香浓采样定理

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香农奈奎斯特采样定理

香农奈奎斯特采样定理
香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist Sampling Theorem）是一项基本的信号处理原理，它规定了一个连续时间信号的采样频率应该至少是该信号中最高频率成分的两倍，以便在离散时间中完整地重构原始信号。

这个定理是由克劳德·香农（Claude Shannon）和哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪初提出的。

具体来说，香农-奈奎斯特采样定理表述如下：
如果一个连续时间信号的最高频率成分为f_max，那么为了在离散时间中准确地重建原始信号，采样频率f_s（采样率）必须满足：
f_s ≥ 2 * f_max
这意味着采样频率应至少是信号中最高频率的两倍。

如果采样频率不满足这个条件，就会出现所谓的"混叠"或"奈奎斯特折叠"，导致信号在离散时间中无法准确还原。

香农-奈奎斯特采样定理在数字信号处理、通信系统、音频处理、图像处理和各种数据采集应用中具有重要作用。

它强调了适当选择采样频率的重要性，以避免信息丢失和混叠问题，确保准确的信号重建。

因此，合理的采样频率选择是数字信号处理的基本原则之一。

简述采样定理的基本内容

简述采样定理的基本内容采样定理，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist theorem）或香农-奈奎斯特采样定理（Shannon-Nyquist sampling theorem），是在信号处理领域中至关重要的一条基本原理。

它对数字信号处理、通信系统以及采样率等方面具有重要的指导意义。

1. 采样定理的基本内容采样定理表明，如果要正确恢复连续时间信号的完整信息，就需要以至少两倍于信号最高频率的采样频率对信号进行采样。

采样频率应该大于等于信号最高频率的两倍，即Fs >= 2 * Fmax。

采样定理的原理基于奈奎斯特频率，奈奎斯特频率是指信号频谱中的最高频率成分。

如果采样频率小于奈奎斯特频率的两倍，那么采样信号中将出现混叠现象，即频谱中的不同频率成分相互干扰，导致原信号无法准确恢复。

2. 采样定理的应用采样定理在多个领域都有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：音频处理：在音频信号的数字化处理中，采样定理保证了通过合适的采样率可以准确还原原始音频信号，同时避免了音频信号的混叠现象。

这就是为什么音频 CD 的采样率是44.1kHz，超过人类可听到的最高频率20kHz的两倍。

通信系统：在数字通信系统中，为了正确传输模拟信号，信号需要经过模数转换（采样）和数模转换两个过程。

采样定理确保了在采样时不会丢失信号的信息，同时在接收端通过恢复出原始信号。

这对于保证通信质量和准确传输数据来说非常关键。

图像处理：在数字图像采集中，采样定理用于设置合适的采样率，以避免图片出现信息丢失和混叠现象。

在数字摄影中，也需要根据采样定理来选择适当的像素密度，以保证图像的质量和细节。

3. 采样定理的局限性和改进采样定理的一个重要前提是信号是带限的，即信号的频谱有一个上限，超过这个上限的频率成分可以被忽略。

然而，在实际应用中，许多信号并不是严格带限的，因此采样定理可能无法完全适用。

为了克服采样定理的局限性，一种常见的方法是使用过采样（oversampling）技术。

b为什等于2w_奈奎斯特定理_概述及解释说明

b为什等于2w 奈奎斯特定理概述及解释说明1. 引言1.1 概述奈奎斯特定理，也被称为奈奎斯特-香农采样定理，是信号处理和通信领域中的一项重要定理。

该定理阐述了在进行连续时间信号采样和离散时间信号重构时的基本原则与条件。

根据奈奎斯特定理，为了避免采样和重构过程中出现混叠现象（aliasing），采样频率必须大于信号的最高频率成分的两倍。

1.2 文章结构本文将首先介绍奈奎斯特定理的原理及应用，并解释其在通信领域中的实际应用示例。

随后，我们将回顾相关的理论背景和发展历程，包括早期关于信号采样的限制条件分析以及奈奎斯特提出的采样定理及其后续研究进展。

接下来，我们将详细解释和讨论奈奎斯特定理并提供数学推导与证明过程概述、定义和解释采样率与信号带宽之间关系以及为什么b等于2w是满足奈奎斯特定理条件的解释。

最后，我们将给出本文的结论。

1.3 目的本文旨在提供关于奈奎斯特定理的概述和解释，并阐明其在信号处理和通信领域中的重要性和应用价值。

通过对奈奎斯特定理及其背后的原理进行详细讲解，读者将能够全面了解信号采样与重构过程中需要考虑的关键因素，以及如何避免混叠现象并确保信号准确地恢复。

希望本文能够为读者提供有关奈奎斯特定理基本概念和相关原理的清晰认识，并促进对该定理进一步研究和实际应用的探索。

2. 奈奎斯特定理的原理及应用2.1 信号采样与重构的基本概念在通信领域中，我们经常需要对连续时间的信号进行采样和重构。

采样是指将连续时间信号转换为离散时间信号，而重构则是将离散时间信号还原为连续时间信号。

在进行信号采样时，我们需要选择一个适当的采样率。

采样率是指每秒钟对信号进行采集的样本数。

根据奈奎斯特定理，我们知道采样率必须至少是信号中最高频率的两倍，也就是说要满足采样率大于等于2倍的最高频率。

然后，在对被采样的离散时间信号进行重构时，我们使用插值方法来还原连续时间信号。

插值方法可以通过填充缺失数据点来恢复原始连续时间信号。

香农采样定理

香农采样定理采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样定理指出，如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样简介从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。

连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。

T称为采样间隔。

在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。

采样过程产生一系列的数字，称为样本。

样本代表了原来地信号。

每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹(hertz)。

信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续信号x(t)。

从采样定理中，我们可以得出以下结论：•如果已知信号的最高频率f H，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。

这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表示为f N•相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。

香农定理和奈奎斯特定理

香农定理和奈奎斯特定理引言信息理论是一门研究信息传输和处理的学科，它为我们理解和优化通信系统提供了基础。

在信息理论中，香农定理和奈奎斯特定理是两个非常重要的定理，它们分别揭示了信道容量的上限和采样定理。

本文将深入探讨这两个定理的原理和应用。

香农定理定义香农定理，也称为信息论的基石，由克劳德·香农于1948年提出。

它给出了在存在噪声的通信信道中传输信息的极限。

香农定理表明，在给定噪声水平的情况下，通过增加传输速率和使用更复杂的编码方案，可以无限接近信道的容量。

信息熵信息熵是香农定理的核心概念之一。

它衡量了信息的不确定性和随机性。

对于一个离散随机变量X，其信息熵H(X)定义为：H(X) = -Σ P(x)log2P(x)其中，P(x)是X取值为x的概率。

信道容量信道容量是指在给定的信道条件下，能够传输的最大信息速率。

根据香农定理，信道容量C可以通过下式计算：C = B log2(1 + S/N)其中，B是信道带宽，S是信号的信噪比，N是噪声的功率谱密度。

应用香农定理对通信系统的设计和优化具有重要意义。

通过理解信道容量的上限，我们可以选择合适的调制方案、编码方案和信道编码率，以最大限度地提高通信系统的性能。

奈奎斯特定理定义奈奎斯特定理，也称为奈奎斯特-香农采样定理，由哈里·奈奎斯特于1928年提出。

它给出了采样定理的一个重要结果，即信号在采样时需要满足一定的采样定理，以便在恢复过程中不产生信息丢失。

采样定理奈奎斯特定理指出，对于一个带宽为B的信号，为了完全恢复原始信号，需要以不低于2B的采样率进行采样。

也就是说，采样频率应该是信号带宽的两倍以上。

奈奎斯特频率奈奎斯特频率是指信号带宽的一半，也是信号采样频率的上限。

如果采样频率低于奈奎斯特频率，会导致采样失真，无法准确恢复原始信号。

应用奈奎斯特定理在信号处理和通信系统中具有广泛的应用。

在数字音频和视频领域，采样定理被广泛应用于音频和视频信号的数字化和压缩。

香农采样定理

现代控制理论
2.6.1 线性定常系统状态方程的离散化系统状态方程： x t Ax t Bu t ,
k j 0

k 1
现代控制理论
系统状态方程的解为
x(k ) G k x(0) G k j 1Hu( j )
j 0
k 1
仿照线性连续系统的状态转移矩阵的概念，定义线性定常离散系统的状态转移矩阵为
k kT G k
此状态转移矩阵具有以下性质：
j k0
k 1
现代控制理论
取Z变换得： zX z zX 0 GX z HU z
-1 -1
2.5.2 Z变换法线性定常离散时间系统状态方程为： x k 1 Gx k Hu k ， k 0,1, 2,
,
X z ZI G zX 0 ZI - G HU z
n1 (t )Gn1
0 1 x k 1 x k 2 3
解：特征值
1 x 0 0
I G

1
2 3
1 2 0
1 1, 2 2
Gk 0 (k )I 1 (k )G
j 0
k 1
现 ) Cx (k ) Du(k )
k 1 j 0
k 0,1, 2,
C k x 0 C k j 1 Hu j Du(k )
第一项是零输入响应；第二、三项是系统的零状态响应。若初始时刻 k h ，系统初始状态为x h ，则离散系统的状态方程的解可表示为
1 5 5 4 k k k k ( 0.2) ( 0.8) ( 0.2) ( 0.8) 3 3 3 3 0.8 (0.2) k 0.8 (0.8) k 1 (0.2) k 4 (0.8) k 3 3 3 3

简述采样定理及其物理意义。

采样定理（Sampling Theorem）是信号处理中的一个重要定理，也被称为奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）或香农定理（Shannon Theorem）。

它是由美国数学家哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）和美国工程师克劳德·香农（Claude Shannon）在20世纪20年代提出的。

采样定理给出了一个信号在模拟域和数字域中的互相转换的基本原理。

采样定理的核心思想是：为了能够准确地从一个连续时间的模拟信号中恢复出原始信号，需要对这个信号进行一定频率的采样。

具体来说，采样定理指出，一个连续时间的信号如果满足带宽有限的条件，那么它可以通过一系列等间隔的采样点来精确地表示，并且可以通过这些采样点还原出原始信号。

在物理意义上，采样定理告诉我们，如果一个信号的最高频率为fmax，那么它的采样频率应该至少为2fmax，也就是说，采样频率要大于信号的最高频率的两倍。

这是因为根据奈奎斯特定理，如果采样频率小于2fmax，那么在数字域中就会出现混叠现象，即高于采样频率一半的频率成分会被误认为是低于采样频率一半的频率成分。

这种混叠现象会导致信号失真，无法准确地恢复原始信号。

以音频信号为例，人耳能够感知的频率范围一般在20Hz到20kHz 之间。

根据采样定理，如果要完美地还原一个音频信号，采样频率应该至少为40kHz，即每秒需要对信号进行至少40,000次采样。

这就是为什么CD音质的采样频率被设定为44.1kHz，略高于人耳的最高频率听觉范围。

通过这样的采样频率，CD音质能够准确地还原音频信号，使人们能够感受到高质量的音乐。

采样定理不仅在音频处理中有重要应用，还在图像处理、通信系统等领域起着关键作用。

在图像处理中，采样定理告诉我们，为了能够精确地表示一个图像，需要对其进行足够高的采样率。

在通信系统中，采样定理则指导着我们设计合适的采样频率，以确保信息传输的准确性和可靠性。

香农采样定理

采样定理由于数字化和计算机技术的广泛应用，使传感与系统互连时必须考虑接口界面问题。

大多数传感器是用来获取连续的模拟信号的，这种信号是数字系统或计算机系统无法接收的输入。

因此，传感器系统设计中，除了硬件接口外，还要考虑软件接口问题。

这就是所谓采样定理。

传感器检测/监视系统大多是利用基于离散数字信号的连续采样硬件系统。

它们利用采得的离散数字信号再现传感器获得的连续模拟信号。

1．香农采样定理该采样定理表述为，如果信号中所包括的频率不高于，则可由一系列相隔1/（2）时间的抽样值所确定。

该定理的物理含义是，遵循香农采样定理对连续模拟信号进行周期性的离散采样，所采得的离散信号数列可以保持频率特性不变，即不发生混频（叠）现象。

图1表示了模拟信号A 的两类离散采样结果。

其中图a表示遵从香农采样定理对模拟信号A进行采样后，按采样系列值恢复得到的信号B与信号A相比不发生“混叠”现象，即两者的信号频率相等。

图b 表示不遵从香农采样定理采得的信号B′与信号A频率不一致，发生“混叠”现象。

图1 模拟信号A采样与“混叠”现象a）遵循采样定理，不发生“混叠”现象；b）不遵循采样定理，产生“混叠”现象为了便于应用，可以把香农采样定理表述为，离散采样的频率应大于或等于被采样信号包含的最高频率的两倍。

其数学表达形式可以为≥2（1）例如：对频率100kHz～1MHz的声发射信号进行采样时，其最高频率为=1MHz，故按采样定理，其采样频率应该是≥2=2×1MHz=2MHz。

由式（1）可知，采样的间隔（周期）T S应为1/T S≥2（2）或T S≤1/（2）（3）上例的采样周期是T S≤1/（2）=1/2×1MHz=0.5μs2．工程采样的考虑由于工程要求的不同，应用采样定理时有不同的考虑。

1）把香农采样定理作为近似准则使用，严格地讲，采样定理只适于窄带信号的采样。

所谓窄带信号指的是信号的频率分散在信号中心频率Ω。

附近一个较窄的频率范围内。

采样周期的选取

8-1 采样周期的选取8-1-1 采样定理采样定理也称香农(Shannon)定理,其结论如下:如果采样角频率ωs (或频率f s )大于或等于2ωm (或2f m ),即(8-1) 式中ωm (或f m )是连续信号频谱的上限频率,见图8-1,则经采样得到的脉冲序列能无失真的再恢复到原连续信号.从物理意义上来理解采样定理那就是,如果选择这样一个采样频率,使得对连续信号所含的最高频率来说,能做到在其一个周期内采样两次以上,则在经采样获得的脉冲序列中将包含连续信号的全部信息.反之,如果采样次数太少,即采样周期太长,那就做不到无失真的再现原连续信号.8-1-2 采样周期的选取采样周期T 0是数字控制系统设计的一个关键因素,必须给以充分注意.工程实践证明,采样周期T 0根据表8-1给出的参考数据选取时,可以取得满意的控制效果.对于随动系统,采样周期的选取在很大程度上取决于系统的性能指标.在一般情况下, 控制系统的闭环频率响应具有低通滤波特性,当随动系统输入信号的频率高于其闭环幅频特性的谐振频率ωr 时,信号通过系统将会很快衰减,而在随动系统中,一般可近似认为,开环频率响应幅频特性的剪切频率ωc 与闭环频率响应幅频特性的谐振频率ωr 相当接近,即幅频特性的谐振频率ωc ≈ωr .也就是说,通过随动系统的控制信号的最高频率分量ωc ,超过ωc 的分量通过系统时将被大幅度的衰减掉.根据工程实践经验,随动系统的采样频率ωs 可选为ωs ≈10ωc (8-2) 考虑到T 0=2π/ωs ,则按式(8-2)选取的采样周期T 0与系统剪切频率ωc 的关系为(8-3)从时域性能指标来看,采样周期T 0通过单位阶跃响应的上升时间t r 及调整时间t s 可按下列经验关系式选取,即(8-4)(8-5)8-2 信号保持信号保持是指将离散信号—脉冲序列转换成(或恢复到)连续信号的转换过程.用于ms ωω2≥0ωωm-ωm|ε(j ω)|图8-1连续信号频谱cT ωπ150=s t T 4010=控制过程采样周期(s)流量压力液面15 5表8-1 采样周期T 0的参考数据 r t T 1010=这种转换过程的元件称为保持器.从数学意义上来讲,保持器的任务是解决各采样时刻之间的插值问题.8-2-1 零阶保持器零阶保持器是在数字控制系统中应用最广泛的且具有常值外推功能的保持器,用符号H 0来表示.也就是说,对于零阶保持器有下式成立,即(8-6) 式中αp 为常值,η的变化范围是0≤η≤T 0.显然,在η=0时,式(8-6)也成立,这时有(8-7) 由式(8-6)及(8-7)求得(8-8) 式(8-8)说明零阶保持器是一种按常值规律外推的保持器.它把前一个采样时刻nT 0的采样值ε(nT 0)不增不减的保持到下一个采样时刻(n+1)T 0到来之前的一瞬间.当下一个采样时刻(n+1)T 0到来时,应以ε[(n+1)T 0]为常值继续外推.也就是说,任何一个采样时刻的采样值只能作为常值保持到下一个相邻的采样时刻到来之前,其保持时间显然是一个为采样周期T 0.零阶保持器的输出信号εH (t)如图8-2所示零阶保持器的时域特性g H1,宽度为T 0的方脉冲.高度等于1,;宽度等于T 0,说明零阶保持器对采样值 G H (s)为从图8-2看到,经由零阶保持器转换得到的连续信号具有阶梯形状,它并不等于采样前的连续信号ε(t).平均地看,由零阶保持器转换得到的连续信号(图8-2中的点划线特性)在时间上要迟后于采样前的连续信号.式表明,这个迟后时间等于采样周期的一半,即T 0/2.8-2-2 一阶保持器一阶保持器是一种基于两个采样值ε(nT 0)与ε[(n+1)T 0]按线性外推规律保持脉冲序列ε*(t)的保持器.线性外推函数的斜率为 ,而外推函数值为式中 η=t -nT 0; nT 0≤t ≤(n+1)T 0.基于线性外推规律得到的一阶保持器的输出信号εH (t)示于图8-4.根据输出信号εH (t)可求取一阶保持器的时域特性g H (t),并由时域特性g H (t)求得相应的频率响应为从式(8-12)可见,,其平均相移 .因此,数字控制系统普遍采用零阶保持器.()pnT ατε=+0()00αε=nT ()()0000,T nT nT <≤=+τετεss G H (8-9)()20022sin Tj H e T T T s G ωωω-=(8-10)()()[]{}0001T T n nT --εε()()()()[]τεεετε000001T T n nT nT nT --+=+()()()0020020022sin 1T arctg T j H e T T T T j G ωωωωωω--⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=8-3 Z 变换8-3-1 Z 变换1. 设连续时间函数x(t)可进行拉氏变换,其象函数为X(s).考虑到t<0时x(t)=0,连续时间函数经采样周期为T 0的采样开关后,得到脉冲序列为对上式进行拉氏变换,得到(8-13) 因复变量s 含在指数函数e -nT0s 中不便计算,故引进一个新变量(8-14) 将式(8-14)代入式(8-13),求得以z 为变量的函数X(z),即(8-15) 式(8-15)所示X(z)称为离散时间函数—脉冲序列x *(t)的Z 变换,记为X(z)=Z[x *(t)].连续时间函数x(t)与相应的采样脉冲序列x *(t)具有相同的Z 变换,即(8-16) 2. 求取离散时间函数—脉冲序列的变换有多种方法,下面举例说明其中的三种. (1) 级数求和法将式(8-15)写成展开形式,即(8-17) 式(8-17)是离散时间函数x *(t)Z 变换的一种级数表达形式.显然,只要知道连续时间函数 x(t)在采样时刻nT 0(n=0,1,2,…∞)上的采样值x(nT 0),便可通过式(8-17)求取其Z 变换的展开形式.例1. 试求取单位阶跃函数1(t)的Z 变换.解单位阶跃函数1(t)在所有采样时刻上的采样值均为1,即1(nT 0)=1, n=0,1,2,…∞ 根据式(8-17)求得在上式中,若|z|>1,则上式可写成下列闭式,即(8-18)()()()∑∞=*-=000n nT t nT x t x δ()()∑∞=-*=000n snT e nT x s X sT e z 0=()()∑∞=-=00n nz nT x z X ()[]()[]()z X t x Z t x Z ==*()()()()()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---n z nT x z T x z T x x z X 0201020()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---n z z z z 2111()11111-=-=-z zz z因为式中ζ=Res,所以条件|z|>1意味着ζ>0.这也就是单位阶跃函数能进行拉氏变换的条件.(2) 部分分式法设连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)为复变量s 的有理函数,并具有如下形式:其中M(s)及N(s)分别为复变量s 的多项式,并且有degM(s)≤degN(s),以及degN(s)=n. 将X(s)展开成部分分式和的形式,即式中 s i —N(s)的零点,即X(s)的极点;由拉氏变换知,与A i /(s+s i )项对应的原函数 ,又根据式便可求得因此,函数x(t)的Z 变换由相函数X(s)求得为(8-20) 例2. 试求取具有拉氏变换为α/[s(s+α)]的连续时间函数x(t)的Z 变换.解首先写出x(t)的拉氏变换X(s)的部分分式展开式,即其次对上式逐项求取拉氏变换,得到最后根据上列时间函数逐项写出响应的Z 变换,即得连续时间函数x(t)的变换,即(3) 留数计算法已知连续时间函数x(t)的拉氏变换相函数X(s)及其全部极点s i (i=1,2,…,n),则x(t)的Z 变换可通过下列留数计算式求得,即()()()s N s M s X =0T s T e e z σ==∑=+=ni ii s s A s X 1)(()()i i i s N s M A =为常系数;()()is s i s N ds d s N ==t s i i eA -[]00111T T t e z zz e e Z ααα-----=-=T s i i i i ez z A s s A Z --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+()∑=--=ni T s i i e z z A z X 1()()ααα+-=+=s s s s s X 11T e t t x α--=)(1)(()()()0001112T T T T e z e z e z e z z z z z X αααα----++--=---=式中 r i —重极点s i 的个数;n —彼此不等的极点个数.常用时间函数的Z 变换及其相应的拉氏变换列入表8-1.例3. 试求取连续时间函数的Z 变换.解首先写出x(t)的拉氏变换,即由上式求得X(s)的重极点s i =0,其个数r i =2,以及n=1.其次根据式(8-22)求取的Z 变换,即(8-23)8-3-2 Z 变换的基本定理(1) 线性定理设连续时间函数x(t),x 1(t)及x 2(t)的Z 变换分别为X(z), X 1(z)及X 2(z),并设α为常数或与时间t 及复变量z,则有(8-24)(8-25) 式(8-24)及(8-25)所表达的便是Z 变换的线性定理. (2) 迟后定理设连续时间函数x(t)当t<0时为零,且具有Z 变换,则有(8-26)式(8-26)所示为Z 变换的迟后定理,它说明当原函数x(t)在时间上产生k 个采样周期(kT 0) 的迟后时,其相应的Z 变换具有通过z -k 表示的k 步负偏移或k 步迟后. (3) 终值定理设连续时间函数x(t)的Z 变换为X(z),并设X(z)不含z=1的二重以上极点,以及在z 平面单位圆外无极点,则x(t)的终值通过其Z 变换X(z)求之为(8-27) 式(8-27)所表达的便是Z 变换的终值定理.8-3-3 Z 反变换(1) 长除法()()∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ni T s i i e z z s X res z X 10()()()i i i i s s ni sT r i r r ie z z s X s s ds d r ==--∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅-1110!11()()()()20022110!1210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-⋅-==z z T e z z s s ds d z X s sT 21)(s s X =⎩⎨⎧≥<=0,0,0)(t t t t x ()[]()z X t x Z αα=()()[]()()z X z X t x t x Z 2121±=±()[]()z X z kT t x Z k ⋅=--0()()()[]z X z t x z t 1lim lim 1-=→∞→将连续时间函数x(t)的Z 变换X(z)展开成z -1的无穷级数,即(8-28) 设象函数X(z)为复变量z 的有理函数,即式中通过分子多项式M(z)除以分母多项式N(z)的长除法,可得到具有式(8-28)所示形式的无穷级数.级数中z -n 项系数x(nT 0)(n=0,1,2,…,∞)将是采样脉冲序列x*(t)的脉冲强度.因此, 根据x(nT 0)(n=0,1,2,…,∞)便可写出原函数x*(t),即注意应用长除法求取式(8-28)所示无穷级数时,多项式M(z)及N(z)均需写成z -1的升幂形式.例4 试求取的反变换x*(t). 解由应用长除法求得对照式(8-28),由上得到X(0)=0 X(T 0)=10 X(2T 0)=30 X(3T 0)=70 因此,脉冲序列x*(t)可写成(2) 部分分式法由已知的象函数X(z)求出极点z 1, z 2,…, z n ,再将X(z)/z 展开成部分分式和的形式,即由X(z)/z 求取X(z)的表达式X(z),即最后,逐项的通过查Z 变换表求取A i z/(z-z i )对应的Z 反变换,并根据这些反变换写出与象函数X(z)对应的原函数x*(t),即()()()()()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---n z nT x z T x z T x x z X 0201020()()()z N z M z X =();22110m m z b z b z b b z M ---++++= ();22110k k z a z a z a a z N ---++++= .m k ≥()()()∑∞=-=000*n nT t nT x t x δ()()()2110--=z z z z X ()()()211231102110---+-=--=z z zz z z z X () ++++=----4321150703010z z z z z X ()()()()()+-+-+-+-=*0000415037023010T t T t T t T t t x δδδδ()∑=-=n i iiz z A z z X 1()∑=-=ni ii z z zA z X 1(8-29) 式中Z -1[·]是对括号内的象函数求Z 反变换的符号.例5 试应用部分分式法求取的Z 反变换.解将原式展开成部分分式和的形式,即由上式求取,即通过查变换表,求得最后,写出对应的原函数为其中即由此求得X(0)=0 X(T 0)=10 X(2T 0)=30 X(3T 0)=70 (3) 留数计算法应用留数及算法求取已知X(z)的Z 反变换,首先求取x(nT 0)(n=0,1,2,…),即其中留数和可写为式中z i (i=1,2,…,l)为X(z)彼此不相等的极点,这些极点的总数为l; r i 为重极点z i 的重复个数. 其次由求得的x(nT 0)可写出与已知象函数X(z)对应的原函数—脉冲序列例6. 试求取X(z)=z / (z-γ)(z-1)2的Z 反变换.解应用留数及算法求取X(z)的Z 反变换.首先根据已知的X(z),通过式(8-30)计算出 x(nT 0).为此,由X(z)求得其极点为z 1=γ及z 2=1,其中z 1为单极点,即r 1=1, z 2为二重极点,即()()∑∞=--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*001n i i nT t z z z A Z t x δ()()()2110--=z z zz X ()210110-+--=z z z z X ()210110-+--=z z z z z X 111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--z z Z n z z Z 221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--()()()∑∞=-⋅+-=*002110n n nT t t x δ()()(),2,1,021100=+-=n nT x n ()[]∑-⋅1n z z X res ()()[]∑-⋅=1n z z X res nT x ()[]()()()[]ii i i z z li n ri r r i n z z X z z dz d r z z X res ==----∑∑⋅-⋅-=⋅11111!11()()()∑∞=-=*000n nT t nT x t x δr 2=2.由式(8-30)计算出最后,求得已知X(z)的Z 反变换为8-4 脉冲传递函数脉冲传递函数的定义是,输出脉冲的序列的Z 变换与输入脉冲序列的Z 变换之比.如图8-5所示开环线性数字控制系统的连续部分的脉冲传递函数G(z)为脉冲传递函数G(z)可通过连续部分的传递函数G(s)来求取.图8-6所示为线性数字控制系统开环方框图的三种形式.其中G 0(s)为前向通道传递函数,H(s)为主反馈通道传递函数;图(a)为单位反馈系统方框图,图(b)及(c)为非单位反馈系统方框图.下面分三种情况分析线性数字控制系统的开环脉冲传递函数. (1) 串联环节间无同步采样开关隔离时的脉冲传递函数图8-7(a)所示串联环节间无同步采样开关隔离时,其脉冲传递函数G(z)=c(z)/ε(z)由描述连续工作状态的传递函数G 1(s)与G 2(s)的乘积G 1(s)G 2(s)来求取,记为(8-33) 设二串联环节的传递函数分别为G 1(s)=1/(0.1s+1)及G 2(s)=1/s.求取它们之间无同步采样开关隔离时的脉冲传递函数,按式(8-33)要求,首先计算然后由G(z)=Z[G 1(s)G 2(s)]求得脉冲传递函数对于图(8-6)(a)所示单位反馈线性数字控制系统,其开环脉冲传递函数其中G 0(s)可以是若干(如m 个)无同步采样开关隔离的串联环节的等效传递函数.在这种情况下,开环脉冲传递函数G(z)为(8-34)对于图(8-6)( b)所示非单位线性数字控制系统,其开环脉冲传递函数 (2) 串联环节间有同步采样开关隔离时的脉冲传递函数图8-7(b)所示串联环节间有同步采样开关隔离时,其脉冲传递函数G(z)=c(z)/ε(z)等于各串联环节的脉冲传递函数G 1(z)与G 2(z)之积,即(8-35) 其中G 1(z)=Z[G 1(s)]及G 2(z) =Z[G 2(s)]分别由相应的传递函数G 1(s)及G 2(s)求取.设图8-7(b)中的G 1(s)=1/(0.1s+1)及G 2(s)=1/s.按式(8-35)求取它们之间有同步采样开关()()()()()()()()112212011!1211=-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---⋅-+--⋅-=z n z n z z z z z dz d z z z zz nT x γγγγ()()(),2,1,0111122=---+-=n n n γγγγ()()()()∑∞=-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=*00221111n n nT t n t x δγγγγ()()[]()[]()()z z C t Z t c Z z G εε=**=()()()101111.0121+-=+=s s s s s G s G ()()()()()10102111T T e z z e z z G G z G -----==()()()[]()z G G s G s G Z z G 2121==()()[]()z G s G Z z G 00==()()()()[]()z G G G s G s G s G Z z G m m 2121==()()()[]()z H G s H s G Z z G 00==()()()z G z G z G 21=隔离时的脉冲传递函数,首先需计算然后由式(8-35)求得脉冲传递函数为对于图8-6(c)所示非单位反馈线性数字控制系统,由式(8-35)求得其开环脉冲传递函数为其中若G 0(s)为若干个环节无同步采样开关隔离时的串联传递函数,则相应的G 0(z)需按式(8-34)求取.(3) 环节与零阶保持器串联时的脉冲传递函数设零阶保持器的传递函数(1-e -T0s )/s 以及另一串联环节的传递函数为G’2(s),它是复变量s 的有理分式.显然,在这种情况下,两个串联环节之间无同步采样开关隔离.为求取总的脉冲传递函数,首先需要计算其中 .由于不是复变量s 的有理分式,故不能直接按式(8-33)来计算G 1G 2(z),但由看出,G 1(s)G 2(s)代表两个时域特性的组合,其中G 2(s)e -T0s 是时域特性L -1[G 2(s)]在具有时滞等于一个采样周期T 0的迟后特性.因此,基于Z 变换的迟后定理,求得环节G’2(s)与零阶保持器串联时总的脉冲传递函数为(8-36) 式中 /s.设与零阶保持器串联的环节的传递函数为其中k 与α为常量.按式(8-36)求得环节G’2(s)与零阶保持器串联的脉冲传递函数为 8-4-2 线性数字控制系统的闭环脉冲传递函数典型线性数字控制系统的方框图如图8-8所示.首先求取在控制信号r(t)作用下线性数字控制系统的闭环脉冲传递函数.从图8-8可写出下列关系式: C(s)=G 1(s)G 2(s)ε*(s)Y(s)=H(s)C(s) ()()[]0101110T e z z s G Z z G --==()()[]112-==z z s G Z z G ()()()()()10221110T e z z z z G z G z G ---==()()[]()[]()()z H z G s H Z s G Z z G 00=⋅=()()()s s G s G e s G s T '221,10=-=-()()()()()()sT s T e s G s G s G e s G s G 00222211---=-=()()()()()()()s G s G s s G e s G s e s G s G s T s T 21'2'2'2'10011=-=⋅-=--()s T e s G 011--=()()s G s G '22=()()()[]()()[]()[]()[]()()[]s G Z z z s G Z s G Z e s G s G Z s G s G Z z G sT 21122222110----=⋅-=-==()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅-=--αααααs s s k Z z s s k s Z z z G 2211111111()()[]()()00111200T T T T e z z e T e z e T k ααααααα--------++-=(8-37)()α+=s s kG '2ε(s)=R(s)-Y(s) 由上列各式求得(8-38) 其中ε*(s)代表对偏差信号ε(s)进行采样所得脉冲序列的拉氏变换,也就是离散偏差的 Z 变换,即有(8-39) 将式(8-39)代入式(8-38),并对式(8-38)等号两边各项取Z 变换,可得由上式求得偏差信号对于控制信号的闭环脉冲传递函数为(8-40) 考虑到由式(8-40)求出被控信号对于控制信号的闭环脉冲传递函数为其次,求取在扰动信号f(t)单独作用下线性数字控制系统的闭环脉冲传递函数,从图8-8可写出由上列二式最终求得被控制信号对于扰动信号的闭环脉冲传递函数为对于单位反馈线性数字控制系统,由于,故式(8-40)~(8-42)分别变成例7. 试求取图8-9所示线性数字控制系统的闭环脉冲传递函数.图中 /s 为零阶保持器的传递函数;k/s(s+α)为连续部分的传递函数,k 与α均为常数.()()()()()()s s H s G s G s R s *-=εε21()()z s εε=*()()()()z z H G G z R z εε⋅-=21()()()z H G G z R z 2111+=ε()()()z z G G z C ε⋅=21()()()()z H G G z G G z R z C 21211+=()()()()()()()()z C z Hz z z G G z F z G z C ⋅-=+=εε212()()()()()z H z G G z G z F z C 2121+=()()()z G G z R z 2111+=ε()()()()z G G z G G z R z C 21211+=()()()()z G G z G z F z C 2121+=()s T e 01--解通过Z 变换,根据开环传递函数求取开环脉冲传递函数由式(8-37)求得给定系统的开环脉冲传递函数为由于给定系统是单位反馈线性数字控制系统,故由上式所示开环脉冲传递函数根据式(8-43)及(8-44)可求得给定系统的闭环脉冲传递函数为8-5 线性数字控制系统的时域分析8-5-1 线性数字控制系统的响应过程应用Z 变换方法分析线性数字控制系统,需根据其闭环脉冲传递函数C(z)/R(z), 通过给定输入信号的Z 变换R(z),求取被控制信号的Z 变换C(z),最后经Z 反变换求取被控制信号的脉冲序列c *(t). c *(t)代表线性数字控制系统对给定输入信号的响应过程. 基于超调量ζp ,调整时间t s =λT 0(λ为大于零的整数, T 0为采样周期)为稳态误差等项性能指标,根据线性数字控制系统的响应过程c *(t)便可分析系统的动态与稳态性能.例 8. 试应用Z 变换方法分析图所示线性数字控制系统.已知r(t)=1(t)以及参数 k=1,α=1及采样周期T 0=1s.解将已知参数k=1,α=1以及采样周期T 0=1sec 代入在例得到的关于闭环脉冲传递函数ε(z)/R(z),C(z)/R(z)的表达式求得给定系统的闭环脉冲传递函数为求取给定系统r(t)=1(t)在作用下的单位阶跃响应.为此,将R(z)=z/(z-1)代入上列闭环脉冲传递函数C(z)/R(z),求得被控制信号的Z 变换通过长除法,将C(z)展成无穷级数形式,即C(z)=0.368z -1+z -2+1.4z -3+1.4z -4+1.147z -5+0.895z -6+0.802z -7+0.868z -8+0.993z -9+1.077z -10+1.081z -11 +1.032z -12+0.981z -13+0.961z -14+0.973z -15+0.997z -16()()α+⋅-=-s s k s e s G s T 01()()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅-==-αs s k s Z z s G Z z G 111()()()[]()()00111200T T T T ez z e T e z e T k z G ααααααα--------++-=()()()()()()[]()[]000020202221111TT T T T T e e T e k z e e T k z e z z z R z ααααααααααααε------+--++-+-+--=()()()()[]()()[]()[]00000002020220011111T T T T T T T T e e T e k z e e T k z e T e z e T k z R z C ααααααααααααααα--------+--++-+-+--++-=()()632.0368.0368.122+-+-=z z z z z R z ε()()632.0264.0368.02+-+=z z z z R z C ()632.0632.12264.0368.0232-+-+=z z z zz z C+1.015z -17+1.017z -18+1.0072z -19+0.996z -20+…基于Z 变换定义,由上式求得被控制信号c(t)在各采样时刻的函数值c(nT 0)(n=0,1,2,…)为C(0)=0 C(7T 0)=0.802 C(14T 0)0.961 C(T 0)=0.368 C(8T 0)=0.868 C(15T 0)=0.973 C(2T 0)=1 C(9T 0)=0.993 C(16T 0)=0.997 C(3T 0)=1.4 C(10T 0)=1.077 C(17T 0)=1.015 C(4T 0)=1.4 C(11T 0)=1.081 C(18T 0)=1.017 C(5T 0)=1.147 C(12T 0)=1.032 C(19T 0)=1.0072C(6T 0)=0.895 C(13T 0)=0.981 C(20T 0)=0.996 ……根据上列c(nT 0)(n=0,1,2,…)数值绘制的给定线性数字控制系统的单位阶跃响应c *(t)如图8-10所示.从图求得给定系统的单位阶跃响应的超调量ζp =40%,调整时间t s ≈12s (以误差小于5%计算). 8-5-2 线性数字控制系统的稳态误差线性数字控制系统稳态误差可通过误差系数和输入信号及其各阶导数在采样时刻上的数值来求取.设线性数字控制系统响应理想单位脉冲δ(t)的响应误差为K *e (t),则该系统响应输入脉冲序列的响应误差为响应误差e *(t)在采样时刻的数值为考虑到t<0时r(t)=0,上式可写成若系统的输入信号r(t)对于所有的t,前m 阶导数均存在,则可将r(t-η)展成泰勒级数, 即在式(8-47)中,令t=nT 0及η=kT 0,可得将式(8-48)代入式(8-46),可得式中()()()∑∞=*-=000n nT t nT r t r δ()()()()()()()()() +-++-+-+=0*00*00*0**220nT t K nT r T t K T r T t K T r t K r t e ee e e ()()()()()[]()()[]()()+++-+-+=022*********e e e e K nT r T n K T r T n K T r nT K r nT e ()()()[]∑∞=-=0000k e T k n r kT K nT e ()()()()()()()()+-++-+-=-∙∙∙∙∙∙t r m t r t r t r t r t r m mm!1!3!232τττττ()[]()()()()()()()() +⋅-+-+-=-∙∙∙000200000!11!21nT r kT m nT r kT nT r kT nT r T k n r m m m()()()()()()()()∑∞=∙∙∙-+⎢⎣⎡-=00020000000!21k e e e nT r kT K kT nT r kT K kT nT r kT K nT e ()()()()()⎥⎦⎤+-+ 000!11nT r kT K kT m m e m m ()()()()00000nT r kT K kT nT r nT K e e ∙∞∞⎥⎤⎢⎡-+⎥⎤⎢⎡=∑∑()∑∞==000k e kT K c ()∑∞=-=0001k e kT K kTc ()()∑∞==00202k e kT K kT c(8-50)系数 c 0,c 1,c 2,…,c m ,…定义为线性数字控制系统的误差系数.从式(8-49)可见,在已知误差系数以及输入信号及其各阶导数情况下,便可求出在采样时刻nT 0上系统响应输入信号 r(t)的稳态误差e *ss (t)的数值e ss (nT 0).如果对于n=0,1,2,…各采样时刻的e ss (0),e ss (T 0), e ss (2T 0),…都按式(8-49)计算出来,则可写出线性数字控制系统响应输入信号r(t)的稳态误差e *ss (t)下面介绍通过线性数字控制系统的闭环误差脉冲传递函数Φe (z)计算误差系数的方法. 设(8-51)由于Z -1[Φe (z)]=K *e (t),故对上式取反变换,得到(8-52) 式中将代入式(8-51),可得取上式对s 的各阶导数,得到在上列各式中,令s=0,可得同理求得()()()∑∞=-=0001k e mmm kT K kT c()()∑∞=*-=000n ss ssnT t nT e e δ()+++++=Φ---k k e z z z z αααα22110()()()()()+-++-+-+=*0020102kT t T t T t t t K k e δαδαδαδα()(),2,1,00==k kT K e k αsT e z 0=()() +++++=Φ=Φ---*=s kT k s T sT e e z e e e es z s T 00002210αααα()[]+++++-=Φ----*s kT k s T s T s T e e k e e e T dss d 000033221032αααα()[] +++++=Φ----*s kT k s T s T s T e e k e e e T dss d 000023322221202232αααα()()[]+++++-=Φ----*s kT k m s T m s T m s T m m me m e k e e e T dss d 0000332210321αααα()()∑∞=*=+++++=Φ002100k e k e kT Kαααα()()∑∞==*-=Φ0000k e s e kT K kT ds s d(8-53)对比式(8-53)与式(8-50),求得(8-54)式(8-53)便是计算线性数字控制系统误差系数的比较实用的关系式.例 9. 试应用误差系数法求取图8-9所示单位反馈线性数字控制系统在参数k=1,α=1 及采样周期T 0=1s 情况下响应输入信号r(t)=t 2/2的稳态误差.解从例8求得图8-9所示单位反馈线性数字控制系统在给定参数下的闭环误差脉冲传递函数为将及T 0=1代入上式,求得根据Φ*e (s)及其导数d Φ*e (s)/ds, d 2Φ*e (s)/ds 2,由式(8-54)分别求得误差系数c 0,c 1及c 2为 c 0 = 0 c 1 = 1 c 2 = 1 最后根据式(8-49)求得稳态误差e *ss (t)在各采样时刻上的数值从上式可见,给定系统响应 r(t)=t 2/2的稳态误差为离散时间nT 0(T 0=1s)的函数,它说明稳态误差是随时间的推移在增大,当t →∞时,稳态误差值e *ss (∞)→∞.8-6 最少拍系统的脉冲传递函数1. 在采样过程中,通常称一个采样周期为一拍.在典型控制信号作用下,在各采样时刻上无稳态响应误差,且能在有限个采样周期内结束响应过程从而完全跟踪控制信号的离散系统或数字控制系统,称为最少拍或有限拍系统.典型控制信号,如位置阶跃,匀速与匀加速信号的Z 变换分别为()()()()∑∞==*-=Φ00001k e m m s me m kT K kT ds s d ()0=*Φ=s m e m m ds s d c ()()()632.0368.0368.122+-+-==Φz z z z z R z E z e s T ez 0=()()()632.0368.0368.122+-+-==Φ*s s s s ee e e e z R z E z ()()()()∞=-+=∑∞=*,,2,1,05.00n n t n t e n ssδ其一般形式可写成(8-55)其中A(z)为不含因子(1-z -1)的以z -1为变量的多项式.从最少拍系统相应控制信号,即(5-55)无稳态响应误差,即(8-56)角度要求闭环误差脉冲传递函数Φe (z)具有(1-z -1)ν的因子.设(8-56)其中θ(z)是在z=1处既无极点也无零点的z -1有理分式.对于单位反馈系统,有 (8-57)因此由(8-58)求得线性离散系统输出c(t)的Z 变换为(8-59)将式(8-55)及式(8-56)代入式(8-59),求得(8-60) 从式(8-58)或(8-59)看出,为满足线性离散系统响应典型控制信号的响应过程在最少拍内结束从而达到完全跟踪控制信号的要求,需使系统的闭环脉冲传递函数Φe (z)及 Φ(z)所含z -1项数最少.在式(8-56)中,若取θ(z)=1,便能满足上述要求.这时,由式(8-56)及()[]1111--=z t Z ()()21101---=z z T t Z ()()31112021212----+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z T t Z ()()()ν11--=z z A z R ()()()()()()()()11lim 1lim 11111=-⋅Φ-=Φ-=∞--→-→νz z A z z z R z z e e z e z ss ()()()z z z e ϕν⋅-=Φ-11()()z z e Φ-=Φ1()()()z R z z C ⋅Φ=()()[]()z R z z C e ⋅Φ-=1()()()()z z A z R z C ϕ-=()()ν11--=Φz z e(8-57),可得(8-61)(8-62)这便是以无稳态响应误差且在最少拍内结束响应过程从而完全跟踪控制输入为标志的最少拍系统的闭环脉冲传递函数,其中幂指数与系统响应控制输入的类型有关,例如相应位置阶跃,匀速与匀加速输入时,ν分别取1，2，3.2. 下面分析最少拍系统相应位置阶跃,匀速与匀加速等典型输入时的情况.(1) 当r(t)=1(t),即其中A(z)=1及ν=1,取θ(z)=1时,求得最少拍系统的闭环脉冲传递函数为(8-63)(8-64)根据式(8-63)或(8-64),由式(8-58)~(8-60)求得最少拍系统响应r(t)=1(t)时的输出的变换为(8-65)从式(8-65)可见,最少拍系统经过1拍便可完全跟踪上控制输入r(t)=1(t),见图8-11所示最少拍系统相应位置阶跃输入的响应过程. (2) 当r(t)=t,即其中A(z)=T 0z -1及ν=2,取θ(z)=1时,求得最少拍系统的闭环脉冲传递函数为(8-66) (8-67)以及最少拍系统响应r(t)=t 时的输出c(t)的Z 变换为(8-68)从式(8-68)可见,最少拍系统经过2拍便可完全跟踪控制输入r(t)=t,见图8-12所示最少拍系统相应位置阶跃输入的响应过程.()()ν111---=Φz z () +++++=-=----n z z z zz R 211111()()111--=Φ-=Φz z z z e ()+++++=---n z z z z c 211()()++++=-=-----n z nT z T z T z z T z R 02010211021()()2121211---+-=-=Φz z z z e()212---=Φzz z () +++=--n z nT z T z c 0202图8-12 最少拍系统响应匀速输入的响应过程c *tc *t图8-13 最少拍系统响应匀加速输入应过程(3) 当r(t)=t 2/2,即其中,其中A(z)=0.5T 02z -1+0.5T 02z -2及ν=3,取θ(z)=1时,求得最少拍系统的闭环脉冲传递函数为(8-69) (8-70)以及最少拍系统响应r(t)=t 2/2时的输出c(t)的Z 变换为(8-71)从式(8-71)可见,最少拍系统经过2拍便可完全跟踪控制输入r(t)= t 2/2,见图8-13所示最少拍系统相应位置阶跃输入的响应过程.从图8-11~图8-13看到,当最少拍系统分别经过1拍(ν=1),2拍(ν=2)及3拍(ν=3)完全跟踪控制输入时,其在各采样时刻上显示出的稳态响应误差均为零. 对于以上三种情况,根据式(8-72)求得数字控制器的脉冲传递函数为(8-73) (8-74) (8-75) 3.按响应过程在尽可能少拍内结束的要求选取闭环脉冲传递函数Φe (z)及Φ(z)的限制条件,它们是: (1) 闭环脉冲传递函数Φe (s)必须含有与开环脉冲传递函数G(z)的单位圆上或单位圆外极点相同的零点.(2) 闭环脉冲传递函数Φ(z)必须含有与开环脉冲传递函数G(z)的单位圆上或单位圆外零点相同的零点.(3) 为使数字控制器脉冲传递函数D(z)在物理上可实现,当开环脉冲传递函数G(z)含有z -1的因子时,要求闭环脉冲传递函数Φ(z)也含有z -1的因子.又考虑到对于单位反馈线性离散系统来说,Φ(z)=1-Φe (z),所以闭环脉冲传递函数Φe (z)应为包含常数项等于1的 z -1的多项式.()()()+++++=-+=-------nz T n z T z T z Tz z z T z R 20232022012031112025.425.0121()()321313311-----+-=-=Φz z z z z e ()32133---+-=Φz z z z ()++++=---nz T n z T z T z C 20232022025.42()()()()z z G z z D e e ΦΦ-=1()()()()t t r z G z z z D 11111=⋅-=--()()()()t t r z G z z z z D =⋅--=---1122121()()()()2/11222121t t r z G z z z z D =⋅--=---。

shannon 采样定理

shannon 采样定理
Shannon采样定理，也称为奈奎斯特采样定理（Nyquist采样定理），是通信与信号处理领域的一项重要理论。

该定理由美国工程师哈里·莱昂·奈奎斯特（Harry Nyquist）和克劳德·香农（Claude Shannon）分别于20世纪20年代和40年代提出，它规定了对信号进行采样的最小要求。

根据Shannon采样定理，若要对一个连续时间的信号进行完全的还原，采样率（采样频率）必须大于信号频谱中的最高频率的两倍。

具体而言，如果一个信号的最高频率为fmax，则它的采样频率fs必须满足fs > 2*fmax。

这个定理的背后原理是，通过对信号进行足够高的采样频率，可以在采样过程中保留足够的信息，使得信号能够准确地还原。

如果采样频率低于Shannon采样定理所要求的最小值，会导致采样过程中出现混叠现象，使得信号无法准确还原。

Shannon采样定理在数字信号处理、通信系统和数据转换等领域具有重要的应用。

它对数字音频、视频、图像等信号的采样与还原起到了关键的指导作用，确保了信号的准确传输与重现。

低通型采样定理

低通型采样定理低通型采样定理是信号处理领域中的重要理论，它描述了在数字信号处理中对连续信号进行采样的方法和限制条件。

本文将详细介绍低通型采样定理的原理、应用以及一些相关概念。

一、低通型采样定理的原理低通型采样定理是由著名数学家香农（Claude Shannon）在1949年提出的。

它的基本原理是：如果一个连续信号的最高频率为f，则将其进行采样时，采样频率应该大于2f才能完全恢复原始信号。

也就是说，在采样过程中，采样频率必须大于信号的最高频率的两倍，才能保证采样后的信号不发生混叠现象。

二、低通型采样定理的应用低通型采样定理在实际应用中有着广泛的应用。

在音频和视频领域，低通型采样定理被广泛应用于数字音频、数字视频的采样和处理过程中。

通过合理的采样频率选择，可以在不损失信息的情况下，将连续信号转换为数字信号，从而实现信号的存储、传输和处理。

在通信领域，低通型采样定理也起着至关重要的作用。

在无线通信系统中，天线接收到的连续信号首先需要经过模数转换器（ADC）进行采样，然后才能进行数字信号处理和解调。

根据低通型采样定理，合理选择采样频率可以避免信号混叠，保证信号的完整性和准确性。

在生物医学领域，低通型采样定理也被广泛应用于生理信号的采样和处理过程中。

例如，心电图（ECG）信号和脑电图（EEG）信号都是连续信号，为了实现对这些信号的准确分析和诊断，需要首先对其进行采样，然后进行数字信号处理。

三、低通型采样定理的相关概念1. 采样频率：指每秒钟对连续信号进行采样的次数，用赫兹（Hz）表示。

根据低通型采样定理，采样频率应大于信号最高频率的两倍。

2. 采样定理：也称为奈奎斯特采样定理，是信号处理领域中的基本理论，指出连续信号在进行采样时，采样频率应大于信号最高频率的两倍，以避免信号混叠。

3. 混叠现象：也称为折叠现象，是指在采样过程中由于采样频率不满足低通型采样定理的要求，导致高频部分的信号频谱被折叠到低频区域，从而引起信号失真。

奈克斯特采样定律

奈克斯特采样定律一、定理内容1. 定义- 奈奎斯特采样定理（Nyquist Sampling Theorem），也称为香农采样定理。

它指出，为了不失真地恢复模拟信号，采样频率f_s必须大于等于模拟信号最高频率f_{max}的两倍，即f_s≥2f_{max}。

- 例如，如果一个模拟信号的最高频率为50Hz，那么采样频率至少要达到100Hz才能保证信号能够被准确地重建。

2. 原理- 从频域的角度来看，当对一个模拟信号进行采样时，采样操作相当于在频域对原信号的频谱进行周期性延拓。

如果采样频率不满足奈奎斯特采样定理，即f_s < 2f_{max}，那么这些延拓后的频谱就会发生混叠（Aliasing）现象。

混叠会导致原信号的频谱发生畸变，从而在重建信号时无法准确恢复原模拟信号。

- 例如，假设有一个频率为f_1的正弦信号，采样频率为f_s，当f_s<2f_1时，在频域中会出现与原信号频率不同但看起来像是原信号的频谱成分，这就是混叠的结果。

二、定理的重要性1. 在数字信号处理中的应用- 奈奎斯特采样定理是数字信号处理的基石。

它使得模拟信号能够转换为数字信号进行处理。

在现代通信系统中，如音频、视频的数字化传输和存储，都依赖于这个定理。

- 例如，在音频CD的制作中，人耳能够听到的声音频率范围大约是20Hz - 20kHz，根据奈奎斯特采样定理，采样频率选择为44.1kHz，这样就可以准确地将模拟音频信号转换为数字信号，并且在播放时能够还原出高质量的声音。

2. 在图像和视频处理中的意义- 在图像和视频处理领域，奈奎斯特采样定理同样重要。

对于图像来说，它决定了图像采样的密度。

如果采样密度不足（违反奈奎斯特采样定理），图像会出现模糊、锯齿等失真现象。

- 在视频处理中，视频信号可以看作是一系列连续的图像帧，采样定理影响着视频的帧率和每帧图像的采样参数等，以确保视频的高质量显示。

三、定理相关的计算与示例1. 计算采样频率- 已知模拟信号的最高频率，根据奈奎斯特采样定理计算采样频率是常见的应用。

简述时域取样定理

简述时域取样定理
时域取样定理，又称为奈奎斯特定理或香农定理，是一项关键的信号采样定理。

它断言，如果一个连续时间域的信号以至少两倍于其最高频率的采样率进行采样，那么从这些离散时间域的样本中可以完全恢复原始信号，即避免信号混叠。

具体来说，时域取样定理表述如下：如果信号的最高频率为
f_max，则采样频率fs必须满足fs≥2f_max，才能避免混叠。

考虑到采样定理的实际应用，一般会选择稍高于最低要求的采样率，以增加系统的容错性。

这样可防止过程中出现一些不可预见的问题，例如设备性能的变化和数字信号处理中的舍入误差等。

时域取样定理的应用广泛，不仅在信号处理和通信领域使用，还在音频和视频等领域得到广泛运用。

通过合理选择采样频率，可确保从离散数据中准确还原出连续时间域信号的信息，从而实现各种数字信号处理的目标。

奈奎斯特采样定理与香农采样定理

奈奎斯特采样定理与香农采样定理下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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香农采样定理的心得和体会感悟

香农采样定理的心得和体会感悟一、香农采样定理的意义香农采样定理，又被称作奈奎斯特采样定理，是由著名的通信理论专家克劳德·香农在1949年提出的。

该定理阐述了一个信号能够被准确重构的最低采样频率。

具体来说，如果一个信号的最高频率为 f，那么它的采样频率应该至少为 2f 才能够准确地还原原始信号。

二、香农采样定理的数学原理香农采样定理的数学原理其实并不复杂，它可以通过奈奎斯特定理来解释。

奈奎斯特曾经证明，一个信号最多包含的信息等于其带宽的一半。

也就是说，如果一个信号的带宽为 B，那么它最多包含 B/2 的信息量。

根据香农采样定理，要想完整地采样一个信号，就需要以至少2B 的频率进行采样。

香农采样定理实际上是奈奎斯特定理在时域上的具体应用。

三、香农采样定理的应用香农采样定理在通信和信号处理领域有着广泛的应用。

在数字信号处理中，我们经常会遇到需要对连续信号进行采样、量化和编码的情况，而采样过程中最重要的就是要确定采样的频率。

香农采样定理给出了一个明确的指导，即采样频率至少要是信号带宽的两倍，这样才能够保证信号不会失真。

在数字通信中，根据香农采样定理，我们可以确定一个频率范围内的信号是否能够被准确地还原，从而帮助设计更加高效的通信系统。

四、香农采样定理的启示通过学习和理解香农采样定理，我们可以得到一些有益的启示。

我们应该意识到，信号的采样频率是至关重要的。

如果采样频率不足，那么就会导致信号失真，从而影响后续的信号处理和传输。

我们应该重视数学原理的应用。

虽然香农采样定理的数学原理并不复杂，但是却能够指导我们设计和实现更加可靠的通信系统。

我们应该持续关注科学技术的发展。

香农采样定理是在数字通信领域的一个重要理论成果，它的提出极大地推动了数字通信技术的发展，而我们也应该不断地学习和掌握最新的科学技术知识，从而保持自己的竞争力。

五、香农采样定理的心得体会学习和理解香农采样定理是一件非常有意义的事情。

通过对这一定理的研究，我们不仅可以了解信号的采样和重构原理，还可以得到一些启示和体会。

抽样定理

采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker （1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。

采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用[1]。

香农采样定理定义

香农采样定理定义嘿，今天咱们来聊聊香农采样定理，这东西啊，听起来挺高大上，其实理解起来也有不少趣味呢。

我有个朋友在一家音频制作公司上班，有一次我去他那儿玩。

一进他们的工作室，就看到各种各样的设备，那些按钮、旋钮，看得我眼花缭乱。

朋友正在处理一段音乐，他戴着大大的耳机，盯着电脑屏幕，那认真的样子就像在寻找宝藏。

我凑过去问他在干啥，他说在调整采样呢。

我就纳闷了，啥是采样啊？他笑着跟我解释，这采样啊，就像是给声音拍照。

你想啊，声音是一直在变化的，就像流水一样，而采样就是在这流水里截取一个个小片段，把这些片段记录下来，然后就能用这些片段还原出原来的声音啦。

这时候就轮到香农采样定理登场了。

朋友说，这个定理就像是一个神奇的规则，告诉我们要怎么“拍照” 才能把声音拍得准确。

比如说，我们要处理一段小提琴演奏的音乐。

那小提琴的声音可复杂了，有高音有低音，还有各种颤音呢。

如果采样的频率不够，就像拍照的时候快门速度太慢，拍出来的声音就模糊不清，就像我们看到的那些糊糊的照片一样。

他在电脑上给我演示，把采样频率调得很低的时候，播放出来的小提琴声简直就是“灾难”。

那声音就像有个小精灵在捣乱，原本优美的旋律变得乱七八糟，高音和低音都混在一起，就像一锅乱炖，完全听不出是小提琴在演奏。

然后他按照香农采样定理来调整采样频率。

他边调边说：“这个定理告诉我们，采样频率得是声音最高频率的两倍以上呢。

小提琴声音最高频率大概是几千赫兹，那我们的采样频率就得比这个数的两倍还高。

” 当他把采样频率调好后，再播放音乐，哇，那小提琴声就像从一个破旧的收音机里解放出来一样，变得清脆悦耳，每一个音符都清晰可辨，就像我们用高清相机拍出了清晰美丽的照片。

我在旁边看着，感觉这香农采样定理就像一个神奇的魔法。

它让那些看不见摸不着的声音，在电脑里有了准确的记录和还原方法。

而且啊，这定理可不光是在音频处理上有用。

朋友还告诉我，在图像采集、视频制作这些领域，也都得遵循类似的规则呢。