)、铬(Cr)、铅(Pb)的不同含量(包括交互作用)对老鼠 寿命的影响. 每种金属含量都取17个水平(百万分之一，ppm)： 0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12，14， 16，18，20. 选用U17(1716)表，由相应的使用表知，六个因素安排 在1、4、6、10、14、15列，试验方案和试验结果如程序数据所示. 由于每种金属的含量从0.01到20，最大和最小相差200倍，直接 用各因素的水平值作回归不易获得好的结果，因此对各金属含量 取对数后作回归分析，又因各金属含量之间有交互作用，所以选 用二次回归. 试验次数n=17, 不可能也不必要考虑所有的二次项和交互项, 只 要考虑显著因素的交互以及专业角度认为值得考虑的因素与项 .
采用分析员应用系统在线性回归主窗口Model采用
stepwise selection, 临界水平Criteria可取α=0.15或0.25以确 定主要因素(本例取5项或9项).
α=0.15时 Parameter Estimates Parameter Standard Estimate Error t Value 35.57486 10.21599 6.30963 3.30969 6.66639 4.51329 2.62857 1.73431 1.92423 1.98003 1.98307 1.63804 13.53 5.89 3.28 1.67 3.36 2.76
均匀设计的结果分析: (1)简单方法是使用直观分析法，从试验点中选一 个指标最优的点，相应的因素水平组合即为较优 工艺条件. 由于试验点均匀分散，试验点中较优 的工艺条件离全面试验的最优工艺条件不会很远. (2)在条件允许的情况下，即通常在误差有一定的 自由度即n-1-p>0的情况下，均匀设计的结果分析 可以采用回归分析(利用SAS完成计算).
均匀设计法
第六章 均匀设计法
▪例如用U11(1110)的1，7 和1，2列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的点散 布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同， 因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
第六章 均匀设计法
▪1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个 五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10， 而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都 不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提 出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将 这一方法用于导弹设计，取得了成效。
▪均匀设计法与正交设计法的不同：
两种设计的均匀性比较
很难找到正交设计和均匀设计具有相同的试验数和相同的水平数。我们从 如下三个角度来比较：
v 1.试验数相同时的偏差的比较
v 当因素s=2时，若用L8(27)安排试验，其偏差为0.4375；
若用均匀设计表
U
* 8
(88
)
，则偏差最好时要达0.1445。
显然试验数相同时均匀设计的均匀性要好得多。值得
U6(64)的使用表
s列
号
213
312 3
412 3 4
偏差值越小，表示均匀度越好
D
0.1875 0.2656 0.2990
第六章 均匀设计法
均匀设计和正交设计的比较
将目前最常用正交设计和均匀设计作一下比较，讨论两种试验设计方法的特 点。
➢1.试验次数的比较 ➢正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为 水平数的平方。例如一项试验，有五个因素，每个因素取31 水平，若用正交设计，至少需要做961次试验，而用均匀设 计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。
均匀设计法的基本原理和应用范围
农业试验设计
总结词
在农业研究中，均匀设计法可用于优化种植密度、施肥量等农业措施，提高作物产量和 品质。
详细描述
在农业试验中，需要研究多种因素对作物生长的影响，如种植密度、施肥量、灌溉方式 等。通过均匀设计法，可以有效地安排试验条件，以最少的试验次数获得最佳的试验效
果。
产品制造工艺优化
总结词
在产品制造过程中，均匀设计法可用于优化工艺参数，提高产品质量和生产效率。
均匀设计法的基本原理和应用范围
目录
• 均匀设计法的基本概念 • 均匀设计法的基本原理 • 均匀设计法的应用范围 • 均匀设计法的优势与局限性 • 均匀设计法的实际应用案例
01 均匀设计法的基本概念
定义与特点
定义
均匀设计法是一种实验设计方法，旨在通 过合理地选择实验点和实验次数，最大限 度地获取所需的信息，并减少实验误差。
确定试验点数量
根据试验因素和水平，确定试 验点数量，以确保试验结果的 准确性和可靠性。
进行试验
按照生成的试验点进行试验， 收集数据。
确定试验因素和水平
根据研究目的和问题，确定试 验因素和水平，为后续的试验 设计提供基础。
生成试验点
根据均匀性准则和试验点分布 方法，生成试验点，确保每个 试验点具有代表性。
有限制条件
在满足一定限制条件下选择实验点。
均匀分散
在实验范围内，实验点均匀分散，避免集 中在某些区域。
高效性
通过合理设计，用较少的实验次数获取更 多信息。
与其他设计方法的比较
与正交设计法比较
均匀设计法的实验点分布更均匀，适 用于探索性实验和多因素多水平实验 。
与拉丁方设计法比较
拉丁方设计法适用于两因素实验，而 均匀设计法可应用于多因素实验。
八因素五水平均匀设计
八因素五水平均匀设计八因素五水平均匀设计是一种广泛应用于工程实验和制造业的设计方法。
它通过对八个因素进行五个水平的设计，可以有效地确定最佳的工艺参数，提高产品质量和生产效率。
本文将从八因素的选择、五水平的确定以及八因素五水平设计的优点等方面进行探讨。
选择八个影响工艺参数的因素是八因素五水平均匀设计的第一步。
这些因素应该是对产品质量和生产效率有重要影响的关键参数。
例如，在汽车制造中，八个因素可以包括车身材料、焊接温度、涂装厚度、烘干时间、装配工艺等。
选择合适的因素是保证实验结果可靠性的基础。
接下来，确定五个水平是进行八因素五水平均匀设计的第二步。
五个水平应该覆盖整个参数的范围，以便能够获得全面的实验数据。
例如，在车身材料这一因素中，可以选择铝合金、钢材、复合材料等不同的水平。
确定合适的水平是保证实验结果可重复性的关键。
八因素五水平均匀设计的优点主要有以下几点。
首先，它可以通过少量实验获得大量的信息，节省了时间和成本。
其次，它可以全面考察各个因素对结果的影响，避免了单一因素实验的局限性。
再次，它可以确定最佳的工艺参数组合，提高产品质量和生产效率。
最后，它可以为进一步优化和改进提供参考，为工艺改进提供科学依据。
在进行八因素五水平均匀设计时，需要注意以下几点。
首先，实验设计要合理，需要根据具体情况进行调整。
例如，在实验因素选择时，需要根据产品特性和生产要求进行权衡。
其次，实验数据要真实可靠，需要采取合适的测量方法和数据处理方法。
例如，在测量结果时，需要进行多次重复测量并取平均值。
最后，实验结果要进行科学分析和解释，需要结合统计学方法和专业知识进行综合分析。
八因素五水平均匀设计是一种有效的实验设计方法，可以用于工程实验和制造业中。
通过选择合适的因素和确定合适的水平，可以得到全面可靠的实验结果。
它的优点包括节省时间和成本、全面考察各个因素影响、确定最佳工艺参数组合等。
在实施时需要注意实验设计的合理性、数据的真实可靠性以及结果的科学分析和解释。
均匀设计-均匀设计.ppt
3.3.3.2 非线性回归模型（续1）
法、后退法、逐步回归法或最优子集法等进行变量的 筛选。其回归系数求解可经过方程项的转换按多元线 性回归的方法完成。 (2) 多项式回归模型
一般地，包含多变量的任意多项式可表述为：
可通过类似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22 的变换， 将其按多元线性回归分析。多项式回归在回归分析中 占特殊地位，因为任何函数至少在一
S
列号
D
2 15
0.1632
3 145
0.2649
4 1345
0.3528
5 12345
0.4286
6 1 2 3 4 5 6 0.4942
说明：设计表中的列代表的是各因素的水平， 但具体代表的是哪个因素的水平，需按使用 表确定，使用表s一栏的数字是试验的因素数， 它后面的数字指定了各种因素数进行试验时 该如何选择设计表的列；使用表中D栏代表 不同因素数选择设计表的不同列时均匀设计 的偏差，偏差越小，均匀性越好，试验成功 的几率和结果的可靠性越大。
(4) 用分次试验的指标值和取得该指标值的各因 素水平值建立试验指标—各因素水平关系的回归 模型（这也是均匀设计中的最重要的环节之一)；
(5) 成功地建立了回归模型后在各试验因素的试 验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进行该组 合的验证试验（也可和步骤６一起进行)；
(6) 验证试验成功则进一步缩小水平划分更为细致的新的一 轮的试验，进一步寻找最优试验条件组合。一般 情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件， 试验结束。
3 均匀设计的应用方法
试验设计的共性问题 均匀设计的应用方法 具体问题的解决方法
3.1 试验设计的共性问题
试验设计（如正交试验设计、裂区试验设 计、系统分组设计等）过程必然离不开试验基 础内容的构思（试验的评价指标；试验的因素、 水平的选择和试验次数的拟定）、试验结果数 据的分析等共性方面的问题。试验的因素和水 平的选择关系到一个试验能否成功的关键，下 列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也 包括均匀设计）的人员应该是有益的：
均匀实验设计
均匀试验设计均匀设计均匀设计(uniform design)是中国数学家方开泰和王元于1978年首先提出来的，它是一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。
与正交试验设计类似、均匀设计也是通过一套精心设计的均匀表来安排试验的。
由于均匀设计只考虑试验点的“均匀散布”而不考虑“整齐可比”，因而可以大大减少试验次数，这是它与正交设计的最大不同之处。
例如，在因素数为5,各因素水平数为31的试验中，若采用正交设计来安排试验，则至少要作3俨=961次试验，这将令人望而生畏，难以实施，但是若采用均匀设计，则只需作31次试验。
可见，均匀设计在试验因素变化范围较大，需要取较多水平时，可以极大地减少试验次数。
经过20多年的发展和推广，均匀设计法已广泛应用于化工、医药、生物、食品、军事工程、电子、社会经济等诸多领域，并取得了显著的经济和社会效益。
1.均匀设计表1.1等水平均匀设计表均匀设计表，简称均匀表，是均匀设计的基础，与正交表类似，每一个均匀设计表都有一个代号，等水平均匀设计表可用U n ( r1)或U n* (r1)表示，其中，U为均匀表代号；n为均匀表横行数(需要做的试验次数)；r为因素水平数，与n相等；I为均匀表纵列数。
代号U右上角加“*”和不加“*”代表两种不同的均匀设计表，通常加“* ”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先选用。
表1-1、表1-3分别为均匀表U7 (74)与U7* (7 4)，可以看出，U7 ( 74)和U7*(74) 都有7行4列，每个因素都有7个水平，但在选用时应首选U7*(74 )。
表1-1 U7 (74)474747每个均匀设计表都附有一个使用表，根据使用表可将因素安排在适当的列中。
例如，表1-2是U7 ( 74)的使用表，由该表可知，两个因素时，应选用1，3两列来安排试验；当有三个因素时，应选用1,2,3三列，。
最后一列D表示均匀度的偏差((discrepancy)，偏差值越小，表示均匀分散性越好。
均匀设计法PPT课件
b x 数 的绝对值不能直接进行比较，必须将各回归系数标准化，按式（8-15）求出标准回
归系数 ，然后才能通过比i较
i
xi
y
y
b'i b'的绝对值来判断各因子影响的大小。
i
26
第26页/共44页
标准回归系数
bi' bi Lij / Lyy
（8―15)
标准回系数 与因子 所' 用单位无关，其绝对值越大，表示该因子对 值的影响越大。
j 1
。f u m
Qe QT U
第24页/共44页
(8―11)
(8－12) (8－13)
24
自由度
f e 从而n统计量m 1
给定显著性水平F，从附表２查U出
/
m
检验临界值
Qe /(n m 1)
F ( fu , fe )
，若 （8－14）
F
F F ( fu , f e )
我们可以在显著性水平下 ，认为所建立的回归方程是有显著意义的。反之，则
用的条件下，只需选用实验次数等于因子数的均匀设计表来安排实验就可以的。而 当要考虑因子高次项与因子之间的交互作用时，需用多项式回归来描述指标函数。 若研究的因子数因子数为 ，在回归方程中，一次项与二次项各
m
13
第13页/共44页
14
m 2m C C 有 项,交互效应项有 项，共有( )项2，因此至少要选用有( )次2实验的均匀设
U 5 (54 ) U 5 (54 ) 则U正表5好(的5每4第列)1安列排和一第个2列因；子若。有又3如个前因面子提，到则的将因子表安，排如在果第只1,安2,排4列2因；子若，有则4个可因由子，
的使用表查得应将这2个因子分别
均匀设计法名词解释
均匀设计法名词解释
均匀设计法是一种试验设计方法，它的设计点在试验范围内均匀散布。
该方法由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
在科学研究和技术开发中，常常需要进行试验设计来探究不同因素对试验结果的影响。
试验设计的目的在于最小化试验次数和最大化试验信息的收集。
均匀设计法是一种有效的试验设计方法，它可以在试验点均匀散布的条件下，最小化试验次数，同时收集到足够的试验信息。
均匀设计法的优点在于它可以减少试验次数，提高试验效率，同时还可以均匀散布试验点，使试验结果更具代表性。
此外，均匀设计法还可以筛选关键因素，帮助研究人员更好地理解试验结果。
在均匀设计法中，每个因素的水平都被均匀地分配到试验中的各个点。
这使得每个试验点的数据都能够提供关于该因素的信息，从而使得在较少的试验次数下获得足够的信息成为可能。
总的来说，均匀设计法是一种有效的试验设计方法，可以帮助研究人员在较少的试验次数下收集到足够的试验信息，同时还可以提高试验效率并筛选关键因素。
均匀设计方法简介
均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。
怎样做试验，是大有学问的。
本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。
今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。
本节着重介绍均匀设计方法。
一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。
我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。
有两种方法最易想到：1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。
对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。
2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。
容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。
该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。
3．正交设计法：利用正交表来安排试验。
本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。
70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。
该法是目前最流行，效果相当好的方法。
正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。
常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。
8均匀试验设计表解析
7
7 3 10 6 2 9 5 1 8 4
8
8 5 2 10 7 4 1 9 6 3
9
9 7 5 3 1 10 8 6 4 2
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
2、均匀设计使用表
均匀设计的使用表是用来确定试验处理， 以明确作哪些比较的试验。
二、均匀设计试验结果的分析
1、直观分析 2、回归分析
实例：某酒厂在生产啤酒过程中，选择 底水（X1）和吸氨时间（X2）进行一比 较试验，两因素均选9个水平，试验考核 的指标为吸氨量（Y）。
试验因素水平为：
因素
水平
底水（X1） 136.5 137.0 137.5 138.0 138.5 139.0 139.5 140.0 140.5 （g）
本试验是6因素5水平，为提高试验精度、均匀 性、可靠性，选U10（1010）。并运用拟水平法 来安排试验。
试验的表头设计为：
因素 X1 X2 X3
X4
X5
X6
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
因素 X1
X2
X3
X4
X5
X6
结果Y
列号 1 2 3 5
7
10 （u/mg6
4
4 8 7215
5
5 1 2784
6
6 3 6363
7
7 5 1842
8
8 7 5421
9
9 9 9999
U10（1010）均匀设计表
1 2 列号
试验号
3
4
5
6
7 8 9 10
均匀设计及其应用(精品)
正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可 比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的 均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还 不够强，试验次数不能充分地少。
均匀设计是另一种部分实施的试验设计方 法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、 多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好 的析因试验设计方法。它可以使试验点在试验 范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验 点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试 验结果。
为了进行分析，我们引进5个‘伪变量’。它们的记
号和取值如下：
B因素的
z31 (1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0) z32 (0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0) z33 (0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0)
A因素的
z41 (0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0)
中的三项，在 5%的水平下都是显著的。
图1.1.1:
残差与 yˆ 的示意图
y yˆ
状态是正常的，所以模型 (1.1.4)是可接受的。
yˆ
图 1.1.2a 匹配图
16
图 1.1.2b 正态 Q-Q 图
图 1.1.2c偏回归图
第5步: 优化 -- 寻找最佳的因素水平组合
表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施, 其中最好的 试验点是值为Y= 48.2%的 #7。它不一定是全局最好的。人 们想找到满足下式的x1*和 x3* ：
第4列安排种子品种A，
分3个A1，A2，A3。
表2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
U12(12×6×4×3 )
均匀设计法
2
1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336
3பைடு நூலகம்
1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294
4
2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476
5
2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209
6
3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451
7
3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482
xik
_
xi
xik
_
xj
Liy
N K 1
xik
_
xi
yk
_
y
Lyy
N i1
yk
_
y
2
_
N
xi xi
i1
i 1, 2, m
i, j 1, 2, , m i 1, 2, , m
(8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
_ 1 N
y N i1 yk 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
^
2mT
方程(8 9)化为 y b0 bl xl (T Cm2 ) (8 11)
l 1
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的U表了
§9－2 应用举例
▪ 利用均匀设计表来安排试验的步骤：
• （1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 • （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使
§6－1 基本原理
• 一、引言
• 正交试验设计利用：
▪ 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
▪ 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
均匀设计的基本步骤
均匀设计的基本步骤
均匀设计是一种实验设计方法，用于在有限次试验中寻找最佳的试验条件。
以下是均匀设计的基本步骤：
1.确定实验目的和响应变量：首先需要明确实验的目的，确定要研究的响应变量，以便于确定实验的主要内容和目标。
2.确定实验因素和水平：根据专业知识和实际经验，选择对响应变量影响较大的因素作为实验因素。
根据实际情况和历史数据，为每个实验因素选择适当的水平。
3.制定均匀设计表：根据实验因素和水平的数量，选择合适的均匀设计表进行实验。
均匀设计表是一种特殊的矩阵，用于安排实验并确保各因素水平在实验中均匀分布。
4.安排实验：根据均匀设计表，安排实验的具体实施方案。
确保每个实验条件只被试验一次或多次，以确保结果的准确性。
5.收集数据：按照实验方案进行实验，并记录各实验条件下的响应变量值。
6.分析数据：对收集到的数据进行分析，探索各因素与响应变量之间的关系。
可以采用回归分析、方差分析等方法进行数据分析。
7.优化条件：根据数据分析结果，选择最优的实验条件进行进一步优化。
这可能涉及对实验方案进行调整或重复试验。
8.验证和确认：对优化后的条件进行验证和确认，以证明其在实践中具有可行性和有效性。
9.总结和报告：整理实验过程和结果，编写详细的实验报告，总
结实验的经验和教训，并提出改进意见和建议。
以上步骤是一个典型的均匀设计过程的基本流程。
具体的实施过程中，可以根据实际需求和条件进行调整和优化。
均匀试验设计的方法与应用
1 试验数相同时的偏差的比较
例如，当s=2时，若用 安排试验，其偏差为 0.4375；若用 ，则偏差最好时要达0.1445。显然后 者比前者均匀性要好得多。值得注意的是，这种比较方 法对正交设计是不公平的，因为当试验数给定时，水平 数减少，则偏差会增大。所以这种比较方法正交设计明 显地吃亏。
从图可见，树脂解析的动力学过程为：乙醇浓度为50%
后，解析率基本达到平衡；而洗脱总酚酸占总洗脱物比 率随乙醇浓度的增大，至乙醇浓度为50%时达到最大， 后逐渐减少。筛选最佳的乙醇浓度为50%，此时阿魏酸 解析率94.4%、总酚酸解析率95.23%、洗脱总酚酸占总 洗脱物比率46.2%。
2 pH值对大孔吸附树脂解析的影响
3 在均匀设计中指标与各因素之间的线性相关关系
在进行均匀设计时，应考虑水平数与因素数的 适当比例，至少水平数大于因素数的2倍以上，才 能使试验结果正确进行回归计算处理。
小结
均匀设计是近年来解决多因素多水平问题较好的 方法。其实验点在考察范围内“均匀分散”，有效减 少了试验次数，节约了时间和费用，同时又能获得对 试验对象较全面深入的认识。通过计算机辅助试验设 计以及对数据结果的统计分析处理，提高了药物制剂 研究的客观评价程度和整体研究水平。在中西药制剂 的处方筛选以及工艺条件优化等方面，均匀设计有着 光明的应用前景。
取5mL静态漏点浓度川芎样品液，调至筛选的pH值， 通过树脂柱吸附6h后，分别用30BV的蒸馏水、10%、 20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90% 乙醇溶液进行洗脱，收集洗脱液，抽取溶液1mL，测 定有效成分含量，以阿魏酸解析率、总酚酸解析率、 洗脱总酚酸占总洗脱物比率对乙醇浓度作图，得树脂 的解析动力学曲线，见图。
8. 均匀试验设计表
二、均匀设计试验结果的分析
1、直观分析 2、回归分析
实例：某酒厂在生产啤酒过程中，选择 底水（X1）和吸氨时间（X2）进行一比 较试验，两因素均选9个水平，试验考核 的指标为吸氨量（Y）。
试验因素水平为：
因素
水平
底水（X1） 136.5 （g）
吸氨时间（X2） 170
（min）
137.0
说明：王元、方开泰的研究表明，由于均匀 设计表列间的相关性，用Un（mk）最多可 以安排（k/2）+1个因素。这里（k/2）取 整，如(5.8)则取5。
U5（54）最多可安排3个因素，最大4个因素。 U6（66）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U7（76）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U8（86）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U9（96）最多可安排4个因素，最大6个因素。 U10（1010）最多可安排6个因素，最大10个因素。
180
137.5
190
138.0
200
138.5
210
139.0
220
139.5
230
140.0
240
140.5
250
选择U9（96）均匀设计表 同时根据U9（96）设计使用表可将两因
素分别安排在第一列、第三列。试验方 案及结果见下表：
因素 列号 试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X1（底水）
3
3 6 9 1 4 7 10 2 5 8
4
4 8 1 5 9 2 6 10 3 7
5
5 10 4 9 3 8 2 7 1 6
6
6 1 7 2 8 3 9 4 10 5
7
7 3 10 6 2 9 5 1 8 4
均匀实验设计
均匀试验设计均匀设计均匀设计(uniform design)是中国数学家方开泰和王元于1978年首先提出来的，它是一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。
与正交试验设计类似、均匀设计也是通过一套精心设计的均匀表来安排试验的。
由于均匀设计只考虑试验点的“均匀散布”，而不考虑“整齐可比”，因而可以大大减少试验次数，这是它与正交设计的最大不同之处。
例如，在因素数为5，各因素水平数为31的试验中，若采用正交设计来安排试验，则至少要作312 =961次试验，这将令人望而生畏，难以实施，但是若采用均匀设计，则只需作31次试验。
可见，均匀设计在试验因素变化范围较大，需要取较多水平时，可以极大地减少试验次数。
经过20多年的发展和推广，均匀设计法已广泛应用于化工、医药、生物、食品、军事工程、电子、社会经济等诸多领域，并取得了显著的经济和社会效益。
1. 均匀设计表1.1 等水平均匀设计表均匀设计表，简称均匀表，是均匀设计的基础，与正交表类似，每一个均匀设计表都有一个代号，等水平均匀设计表可用U n ( r l)或U n* (r l)表示，其中，U为均匀表代号；n为均匀表横行数(需要做的试验次数)；r为因素水平数，与n相等；l为均匀表纵列数。
代号U右上角加“*”和不加“*”代表两种不同的均匀设计表，通常加“*”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先选用。
表1-1、表1-3分别为均匀表U7 (74)与U7* (74)，可以看出，U7 ( 74)和U7*(74)都有7行4列，每个因素都有7个水平，但在选用时应首选U7*(74 )。
表1-1 U7 (74)表1-2 U7 (74)的使用表表1-3 U7* (74)表1-4 U7* (74)的使用表每个均匀设计表都附有一个使用表，根据使用表可将因素安排在适当的列中。
例如，表1-2是U7 ( 74)的使用表，由该表可知，两个因素时，应选用1，3两列来安排试验；当有三个因素时，应选用1,2,3三列，……。
《均匀设计法》课件
均匀设计法的应用领域
化学与制药
用于寻找最佳反应条件 和优化化学合成路径。
生物与医学
用于研究生物体内各种 因素之间的相互作用和
最佳条件。
工程与制造
用于优化产品设计、工 艺参数和制造流程。
经济与社会
用于研究市场、消费者 行为和社会现象等复杂 系统的最佳策略和条件
。
均匀设计法的优势与局限性
高效性
通过减少实验次数提高效率，降 低实验成本。
代表性
选择的实验点应具有代表 性，能够反映实验范围内 的各种情况和变化趋势。
可行性
实验设计方案应具有实际 可行性，考虑到实验条件 、资源、时间等因素的限 制。
均匀设计法的实施步骤
确定因素和水平
选择影响实验结果的主要因素 ，并确定每个因素的取值范围 和水平。
实施实验
按照实验设计表进行实验，记 录实验数据和结果。
需要保证实验条件的一致性和稳定性 ，以确保实验结果的准确性和可靠性 。
需要建立准确的数学模型来描述实验 结果，并对模型精度有较高要求。
02
均匀设计法的基本原理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
均匀设计法的数学基础
线性代数
均匀设计法涉及到线性代数中的 矩阵和向量运算，用于描述实验 设计中的各种关系和约束条件。
均匀设计法与拉丁方设计的比较
拉丁方设计是一种用于排列试验的方阵，而均匀设计法更注重试验点在参数空间中的均匀分布。
均匀设计法在交叉学科领域的应用探索
均匀设计法在生物医学领域的应用
在生物医学研究中，通过均匀设计法可以更有效地设计和实施实验，以探究不同因素对 生物系统的影响。
均匀设计法在环境科学领域的应用
均匀设计
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).” 之附表 1
也可以浏览如下网页
网络地址:.hk/UniformDesing 9
第1步: 将试验因素的水平列成下表：
U7 (74 )
234 236 465 624 153 312 541 777
表 1.1.4:
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
13
表 1.1.5: 1.5
No. 1 2 3 4 5 6 7
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
14
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
对某农作物产量的影响,
前两个为定量因素，后两个为定性因素。
如何安排试验，引出了下面的内容。
28
混合型因素混合型水平的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化 因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk；
这k个因素可化为k个连续变量， q1，…，qk。
其水平数分别为
又有t个定性因素G1,…,Gt，
第四列安排种子品种 A，分3个A1，A2，
A3。
31
表 2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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与多元线性回归分析一样，也可由计算相关系数R 予以检验回归方程的显著性。 （3）标准回归系数 回归系数 b i 表示因子 x i 在其他因子不变的情况 下， xi 变化一个单位引起 y 值变化的大小，它的绝对 值越大，表明该因子对 y 值的影响越大,在回归方程 中的重要性亦越大。但回归系数的绝对值的大小与因 子所用单位有关。因此，不同单位的回归系数的绝对 值不能直接进行比较，必须将各回归系数标准化，按 式（8-15）求出标准回归系数 b' i ，然后才能通过比较 b' i 的绝对值来判断各因子影响的大小。
(8―5)
b0 y bi X i
i 1
t
(8―6)
20
式中
1 n X i X ji n j 1
（8―7） （8―8）
（8―9）
1 n y yj n j 1
Lik ( X ji X i )( X jk X k )
j 1 n n
X ji X jk
10
安排在第1与第7列。图8.1也正是由此而作出的。 (3) 由于均匀实验设计的特点，实验数据失去了整
齐可比性，因此，不能象正交实验设计那样，用方差分
析法来处理数据，而要用回归分析法处理实验数据。
(4) 用均匀设计安排实验，实验次数较少，为了提
高实验精度和可靠性，可采用实验次数较多的均匀设计 表来重复安排因子各水平的实验。例如考察5个因子的 根据该均匀设计表的使用表（参见附表8），将因
(8－13)
25
自由度 f e n m 1 从而统计量
U /m F Qe /(n m 1)
给定显著性水平 ，从附表２查出 界值 F ，若 ( f , f ) u e
（8－14）
F 检验临
F F ( f u , f e )
我们可以在显著性水平下 ，认为所建立的回归方 程是有显著意义的。反之，则认为回归方程没有显 著意义。
8 均匀设计法
8.1 均匀设计原理与均匀设计表 8.2 实验安排 ８.3 实验结果分析
1
8
均匀设计法
我们知道，正交表具有“均衡分散性”和“整齐 可比性”，因而，利用正交表进行正交实验设计，可 以通过较少的实验，获得全面实验的信息，是一种优 异的实验设计方法。为了保证整齐可比的特点，简化 数据处理，实验点不能在实验条件范围内充分地均衡 分散，因此实验点不能过少。显然，在正交实验中， 均匀性受到一定的限制，使实验点的代表性还不够强。 由于这一原因， 当需考察的因子数较多，特别是因子 水平数较多时， 由正交实验设计安排的实验次数仍然 较多 。 如果不考虑实验数据的整齐可比性，而
j 1
n 1 n ( X ji )( X jk ) n j 1 j 1
Liy ( X ji X i )( y j y )
j 1 n n 1 n X ji y j ( X ji )( y j ) n j 1 j 1 j 1
n
（8―10）
21
其中， i, k
个因子，则按 U 5 (54 ) 的使用所指示的，将因子安排在 U 5 (54 )表的第1列和第2列；若有3个因子，则将因子安 排在第 1,2,4 列；若有 4 个因子，则正好每列安排一个
因子。又如前面提到的 U11 (1110表，如果只安排 2 因子， )
则可由
10 的使用表查得应将这 2个因子分别 U11 (11 )
均匀设计原理与均匀设计表
在多维数值积分中，目前最好的是数论方法， 其出发点是让点子在积分范围内散布得十分均匀， 使布的点离被积函数的各种值充分地近，因而用的 点不多却能使积分值得到很好的近似。我国数学家 方开泰先生将这一思想应用于实验设计，开发出均 匀实验设计的方法，并构造出如附表8所示的一套均 匀设计表，表8.1是其中之一。
9
(2) 正交表中各列的地位是相等的，因此，因子
的安排具有随意性。均匀设计表则不一样，表中各列
的地位是不平等的。因此，因子安排在均匀设计表中
的哪一列是不能随便改动的，需根据实验中欲考察的 因子数，按均匀设计表后的使用表来确定因子所处的
列号。如在利用 U 5 (54 ) 进行均匀实验设计时，若只有2
j 1,2, , n 表示均匀实验号； X i 表示第 i 个变量的 n 次实验的平均值；
1,2, , t ，表示线性变换后由式(8―3) 重新定义的变量 X 的序号；
yi
表示
y
的第 i 次实验结果。
以上是前面已介绍过的多元线性回归数学模型 的第二种形式，当然，也可写出其第一种形式。有 关第一种形式与第二形式的求解方法，请参阅教材 中的多元线性回归分析部分。
11
影响，每个因子取6个水平，可选用 U13 (1312 ) 表安排实验。
子 A , B , C , D , E分别安排在均匀设计表相应的列
（1,6,8,9,10列）内，再将该表第13号实验划去，并
将各因子6个水平的每一水平在均匀设计表中重复安
排一次，如将因子A的水平1安排为第1与2号实验，水
平2安排为第3与4号实验，水平3安排为第5与6号实验， 水平4安排为第7与第8号实验，水平5安排为第9与第 10号实验，水平6安排为第11与12号实验。其它几个 因子也作同样安排，则得如表8.2所示的具体实验安
17
８.3.2
回归分析
(1) 回归方程的建立 由于用均匀设计表安排实验,未考虑实验数据的整 齐可比性,故实验结果不能用一般的方差分析方法来处
理,而要用多元回归分析来处理数据。在一般的实验中，
为简化数据处理过程，往往可不考虑因子的三次项与
三因子之间的交互作用，因此，指标函数
如下的形式：
m m m
可设计为 y
14
2 项，共有( 2 )项，因 有 m 项,交互效应项有 C m 2m Cm 2 ) 次实验的均匀设计表来安 此至少要选用有 ( 2m Cm
排实验。例如要研究3因子的影响，如果因子与指标函
数之间的关系为线性，选用 U 5 (5 4 ) 表安排实验；当各
因子与指标值之间的关系为二次多项式，而又要考虑
通过变量代换 , 可将式 (8―1) 化为如式 (8―4) 所示的 多元线性方程：
ˆ b0 bi X i y
i 1
t
(8―4)
19
式（8―4)中回归系数
b i 与 b 0 可由如式（8―5)所示
的正规方程组与式（8―6)求得:
L11b1 L12 b2 L1t bt L1 y L21b1 L22 b2 L2t bt L2 y Lt1b1 Lt 2 b2 Ltt bt Lty
因子之间的交互作用时，则回归方程的一次项与二次
2 项各有3项，因子之间的交互作用项有 C m 3 项，除
常数项不计之外，在回归方程中至少有9个待定系数， 因此至少应选用表 U 9 (96 )来安排实验。
15
在安排实验之前,应根据专业知识和实践经验
来判断与选择在回归方程式中的交互作用项与高次
项,对于那些对指标值 y没有显著影响或影响较少
ˆ b0 bi xi bik xi xk y
i 1 i 1 k i
(8―1)
18
式中， x i x k 反映了两因子之间的交互效应；xi2 反映了 因子二次项的影响。若令
2 t 2m Cm
(8―2)
jm xi , (8―3) Xj m jt xi x k , , m 。 , m; k i, i 1, 式（8—3）中，i 1,2,
2
充分体现其均衡性，即让实验点在实验范围内充分
地均匀分散，则可从全面实验中挑选比正交实验设
计更少的实验点作为代表进行实验。这种着眼于实 验点充分地均匀分散的实验设计方法，称为均匀实 验设计法。 均匀设计法已在我国飞航式导弹的设计中取得
了有效的应用，使试验、设计周期大大缩短，并节
省了大量的费用。
3
8.1
则待求系数也有 14 个。如果 14 项全部进入回归方程不 仅计算工作量大，而且效果也不好，这时用逐步回归 就比较合适。
23
2 1
2 2
2 3
2 4
对需在回归方程中引入多因子交互作用项与高次 项时，可在式（8-1)中再加入相应项，按照上述原理， 求出非线性回归方程。当然，其回归分析过程就更复 杂了。如前所述，应在安排实验前，根据经验判断， 将那些对实验指标影响不大的交互作用项和高次项， 尽量不要安排在实验中，以减少实验和回归分析工作 量。 （2）回归方程的显著性检验 为了确定所建立的回归方程是否有意义，需进行 显著性检验。前面已指出，的总偏差平方和可分解为 回归平方和与剩余平方和，且
的交互作用项与高次项应尽量不要安排在实验中,
以减少实验工作量和对实验数据的回归分析的工作
量。
16
８.3
实验结果分析
８.3.1 直观分析 由于均匀设计允许的因子水平数较多，水平间隔 较小，研究因子的范围宽，实验点在整个实验区域内 分布均匀，实验结果具有较好的代表性，因此，指标 值最佳的实验点所对应的实验条件，即使不是全面实 验中最优的条件，但相对来说，也是接近于全面实验 中的最优条件的，因此，可以直接采用它作为相对较 优的实验条件来使用。这个分析方法看起来粗糙，但 在正交实验中当有混杂时常采用此法，大量实验证明 这种方法是有效的。
4
表8.1
U５(54)均匀设计表及使用表
Байду номын сангаас
5
类似于正交表，均匀设计表也有一个代号 Un (t q ), 其各符号的意义是
6
从附表8可看出，每一张均匀设计表后都附有一张 该表的使用表（如表8.1右表所示），与之配合使用； 每一张表安排的实验次数与因子水平数相等，且因子水 平数皆为奇数。当水平数为偶数时，则可用水平数比多 它1的奇数均匀设计表划去最后一行来安排偶数水平数 的实验。例如，因子水平数为4时，可利用 U 5 (54 ) 表安排 实验，仅划去 U 5 (54 ) 表中最后一行，即实验5。当然，划 去最后一行后，相应的实验次数也少一次， U 5 (54 )表就变 为U 4 (54 )均匀设计表了，而使用表不变。与正交实验相 似，因子数较少时，也可用因子数较多的均匀设计表安 排实验。如以2因子11水平的实验为例，可选用表来安 排实验，其实验的布点情况见图8.1中黑点所示。