相似三角形存在性问题

因动点产生的相似三角形问题

例1 2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24 题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2 都经过点A(2, m)．（1）求k 与m 的值；

（2）此双曲线又经过点B( n, 2)，过点 B 的直线BC 与直线y＝x＋2 平行交y 轴于点C，联结AB、AC，求△ABC 的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2 与y 轴交于点D，在射线CB 上有一点E，如果以点A、C、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点 E 的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“15 宝山嘉定24”，拖动点 E 在射线CB 上运动，可以体验到，△ACE 与△ACD 相似，存在两种情况．

思路点拨

1．直线AD// B C，与坐标轴的夹角为45°．

2．求△ABC 的面积，一般用割补法．

3．讨论△ACE 与△ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．

满分解答

（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点 A 的坐标为(2, 4)．

将点A(2, 4)代入y k

x

，得k＝8．

（2）将点B(n, 2)，代入y 8

x

，得n＝4．

所以点 B 的坐标为(4, 2)．

设直线BC 为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．

所以点 C 的坐标为(0,－2)．

由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B 两点间的水平距离

和竖直距离都是2，B、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．

所以AB＝2 2 ，BC＝4 2 ，∠ABC＝90°．图2

所以 S

△ABC

＝ 1

2

BA BC ＝

1 2

2 2 4 2

＝8．

（3）由 A(2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得 AD ＝ 2 2 ，AC ＝ 2 10 ． 由于∠ DAC ＋∠ ACD ＝45°，∠ ACE ＋∠ ACD ＝ 45°，所以∠ DAC ＝∠ ACE ． 所以△ ACE 与△ ACD 相似，分两种情况：

①如图 3，当

C E

AD CA

AC

时， CE ＝AD ＝ 2 2 ．

此时

△ A C

D ≌ △ C A

E ，相1．

②如图 4，当 CE AC

CA AD 时， CE 2 10 ．解得 CE ＝10 2 ．此时 C 、E 两点间的水 2 10 2 2 平距离和竖直距离都是 10，所以 E(10, 8)．

图 3 图 4

考点伸展

第（ 2）题我们在计算△ A B C 的

面

积时

△ ABC 是直角三角形．

一般情况下，在坐标平面内计算图形的面 如图 5，作△ ABC 的外接矩形 HCNM ，MN //y 轴．

由 S 矩形

HCNM ＝ 24，S △AHC ＝6，S △ AMB ＝2，S △BCN ＝8，得 S △ABC ＝8． 图 5

例

2

2014 年武汉市24 题 1，Rt △ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动， 同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4

c m

的速度向点

B

匀速

运

动

，

运为 t 秒（

0＜t ＜2）PQ ． （1）若 △BPQ 与△ ABC 相似，求 t 的值； （2

2

AQ 、CP ，若 AQ ⊥CP ，求 t 的值； （3）

： PQ 的中点在 △ABC 的一条中位线上．

2 动感体验 请打开几何画板文件名“14 武汉 24”，拖动点 P 运动，可以体验到，若 △ BPQ 可以两 次成为直角三角形，与 △ABC 相似．当 AQ ⊥CP 时，△ ACQ ∽△ CDP ．PQ 的中点 H 在 △ABC 的中位线 EF 上． 思路点拨 1

．

△B 与△

A B

C 有公共角，按照夹角相等，对

应

边成比例，分两种．

2．作 PD ⊥BC 于 D ，动点 P 、Q 的速度，暗含了 BD ＝CQ ． 3．P

Q 的中点 H 在哪条中位线上？画两个不P 、Q 、H 的位置，一目了然． 满分解答 （1）Rt △ABC 中， AC ＝6，BC ＝8，所以 AB ＝10． △BPQ 与△ A BC 相似，存在两种情况： ① 如果 B P BA BQ BC ，那么 5t 10 8 4t 8 ．解得 t ＝1． ② 如果 B P BC BQ BA ，那么 5t 8 8 4t 10 ．解得 32 t ． 41

图3图4 （2）作 PD ⊥ BC ，垂足为 D ．

在 Rt △BPD 中， BP ＝ 5t ，cosB ＝ 4

5

当 AQ ⊥CP 时，△ ACQ ∽△ CDP ．

，所以 BD ＝BPcosB ＝4t ，PD ＝3t ．

所以

AC CD QC

PD

，即

6 8 4t 4t 3t

．解得

7 t ．

8 图5图6

（

3P Q 的中点 H 作

B C

的

垂线为 F ，交 AB 于 E ． 由于 H 是 PQ 的中点， HF //PD ，所以 F 是 QD 的中点． 又因为 BD ＝CQ ＝4t ，所以 BF ＝CF ． 因此 F 是 BC 的中点， E 是 AB 的中点． 所以 PQ 的中点 H 在△ABC 的中位线 EF 上． 例 3 2012 年苏州市中考第 29 题 1，已知抛物线 1 2 1 ( 1) b y x b

x

（

b

是实数且 b ＞2

）与

x 轴的正

4 4 4 于点 A 、B （点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C ．

（1）点 B 的坐标为 ______，点 C 的坐标为 __________（用含 b 的代数式表示） ； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P ，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b ，且△ PBC

是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说

明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q ，使得△ QCO 、△ QOA 和△ QAB 中 的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；

如果不存在，请说明理由． 图1

动感体验

请

打开几何画

板

“12

点 P 到

两坐标轴的距题”，拖动点 B ，可以体验到，存在∠ OQA ＝∠ B 的时刻，也存在∠ OQ ′A ＝∠ B 的时刻．